2025年上海高考数学二轮复习大题模拟卷03（题型必刷ABC三组）原卷版+解析

大题仿真卷03（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

*---------A组.巩固提升----------♦>

一、解答题

1.如图，尸为圆锥顶点，。为底面中心，A,B,C均在底面圆周上，且VA2C为等边三角形.

C

（1）求证：平面尸。4_L平面尸BC；

（2）若圆锥底面半径为2,高为2拒，求点A到平面PBC的距离.

2.已知函数〃x）=26sin（f+；）sin（U）-sin（乃+x）,若函数g（x）的图像与函数f（x）的图像关于了轴对

4242

称.

（1）求函数g。）的解析式；

rr

（2）若存在彳可。,^],使等式g2（x）_g（x）+机=0成立，求实数机的取值范围.

3.某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据:

不达标达标合计

男300

女100300

合计450600

（1）完成2x2列联表，根据显著性水平夕=0。5的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？

（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为（，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为：，用

上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测

试，求其体能测试合格的概率；

（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、

数学期望及方差.

附：/=7―八,P(X2^3,841)«0.05.

(Q+b)(c+d)(Q+(?)(/?+d)

22

4.已知椭圆C:土+与=1(0＜。＜2),设过点A(l,0)的直线/交椭圆C于M,N两点，交直线x=4于点P,点

4b-

石为直线x=l上不同于点A的任意一点.

(1)椭圆C的离心率为9，求6的值；

⑵若求6的取值范围；

(3)若6=1,记直线£M,EN,EP的斜率分别为左,右，网，问是否存在K，h，网的某种排列的，ki2,

的(其中{4Z，4={1,2,3},使得的，ki2,如成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；

若不存在，说明理由.

5.记y=f，(x),y=g'(x)分别为函数y=f(x),y=g(x)的导函数.若存在不wR,满足〃%)=g(x())且

,,

/(A0)=g(x0),则称4为函数y=yO)与y=。(久)的一个“S点”.

(1)证明：函数＞=彳与y=/+2x-2不存在“S点”；

⑵若函数＞="2-1与y=lnx存在“S点”，求实数。的值；

2

(3)已知f(x)=-x+a,g(x)=与.若存在实数a＞0,使函数y=f(x)与y=g(x)在区间(2,+“)内存在“S

点”，求实数匕的取值范围.

O----------------B组•能力强化----------♦＞

一、解答题

1.如图，线段AA是圆柱。。1的母线，BC是圆柱下底面。的直径.

(1)若。是弦AB的中点，RAE=^AAl,求证：DE//平面ABC；

(2)若BC=2,NABC=30。，直线AC与平面ABC所成的角为g,求异面直线4。与AB所成角的大小.

2.已知函数>=/(%),记/(%)=sin(G%+0),①>0,。<。<兀，XGR.

⑴若函数y=/(x)的最小正周期为兀，当八刍=1时，求0和。的值；

O

7T

(2)若。=1,(p=~,函数丫=产。)-2/(尤)-“有零点，求实数。的取值范围.

0

3.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量与

标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表：

质量差(单位：mg)5457606366

件数(单位：件)52146253

(1)求样本质量差的平均数元；假设零件的质量差X~N(〃,〃)，其中4=16,用于作为〃的近似值，求

P(56<X<68)的值；

3

⑵已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的；来自第1条生产线.若两条生产线的废品

率分别为0.016和0.012,且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽

取一件.

(i)求抽取的零件为废品的概率；

(ii)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量则

—<//+cr)«0.6827,—2cr<X<//+2cr)«0.9545,P^jU—3cr<X<//+3cr)«0.9973.

22

4.设A,8是双曲线H：=-二=l(a>0,6>0)上的两点.直线/与双曲线”的交点为P,。两点.

ab

⑴若双曲线”的离心率是指，且点在双曲线”上，求双曲线H的方程；

22

(2)设A、B分别是双曲线以：--2=1(。>0,6>0)的左、右顶点，直线/平行于y轴.求直线A尸与8。

cib

斜率的乘积，并求直线AP与2。的交点M的轨迹方程；

(3)设双曲线H：x2-/=l,其中凡一衣1),8(①1),点〃是抛物线C：/=2y上不同于点A、8的动

点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P,直线MB与双曲线H相交于另一点。，问：直线尸。是否恒过

某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

5.设函数/(尤)=ax3-(a+l)4+x,g(x)=fcr+m,其中。20,左,〃zeR,若任意xe[0,l]均有f(x)Wg(x),则

称函数y=g(x)是函数y=/(尤)的控制函数”，且对于所有满足条件的函数y=g(x)在了处取得的最小值记为

(1)若a=2,g(x)=x,试问y=8(》)是否为〉=/(尤)的控制函数”；

(2)若。=0,使得直线、=以元)是曲线y=/(x)在尤=；处的切线，证明：函数y=/7(x)为函数y=/(x)的控制

函数，并求的值；

⑶若曲线y=/(x)在彳=%0(%€(0,1))处的切线过点(1,0),且ce[x0,l],证明：当且仅当C=x0或c=l时,

7(c)=/(c).

0------c组•高分突破-----------O

一、解答题

1.如图，在正四棱锥尸-ABCD中，AB=2,PA=3.

(1)求四棱锥的表面积；

(2)求二面角4-尸3-C的大小.(结果用反三角表示)

2.已知函数y=，O),其中/(》)="(常数a>0且aHl).

⑴若函数y=f(x)的图象过点(2,9),求关于x的不等式/(|2x-l|)>3的解集；

⑵若存在xw(O,l],使得数列41)、/⑻、/(/+2)是等比数列，求实数/的取值范围.

3.某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量

的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列{q},且

%'由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布NJ/。?)，〃近似为抽

取的样本中7个地方人均得分的平均值(得分的平均值四舍五入并取整数).

⑴利用正态分布的知识求尸(113<%<143)；

(2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案：

方案一：(i)得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

(ii)每次获赠的随机话费和对应的概率为

获赠的随机话费(单位：元)|50|100

概率2

44

方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷

调查的市民可选择其中一种奖励方案.

①市民小李参加了此次问卷调查，记x(单位：元)为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数

学期望；

②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关

知识为小李作出决策.

(附：若Z~N(〃,CT2),则尸(〃一cr<Z<〃+cr)=0.6827,P(〃-2b<Z<〃+2b)=0.9545,

P(〃-3cr<Z<〃+3cr)=0.9973)

2

4.已知双曲线--二=1的左、右顶点分别为A、B,设点尸在第一象限且在双曲线上，。为坐标原点.

2

(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；

⑵若PA.尸849,求网的取值范围；

(3)椭圆C的长轴长为2&，且短轴的端点恰好是A、B两点,直线针与椭圆的另一个交点为。.记POA、

的面积分别为跖、邑.求的最小值，并写出取最小值时点尸的坐标.

5.若函数y=在x=x0处取得极值，且〃%)=加0(常数XeR),则称/是函数y=的“2相关点”.

⑴若函数"/+2了+2存在“彳相关点”，求;I的值；

(2)若函数y=A^-21nx(常数％eR)存在“1相关点”,求上的值：

⑶设函数y=F⑺的表达式为〃力=加+6尤2+cx(常数以b、cwR且。片0),若函数y=f(x)有两个不

相等且均不为零的“2相关点”，过点尸(1,2)存在3条直线与曲线y=〃x)相切，求实数。的取值范围.

大题仿真卷03（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

♦>-------A组.巩固提升----------O

一、解答题

1.如图，P为圆锥顶点，0为底面中心，A,B,C均在底面圆周上，且VABC为等边三角形.

（1）求证：平面PQ4_L平面P2C；

⑵若圆锥底面半径为2,高为2夜，求点A到平面尸BC的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵2血

【分析】（1）连接尸。,4。，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得.

（2）连接作于证明AH_L平面尸BC,再计算A"即得.

【解析】（1）连接尸O，AO交BC于点由VABC为等边三角形，得。是VABC的中心，则AOLBC,

而尸O_L平面ABC,BCu平面ABC,则PO/3C,又尸OAO=O,PO,AOcABC,

因此2C_L平面PQ4,又3Cu平面P2C,

所以平面POA±平面PBC.

（2）连接尸作于由（1）知BC_L平面PQ4,AHu平面PQ4,则3C_LAH,

而BC9=朋;3。,曰0（=平面尸3（；,则A”_L平面尸3C,

显然MO=gAO=l,P0=2立，则PM=JPO2+A/O2=3=AM，

而/AMH=/PAfO,于是Rt^AWgRtPMO,因此A8=PO=20，

所以点A到平面PBC的距离为2夜.

2.已知函数/(%)=26sin(f+：)sin(f--sin(乃+x),若函数g(x)的图像与函数/(x)的图像关于，轴对

4242

称.

(1)求函数g(x)的解析式；

-TT

(2)若存在xe[O,R,使等式g“x)-g(x)+机=0成立，求实数机的取值范围.

JT1

【答案】(1)g(x)=-2sin(x--);(2)[-2,-].

【分析】⑴化简得/(x)=2sin(x+*再利用对称性求出函数g(x)的解析式；

(2)先求出g(x)w[-l,V5b再换元，令l=g(x),我，等价为加=一/+/在此[_1,6]上成立，求出

二次函数的最值即得解.

【解析】(1)/(元)=2A/^sin(?++cos(?+?+sinx=\/§'sin(5+x)+sinx=sinx+石cos龙

=2sin(x+$

由于函数g。)的图像与函数fa)的图像关于y轴对称，

设g(x)上任一点P(X,y)关于y轴对称的点P'(-x,y)在y=/(%)的图像上，

TTTT

即g(x)=2sin(-x+§),故g(x)=-2sin(x-9)；

TT

(2)因为兀£[0,耳],

所以<X--<sin(x--)<—-2sin(x--)<6

3362323

所以g(x)£[―1,,令，=g(x),tG[―1,\/3]

则等式g2(x)-g(x)+机=0成立等价为机=-〃+£在力£[-1,村上成立,

m=-t2+t=-(/t——h)+1-,

24

11

当/=-1时，机取得最小值-2；当，=大时，加取得最大值;，

24

故机得取值范围是[-2,」

4

3.某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据:

不达标达标合计

男300

女100300

合计450600

⑴完成2x2列联表，根据显著性水平c=005的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关?

42

(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为:，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为：，用

上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测

试，求其体能测试合格的概率；

(3)在(2)的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、

数学期望及方差.

n^ad-bcy

2P(%2>3.841)«0.05.

附:,(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平a=0。5的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.

(3)分布列见解析，数学期望为得，方差为亮

【分析】(1)根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可.

(2)根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的

思想可得当地全体居民体能测试合格的概率.

(3)由题意随机变量X=0,1,2,3,且由(2)X~B[3，U故根据二项分布概率公式即可求得X的每一

个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.

【解析】(1)根据数据补全2x2列联表如下：

不达标达标合计

男50250300

女100200300

合计150450600

零假设4：体育锻炼达标与性别无关,

600(50x200-100x250)2

由表格数据得/=—«22.222>3.841，

300x300x150x4509

因为尸23.841）=0.05,

所以推断Ho不成立，依据显著性水平a=0.05的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.

（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为照=：,

6004

记事件A="从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，

ra«P（A）=-3x-4^l，--3j、x-？=-7.

（3）由题意X=0,1,2,3,当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即*~8[3,1），

所以尸(x=o)=[i_.27189

WOOWOO

441_啕7丫_343

woo'(〔KJIOOO'

所以X的分布列为:

X0123

27189441343

P

1000100010001000

则E(X)=H/7=3XN=包；D(X)=np(l-/?)=3x—X—=

V71010(J八〜io10100

22

4.已知椭圆呜+/1（。〈…，设过点胡。）的直线,交椭圆C于N两点，交直线I于点尸，点

石为直线x=l上不同于点A的任意一点.

（I）椭圆C的离心率为求，的值；

⑵若|A"|21,求6的取值范围；

（3）若6=1,记直线EN,的斜率分别为匕,k2,白，问是否存在匕,Q匕的某种排列册,

心（其中。={1,2,3},使得的，峪，心成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明;

若不存在，说明理由.

【答案】⑴6

⑵[立2）

（3）九，&,月或《，匕，匕成等差数列

【分析】（1）根据题意可得。=2,结合e=£c==1,求得c,进而求得8；

a2

(2)设点/(%,%),表示出结合可得玉W用二，结合-2《占《2可得不等式，即可求得答

4—Z?

案；

(3)设点E(1J),"0,①若直线/斜率为0,直接验证；②直线/斜率不为0,设直线/：x="y+10w0),

3

/\/、■,Vi—t,yo-t---1

/(%,/),N(/,%)，则％=、，右=一，,_m与椭圆方程联立，结合韦达定理求

石—1%-1K3~一———；

33m

解.

【解析】(1)由题意知，a2=4f故。=2,

c1______

又离心率0="=5，故C=l,于是6=J/_02="

22

(2)设点”(冷乂)，其中a+与=1,一24七42且无产1,

4b

2

贝ij|AM|=JET)?+y；=J(X]—以+—一%卜-2xt+b+1,

由得[—2占+/=(%一2)—qjx]—g>0,

.'^<2,0<b<2,：.^-2<0,1一/>0,./l-与百一440,；.X<^L,只需

414尸214-b24-b2

又0<b<2,故046<2，

所以b的取值范围是[点,2).

(3)尢，k3,右或k°,k3,6成等差数列，证明如下：

若6=1,则C:工+丁=1,设点灰1J),20.

①若直线/斜率为0,则点尸(4,0),不妨令点用(2,0),N(-2,0),

则％=V,k2=1,&=-；，此时勺，右，心的任意排列的，%,心均不成等比数列，%,质,网或％2,

%,九成等差数列.

②直线/斜率不为0,设直线/：》=冲+1(祖力0),加(冷乂)，Ngy),则点尸,]],

由,兀22得(加之+4)y2+2冲一3=0,A=]6(加+3)>0,

—+/=1

14J

.Vi—t.%—t---f

因为勺=7，无2=7,7m3—mt,

x-1x-1=----=-----

129333m

所以《+上2=^^+且7=/一+--

xi-\x2-1myxmy2

二%(%-，)+%(%一)=2yly2T(%+%)

映必冲i%

-62mt

_疗+4/+4_62mt_

3，

一Tm-3m~

m2+4

所以a,网，网或后，匕，《成等差数列.

综合上述，院,k3,心或％2，&，K成等差数列.

【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线/斜率为0

时，直接验证尤，/，履或K，右，左成等差数列；直线/斜率不为0时，结合直线方程联立椭圆方程，利

用根与系数的关系结合进行化简验证.

5.记y=/，(x),y=g'(x)分别为函数y=/0),y=g(x)的导函数.若存在%eR,满足〃%)=g(%)且

/'(%)=g'(/),则称/为函数y=f(x)与y=爪久)的一个“S点”.

(1)证明：函数＞=兀与y=/+2x-2不存在“S点”；

⑵若函数y=o%2-1与y=lnx存在“S点”，求实数。的值；

加X

(3)己知/(x)=-X2，g⑴=.若存在实数＞o,使函数y=与y=。⑺在区间⑵+力)内存在“S

点”，求实数6的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)a=t

27

⑶6e(-r，0)

e

【分析】(1)求导，假设存在“S点”与,解方程组可得结论;

(2)求导，设“S点”为％,解方程组得结论.

/(x0)=g(x0)

(3)设“S点''为七,由＜用玉表示出。涉,由a＞0求得M的范围，利用导数求得6的范围.

「伉)=，(%)'

【解析】(1)因为y=x,y=x2+2x-2,则y'=l,y'=2x+2,

假设存在函数＞=x与y=/+2x-2存在“S点”

即存在与满足r°1”+：龙。-2,方程组无解,

所以函数丁=元与y=f+21—2不存在"S点

(2)因为y=a%2-1与y=inx,则？=2改与y=’,

x

ax：-l=lnx°毛二丁：

设“S好点”为％,x°满足<1,]°，

2axn=­e

所以

(3)由已知/'。)=一2无，g，Q)=bxe\[be6(x-l)e*

f(%)=g(%)

依题意可得：存在%«2,+8)满足，代入得

x

fM=g'(oy

尤沁0-3)

LL-

—

Xn1

解得3，

b=——

x

(l-x0)e«

由°=，片513)>0,又%>2,故解得%>3,

令泯好=小，(无23),则〃(x)=2(,一1+?>0,/z(x)在(3,+s)上增函数,

(l-x)e(1-x)e

27

/z(3)=--r,时，Kx)<0,且当九f+8时，%(%)-0,

所以人(X)£[—下,0),即b£(——,0).

ee

【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数”x),g(x)的“好点”

f/(Xn)=g(%o)

%,实质就是解方程组，」、，因此凡是出现“S点解题时就是由此方程组求解.这样就把新

定义转化一般的函数及其导数问题.

B组•能力强化

一、解答题

1.如图，线段&A是圆柱。。1的母线，BC是圆柱下底面。的直径.

(1)若。是弦AB的中点，MAE=1A41,求证：OE//平面ABC；

(2)若BC=2,/ABC=30。，直线AC与平面ABC所成的角为g冗,求异面直线4。与A3所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)arccos^-

4

【分析】(1)证明。E〃A3,再根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)取线段AC的中点尸，连接耳尸,。尸，证明OF//AB,则ZA.OF即为异面直线相与A0所成角，证明J_

平面AAC，再解Rt^A。尸即可.

【解析】(1)因为。是弦A3的中点，

且AE=；A4j,可知E是线段AA的中点，

故在AA8中，OE为边AB的中位线，

则DE//AB,又A8u面A8C,且直线OE不在面ABC,

则OE//平面ABC；

(2)取线段AC的中点尸，连接A尸。尸，

在VABC中，线段OR是A8的中位线，

故OF//AB,则ZA.OF即为异面直线AB与4。所成角，

由题意知，AC=1,AF=-,AB=y/3,OF=-AB=^-,

222

因为胡_L平面A5C,ABu平面ABC,

所以AAJAB,

因为BC是圆柱下底面。。的直径，所以人AC,

又441cAe=A,A4，ACu平面A4。，所以AB,平面"C,

所以8,平面44(,

又因A尸u平面"C,所以。尸，4尸，

在Rt^AA。77中，CA=—,故A4J=J5,故4。=J4A?+AO?=2,

故cos/4OF=*=9，

则异面直线\O与AB所成角的大小为arccos立.

2.已知函数y=/(x),记/(x)=sin(G%+0),①〉0,0＜。＜兀，XGR.

⑴若函数y=/(x)的最小正周期为兀，当八点=1时，求①和。的值；

JT_

(2)若G=1,(p=z函数y=/2(%)—2/(%)-〃有零点，求实数。的取值范围.

6

【答案】⑴。=2,4JT

6

⑵ae[-1,3]

【分析】(1)利用三角函数的周期公式求得。，再利用三角函数的值域与周期性求得。，从而得解；

(2)根据题意，利用换元法将问题转化为r一2/-。=0在无e[-M]有解，从而利用参变分离法或二次函数

根的布分即可得解.

2兀

【解析】(1)因为函数y=/(x)的最小正周期三=兀，所以。=2,

(D

则当尤=.时，sinf|+^j=l,

所以一+0=2E+—(ZEZ),得°=2E+—(左eZ),

326

7T

因为0<9<兀，所以取左=0得夕=工，

O

(2)解法一：

当°=1,时，/(x)=sin^x+^,xeR,

设f=/(x)=sinde[-l,l],

由题意得，尸-2f—4=0在有解^化简得。=产一2%

又g⑺=〃-2/=("厅-1在fe[-1,1]上单调递减,

所以-lWg(t)V3,则ae[-l,3].

解法二：

当0=1,0=｝时，"x)=sinXGR,

6

设f=〃x)=sinx+聿

由题意得，/一2/-。=0在有解,

记〃(0=产一2/-。，对称轴为f=l,

[A>0[4+4tz>0

则由根的分布可得b(T纣即[(-1)2-2•(-1)-/。

解得一lWa43,

所以

3.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量与

标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表：

质量差(单位：mg)5457606366

件数(单位：件)52146253

⑴求样本质量差的平均数元；假设零件的质量差X~N(〃02),其中〃=16,用亍作为〃的近似值，求

P(56<X<68)的值;

3

⑵已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的;来自第1条生产线.若两条生产线的废品

率分别为0.016和0.012,且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽

取一件.

(i)求抽取的零件为废品的概率；

(ii)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量X~N(〃,/)，则

P^jU—tT<X<〃+cr)Q0.6827,P(/z—2cr<X<〃+2o■卜0.9545,P(/z—3cr<X<〃+3o■卜0.9973.

【答案】⑴I=60，尸(56<X<68)=0.8186

⑵(i)0.015；(ii)0.8

【分析】(1)先求出无，再利用正态曲线的对称性求解；

(2)(i)利用全概率公式求解；(ii)利用条件概率公式求解.

x=54x5+57x21+60x46+63x25+66x3

【解析】(1)由题意可知=60

100

则X〜N(60,16),

所以P(56<X<68)=P(60—4<X<60+4x2)

=耳尸(〃一<T<X<〃+。)+耳尸-2(rvX<〃+2。)

」X0.6827+-X0.9545=0.8186；

22

(2)(i)设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，

事件与表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，

事件B2表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，

31

则P(g)="P(B2)=~,尸(A|4)=0.016,P(A|B2)=0.012,

31

所以尸(A)=P(B])P(A|4)+P(B2)P(A|B2)=-^X0.016+-X0.012=0.015；

(ii)因为P(AI瓦)=勺察，

3

所以尸(ABj=P(A|4)P(耳)=0916x7=0.012,

所以P(A|A)=&，p="U=0.8.

m/v17P(A)0.015

22

4.设A,8是双曲线反：，-斗=l(a>0,6>0)上的两点.直线/与双曲线”的交点为P,。两点.

cib

⑴若双曲线X的离心率是G，且点在双曲线”上，求双曲线H的方程；

22

(2)设A、B分别是双曲线H：=-4=1(。>0,6>0)的左、右顶点，直线/平行于y轴.求直线AP与8Q

斜率的乘积，并求直线AP与3。的交点M的轨迹方程；

⑶设双曲线H：x2-/=l,其中川-衣1),网应,1),点M是抛物线C：必=2、上不同于点A、2的动

点，且直线K4与双曲线H相交于另一点P,直线KB与双曲线H相交于另一点。，问：直线P。是否恒过

某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由.

2

【答案】⑴/一二=1

2

h2X2V2

(2)kAPkBQ=—+tr=l'孙NO

aab

⑶直线PQ恒过定点为(O,T),

【分析】(1)根据所给条件得到关于/、〃的方程组，解得即可；

(2)设西>a或尤1<-a),M(x,y),则。(％,-乂),表示出％,kBQ,利用点在双曲线上得到七,演°,

再由三点共线得到为=《，》="，代入双曲线方程，整理可得；

XX

⑶设M小,％乂无0r±@,P（xp,yp）,。（尤°,%）则无；=2%,即可得到北、8Q的方程，表示出尸、Q,

根据对称性定点在,轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可.

[22_

/一3一1

212

\=c，所以双曲线方程为尤2-21=1;

{b-=22

c2=a2+b2

（2）设P（芯，％）（玉或王<一。），则M（x,y）,A（-<z,O）,3（。,0）,

则3；小”二所以"\";J

q2-a2，

又与一"=1,即犬

abQ?

b2^-a2）

所以左k_一才_“2_芹,

%1—a玉_Qa

则AM=（x+a,y）,”=（%+〃,%）,

由A,M,P三点共线得：a+a）y=x（%+4）；

又BM=（%-«,y）,3Q=（玉一。，一%）,

由3,M,。三点共线得：（玉一。”=一切（％-〃），

a1ay

「•玉=—，％=——，

X%

X；

/一铲

22222

.•:一嗅=1,即日2一,2尸=祗2,则♦+马=1,S，wO）,

xxbab

22

•・・直线AP与直线8。的交点"的轨迹的方程为工+与=1,孙wO；

ab

（3）设M（%,%乂尤0力±忘），P（xp,yp）,。（尤则片=2%,

直线AP：y=矢也（x+g+1,即y与-^/2\/2x

---x+---0-;

22

直线BQ：»=*手[一加）+i,即y=2+V2A/2X

x.0

22

XO--J1y/2x0什6丫）

由7_2x2得-1x

x2-y2=1，

X0+2YPx；+2

所以XPXA=->/2x=2

p7----Fv-，即30—ET则”

(x-V2)-44-

0(…广

-XQ+2^/2xo+2

(%+&)-4

由对称性知，若过定点，则定点在y轴上.

取“（o,o）,可得p（在T，e（-A-i）,则直线尸。：—过点（0,-1）.

下证明直线尸。恒过定点为（0,-1）.

JF+1_4^x0y°+l_4以彳口%+1_%+1

出XpV2（x^+2）-x00（片+2）传XpxQ

所以直线尸。恒过定点为（0,-1）.

（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研

究出变化的量与参数无关，从而找到定点；

（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该

定点；

（3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，

从而确定证明方向再加以证明.

5.设函数/。）=以3_（4+1）尤？+x,g（无）=丘+〃2,其中若任意xe[0,l]均有/（x）Vg（x）,则

称函数y=g（x）是函数y=/（X）的控制函数”，且对于所有满足条件的函数y=g。）在x处取得的最小值记为

7w.

(1)若a=2,g(x)=x,试问y=g(x)是否为y=/(元)的控制函数”；

(2)若。=0,使得直线y=/?(x)是曲线y=f(x)在尤=1处的切线，证明：函数y=/z(x)为函数y=/(x)的控制

4

函数，并求“U”的值；

⑶若曲线y=/(x)在苫=%(%€(0,1))处的切线过点(1,0),且ce［x0,l］,证明：当且仅当c=x0或c=l时，

7(c)=/(c).

【答案】⑴y=g。)是y=f(x)的控制函数

(2)证明见解析，彳!］=怖

(3)证明见解析

【分析】(1)令见x)=f(x)-g(x),利用导函数求单调性进而判断机⑴在［0,1］上的正负即可；

(2)利用导数的几何意义求得切线〃(x)的方程，再利用导函数求单调性进而判断了(x)-g(x)在［0,1］上的正

负即可；

(3)设曲线y=f(x)在x=Xo(Xoe(O,l))处的切线为©),利用切线过(1,0)求出/与。的关系，再利用控制

函数的定义求解即可；

【解析】(1)当a=2,g(x)=x时，令根(无)=/(元)-g(x)=2元3-3炉，

所以w/(%)=6x2-6x=6x(x-1),令m(x)=0解得x=0或1,

所以机(x)在(0,1)单调递减，

又因为机(0)=0,所以加⑴在［0J上小于等于0恒成立，

即/(x)<g(尤)在［0,1］上恒成立，所以由题意y=g(x)是y=f(x)的控制函数.

(2)当。=0时，/(x)=-x2+x,/'(X)=-2x+1,

所以心=3

所以曲线丁=/(尤)在x=J处的切线为y—m，整理得力。)=£+4，

41b八4/216

〃(%)—f(%)—/z(x)=_Y+—%一'贝U"(%)=—2x+~,

令〃(x)=0解得x=；,所以”(x)在(0,：|单调递增，在单调递减，

又“；|=0,所以以x)在。1］上小于等于0恒成立，

即/(%)<h(x)在［0,1］上恒成立，所以y="无)是y=/(x)的控制函数，

(3)由题意/(x)=ax3—(a+l)x2+x,f'(x)=3ax2—2(a+l)x+1,

设V=/(元)在Xu与®e(O,l))处的切线为*x),

则f(x)=/(%)(尤一%)+/(%),因为f(x0)=/(x。)，，⑴=0且/⑴=。,

所以/'(毛)=3吠一2(4+1)尤o+l=>/'(尤0)。-尤0)=/(1)-/(毛)=尤0(60-1)。一尤0),

I1(1)1

心”焉七*广。=五

=>-2(〃+1)X。+1=ax1-x0=>(2QX0-1)(X0-])=0,X0

所以((%。)=3aXg—2(«+l)x0+l=3a+1=-—