2025年上海高考数学二轮复习：热点题型05 圆锥曲线（十二大题型）原卷版+解析

热点题型•解答题攻略

专题05圆锥曲线(十二大题型)

♦>----------题型归纳•定方向-----------<>

题型01定点问题...............................................................................2

题型02定直线问题.............................................................................2

题型03定值问题...............................................................................3

题型04最值问题...............................................................................4

题型05取值范围问题...........................................................................4

题型06向量问题..............................................................................5

题型07弦长、焦点弦问题.......................................................................6

题型08数列在圆锥曲线的应用...................................................................6

题型09轨迹问题...............................................................................6

题型10新定义题...............................................................................7

题型11三角形的“心''在圆锥曲线的应用...........................................................7

题型12证明恒等式............................................................................8

*>----------题型探析•明规律----------*>

【解题规律•提分快招】

1、求解直线或曲线过定点问题的基本思路

(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要

对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的

解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0)；

若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

2、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求

得.

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

3、圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，

求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

4、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

5、存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

题型01定点问题

22

【典例1-1】.(2024.上海宝山.一模)已知椭圆「二+21=1,直线/经过椭圆「的右顶点尸且与椭圆交于

93

另一点A,设线段AP的中点为Af.

⑴求椭圆「的焦距和离心率；

(2)若心”=-g,求直线转的方程；

⑶过点尸再作一条直线与椭圆「交于点8,线段8P的中点为N.若OMLON,则直线A8是否经过定点？

若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

【变式1-11.(2024・上海・三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、

物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长

22

的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C:=+e=1(。>b>0)的面积等于271，且椭圆C的焦距为2上.点P(4,0)、

ab

。(0,2)分别为X轴、y轴上的定点.

⑴求椭圆c的标准方程；

⑵点R为椭圆C上的动点，求三角形PQR面积的最小值，并求此时R点坐标；

⑶直线/与椭圆C交于不同的两点A、B,已知A关于y轴的对称点为8点关于原点的对称点为N,已

知P、M、N三点共线，试探究直线/是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

题型02定直线问题

【典例2-1].（24-25高三上•上海•阶段练习）已知A、3是椭圆E:亍+的左、右顶点，椭圆石

的长轴长是短轴长的2倍，点”（私。）（相>。）与椭圆上的点的距离的最小值为1.

（1）求椭圆的离心率和标准方程；

⑵求点M的坐标；

⑶过点M作直线/交椭圆E于C、。两点（与A、8不重合），连接AC、BD交于点G.证明：点G在定

直线上；

丫2d1

【变式2-1].（23-24高三下.上海.开学考试）已知椭圆r*+%=l（a>6>0）的离心率为?左右焦点分

别为昂耳，M是椭圆上一点，|町|=2,-0°.

（1）求椭圆的方程；

⑵过点N（l,l）的直线与椭圆交于P,Q两点，R为线段尸。中点.

（D求证：R点轨迹方程为

43

（ii）。为坐标原点，射线OR与椭圆交于点S,点G为直线OR上一动点，S.OROG=2OS2>求证：点G

在定直线上.

题型03定值问题

【典例3-1]】.（2024•上海徐汇・一模）已知过点尸（3,码的双曲线C的渐近线方程为x±6y=0.如图所示，

过双曲线C的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线/交C的右支于A3两点.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵已知点0（|,o],求证：ZAQF=ZBQF;

3

（3）若以A3为直径的圆被直线x=1截得的劣弧为MV，则MV所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出

该定值；若不是，请说明理由.

22

【变式3-1].（2024•上海嘉定.一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「:三+?=1,耳，鸟是其左、右焦

点，过椭圆「右焦点F2的直线尸。交椭圆于尸，。两点.

⑴若PF「PF；=3,求点P的坐标；

(2)若耳尸。的面积为4盘0，求直线尸。的方程；

(3)设直线/与椭圆r交于A,8两点，M为线段42的中点.当kOM-kAB=kOA-kOB时，△OAB的面积是否为定

值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

题型04最值问题

【典例4-1].(24-25高三上•上海奉贤•期中)已知点G是圆T:(x+iy+y2=i6上一动点(T为圆心)，点、H

的坐标为(1,0),线段G8的垂直平分线交线段TG于点K,动点R的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

3

(2)M,N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、ON的斜率分别为左和月，且秘?=则AMON

的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

(3)设尸为曲线C上任意一点，延长。尸至0,使。。=3。尸，点。的轨迹为曲线E,过点尸的直线/交曲线

E于A、B两点,求一AQ3面积的最大值.

【变式4-1].(2024•上海.模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆「£+丁=1的左，右焦点外别

为月，耳，设P是第一象限内「上的一点，PR、P区的延长线分别交1于点Q2.

⑴求△尸片Q的周长；

⑵求△尸耳&面积的取值范围；

(3)求一Sg尸20]的最大值.

题型05取值范围问题

22

【典例5」】.(2024•上海青浦•一模)已知椭圆C:土+匕=1,产为椭圆C的右焦点，过点尸的直线I交

43

椭圆C于A、B两点.

kO\FJX

⑴若直线l垂直于X轴，求椭圆C的弦48的长度；

⑵设点尸（-3,0）,当ZPAB=90时，求点A的坐标；

⑶设点“（3,0）,记MA、例8的斜率分别为尤和k2,求匕+履的取值范围.

【变式5-1】.（2023•上海闵行•一模）已知0<p<4,曲线口、口的方程分别为丁=22.0《》48,）^0）和

Xi=2py（0<y<8,x>0）,却与一在第一象限内相交于点长（取,米）•

⑴若|OK|=4A历，求P的值；

（2）若。=2,定点T的坐标为（4,0）,动点M在直线y=x上，动点N（XN，%）（0（XN«4）在曲线上，求

+的最小值；

⑶已知点4&,%）（0三玉WxQ、3（肛力）（a<々V8）在曲线一上，点A、3关于直线丫=%的对称点分别

为C、D,设的最大值为机，怛的最大值为/,若:e1,2,求实数P的取值范围.

题型06向量问题

【典例6-1].（2023•上海奉贤•一模）已知椭圆]+/=l（a>6>0）的焦距为26，离心率为华,椭圆的

左右焦点分别为《、F2,直角坐标原点记为0.设点尸（0,。，过点尸作倾斜角为锐角的直线/与椭圆交于不

同的两点8、C.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆上有一动点T,求尸厂（巧-%）的取值范围；

⑶设线段BC的中点为M,当『2行时，判别椭圆上是否存在点Q,使得非零向量OM与向量PQ平行，请

说明理由.

题型07弦长、焦点弦问题

22

【典例7-1].(2024•上海•模拟预测)已知点尸(1,1)在双曲线厂j-与=1的一条渐近线上，片,8为双曲线

ab

的左、右焦点且居P•鸟尸=0.

⑴求双曲线「的方程；

(2)过点尸的直线/与双曲线「恰有一个公共点，求直线/的方程；

(3)过点尸的直线/与双曲线左右两支分别交于点A、B,求证：|ABL＜2.7.

22

【变式7-11.(2024•上海.三模)已知双曲线「：宗一方=1(。＞0,匕＞0)的左、右焦点分别为3、F2.

(1)若「的长轴长为2,焦距为4,求「的渐近线方程：

(2)若匕=4,双曲线「左支上任意点T均满足|%|22a,求。的最大值；

(3)若双曲线：T的左支上存在点尸、右支上存在点Q满足|%|=户0=|。8|,求：T的离心率e的取值范围.

题型08数列在圆锥曲线的应用

【典例8-1】•(23-24高三上•上海宝山•开学考试)设抛物线「丁=2/(°＞0)的焦点为尸，过点歹的直线

与抛物线交于A,3两点.

⑴若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程；

⑵若直线AB的方向向量〃=。,2),当焦点为尸时，求△CMB的面积；

(3)若M是抛物线「准线上的点，直线M4,MB,Mb的斜率分别为%%，*求证：网为配卷的等差中

项.

题型09轨迹问题

【典例9-1].(22-23高三上•上海宝山•期中)已知中心在原点。，左焦点为耳(-1,0)的椭圆G的左顶点为A,

上顶点为8,片到直线A8的距离为也|。玲

⑴求椭圆G的方程；

⑵过点尸(3,0)作直线/,使其交椭圆C1于R、S两点，交直线x=1于。点.问：是否存在这样的直线，，使|P0

是|PR|、|PS|的等比中项？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由；

2222

⑶若椭圆C1方程为，+当=1(°＞匕＞0),椭圆3方程为：A+2r=%(%＞0,人1),则称椭圆C?是椭圆G的

cibcib

左倍相似椭圆.已知G是椭圆的3倍相似椭圆，若直线y=sx+r与两椭圆C1、c,交于四点(依次为尸、。、

R、S),且2S+RS=2QS,试研究动点E(sj)的轨迹方程.

【变式9-11.(2021•上海黄浦・三模)已知直线/：y=x+,w交抛物线C：V=4尤于AB两点.

(1)设直线/与x轴的交点为T,若能=2苏，求实数机的值；

(2)若点M、N在抛物线C上，且关于直线/对称，求证：A&M、N四点共圆：

(3)记尸为抛物线C的焦点，过抛物线C上的点P、。作准线的垂线，垂足分别为点U、V,若的面积

是△PQP的面积的两倍，求线段P。中点的轨迹方程.

题型10新定义题

【典例10-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)我们把由半椭圆《+/=l(x20)与半椭圆，■+!=l(x<0)

合成的曲线称作“果圆”，其中4=62+°2,。>0,b>c>0.如图，设点与，耳,F?是相应椭圆的焦点，A，

为和4，旦是“果圆”与x,y轴的交点，M是线段A4的中点.

22

⑴设尸是“果圆”的半椭圆斗+==l(x<0)上任意一点，且6=4,c=3.求证：当1PMi取得最小值时，尸在

bc

点A处；

⑵若尸是“果圆”上任意一点，求户照取得最小值时点P的横坐标；

⑶连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数上,使斜率为上的“果圆”平行弦的

中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的左值；若不存在，说明理由.

题型U三角形的“心”在圆锥曲线的应用

【典例11-1】.(2024.上海.二模)在VABC中，已知3(-1,0),C(l,0),设G,H,W分别是VABC的重心、

垂心、外心，且存在XeR使G方=ZBC.

⑴求点A的轨迹「的方程；

(2)求VABC的外心W的纵坐标机的取值范围；

S7

(3)设直线AW与「的另一个交点为记△AWG与MG”的面积分别为SjS?,是否存在实数力使肃=石？

若存在，求出义的值；若不存在，请说明理由.

22

【变式11-1].(2022•上海青浦.二模)已知椭圆「上+匕=1的右焦点为八过尸的直线/交「于A,3两

(1)若直线/垂直于x轴，求线段的长；

⑵若直线/与x轴不重合，0为坐标原点，求VAQB面积的最大值；

(3)若椭圆「上存在点C使得|AC|=|3C|,且VABC的重心G在＞轴上，求此时直线/的方程.

题型12证明恒等式

【典例12-11•(2023•上海杨浦•模拟预测)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法

国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了。算法：已知三个定点，根

据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结

论.如图所示，抛物线「尤2=2py,其中。＞0为一给定的实数.

(1)写出抛物线「的焦点坐标及准线方程；

(2)若直线l:y^kx-2pk+2p与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；

⑶如图,A,B,C是H上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点D,E,R证明：[照==黑

IDE||FC|IBF

题型通关•冲高考

一、解答题

22

1.(2020.上海普陀•一模)已知双曲线「1-2=1(°＞0,6＞0)的焦距为4,直线/：x-冲一4=0(MWR)与

ab

「交于两个不同的点D、E，且〃2=0时直线/与：T的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

⑴求双曲线「的方程；

(2)若坐标原点。在以线段。E为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；

(3)设A、8分别是「的左、右两顶点，线段8。的垂直平分线交直线8。于点P,交直线A。于点。，求证：

线段尸。在x轴上的射影长为定值.

2.(2024・上海奉贤•一模)椭圆「吞+产=1(。＞1)的左右焦点分别为耳B，设Pg,小)是第一象限内椭圆

上的一点，尸片的延长线交椭圆于点

(1)若椭圆的离心率等，求a的值；

⑵若a=V2,PQ-OFX=£，求/;

(3)若。=2,过点T(OJ)的直线/与椭圆「交于“、N两点，且|跖V|=2,则当此0时，判断符合要求的直线

有几条，说明理由？

3.(2024.上海.三模)已知抛物线「:/=2y的焦点为F过点T。/)的直线/与「交于48两点.设「在

点A、B处的切线分别为4，34与x轴交于点4与％轴交于点M设《与4的交点为P.

(1)设点A横坐标为a,求切线4的斜率，并证明根，4；

⑵证明：点P必在直线＞=》-1上；

(3)若P、M、N、T四点共圆，求点尸的坐标.

热点题型•解答题攻略

专题05圆锥曲线(十二大题型)

*>----------题型归纳•定方向-----------<>

题型01定点问题...............................................................................2

题型02定直线问题.............................................................................6

题型03定值问题..............................................................................11

题型04最值问题..............................................................................15

题型05取值范围问题..........................................................................18

题型06向量问题.............................................................................23

题型07弦长、焦点弦问题......................................................................24

题型08数列在圆锥曲线的应用.................................................................28

题型09轨迹问题..............................................................................30

题型10新定义题..............................................................................34

题型11三角形的“心''在圆锥曲线的应用..........................................................38

题型12证明恒等式...........................................................................42

舱-----------题型探析・明规律-----------令

【解题规律•提分快招】

1、求解直线或曲线过定点问题的基本思路

(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要

对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的

解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

⑵由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y—y0=k(x—x0),则直线必过定点(xO,yO)；

若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).

2、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求

得.

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.

3、圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，

求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

4、圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

5、存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

题型01定点问题

22

【典例1-1】.(2024.上海宝山•一模)已知椭圆「L+匕=1,直线/经过椭圆「的右顶点尸且与椭圆交于

93

另一点A,设线段AP的中点为

(1)求椭圆「的焦距和离心率；

(2)若k0M=_g，求直线AP的方程；

(3)过点尸再作一条直线与椭圆「交于点B,线段3P的中点为N.若OMLON,则直线48是否经过定点？

若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

【答案】(1)2而，逅

3

(2)%-'-3=0

⑶直线A3经过定点\|,。］

【分析】(1)根据椭圆方程确定“、b,利用c=^/?T乒解出c即可求解；

(2)设直线AP的方程x=(y+3,直曲联立根据韦达定理得：%+%=恩-6t，结合M为AP中点解出M坐

标，再利用心材解出/=1,即可求解；

(3)分直线AB斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出A8方程，直曲联立，利用韦达定理，结

合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出A、B两点坐标，根据中点坐标公式，求出M、N坐

标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解.

【解析】(1)由a=3力=6得。=而万=&，所以焦距2c=2",离心率e=£=迈.

a3

(2)

因为点M与点P不重合，M为AP中点，所以％=,

2厂+3

(9-3t

代入方程无=少+3,解得乙=/*+3=/。一,所以可得点“

M产+3d+3I厂+3r+3

-3/1

于是由无M=T=＜得f=l，直线AP的方程：尤-y—3=0.

(3)

22

①当直线AB斜率存在时，设方程为：y=-m,与椭圆「土+匕=1,

93

y=kx+m2

联立2,得：江+("+〃，)=1,

——+—=193

I93

整理得：(342+l^x2+6Amx+3m2-9=0,

_-6km

玉十%-3r+1

设401，为）,3（%2，丫2），由韦达定理得

3m2-9

xx

x23F+1

且△=36k2病-4（3F+l）（3/n2-9）>0,化简得苏-泌?-3<0,

又尸（3,。），从而,智事，

由OM_LON可得OM.ON=0，从而（%+3）（9+3）+另%=°，

又因为yx=kxx+m,y2=kx2+m,

所以上式化为：(%+3)(%2+3)+(^+m)(Ax2+m)=0

整理得：(女之+1)玉42+(6/2+3)(%]+/)+M2+9=0,

韦达定理代入：,-+1)(3—9)+—6/^•(版+3)+疗+9=0

3人2+13左2+1

化简得：9k2-9km+2m2=0.

3

(3^-2m)(3^-m)=0,所以〃z=3左或m=5左

当“z=3左时，直线A3为：y-kx+3k-k[x+i）,

直线AB经过点（-3,0）,舍去；

当机=。左时，直线AB为：y=fcv+|^=A-|x+||,

22I2J

此时（公-9/-3<0成立，直线AB经过定点,，0

②当直线AB斜率不存在时,设B（m,-ri）,

m+3nm+3nm+3-n

则MOM=,ON=

2,22'522

代入OM-ON=0，得入=("+3)2

“23

与行+(=1联立得：2m2+9m+9=0Mm=-1

此时直线AB也经过点

综上，直线回经过定点[-土，°

【点睛】关键点点睛：

本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程,

利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题.

【变式1-11.(2024.上海.三模)阿基米德(公元前287年一公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、

物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长

22

的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C:二=l(a>6>0)的面积等于2兀，且椭圆C的焦距为26.点P(4,0)、

ab

。(0,2)分别为尤轴、y轴上的定点.

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)点R为椭圆C上的动点，求三角形尸面积的最小值，并求此时R点坐标；

⑶直线/与椭圆C交于不同的两点A、B,己知A关于>轴的对称点为8点关于原点的对称点为N,已

知P、M、N三点共线，试探究直线,是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】⑴工+9=1

4

(2)4-2速,

⑶直线/恒过定点

22

【分析】(1)根据椭圆C的焦距可求出2c,由椭圆C:，+斗=1(。>b>0)的面积等于2兀得如：=2兀，求出,

ab~

即可求出椭圆C的标准方程；

(2)设R(2cos6,sin0)(。为参数)，根据点到直线的距离公式表示出R到直线尸。的距离为

2asin(e+工)-4

,4由正弦函数的性质确定d的最小值，即可求解；

a=------------)=----------

石

(3)设直线/：x=〃zy+f,A区,必),刀(无2，%)，进而写出为M，N两点坐标，将直线/：x=my+f与椭圆C的

方程联立，根据韦达定理求M+%，%，%，由尸、M、N三点共线可知%加=，将M+%，%，%代入并

化简，得到根J的关系式，分析可知/经过的定点坐标.

【解析】(1)由题意知，椭圆的面积知诉=2兀，得奶=2,

ab=2

f—\a=2

又2c=2石，所以<°=百，解得11，

\b=l

〃9=69+c9

所以椭圆C的方程为三+y2=l；

4

(2)由题意得，直线尸。方程为:+]=1,即x+2y-4=0,设R(2cose,sinP)(。为参数)，

则点R到直线尸。的距离为cos。+sin。-4|_2asin(0+-)-4

忑一忑

当sin(d+)1即喧曰"三时，d取得最小值,且最小值为上泮

所以PQR的面积的最小值为治n=:力尸。=:土若-2石=4-20,

22A/5

此时R(s/2,

(3)设直线/：彳=%+"A(和％),8(无2，为)，则N(-x2,-y2),

P、M、N三点共线，得%叫…事=六

%(%+4)+%(占+4)=0,

直线I'.x^my+t与椭圆C交于A,3两点，升=+/,%=my,+1,

y1(my2+t+4)+y2(myl+t+4)=0,:.2myiy2+(t+4)(yl+y2)=0,

2mt

%+%=mT+~47

x=my+1

『一4

由,炉,得(M+4)9+2根Zy+/-4=0,.1

——+y=1

14,

A>0

2mt

y+%=——1―7

m+4

,2—4

光♦%=,2彳，代入2/孙为+1+4)(%+%)=。中，

m+4

m2+4>t2

产一4(2mt

2m——+Q+4)-=0,2根-4)+«+4)(—2根/)=0,

加2+4、\m2+4

8mo+1)=0

当〃z=o,直线/方程为x=r,则M,N重合，不符合题意;

当"-1时，直线/：彳=阳-1,所以直线/恒过定点(T0).

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消

元得到关于X或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个交点横坐标或纵坐标的关系式,

该关系中含有玉々，为+%或％%，%+%，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从

而可求定点、定值、最值问题.

题型02定直线问题

【典例2-1】•（24-25高三上•上海•阶段练习）已知A、3是椭圆氏/+9=1（“>1）的左、右顶点，椭圆£

的长轴长是短轴长的2倍，点"（〃2,0）（〃z>0）与椭圆上的点的距离的最小值为1.

（1）求椭圆的离心率和标准方程；

⑵求点M的坐标；

⑶过点M作直线/交椭圆E于C、。两点（与A、B不重合），连接AC、8。交于点G.证明：点G在定

直线上；

【答案】⑴离心率为标准方程为《+丁=1

24

⑵“（3,0）

（3）证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的几何性质可求出。的值，进而可求得。的值，由此可得出椭圆E的离心率及其标准

方程；

（2）设P（&,yo）,利用两点间距离公式得|尸闾=可/加2+i,然后根据0<加《；、根〉:分类

V4y3J322

讨论求解即可；

（3）设直线/的方程为x="+3,C（%,yJ、与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得

写出直线AC、的方程，进而求解即可；

【解析】（1）由题意可知，椭圆E:[+y2=ig>i）的长轴长为2a,短轴长为2,

由题意可得。=2,则c=y/a2-1=百，

因此，椭圆石的离心率为e=£=走，其标准方程为二+丁=1.

a24

（2）设PQofo）是椭圆上一点，贝1J片+4必=4,

2

因为|PM\=J（心+y；=JXQ—2mx+m+1—322

0=J—x—2mx+m+1

4Q0

2

-；川+（工冗0）

m1-2V2

3/i

若0〈根时，则0<——<2,\PM\.=.l--m2=1,解得m=0（舍去），

23।I1™1A|3

34M?

若机〉一时，则>2,贝-4-4m+m2+1=1,解得机=1（舍去）或加=3,

231lmin74

所以M点的坐标为（3,0）.

（3）设直线/的方程为％=为+3,C&,yJ、£）（莅,%），

x=ty+3

由丁2，得（入4b2+6”+5=0,所以芳+%=-品，%%=六，

----Fy=lt+4t+4

[4'

易知直线AC的方程为尸己(x+2),②

直线3。的方程为了=上7(彳-2),③

X?—Z

x+2=（王+2）%=（9+5）%=3当+5%

联立②③，消去九得④

x-2（%-2）%（优+1）%9跖+%

+%）+5%

x+2

联立①④，消去以为，则卡=-5,

x-2-3（%+%）+%

O

44

解得尤=§,即点G在直线x=1上.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

r2v21

【变式2-1】.(23-24高三下•上海.开学考试)已知椭圆T:力方=l(a>6>0)的离心率为!■，左右焦点分

别为昂B，M是椭圆上一点，|北第|=2,/不明=60。.

(1)求椭圆的方程；

⑵过点N（l,l）的直线与椭圆交于P,Q两点，R为线段PQ中点.

（i）求证：R点轨迹方程为上工+止二D=0；

43

（ii）。为坐标原点，射线OH与椭圆交于点S,点G为直线OR上一动点，且OROGuZOS、求证：点G

在定直线上.

22

【答案】⑴三+匕=1;

43

⑵（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解。=2,

（2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得尺[*22,芈g],从而

即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证.

r

【解析】（1）因为椭圆的离心率为J1，所以上1=解得a=2c.

2a2

因为|幽=2,4M6=60。，\MF^=2a-\MF^=2a-2.

在△两月中，由余弦定理得（2cf=22+（2a—2）2—2x2（2a—2）cos60。，

22

解得。=2,则"="一,2=3,故椭圆的方程为土+2L=I；

43

（2）（i）

当直线尸。的斜率存在且不为。时，不妨设直线尸。的方程为〉=左（％-1）+1,

'—+^=1

联立｛43得（4左2+3）x?-8左（左一1）尤+4（左一1）2-12=0.

y=左1）+1

因N（l,l）在椭圆内，所以直线P。必与椭圆相交.

8M左-1)

设尸（％,乂）,。（%,%）,由韦达定理得玉+马=

4k2+3

所以y+%=%(占_1)+左(/—1)+2=：，2：

因为R为线段PQ中点,

冬，，此时『33

所以在2k=_薪，则%：>=一瓦X.

XR

要证3+3=。，只需证明”=-沪二2

43XR4(%-1)

3[软("1)；

3昌-1)一[#+33_%

而一EF一W访jFF，

4----方-------1

4k2+3

所以R点轨迹方程为可+『=。;

联立|3得尤邛—9

(ii)42=则y2=

3止+34/+3

不妨设5（%,%），所以父=著与，4=族3・

不妨设6(%,九),由OR.OG=2OS2得

4M%-1)3(1-％)(16k29)

G4〃+3，G4V+3(4%2+3