2025年中考数学压轴题：几何变换（旋转）含解析

2025年中考数学压轴题专题系列：几何变换（旋转）

1.将正方形ABCD的边A8绕点A逆时针旋转至AB"记旋转角为a.连接班'，过点。作DE垂直

‘连接BO,可求出京的值为

⑵当0。<a<360。且cw90。时,

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明

理由.

BF

②当以点Q，E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出"的值.

DE

2.已知：如图，点C为直线MV上的一点，点8为直线睦V外一点，将线段CB绕点C顺时针旋转60。

后得C4,连接A3,过点A作Abi3C,垂足为点/，NE4c的平分线交8C于点P,交/3CN的

平分线于点E，连接BE.

MCNMCN

备用图备用图

⑴当3c_LMV,

①求—AEC的度数；

②证明AE=CE+£B.

⑵将VABC绕点C旋转，当EPC为等腰三角形时，直接写出一隹。的度数.

3.图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中AB=AD,

NBAD=NBCD=90°,NB=60。，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形.嘉嘉利用纸片1

按图示方法截取正方形AEFG,设=

rai

(1)①纸片1中的EF=_(用含无的代数式表示)；若正方形A5FG的面积为27,则可列一元二次方

程：

②请解①中的方程，并求48的长.

(2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形.请在图2中画出正确的

图形（剪拼痕迹均用虚线表示）.

②若图2中力8=与百，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大?

4.阅读：转化是解决数学问题重要的思想方法，如图：在中，NC=90。，/3=30°我们知

道AC:A3:8C=1:2:石，当我们遇到含有15。的直角三角形时，我们可以利用转化的数学思想和等

腰三角形的知识来解决（如下示意图），这也是学习数学的一种美.

下面就请你利用上述阅读材料，解决下面问题：

备用图

⑴如图，在平面直角坐标系中，点A（0,退）3（-1,0）,若将直线A3绕着点A逆旋转45。得直线AC,

其中点C在无轴，贝|/区4。=.点C坐标.

⑵若O,与AB,AC相切、则点。（在/BAC内部）的轨迹是,若（7与VABC三边均相切,

求出。'的半径.（分母不必有理化但不可出现双重根号）

⑶若，O'与AB,AC相切、且半径为0一I,现将X轴绕着点B逆时针旋转,旋转角为口。（0。＜。＜180°）,

请分析旋转后的x轴与。的位置关系并直接写出对应a的取值范围.（不必写解答步骤）

5.在平面直角坐标系xQy中，旋转角。满足0。＜&《180。，对图形M与图形N给出定义：将图形M

绕原点逆时针旋转a得到图形点p为图形AT上任意一点，点。为图形N上的任意一点，称尸。

长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”.已知点人（1,@，点3（4,0）,点C（2,0）.

⑴当a=90。时，记线段。4为图形

①画出图形；

②若点C为图形N,贝「转后距”为

③若线段AC为图形N,求“转后距”；

'1

⑵已知点P（m,0）在点B的左侧，点。m——,记线段为图线段尸。为图形对任

I2N,

意旋转角a,“转后距”大于1,直接写出机的取值范围.

6.已知正方形ABC。，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两

边分别交直线3C、CD于V、N.

（图1）

(1)当"、N分别在边3C、CD上时(如图1),将△4W绕A点顺时针旋转90。至一ABE,求证:

BM+DN=MN；

(2)当/、N分别在边3C、CD所在的直线上时(如图2),线段氏0、DN、MN之间又有怎样的数量

关系，并证明你的结论:

(3)在图3中，作直线3。交直线AM、AN于P、。两点，在(2)的条件下，若MV=10,CM=8,

求AP的长.

7.如图1,在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=AC,点。、E分别在边A3、AC上，AD=AE,连

接DC,点〃、P、N分别为DE、DC、2C的中点.

(1)观察猜想：图1中，线段尸河与PN的数量关系是_，位置关系是二

⑵探究证明：把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断PMN的

形状，并说明理由；

⑶拓展延伸：把VADE绕点A在平面内自由旋转，若AO=2,AB=4,直接写出面积的最大

值.

8.已知正方形A3CD边长为1,对角线AC,加＞相交于点O,过点。作射线OE。尸，分别交AB

于点E,F,S.OE±OF.

D

E

(1)如图1,当OELAD时，求证：四边形AEOF是正方形;

(2)如图2,将射线OE,。尸绕着点。进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段OE与的数量关系，并给出证明;

②四边形OE4r的面积为一;

(3)如图3,在四边形尸QMN中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=90°,连接尸若PM=9,请直接写

出四边形尸QMN的面积.

9.(1)问题发现：

如图1,等边VABC内有一点P,若点尸到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求的度数.为

了解决本题，我们可以将AABP绕顶点A逆时针旋转60。到△ACP'处，这样就可以将三条线段

PA,尸5PC转化到一个三角形中，从而求出4PB的度数.请按此方法求NAP8的度数，写出求解

过程；

(2)拓展研究：

请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：

①如图2,VABC中，AB=AC,NBAC=90。，点E"为2C边上的点，且ZE4F=45。，判断台瓦所,。/

之间的数量关系并证明；

②如图3,在VABC中，ZABC=30°,AB=4,3c=6,在VABC内部有一点P,连接尸4,尸民尸。，

直接写出PA+PB+PC的最小值.

10.已知：在RtaABC中，ZABC=90°,ABAC=30°,BC=E，点。为射线A3上一动点，连接

CD,将△/53c绕点C逆时针旋转，使点8落在边AC上的点夕处，以为点。的对应点，连接。D.

图1图2

(1)如图1,当点O在线段上时，连接AD'.

填空：△CDD的形状为；CO与AD的数量关系为

(2)如图2,在⑴的基础上，当4c0=30。时，判断四边形ADCD'的形状，并说明理由.

(3)如图3,连接当=时，直接写出笈£)的长.

4

11.在菱形ABC。中，BC=5,cosZABD=~,动点M在射线8。上运动.

⑴如图（1）,将点A绕着点M顺时针旋转90。，得到对应点A,连接MC,A4'.求证：AA!=^MC-,

（2）如图（2）,在（1）条件下，若射线肱V经过边中点E,求的值；

⑶连接AM,将线段AM绕着点〃逆时针旋转一个固定角a,Nc=Z5CD,点A落在点F处，射线M厂

交射线BC于G,若△3MG是等腰三角形，求3G的值.

12.如图1,在VA3c中，NA=90。，AB=4C=应，点。、E分别在边A3、AC上，且AO=AE=2-应,

连接DE.现将VADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为矶0。<£<360。），分别连接CE、BD.

(1)如图2,当0。<&<90。时，求证：CE=BD；

⑵如图3,当《=90。时，延长CE交8。于点后求证：CF垂直平分BD；

(3)连接CD,在旋转过程中，求△3CD的面积的最大值，并写出此时旋转角a的度数.

13.在oABCD中，ZABC=45°,连接AC,已知AB=AC=夜，点E在线段AC上，将线段OE绕

点。顺时针旋转90°为线段。尸.

(1)如图1,线段AC与线段3D的交点和点E重合，连接族，求线段族的长度；

(2)如图2,点G为DC延长线上一点，使得GC=EC,连接FG交AD于点H,求证：4?AH=CD;

(3)如图3,在(2)的条件下，平面内一点P,当//P+CP+08P最小时，求的面积.

14.在VABC中，AB^AC,。是平面内一点，连接AD.将AD绕点A逆时针旋转一定角度a

（0°<a<180°）,得到AE,且满足（z+/BAC=180。，连接BE,CE.

RD

备用图

⑴如图1,NBAC=90。，。是BC边上一点，求/BCE的度数；

⑵如图2,。是平面内一点，尸是8E的中点，连接AF.猜想AF与8存在怎样的数量关系？写出你

的结论，并证明；

⑶在（2）的条件下，若。=120。，在直线CE上存在一点使以点A,E,F,M为顶点的四边形是

AD

锐角为60。的菱形，请直接写出空的值.

15.如图1,点。为直线A3上一点，将两个含60。角的三角板MON和三角板。PQ如图摆放，使三

角板的一条直角边OM、0P在直线A3上，其中NOMN=/POQ=60。.

E

NQL,N

AMOAMO

Q

图2图3备用图

(1)将图1中的三角板。PQ绕点。按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边。尸在/MON的内部且平

分■NMON,求旋转角/BOP?

⑵三角板。PQ在绕点。按逆时针方向旋转时，若。尸在的内部.试探究/MO尸与NNOQ之

间满足什么等量关系，并说明理由；

(3)如图3,将图1中的三角板MON绕点。以每秒2。的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板。尸。绕

点。以每秒3。的速度按逆时针方向旋转，将射线08绕点。以每秒5。的速度沿逆时针方向旋转，旋

转后的射线02记为0E,射线OC平分射线平分NPOQ,当射线OC、OD重合时，射

线OE改为绕点。以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当NCOE=15。时，求出旋

转时间/的值.

《2025年中考数学压轴题专题系列：几何变换》参考答案

1.(1)等腰直角三角形，72

(2)(1)仍然成立，见解析；②1或3

【分析】(1)当夕=60。时，即/区钻'=60。，且=AB?是等边三角形，可证

ZEB'D=90°-ZEDB'=45°,则田=£B"得到一DE3'是等腰直角三角形；连接3D,可证

_BDB'SQCDE,即可求解；

(2)①当0。<a<360°且c790°时，ZBAB'^a,ZB'AD^ZBAB'-ZBAD^a-9Q0,可证

ZEDB'=90°-ZEB'D=45°,得到_DEB'是等腰直角三角形；连接3D,证明▲瓦M'jCDE,即可

求解；②根据平行四边形的性质，分类讨论：第一种情况，如图所示，以点8',E,C,。为顶点的

四边形CED?是平行四边形，由相似三角形的判定和性质得到，_BCFsBB'C^CB'F,

号=能=芸=2,则3"=68'尸,3£=2"尸，可解；第二种情况，如图所示，以点9，E,C,D

CFBCBF

为顶点的四边形？ECO是平行四边形，可证点？、E、C三点共线，点A、E重合，则9E==

可解.

【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

边A3绕点A逆时针旋转至AB"记旋转角为a,则AB=AB，=AD,设BE,CD交于点、F,

工他'。是等腰三角形，

,ZAB'D=ZADB',

当a=60。时，即/朋？=60。，且=

ZDAB'=90°-ZBAB'=30°,是等边三角形，

ZAB'D=ZAr>^=1(180°-NDAB)=1x(180°-30°)=75°,ZABB，=AB'B=ZBAB'=60°,

ZCDB'=90°-ZADB'=90°-15°=15°,Z.CBE=ZABC一ZABB'=90°-60°=30°

，Z.BFC=90°-ZCBE=90°-30°=60°=ZEFD,

•/DE±BE,

：.Z.EDF=90°-ZEFD=90°-60°=30°,

NEDB'°=NCDB'+ZEDF=150+30°=45°,

NEB'D=90°-NEDB'=45°,

ED=EB',

力班’是等腰直角三角形;

cosNEDB'=cos45°==——,

DB'2

连接2。,

，NCBD=/CDB=45°,

,：ZADB'=15°,

：.NBDB'=ZADB'-ZADB=75。-45。=30°=/EDC,

，cosZCDB=cos45°=—=—,

BD2

.DEDCDEDB'

••=,nn,

DB'DBDCDB

：.—BDB's,CDE,

CECD

故答案为：等腰直角三角形，及；

(2)解：①(1)仍然成立，理由如下，

当0°<a<360。且切工90。时，ZBAB'^a,ZB'AD=ZBAB'-ZBAD=«-90°,

；AB=AB',

\NABB'=ZAB'B=1(180°-ZR4")=；x(180°-a)=90°-：a,

：AB'=AD,

\ZAB'D==g(180°-ZB,AD)=-x(180°-6Z+90°)=135°-1a,

•.ZEB'D=ZAB'D-ZAB'B=135°--tz-190°--a|=45°,

2I2)

；DEYBB',

\NEDP=90°—NEB'D=45°,

.•一DEB'是等腰直角三角形;

如图所示，连接80,

B'

AZCBD=ZCDB=45°=,ZCDB=ZADB=ZBfDE=45°,

fCD

：.Z.CDA+AADE=ZB,DE+AADB+AADE,即ZBD£=ZKD3,

,.B'D_BD

*ED~CD

.B'D_ED

9，~BD~~CD

:.一BDB's_CDE,

CECD

・・・（1）仍然成立;

②第一种情况，如图所示，以点？，E,C,。为顶点的四边形CED9是平行四边形,

••点产是C2EE的中点，DECB1,

\B,F=EF=-B,E,DF=CF=-CD,NEDF=NB'CF,

22

•・EF=-DE,

2

:BC=CD,

•・CF=-BC,

2

.EFCF

・访一苍’

.EFED

*CF-CB，

・•DE1.BE,

•・/E=NBCF=90。=NCB'F,

•.一DEFsBCF,

・•.ZEDF=ZCBF,

：.AB'CF=ZCBF,且Z.CSF=ZCBfB=ZBCF=90°,

BCFs_BB'Cs_CB'F,

•,•-B-C=-B-'B=-C-B'=2c,

CFB'CB'F

：.BB'=4B'F,则BE=6B'F,B'E=2B'F,

.BE6B'Fc

••---=-------=3；

B'E2B'F

第二种情况，如图所示，以点g,E,C,。为顶点的四边形MECD是平行四边形,

ACD=B'E,B'D=EC,CDB'E,

,：DE1.BE,

：.NCDA=NB'ED=90。,

：.ZB'ED+/BAD=90°+90°=180°,

；.点B'、E、C三点共线，点4E重合，

/.B'E=AB=BE,

.BE

••------1:

B'E

BF

综上所述，及的值为1或3.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数值的计

算，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的性

质是解题的关键.

2.(1)①60。；②证明见解析

(2)30°或52.5°或75。

【分析】(1)①由旋转的性质可得C4=CB,ZACB=60°,则VABC是等边三角形，根据等边三角

形的性质可得NC4F=30。，由角平分线的定义可得NC4F=15。，ZBCE=45。，根据三角形的内角和

定理即可得，AEC的度数；

②在屈4上截取£H=EC,连接C",证明一.BCE均AC"(SAS),可得BE=AH,即可得证；

(2)当,.EPC为等腰三角形时，分三种情况：①当EP=EC时,②当EP=C尸时，③当=时,

根据等腰三角形的性质可得出ZAEC的度数.

【详解】(1)解：①:将线段CS绕点。顺时针旋转60。后得C4,

ACA=CB9ZACB=60°,

・•・VABC是等边三角形，

・•・ZCAB=60°9

•・•AF1BC,

：.ZCAF=-ABAC=-x60°=30°,

22

•・・BCYMN,

：.NBCM=9。。,

TAP平分NE4C,CE平分NBCM,

：.ZCAE=-ZCAF=ix30°=15°,/BCE=-ZBCM=-x90°=45°,

2222

・•・ZAEC=180。—ZCAE-ZBCE-ZACB=180。-15。—45°-60°=60°,

・・・/AEC的度数为60。；

②证明：如图，在E4上截取£H=£C,连接CH,

,/ZAEC=60°,

・•・_£(/是等边三角形，

:・CE=CH,ZECH=60°,

ZBCE=45°f

：.ZPCH=ZECH-ZBCE=60°-45°=15°,

・•・ZACH=ZACB-Z.PCH=60°-15°=45°,

ZACH=ZBCE,

在/5CE和-ACH中,

CE=CH

<ZBCE=ZACH,

CB=CA

.•.一BCEHACH(SAS),

BE=AH,

：.AE=EH+AH=CE+BE；

(2)解：•••将线段CB绕点C顺时针旋转60。后得C4,

ACA^CB,NAC3=60。，

...VABC是等边三角形，

ZCAB=60°,

•/AFIBC,

Z.ZCAF=-ZBAC=-x60°=30°,

22

:CE平分NBCM,

：.ZCAE=-ZCAF=-x30°=15°,

22

ZEPC=ZACB+Z.CAE=60°+15°=75°,

当.EPC为等腰三角形时，分三种情况：

①当EP=EC时,

:.NEPC=NECP=I5。,

：.ZAEC=180°-NEPC-ZECP=180°-75°-75°=30°；

②当EP=CP时，

ZAEC=ZECP,

：.ZAEC=1(180°-Z£PC)=1x(180°-75°)=52.5°；

③当EC=PC时，

ZAEC=/EPC=75。；

综上，NAEC的度数为30。或52.5。或75。.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义,

全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决

问题是解题的关键.

3.⑴①后，3d=27;②3代+3

(2)①见解析；②(1)中的正方形，面积较大.

【分析】(1)①由正方形的性质结合题意可求出/跖8=30。，根据含30度角的直角三角形的性质

得出FB=2BE=2x,再根据勾股定理即可求出=最后根据正方形的面积公式列方程即可;

②根据直接开平方法求出X的值，即可求出班和AE的长，最后根据钻=钻+虚求解即可；

（2）①过点A作4W_L8C,设AM为裁剪线，将一绕点A逆时针旋转90。得出△A£W,从而可

证四边形AMCN为正方形，即此时拼出的正方形面积最大；

②由（2）①可知NAMB=90。，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出A"的长，

从而可求出S正方jg.cN，最后比较即可.

【详解】（1）解：①：四边形皿G为正方形，

ZAEF=90°,

NBEF=90。.

'：/=60。，

NEFB=30。,

：.FB=2BE=2x,

EF=dFB?-BE。=瓜，

,,S正方形MR；=EF?=3x2=27.

故答案为：氐，3/=27;

②解：3炉=27,

X2=9,

X]=3,尤2=一3（舍）,

:.BE=3,AE=EF=3』,

AB=AE+BE=3^>+3.

故答案为：3百+3;

（2）解:①过点A作4W_LBC,设AM为裁剪线，

•••图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同,

AB=AD,ZBAD=90°,

/.将一ABM绕点A逆时针旋转90°得出AADN，如图，

：.AM=AN,ZB=ZADN,ZBAD=90°.

ZBCD=90°,

ZB+ZAZX?=180°,

ZADC+ZADN=180°,

：.C,D、N三点共线，

ZN=ZMCN=ZAMC=90°,

四边形AMCN为矩形，

...矩形AMGV为正方形，即此时拼出的正方形面积最大；

②由（2）①可知NAMB=90。，

又：图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，

二ZBAM=30°,

：.BM=-AB=-x—^=-s/3,

2233

AM=y/AB2-BM2=5，

=

,,S正方形AWCN㈤=25,

A（1）中的正方形，面积较大.

【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方

程，旋转的性质等知识.利用数形结合的思想是解题关键.

4.⑴30。；（2^-3,0）

2

⑵点。'在/BAC的角平分线上，石+应+]

（3）答案见解析

【分析】（1）根据正切函数的定义，求出tan/SAO,即可得出结论，在》轴上取一点。，使AT>=CD,

连接CD,构建等腰三角形，设OC=a,CD=2a,OD=瓜,根据。4=OD+AD列方程求解即可.

（2）根据角平分线的性质可知点O'在-3AC的角平分线上，再等腰直角三角形、30。直角三角形的

边长关系，根据AB=AK+HK+3H,列方程得也厂+厂+0r=2,即可求内切圆的半径.

（3）先确定过点8与相切的直线位置，再根据图形结合直线与圆的位置关系分析即可.

【详解】（1）A（0,V3）,B（-l,0）,

:.OA=y/3,OB=l,AB=2,

OB1_V3

tan/BAO=

:.ZBAO=30°

在y轴上取一点。，使AD=CD,连接CO,

由直线AB绕着点A逆旋转45。得直线AC,

可知NBAC=45。，

.\ZOAC=15°,

AD=CD,

ZACD=ZOAC=15°,

ZDCO=60°,ZODC=30°,

设OC=a,则CD=AD=2a,OD=6cl,

,**OA=AD+OD,即y/Sci+2cl=V3，

a—26—3，

.・•点C坐标为(26-3,0).

(2)。与A3,AC相切，

圆心O'到AB,AC的距离相等，

点。'在NA4c的角平分线上，

当O,与VABC三边均相切时，

所以80'是/ABC的角平分线,

VZBAC=45°,ZABC=60。，

/.NBA。=-ABAC=22.5°,ZABO'=-ZABC=30°,

22

如图：。'与A3相切于a,设,。'的半径为-，即0月=厂，

NBHO=ZAH。=90。,

：.BH=底,

在A"上取一点K,使AK=O'K,

AOAK=ZKCfA=22.5°,

ZHKO=ZHO'K=2NOAK=45°,

：.HK=r,O'K=AK=yf2r,

VAB=AK+HK+BH,即：丘+厂+扬=2,

.2

,•~用0+]

(3)如图：(7与AB相切于在AHr上取一点K,使HK=OH,

：.ZHKO=ZHOK=45°,

,•*。'的半径为0-1,即O7f=HK=0-l,

KO'=y/2O'H=42(42-l)=2-y/2,

•；ZHKO'=ZO'AB+ZKO'A=45°,由(2)得ZBAO'=|ABAC=22.5°,

Z.OAB=ZKOA=22.5°。

AK=O'K=2-y[2,

AH=HK+AK=y[2-l+2-y/2=l,

：.BH=AB-AH=1,

，AH=BH,

又"?OH=OH,NBHO=ZAHO'=90°,

.AHO'^BHO'(SAS)

：.Z.OAB=ZO'BA=22.5°,

过点B作班T与O'相切与异于点H的一点”，

ZO'BH'=ZO'BA=22.5°,

NABH'=45。,

/.ZCBH'=ZABC-ZABH'=15°,

...当0。<£<15。或60。<&<180。时，旋转后的x轴与圆O'相离，

当。=15。或<z=60。时，旋转后的x轴与圆O'相切，

当15。(以<60。时,旋转后的x轴与圆O'相交.

【点睛】本题主要考查旋转的概念，正切函数的定义，勾股定理，三角形内切圆等知识点，掌握三角

形内切圆的等面积法求半径是解决问题的关键.

5.(1)①作图见解析；②2；③百

(2)加<-5或0(根<2

【分析】(1)①取点4卜也」)，连接OA即可；

②线段OC的长即为所求；

③如图2中，连接AC,过点A作AELOC于E,过点。作ODLAC于。，求出线段。。的长即可;

(2)如图3中，由题意记线段A3为图形线段P。为图形N,其中旋转角为a,设△OAB逆时

针旋转180。后得△OAB，，点？是点8的对应点，点A是点A的对应点，过点作于点，过点尸作

PFJL/W于点尸，先分别求出当机=-5时，当〃=z0时，当〃?=2时的“转后距”，再结合图像即可得

出满足条件的小的值.

【详解】(1)解：①如图，取点4卜石,1),连接Q4'、

；•OA'=’(可+俨=2,

VA(1,V3),

OA—+F=2,A'A~=A/3—lj+—A/3)=8,

OA=OA,OA^+OA2=4+4=8=A^2,

ZAOA'=90°,

；•线段。4绕原点逆时针旋转90。得到线段。4',即为图形AT,

则线段OA即为图形即为所作；

②点C（2,0）为图形N,

/.OC=2,

观察图像可知图形除点(0,0)外都在第二象限,

“转后距”为：OC=2,

故答案为：2；

③如图2中，连接AC,过点A作于E,过点。作ODLAC于D,

VA（1,V3）,C（2,0）,

:.AE=6OC=2,CF=2-1=1,

在Rt_ACE中,AC=AE?+EC。=«用+1。=2,

VS..oc=2-O2CAE=-ACOD,

.ccAEOCV3x2A

••LJL）----------------------75,

AC2

•••“转后距”为G；

图2

(2)如图3中，由题意记线段A3为图形线段P。为图形N,其中旋转角为设△Q钻逆时

针旋转180。后得△OA夕，点？是点8的对应点，点A是点A的对应点，过点作于点，过点尸作

RF_LAB于点产，

VA(1,V3),3(4,0),

1,—\/3j,9(-4,0),

当机=一5时，F(-5,0),则尸B'=T—(―5)=1,

当力<-5时,“转后距''大于1,

当机=0时，Q-g'—g，则"'=j(—1+g)++^=1'

当m=2时，P(2,0),

VA(1,V3),3(4,0),

；・04=⑹>仔=2,03=4,AB=J(l_4,+(厨=2若,

Ofic+AB2=4+12=16=OB2,

ZQ4B=90°,

VPFVAB,尸(2,0),

:.NPFB=90。=NOAB,OP=2,

：.PF//OA,PB=OB-OP=4-2=2=-OB,

2

:.APra^AOAB,

.PFPB\BnPF1

OAOB222

•••PF=1,

.,.当0〈力<2时,“转后距''大于1,

，满足条件的机的取值范围为：m<-5或0<〃?<2.

图3

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，坐标与图形，勾股定理及勾股定理的逆定理,

两点间距离，相似三角形的判定和性质，“转后距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图像法并结合特殊点解决问题.

6.(1)证明过程见详解

Q)BM+MN=D1^DN+MN=BM,理由见详解

(3)AP=3A/10

【分析】(1)根据正方形的性质，等腰直角三角板的性质可得/核W=45。，NDAN+NBAM=45。,

根据旋转的性质可证%MW(SAS),可得腔=MN,根据=即可求证；

(2)分类讨论，第一种情况，当点M在点B左边，点N在点C下方，将一绕点A逆时针旋转90。

得△ADG,连接MG,AN,MG交于点4,可得△ABM当△ADG,再证、qGHN(SAS),即

可求解；第二种情况，当点〃在点C右边，点N在点O上方，将△AON绕点A顺时针旋转90。得

ABG,同理，ADN^,ABG,可证,AGM经4VM(SAS),由此即可求解；

(3)连接AC,运用勾股定理可得CN=6,BC=6,AN=6下,根据三角形相似的判定和性质可

得.ABPsACN,由此即可求解.

【详解】(1)证明：：四边形ABCO是正方形，

AB=BC=CD=AD,Z.ABC=/BCD=^ADC=/RAD=90°,

根据直角三角板的性质可得，ZMAN=45°,

：.ZDAN+ZBAM=45°,

:将△ADN绕A点顺时针旋转90。至△ABE,

：.ZDAN=ZBAE,AN=AE,DN=BE,ZBAE+ZBAM=45°=ZMAN,

在中,

AE=AN

</EAM=/NAM,

AM=AM

・,.一E4〃名:M4M(SAS),

：.ME=MN,

•：BE+BM=ME,

：.BM+DN=MN；

(2)解：BM+MN=DN或DN+MN=BM,理由如下，

第一种情况，当点M在点3左边，点N在点。下方，如图所示,

・・•四边形A5CD是正方形，

，ZBAD=90°,

・•・将一ABM绕点A逆时针旋转90。得△ADG,连接MG,AN,MG交于点

:.△ABM^^ADG,

:.BM=DG,AM=AG,ZMAB=Z.GAD,NM4G=90。，

根据等腰直角三角板可得，ZMAN=45°=ZMAB+ZBAN,

：.ZBAN+ZGAD=45°,

：./GAN=45。=/MAN,

・•・■平分NM4G,且枚二AG,

：.AHYMG,且AH平分MG,即ZNHM=ZNHG=900,MH=GH,

在AMflN,△GHV中，

MH=GH

<ZMHN=/GHN,

HN=HN

：.,MHN-GHN本网,

MN=NG,

■:DG+NG=DN,

：.BM+MN=DN^

第二种情况，当点”在点C右边，点N在点。上方，如图所示,

将△MW绕点A顺时针旋转90。得ABG,

同理，ADN^ABG,

：./DAN=/BAG,

根据等腰直角三角版可得，ZMAN=/DAN+NDAM=45。,

：.ZBAG+ZDAM=45°,

・•・ZGAM=45°=ZNAM,

在ZvlGM,中，

AG=AN

<ZGAM=ZNAM,

AM=AM

：.AGM^AW(SAS),

：.MG=MN,

;BG+MG=BM,

：.DN+MN=BM；

(3)解：如图所示，连接AC,

四边形ABCD是正方形，

AZBCD=90°,则/3C7V=90°,

在RtCMV中，MN=10,CM=8,

CN=\/MN2-CM2=7102-82=6>

由（2）中可得，BM+MN=DN,且CM=&W+BC,BC=CD,

：.CM-BC+MN=BC+CN,即8—8C+10=3C+6,

解得，BC—6,

.•.在Rt^ABC中，AC=BD=6五,且N&4C=ZACB=45。，

在RCADN中，AD=BC=6,DN=CD+CN=12,

AN=^AEr+DN2=A/62+122=675,

•/ZBAP+ZBAN=45°,/BAN+Z.CAN=45°,

/BAP=/CAN,

ZMBP=ZCBD=45°,

：.ZABP=ZABM+ZMBP=90°+45°=135°,ZACN=ZACB+ZBCN=45°+90°=135°,则

ZABP=ZACN,

:.ABPs.ACN,

,ABAP

"AC"A7V）

【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握上述知识，合理作出辅助线，图形结合，分类讨论思想是解

题的关键.

7.(1)PM=PN,PM±PN

(2).PMN是等腰直角三角形

⑶2

2

【分析】(1)根据三角形中位线定理得PN〃m，PN；BD,PM//CE,PM《CE,从而得出

22

PM=PN,PMLPN；

(2)首先利用SAS证明得ZABD=ZACE,BD=CE,再由(1)同理说明结论成

立；

(3)先判断出"N最大时，.尸MN的面积最大，进而求出AN,A”,即可得出MN最大+4V,

最后用面积公式即可得出结论.

【详解】（1）解：.点P,N是BC,C。的中点，

.-.PNBD,PN=-BD,

2

.点P,M是CD,DE的中点，

:.PMCE,PM=-CE,

2

AB=AC,AD^AE,

BD=CE,

/.PM=PN,

PNBD,

,\ZDPN=ZADC9

PMCE,

,\ZDPM=ZDCAf

ABAC=90°,

:.ZADC+ZACD=90°9

/MPN=ZDPM+ZDPN=ZDC4+ZADC=90°,

:.PM工PN,

故答案为：PM=PN,PM±PN；

（2）解：-PAW是等腰直角三角形.

理由如下：由旋转知，ZBAD=ZCAE,

AB=AC,AD=AE,

ABO缘ACE（SAS）,

.\ZABD=ZACEfBD=CE,

利用三角形的中位线得，PN=；BD,PM=gcE,

:.PM=PN,

△尸跖V是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

:.ZDPM=ZDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

:.ZPNC=ZDBC,

ZDPN=ZDCB+/PNC=NDCB+ZDBC,

ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+Z.DBC=Z.BCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

Zfi4c=90。，

ZACB+ZABC=90°,

:.ZMPN=90°,

.•.△PAW是等腰直角三角形；

(3)解：如图，同(2)的方法得，是等腰直角三角形，连接⑷V,AM,

•/MN<AM+AN,

当点AM,N三点共线时，MN最大,

如图：

.PW的面积最大,

MN最大=AM+AN,

在VADE中，AD=AE=2,ZDAE=90°,

，由勾股定理得：DE=72AD=2A/2,

:点M为DE中点，

:.AM=-DE=^H,

2

在RtaABC中，AB=AC=4,同上可求4V=2a,

MN量大=2应+72=372,

同上可得：MN=y/2PM，

PM=—MN,

2

2w2=2

•••S,N最大=1™=|x|rG夜)=|•

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明PMN是等腰直角三角形是解

题的关键.

8.(1)见解析

(2)①OE=OF,证明见解析；②:

呜

【分析】(1)根据正方形的性质证明四边形AE。歹是矩形，再得=即可解决问题；

(2)①证明AEOgBFO(ASA),可得。E=。尸即可；

②先根据正方形的性质得。4=03=OC,ZAOB^ZBOC^90°,则NOBE=NQ4E=45。，

ZOCF=ZOBF=45°,所以NOBE=NOB,由OE_LO尸得NEOb=90°,则

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,即可证明△"?£1四△(%)尸，于是得BE=CF,根据四边形OE4r的

面积=Z\AOB的面积=J正方形ABCD的面积，即可解决问题；

4

(3)延长M2至点G,使GQ=MN,连接PG,证明二PGQ且二尸MN(SAS),可得PG=PM,

/GPQ=/MPN,所以△PGM为等腰直角三角形，所以四边形尸QMN的面积=等腰直角三角形PGM

的面积，进而可以解决问题.

【详解】(1)证明：:四边形ABCD是正方形，

AZDAB=9Q°,ZZMC=45°,

VOELOF,OE±AD,

：.ZDAB=ZOEA=/EOF=90°,

・•・四边形AEO尸是矩形，

VZZMC=45°,

OE=AE,

・••四边形AEOF是正方形；

(2)解：®OE=OF,

证明：・・•四边形ABC。是正方形，

OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°,

'：ZEOF=ZAOB=90°,

：.ZEOA=ZFOB,

・•・"O23FO(ASA),

OE=OF；

②;四边形ABC。是正方形，

AC=BD,AC1BD,OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,

：.OA=OB=OGZAOB=ZBOC=90°,

：./OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°,

:.ZOBE=ZOCFf

9：OELOF,

：.ZEOF=90。,

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,

・•・，50石会.CO尸(ASA),

△BOE的面积jCOF的面积，

二.四边形OE4F的面积=z\AO5的面积=。正方形ABC。的面积=：xl=：；

444

(3)解：如图，延长MQ至点G,使GQ=MN,连接PG,

,.・ZQPN=ZQMN=90°,

...ZPQM+ZN=1SO°,

,.・ZPQM+ZPQG=180。，

.・・ZPQG=ZNf

・.・PQ=PN,

；・_PGQAPMN(SAS),

:.PG=PM,ZGPQ=AMPN,

：.ZGPM=ZGPQ+ZQPM=ZMPN+ZQPM=90°,

・・・△尸GM为等腰直角三角形，

•・・PM=9,

1QI

四边形PQMN的面积=等腰直角三角形PGM的面积：X92=?.

22

【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据

正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键.

9.(1)150°,见解析；(2)@BE2+CF2=EF2,见解析；②25

【分析】（1）连接尸P,根据题意得到AP=AP=3,NR4P=60。，BP=CP=4,ZAPB=ZAP'C,

进而得到，APP''为等边三角形，尸尸=AP=3,ZAPP=60。，根据勾股定理逆定理证明二PPC是直角

三角形，且NPP'C=90。，即可求出NAPF=NAP'C=150。；

（2）①证明/3=NACB=45。，将.54E绕点A逆时针旋转90。，得到一CAD,连接。歹，得到

NBAE=NDAC,ZACD=ZB=45°,AD=AE,BE=CD,进而得到“CE=90。，根据勾股定理得

至UDF-=CF2+CD2=CF2+BE2，证明AAEF丝△AD尸，得至UEF=。F，即可得至UBE2+CF2=EF2；

②将ABP绕点B逆时针旋转60°,得至hA3P,连接PP,A'C,即可得到ZABA!NPBP=60°,

AB=AB=4,BP=BP,AF=AP,从而得到二BPP为等边三角形，ZAfBC=90°,取=小，根据

两点之间线段最短得到R4+PB+PC=AP+PP+CP\AC,即可得到当且仅当A,P,P,C四

点共线时，B4+P3+PC