2025年浙江中考数学二轮复习：三角形的综合问题（8个考点8个题型）原卷版

专题五几何图形的性质与判定的综合问题

第07讲三角形的综合问题（思维导图+8考点+8种题型）

01考情透视•目标导航

02知识导图•思维引航

03核心精讲•题型突破

考点一、全等三角形的性质与判定

题型01、全等三角形的性质与判定的综合

考点二、等腰三角形的性质与判定

题型02、等腰三角形的性质与判定的综合题

考点三、相似三角形的性质与判定

题型03、相似三角形的性质与判定的综合

考点四、（尺规）作图背景下三角形

题型04、（尺规）作图背景下三角形性质应用

考点五、三角形背景下的轴对称问题

题型05、三角形背景下的轴对称问题

考点六、三角形背景的旋转问题

题型06、三角形背景的旋转问题

考点七、三角形背景下的平移问题

题型07、三角形背景下的平移问题

考点八、函数与三角形的综合问题

题型08、函数与三角形的综合问题

考情透视•目标导航

中考考点新课标要求命题预测

1、①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、在中考中，全等三角形主要以选择题、

角平分线等概念，了解三角形的稳定性。填空题和解答题的简单类型为主，常结

②探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推合四边形综合考查.

论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的

和。等腰三角形重在掌握基本知识的基础上

③证明三角形的任意两边之和大于第三边。灵活运用，也是考查重点，年年都会考

④理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的查，最为经典的“手拉手”模型就是以

对应边、对应角。等腰三角形为特征总结的.而数学中考

2、掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个中，等腰三角形单独出题的可能性还是

三角形三角形全等。比较大的，多以选择填空题型出现，但

⑥掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三是因为等腰三角形可以放在很多模型，

角形全等。所以等腰三角形结合其他考点出成压轴

②掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全题的几率特别大，所占分值也是比较多，

等。属于是中考必考的中等偏上难度的考

证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相

等的两个三角形全等。直角三角形在中考中一直是较为重要的

理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质几何考点，考察难度为中等偏上，常考

定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，考点为:直角三角形的性质定理、勾股定

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，

@理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂特别是含特殊角的直角三角形，加是考

直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线察的重点出题类型可以是选择填空题这

段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的类小题，也可以是各类解答题，以及融

点在线段的垂直平分线上。合在综合压轴题中，作为问题的几何背

@理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形景进行拓展延伸结合以上考察形式，需

的版定理:要考生在复习这一模块时，准确掌握有

等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线关直角三角形的各种性质与判定方法，

及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定以及特殊直角三角形常考的考察方向。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索

等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于

60%探索等边三角形的判定定理：三个角都相等

的三角形（或有一个角是60。的等腰三角形）是等

边三角形。

理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的

性质定理：

直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形

是直角三角形。

探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些

简单的实际问题。

@探索并掌握判定直角三角形全等的"斜边、直角

边"定理。

了解三角形重心的概念。能用尺规作图：已知三边、

两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边

及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜

边作直角三角形。

知识导图•思维引航

题型01、全等三角形的性质与判定的综合

核心精讲•题型突破

考点一、全等三角形的性质与判定的综合问题

题型01、全等三角形的性质与判定的综合问题

真题研析

1.（2023・浙江绍兴•中考真题）如图，在VABC中，A8=AC=2g,NBAC=120。，点。，E都在边BC上,

ZZME=60°.若BD=2CE,则DE的长为（）

A.3+6B.3A/3-3C.2若-1D.3石-4

2.（2023•浙江台州•中考真题）如图，锐角三角形ABC中，AB=AC,点。，E分别在边AB,AC上，连

接BE,CD.下列命题中，假俞博是（）.

A.若CD=3E,则ZDCB=NEBCB.若NDCB=NEBC,则CD=3E

C.若&D=CE,则NOCB=N£BCD.若NDCB=NEBC,则8D=CE

3.（2023•浙江・中考真题）如图，在VAOB与△<%>£>中，ZA=ZC,请添加一个条件，使得

△AOB94COD.

4.（2023•浙江衢州•中考真题）已知：如图，在VABC和/比产中，B,E,C,尸在同一条直线上.下面四

个条件：®AB=DE；®AC=DF-③BE=CF；®ZABC=ZDEF.

（1）请选择其中的三个条件，使得AABC公△DEF（写出一种情况即可）;

(2)在(1)的条件下，求证：△ABC四△DEF.

命题预测

5.(2025•浙江•模拟预测)如图，在VA3C中，ZB=40°,ZC=25°,过点A作凡DI3C,垂足为。，延

长D4至E.使得AE=AC.在边AC上截取诙=AB,连结EA

(1)求/及LF的度数.

(2)求证：EF=BC.

6.(2025•浙江杭州•一模)如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作等边三角形

ABC和等边三角形CDE,与BE交与点。、AD与BC交于点P、BE与CD交于点Q.

(1)AD=BE；

(2)CPQ是等边三角形

7.(2023•浙江•模拟预测)如图，在VABC中，AOAB,射线AO平分4AC,交BC于点、E,点厂在边AB

的延长线上，AF^AC,连接EF.

C

(1)求证：△AEC丝△AEF.

⑵若/AEB=50。，求ZB印的度数.

8.(2023•浙江杭州•模拟预测)如图，在VABC中(AB<BC),过点C作CD〃AB,在CD上截取CD=C3,

CB上截取CE=M,连接£>E,DB.

(1)求证：ABC空ECD.

(2)若ZA=90°,AB=3,CD=5,求8。的长.

考点二、等腰三角形的性质与判定的综合问题

题型02、等腰三角形的性质与判定的综合问题

真题研析

9.（2024•浙江・中考真题）如图，D,E分别是VABC边AB,AC的中点，连接BE,DE.若

AAED=NBEC,DE=2,则郎的长为

10.（2023•浙江・中考真题）如图，在VABC中，AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点、E,ZB=ZADB.若

AB=4,则。C的长是.

11.（2022•浙江嘉兴・中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上—填上

一个适当的条件.

A

A

12.（2023・浙江湖州•中考真题）如图，在VABC中,AB=AC,4。人8C于点。，点E为的中点，连

结。E.已知BC=10,AD=12,求的长.

13.（2023•浙江宁波・中考真题）在4x4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）.

（1）在图1中先画出一个以格点尸为顶点的等腰三角形上4B,再画出该三角形向右平移2个单位后的△PAS'.

（2）将图2中的格点VABC绕点C按顺时针方向旋转90。，画出经旋转后的△A'3'C.

命题预测

14.（2024•浙江宁波•一模）如图，在三角形ABC中，过点5,A作BOLAC,AE1BC,BD,AE交于

点尸，若/54C=45。，AD=5,CD=2,则线段8尸的长度为（）

A

L5

A.2B.3^2-2C.3D.-

15.（2024.浙江.模拟预测）如图，在等边VABC中，过点A作AD〃5C,在射线AD上取一点尸，连接依

和尸C.设登的最大值为。，最小值为。，则必的值为（）

A.1B.-C.BD.J3

33

16.（2025・浙江宁波•一模）如图，在ABC中，BD1AC于点D,BD=1,/A=45。，4=30。，则

17.（19-20八年级上•河南新乡•期中）如图，在VABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，连接AD,BE

平分/ABC交AC于点E.

（1）过点E作EF〃3C交AB于点R求证：FB=FE.

⑵若NC=36。，求NMD的度数.

18.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，在VABC中，AC>AB,在AC上取点。使得AD=AB,连结BO,

过点A作AELBD,垂足为E,延长AE交BC于点b，连结OF.

D

E

BFC

(1)求证：VBDR为等腰三角形；

⑵若/C=30。，ZG4F=45°,DF=2,求AB的长.

19.(2021.浙江杭州.模拟预测)如图，在VA2C中，AB=AC,ADIBC^D,作OE1AC于E,尸是A8中

点，连EF交AD于点G.

⑴求证：AD2=ABAE;

(2)若AB=5,AE=4,求DG的值.

20.(2024.浙江.模拟预测)如图，VABC是等腰三角形，AB=AC.设/BAC=c.

图1图2

(1)如图1,点。在线段A3上，若/ACD+NB4c=45。，求/DCS的度数(用含。的代数式表示).

(2)如图2,已知AS=AC=3。.若NAB£>+NBAC=18O。，过点B作邮工AD于点H,求证：BH=^BC.

21.(2022•浙江宁波•一模)如图，VABC中，ZB=ZC=30°,"EF=3O。，且点E为边BC的中点.将NDE尸

绕点£旋转，在旋转过程中，射线OE与线段相交于点P,射线E尸与射线C4相交于点Q,连结PQ.

图1备用图

⑴如图1,当点。在线段C4上时，

①求证：BPES"Q；

②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；

(2)当△AP。为等腰三角形时，求穿的值.

Dr

22.(2018•陕西西安・一模)如图，在VABC中，ZACB=90°,ZASC=30°,CDE是等边三角形，点。在

边上.

(1)如图1,当点E在边BC上时，求证DE=EB

(2)如图2,当点E在VABC内部时，猜想EO和仍数量关系，并加以证明；

(3)如图3,当点E在VA3C外部时，EHLAB于点H,过点E作GEAB,交线段AC的延长线于点G,

AG=5CG,BH=3,求CG的长.

23.(2024・浙江绍兴•二模)如图，锐角VABC中，A3=AC,点。在43上，DESAC交AC于点E,连接

CD,NCDE=/B.

(1)特例探索：如图1,若NA=60。，求NA8的度数；

(2)类比迁移：如图2,若NA=a,求NACD的度数(用含a的代数式表示);

(3)拓展提升：在图2中，猜想8。与AE的数量关系，并给出证明.

考点三、相似三角形的性质与判定的综合问题

题型03、相似三角形的性质与判定的综合问题

真题研析

24.（2023•浙江・中考真题）如图，点尸是VABC的重心，点D是边AC的中点，PE//AC交于点E,DF//BC

交EP于点F,若四边形CDEE的面积为6,则VA3C的面积为（）

A.15B.18C.24D.36

25.（2023•浙江绍兴・中考真题）如图，ACD中，AD=M,CD=a,BC工AC于点、C,AC=2BC,则的

最大值为.

26.（2023•浙江衢州•中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，ZACB=90°（AC<BC）,

四边形ACDE,CBFG是正方形.过点C,8将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分,

并与正方形ACDE,VA3C拼成图2.

C

G

⑵右而F,则通=

27.（2005•浙江台州•中考真题）如图所示，在4x4的正方形方格中，VABC和』）EF的顶点都在边长为1的

小正方形的顶点上.

(1)填空：ZABC=

（2）判断VABC与DER是否相似？并证明你的结论.

28.（2022•浙江嘉兴・中考真题）小东在做九上课本123页习题：“1：&也是一个很有趣的比.已知线段48

（如图1）,用直尺和圆规作上的一点P,使AP：A3=l：后.”小东的作法是：如图2,以AB为斜边

作等腰直角三角形ABC,再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P,点P即为所求作的点.小

东称点P为线段AB的“趣点”.

图1B

（1）你赞同他的作法吗？请说明理由.

（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP,点。为线段AC上的动点，点E在的上方，构造

DPE,使得「DPEsqCPB.

①如图3,当点。运动到点A时，求/CPE的度数.

②如图4,DE分别交CP,CB于点、M,N,当点。为线段AC的“趣点”时（CD<A。），猜想：点N是否为

线段ME的“趣点”？并说明理由.

29.（2023•浙江衢州•中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行

的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.

素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n,测得对应行的“E”形图边长灰mm）,

在平面直角坐标系中描点如图1.

探究1检测距离为5米时，归纳w与6的关系式，并求视力值L2所对应行的“E”形图边长.

图1

素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角。，视力

值〃与分辨视角。（分）的对应关系近似满足“=4（0.5V，W10）.

探究2当“21。时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角。的范围.

素材3如图3,当。确定时，在A处用边长为4的I号“E”测得的视力与在B处用边长为打的H号“E”测得的

视力相同.

探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长.

命题预测

30.（2025•浙江宁波•一模）如图，在VABC中，ZACB=90°,/ABC=30。，AC=1,点N是BC边上

BN

的一点，且—=2,点M是AC边上一个动点，连接以为直角边，点M为直角顶点，在MN

CN

的左侧作等腰直角三角形MVQ,则CQ的最小值是（）

31.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，VA3C中，AB=AC,BC=4,高线AO的长为加，腰AC上的中线

8M的长为"，过M作MVLBC于N点，则"Z，”之间的数量关系式为（）

A.rr—m1+16=0B.rrr—4??2+36=0

C.%2+〃2_24=oD.m2+4«2-20=0

32.（2024・浙江•模拟预测）如图，。是VABC的边48上一点，且AD:O3=2:1,过点。作DE〃BC,交AC

于点、E,取线段AE的中点R连接DF.若止=4,则VABC中AC边上的中线长为（）

33.（24-25九年级上•浙江嘉兴・期末）如图，VABC的两条中线AE,BO相交于点M,过点。作印）〃3（7交

AE于点"，则翳的值为

34.（2024•浙江宁波•二模）己知在等腰7ABe中，AB=AC,E是BC的三等分点且靠近点8,F是AC

的中点，过点C作CD〃AB交EF延长线于点。.

⑴求EF:DF的值；

（2）连接AE,若ZDEA=NB,BE=2,求AE的值.

35.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，在Rt^ASC中，ZC=90°,过点E作ED_LAB,垂足为O.

⑴若AB=10,AC=8,AE=5,求AO的长；

（2）连接8E,若CEBsCBA,且CE=1,AE=3,求DE的长.

36.（2018•浙江杭州•一模）如图，在VABC中，AO是角平分线，点E在边AC上，且AD?=钻.筋，连接.

37.（22-23九年级上•四川成都・期中）如图，在Rt.ABC中，ZACB=90°,CD是VABC的中线，作A^_LCD

于尸，作FE〃BC交BD于E.

（1）求证：AACF^ABAC；

（2）若AC=10,CF=6,求5D及砂的长.

38.（2024•浙江杭州•模拟预测）如图，D,E为,GCF中G歹边上两点，过。作ABCP交CE的延长线于

点A,AE=CE.

⑴求证：ADEWCFE；

(2)若比)=1,GB=2,BC=3,求AB的长.

考点四、（尺规）作图背景下三角形性质综合应用

题型04、（尺规）作图背景下三角形性质综合应用

真题研析

39.（2023•浙江衢州•中考真题）如图，在VABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交48,AC

于点。，E.分别以点。，E为圆心，大于goE长为半径画弧，交于ZB4c内一点连结,并延长，交.BC

于点G.连结DG,EG.添加下列条件，不能使5G=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.ZDGB=ZEGCD.AG=AC

命题预测

41.（2024•浙江金华•模拟预测）如图，已知NAO3=90。，根据尺规作图痕迹，能得出ZAOC=45。的是（）

A.①③B.①②C.②③D.①②③

42.（2024•浙江杭州.二模）利用尺规作图，过直线A3外一点P作已知直线48的平行线.下列作法错误的

43.（2022•浙江衢州•中考真题）如图，在VABC中，AB=AC,ZB=36°.分别以点4C为圆心，大于

的长为半径画弧，两弧相交于点D,E,作直线OE分别交AC,BC于点EG.以G为圆心，GC长为半

径画弧，交BC于点H,连结AG,A”.则下列说法专肯误的是（)

A.AG=CGB.ZB=2ZHAB

C.CAH^BAGD.BG2=CGCB

44.（2024・浙江•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=2BC,点M为BC的中点，以点C为圆心，CB长

为半径作弧交AC于点E,再以点A为圆心，AE长为半径作弧交A3于点厂,。“与CP相交于点G,则

45.（2025•浙江宁波•一模）如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶

点叫做格点，VABC的顶点均在格点上.

（1）在VABC的边48上找到一点。，连接C。，使得..AC。的面积与△BCD的面积之比为3:2,请仅用无

刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹.

⑵在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C）,连接AE、BE,使得ZAEB=2ZACB,请仅用

无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹.

46.（2024•浙江温州三模）如图，在7x5的方格纸AB8中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线

段的端点均不与点A,B,C,。重合.

图I图2

（1）在图1中画一条格点线段GH,使G,”分别落在边上，且G”与族互相平分；

（2）在图2上画一条格点线段MN,使N分别落在边AB,CD上，且要求分成为1:2两部分.

47.（2024•浙江温州•模拟预测）如图，在VABC中，AB=AC,LAC于。.

（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线，交BC于点E,交8。于点冗（保留作图痕迹，不写作法）

(2)连结C/,判断NDHC和NA的数量关系，并说明理由.

48.(2023•浙江温州•一模)如图，在8x8的方格纸中，P,。为格点，VABC的顶点均在格点上，请按要

求画图.(注：图1,图2在答题卷上.)

O

(1)在图1中画出VABC平移后的格点三角形，使得点5的对应点是线段尸。的中点.

(2)在图2中画出VABC平移后的格点cOE尸，点A,B,C的对应点分别是点。，E,F,DEF满足以

下两个条件：

①直线DE经过线段PQ的一个端点；

②三个顶点均不落在线段尸。上.

49.(2024•浙江台州•模拟预测)如图是6义6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点,

7ABe的三个顶点均在格点上.

(1)将VABC先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的AMC.

(2)点。为边3C与网格线的交点，试用无刻度的直尺找出点。关于AB对称的对称点内

50.(2024•浙江.一模)如图，将线段A8绕点2旋转至80,点。恰好落在射线AC上，分别以点A3为圆

心，大于线段AB的一半长为半径画弧,过两弧的交点作直线交射线AC于点E,连结跳，量得ZDBE=75。,

则2A的度数是.

C

D,

五、

考点五、三角形背景下的轴对称问题

题型05、三角形背景下的轴对称问题

真题研析

51.（2023・浙江绍兴・中考真题）如图，在纸片VABC中，/C=90。,N3=60。，点。，E分别在边AB,AC上,

且将VADE沿DE折叠，使点4落在边BC上的点F处，则B£>:CE=（）

A.3:2B.73:2C.2#）:3D.4:3

52.（2023•浙江杭州•中考真题）如图，在VABC中，AB=AC,ZA<90°,点REr分别在边AB,BC,CA±.,

连接DE,EF,FD,已知点8和点/关于直线DE对称.设空=左，^AD=DF,则三=_________（结果

ABFA

用含左的代数式表示）.

53.（2023・浙江绍兴・中考真题）（1）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三

角尺a的30。角的那一头插入三角尺。圆洞内，如图2所示.则三角尺。通过三角尺，圆洞的那一部分的最大

面积为cm2.（不计三角尺的厚度）

（2）如图3,矩形ABCD中，点E是边AB中点，点尸是边AD上一动点，沿直线PE将V/4PE翻折，点A落

在点尸处.已知AB=6,A£>=4,连结C£CE.

①当4尸=4时，CF=

②当△CEF为直角三角形时，4尸=

图1

命题预测

54.（2024・浙江•模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中,AB=A£)=6,BC=14,E为AB的中点，F为线

段BC上的动点，连结FE,将ABEF沿EF折叠得到△GEF.在点F从点B运动到点C的过程中，若射线FG

与上底AD相交于点P,则点P相应运动的路径长为（）

55.（2024•浙江温州•模拟预测）如图，把一张长方形纸片ABCD沿尸。，初V折叠，顶点A,B,C,D的

对应点分别为4,B',C,力，点9与6重合，点A恰与3C,的交点重合.若CD=2,大加=3,

则的长为（）

C

A.12cmB.3石+5cmC.575cmD.15cm

56.（2024•浙江宁波•二模）如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,。是AB的中点，点E,F

分别在边AC,上，AE=1,将VADE,VBDF分别沿DE,。尸翻折使得A与4重合，8与9重合，

美BE,则BF=.

57.（2024•浙江•模拟预测）如图，在RtZvlBC中，ZABC=90°,ABAC=60°,BC=2^/3,。是3C上一点，连

接AD,将AWC沿AD翻折，点C的对应点C'落在平面内，连接BC'.若BC〃AC,则△”（?'的面积

为____________________.

58.（2024•浙江杭州•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3,点。是8C的中点,

点E是边AB上一动点，沿OE所在直线把VBDE翻折到的位置，交A3于点尸，若A3,为直

59.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，在直角三角形纸片ABC中，/C=90,AC=6,BC=8,点。在边

BC±,以AD为折痕，将△ABD折叠得到VAB'D,与边BC相交于点E.若△DE笈为直角三角形，则

8。的长是

60.（2024・浙江绍兴.模拟预测）如图，在中，ZACB=9Q°,AB=9,tanB=2,点。在边AB上,

点E在边AC上，将VABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段2c的延长线上的点尸处，如果

ZBPD=ZA,那么折痕DE的长为.

61.（2024•浙江宁波•模拟预测）在等边三角形ABC外侧作直线AP,点3关于直线AP的对称点为O,连接C。,

交AP于点E,连接BE.

（1）依题意补全如图；

⑵若/R4B=20。，求/ACE；

（3）若0。＜/2钻＜60。，用等式表示线段。E,EC,C4之间的数量关系并证明.

62.（16-17八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点4

3、C在小正方形的顶点上.

（1）在图中画出与ABC关于直线/成轴对称的△A5'C'；

（2）三角形ASC的面积为二

（3）以AC为边作与VABC全等的三角形，则可作出一个三角形与，ABC全等;

（4）在直线/上找一点P,使PCBPCB的周长最短（在图中作出点尸）.

考点六、三角形背景的旋转问题

题型06、三角形背景的旋转问题

真题研析

63.（2023•浙江嘉兴・中考真题）一副三角板ABC和DEF中,

ZC=ZD=90°,48=30。，ZE=45°,BC=EF=12.将它们叠合在一起，边8C与所重合，8与AB相

交于点G（如图1）,此时线段CG的长是,现将.DEF绕点C（可按顺时针方向旋转（如图2）,

边防与A3相交于点H,连结在旋转0。至U60。的过程中，线段扫过的面积是.

命题预测

64.（2024.浙江.模拟预测）如图，在VABC中,ZACB=60°,将线段AC绕着点C顺时针旋转20。，点A

的对应点。正好在边AB上，则N3的度数为（）

D.25°

65.（2024.浙江温州.模拟预测）如图，已知点4（-1,0）,3（0,2）,6与A关于y轴对称,连结43,现将线段

A3以H点为中心顺时针旋转90。得AE,点8的对应点笈的坐标为（）

C.（4,1）D.（3,2）

66.（2023•浙江宁波•三模）如图，将VABC绕点A逆时针旋转66。，得到VADE,若点。在线段的延长

线上，则N3的大小是（）

55°C.57°D.58°

67.（2024•浙江温州・三模）如图，VABC为等腰直角三角形,ZC=90°，将其绕顶点C逆时针旋转30°，

得到CDE,连接AE、BD,则些=（）

AE

A.BB,92

C.73-1D.-

325

68.（2024•浙江宁波•二模）如图VABC与VADE均为等腰直角三角形，AD=^AB=a,直线瓦）与直线CE

交于点尸，在VABC与VAOE绕点A任意旋转的过程中，尸到直线BC的距离的最小值为（）

7

C.—yfiaD.—

64

E

A

P

69.（17-18九年级下•全国・单元测试）如图，已知正方形ABC。的边长为2,如果将线段8。绕着点8旋转

后，点。落在CB的延长线上的以处，那么tan/B4D'等于.

70.（23-24九年级上•北京西城•期中）在VABC中，ZABC=90°,AB=BC.将VABC绕点A顺时针旋转a

（0°<a<180°）,直线C3与直线OE交于点尸，点B尸间的距离记为正，点E,P间的距离记为跖.给

出下面四个结论：①斯的值一直变大；②取的值先变小再变大；③当。。<«<90。时，彼-EF的值保持

不变；④当90。<a<180。，3尸-EF的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是.

71.（2024・浙江.二模）如图，在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3C=1,点。在边2C上运动，连接AD,

将绕点。顺时针旋转90。，交斜边于点E.则点。从点C运动到点B的过程中，点E运动的路径长

为.

72.（2024・浙江•模拟预测）如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC^BC,。是BC上一点，连结AD,将AD

绕点A逆时针旋转90。至AE,连结BE,BE交AD于G,交AC于点八

A

(1)若CD=CF,贝han/FBC=

(2)若CD=BD,贝!JtanNE=_.

73.(2024•浙江杭州.模拟预测)在RtAABC中，M是斜边48上的一点，将线段跖I绕点M旋转至位

置，点C,。在直线A3的同一侧.

(1)当M是A3的中点时，连接ADBD.

①如图1,求403的大小;

②如图2,已知点。和边AC上的点E满足连接CD.求证：BD=CD.

(2)如图3,当时，在线段加取一点G,连接BG并延长交AC的延长线于点孔当四边形CMGP

是平行四边形时，若△ACW的面积为8,BCGM=12,求平行四边形CMG厂的面积.

74.(23-24八年级下•广东佛山•期中)综合与实践

如图1是实验室中的一种机械装置，BC在地面上，所在等腰直角三角形ABC是固定支架，机械臂AD可以

绕点A旋转，同时机械臂可以绕点。旋转，已知ZR4C=90。，AD=6,DM=2.

(1)如图2,把机械臂AD顺时针旋转90。，点。旋转到点E处，连结DE,当/AEC=135。,

①连接C。，探究8E与CO的数量关系和位置关系，并说明理由；

②当CE=7时，求BE的长

（2）如图3,机械臂A、D、M三点共线，AM//BC,此时机械臂A"顺时针旋转105。，机械臂一端恰好落

在3C边上，标记为点N,求支架的长.

75.（2024•浙江杭州•三模）综合与实践

L—，_—__＜_/

囹1图2

【问题情境】

（1）如图1,在9x9的方格纸中，每个小方格的边长为1.ABC为格点三角形（顶点都在格点上），将ABC

绕点8顺时针旋转90。得到qDBE,点A与点。对应，点C与点E对应.

①请在方格纸中按要求画出.ABC经过旋转后的图形.

②求点C旋转到点E所经过的路程.（结果保留兀）

【深入探究】

（2）如图2,ABC中，点C在A3右侧，NC=90。，将ABC绕点B顺时针旋转90。得到DBE,连接

AD.已知］!=狂0＜左＜1）.求tan/C4D的值.（用含有人的代数式表示）

三角形背景下的平移问题

考点七、三角形背景下的平移问题

题型07、三角形背景下的平移问题

真题研析

76.（2022•浙江嘉兴•中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓

意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形A8CD沿对角线8。方向平移1cm得到正方形48C。，形

成一个“方胜”图案，则点。，£之间的距离为（）

A'

1

CC

A.1cmB.2cmC.（及一l）cmD.（2及一l）cm

77.（2023•浙江温州•中考真题）如图，在2x4的方格纸ABC。中，每个小方格的边长为1.已知格点尸，请

按要求画格点三角形（顶点均在格点上）.

/'♦■-_■*r-:：

BC

（1）在图中画一个等腰三角形PEF,使底边长为近，点E在BC上，点厂在AD上，再画出该三角形绕矩形

ABCD的中心旋转180。后的图形.

⑵在图中画一个Rt△尸QR,使NP=45。，点。在8C上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单

位后的图形.

命题预测

78.（2024•浙江台州.二模）如图，将三角形ABC（AC>AB）沿BC方向平移得到DEF,使BE=3BC,DE

与AC交于点以下关于四边形DMCF和四边形周长的说法，正确的是（）

A.周长之差可由（AC-AB）值确定

B.周长之和可由（AC+AB）值确定

C.周长之差可由（AC-AB+3C）值确定

D.周长之和可由（AC+AB+3C）值确定

79.（2024•浙江温州•二模）如图，在5x6的方格纸中，已知格点VABC和格点请按要求画格点三角形

（顶点均在格点上）.

图2

（1）在图1中，画出VABC平移后的图形，使M为其中一边的中点.

（2）在图2中，画出与VABC成中心对称的图形，使M为其中的一个顶点.

80.（2024•浙江温州•模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面

3(2,-4),C(5,-3).

（1）将VABC先向左平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△ABC-画出两次平移后的△AB。一并写

出点A的坐标;

（2）画出△A8G绕点G顺时针旋转90。后得到的△右与G,并写出点4的坐标；

（3）在（2）的条件下，求旋转过程中点A所经过的路径长.（结果保留万）

81.（2024•浙江宁波•模拟预测）【问题情境】

在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片ABCD,其中AB=8,BC=6.如图2,

将