2025年中考数学压轴题：相似三角形（原卷版+解析）

压轴题04相似三角形

部盘重点•抓核心

相似三角形是中考数学中难度跨度大、与其他考点结合性比较强、重要性比较高的一个考点，所以全

国各地很多压轴题基本都会有相似三角形的参与。对与这类压轴题，相似三角形常用考点有：

1、相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例；

而相似三角形对应边成比例是几何问题求长度时列方程最常用的等量关系。

2、相似三角形的判定：

①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

②有两个角对应相等的两个三角形相似；

③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；

④三边对应成比例的两个三角形相似。

3、相似三角形的其他应用：

①两相似三角形的周长比=相似比；对应边上的高线、中线之比=相似比；对应角的角平分线之比=相似

比；

②两相似三角形的面积比二相似比的平方；

③三角形的重心：三角形三边中线的交点叫做重心；三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段;

4、相似三角形常见模型：

①平行类相似——A字图'8字图，如图：当DE〃BC时，ZkADEs^ABC

②K型图，如图：当NA=ND=NBCE时，△ABCsADCE

③手拉手相似，如图：当△ABCs/JkDE时，ZkABDs/iACE

④母子三角形：如图，当NACD=NB时，△ACDS2^ABC

⑤射影定理：如图，则△ADCs/iCDBs/iACB

0

压轴题型一：相似三角形选择题

1.(2024•巴中)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则。G=()

125V512564326

A.-----B.---C.—D.----

64642727

2.（2024•德州）如图，RtAABCZABC=90°，BD±AC,垂足为。，AE平分N8AC,分别交5。,

5C于点RE.若A3：BC=3：4,贝！JBRFD为（）

C.4：3D.2：1

3.（2024•温州三模）如图，正方形ABC。由四个全等的直角三角形拼接而成，连结“尸交。E于点若

)

42

A.-B.-C.-D.-

9273

4.(2024•南通)在△ABC中，/B=/C=a(0°<a<45°),AH1BC,垂足为H。是线段8C上的动

点（不与点”，C重合），将线段。“绕点。顺时针旋转2a得到线段。E.两位同学经过深入研究，小

明发现：当点£落在边AC上时，点。为8C的中点；小丽发现：连接AE,当AE的长最小时，AH2=

请对两位同学的发现作出评判（）

A.小明正确，小丽错误B.小明错误，小丽正确

C.小明、小丽都正确D.小明、小丽都错误

5.（2024•东营）如图，在正方形ABC。中，AC与BD交于点。，X为A8延长线上的一点，且2D,

连接分别交AC,BC于点E,F,连接8E,则下列结论:

„CFV3

①---:

BF2

@tanZH=V3-1；

③BE平分/CBD；

@2AB2=DE'DH.

其中正确结论的个数是（）

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

压轴题型二：相似三角形填空题

1.（2024•苏州）如图，△ABC中，ZACB=90°,CB=5,CA=10,点。，E分另I」在AC,AB边上，AE=展AD,

连接DE,将△ADE沿。E翻折，得到△尸£比，连接CE,CF.若的面积是△BEC面积的2倍,

则AO=.

2.（2024•成都）如图，在Rt/VIBC中，NC=90°,A£＞是△ABC的一条角平分线，E为中点，连接

BE.若BE=BC,CD=2,贝U8。

3.（2024•无锡）如图，在△A8C中，AC=2,AB=3,直线CN〃AB,E是BC上的动点（端点除外），射

线AE交CM于点D.在射线AE上取一点P,使得AP=2ED,作PQ//AB,交射线AC于点Q.设AQ

=尤，PQ=y.当尤=y时，CD;在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式

4.（2024•重庆）如图，在△A8C中，延长AC至点。，使C£）=CA,过点。作Z）E〃C8,KDE=DC,连

接AE1交8C于点?若NC4B=NCR1,CF=1,贝！JBF

D

E

5.（2024•东阿县模拟）如图，正方形ABC。的边长为12,QB的半径为6,点P是OB上一个动点，则PD+^PC

的最小值为

6.（2024•济宁）如图，ZkABC中，AB^AC,ZBAC=90°,4。是△ABC的角平分线.

(1)以点2为圆心,适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点、E,F.

(2)以点A为圆心,BE长为半径画弧,交AC于点G.

(3)以点G为圆心,跖长为半径画弧,与（2）中所画的弧相交于点

(4)画射线AH.

(5)以点8为圆心,长为半径画弧,交射线AH于点M.

连接MC,MB.KB分别交AC,于点N,P.

根据以上信息，下面五个结论中正确的是.（只填序号）

①BD=CD；②NA8M=15。③/APN=/ANP；=­；⑤MC?=MN*MB.

AD2

压轴题型三：相似三角形常见模型

1.（2024•西宁）【感知特例】

（1）如图1,点A,3在直线/上，AC±l,DBM,垂足分别为A,B,点尸在线段AB上，且PCLPD

垂足为p.

结论：AC，BD=AP，BP

（请将下列证明过程补充完整）

证明：VACX/,BDLl,PC±PD

：.NCAP=/DBP=/CPD=90°,

：.ZC+ZAPC=90°,

,+ZAPC=90°,

,（同角的余角相等）

AAPC-,（两角分别相等的两个三角形相似）

•••=,（相似三角形的对应边成比例）

即AC・BD=AP*BP.

【建构模型】

（2）如图2,点A,8在直线/上，点尸在线段上，且NCAP=/DBP=NCPD.结论

•2尸仍成立吗？请说明理由.

【解决问题】

（3）如图3,在AABC中，AC=BC=5,A8=8,点P和点。分别是线段AB,8C上的动点，始终满足

ZCPD=ZA.设AP长为x（0<x<8）,当尤=时，8D有最大值是.

图］图2图3

2.（2024•江西）综合与实践

如图，在RtZkABC中，点。是斜边A8上的动点（点。与点A不重合），连接CD,以CO为直角边在

CECB

C。的右侧构造RtZXCDE,ZZ）CE=90°,连接BE,一=一=m.

特例感知

(1)如图1,当机=1时，8E与A。之间的位置关系是,数量关系是.

类比迁移

(2)如图2,当"zWl时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用

(3)在(1)的条件下，点尸与点C关于。E对称，连接。凡EF,BF,如图3.已知AC=6,设A。

=x,四边形的面积为y.

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当8F=2时，请直接写出的长度.

3.(2024•资阳)(1)【观察发现】如图1,在中，点。在边BC上.若/B4Z)=/C,则人林二区”

BC,请证明；

(2)【灵活运用】如图2,在△ABC中，NBAC=60°,点。为边BC的中点，CA=CD=2,点E在AB

上，连接A。，DE.若/AED=NCAD,求BE的长；

(3)【拓展延伸】如图3,在菱形ABC。中，48=5,点E,尸分别在边ADCD上,NABC=2/EBF,

图1图2图3

4.（2024•齐齐哈尔）综合与实践

如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受

这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在△ABC中，NA=90°,将线段8C

绕点8顺时针旋转90°得到线段8。，作交AB的延长线于点E.

（1）【观察感知】如图2,通过观察，线段与。E的数量关系是；

（2）【问题解决】如图3,连接C。并延长交A8的延长线于点若AB=2,AC=6,求△2。产的面积；

BN

（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交8。于点N,则一=；

BC----------------

（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线A8上找点P,使tan/BCP=',请直接写出线段AP的长

度.

压轴题型四：相似三角形综合题

1.（2024•上海）如图所示，在矩形ABCD中，E为边C£）上一点，且AE_L8O.

（1）求证：AD2=DE-DC；

⑵厂为线段AE延长线上一点，且满足£尸=6=扣0,求证：CE=AD.

F

2.(2024•船山区校级模拟)如图，在菱形ABCD中，点M是8C上一点，连接AM并延长分别交BD和

OC的延长线于点。和点N,连接CQ.

CQQM

(1)求证：—

NQCQ

(2)连接AC,若AM_LBC,且QN=8,MN=6,求8。的长.

D

3.(2024•临夏州)如图1,在矩形ABC。中，点E为边上不与端点重合的一动点，点/是对角线3。

上一点，连接BE,AF交于点。，且

【模型建立】

(1)求证：AF1BE；

【模型应用】

1

(2)若AB=2,AO=3,DF=^BF,求。E的长；

【模型迁移】

(3)如图2,若矩形ABC£)是正方形，DF=jBF,求丝的值.

2AD

IT

4.（2024•赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图1,在AABC

中，AB=AC,点。是AC上的一个动点，过点。作。于点E,延长££）交BA延长线于点立

请你解决下面各组提出的问题:

（1）求证：AD=AF；

⑵探喘噎的关系;

AD1DF2AD4DF8

某小组探究发现，当点=/，-=-;当而=/，-=-

请你继续探究:

AD7DF

①当而=4时,直接写出法的值;

ADmDF

②当而=£时,猜想法的值（用含相,”的式子表示），并证明;

（3）拓展应用：在图1中，过点歹作尸PLAC,垂足为点P,连接CR得到图2,当点。运动到使/

,AD771AP

ACF=/ACB时，若一—,直接写出访的值（用含m,n的式子表不）.

DCn

图1图2

5.(2024•甘南州)某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:

(1)如图1,在正方形A8CD中，点、E,P分别是AB,上的两点，连接。E,CF,且。猜

想并计算”的值；

CF

CE

(2)如图2,在矩形ABCD中，ZDBC=30°,点E是A。上的一点，连接CE,BD,且CELBD,求——的

BD

值；

(3)如图3,在四边形ABC。中，NA=/8=90°,点E为A8上一点，连接QE,过点C作。E的垂

线交EZ)的延长线于点G,交的延长线于点E求证：DE-AB^CF-AD.

压轴题04相似三角形

3盘重点•抓核心

相似三角形是中考数学中难度跨度大、与其他考点结合性比较强、重要性比较高的一个考点，所以全

国各地很多压轴题基本都会有相似三角形的参与。对与这类压轴题，相似三角形常用考点有：

1、相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例；

而相似三角形对应边成比例是几何问题求长度时列方程最常用的等量关系。

2、相似三角形的判定：

①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

②有两个角对应相等的两个三角形相似；

③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；

④三边对应成比例的两个三角形相似。

3、相似三角形的其他应用：

①两相似三角形的周长比=相似比；对应边上的高线、中线之比=相似比；对应角的角平分线之比=相似

比；

②两相似三角形的面积比=相似比的平方；

③三角形的重心：三角形三边中线的交点叫做重心；三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段；

4、相似三角形常见模型：

①平行类相似——A字图'8字图，如图：当DE〃BC时，AADEs^ABC

②K型图，如图：当NA=ND=NBCE时，△ABCs^DCE

③手拉手相似，如图：当△ABCs/JkDE时，ZkABDs/iACE

④母子三角形：如图，当NACD=NB时，△ACDS2^ABC

⑤射影定理：如图，则△ADCs/iCDBs/iACB

0

压轴题型一：相似三角形选择题

1.(2024•巴中)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则。G=()

125V512564326

A.---------B.-----C.—D.-------

64642727

【分析】先根据相似三角形的性质得出图中直角三角形的一个锐角为30°,再利用特殊角的三角函数值

结合相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：因为图中12个直角三角形都相似，

所以360°+12=30°,

即直角三角形中较小的锐角为30°.

在RtZXOAB中，

cosXAOB=缁，

因为乙408=30°,

,0AV3

所以=T'

0B2

同理可得，

OFV3OCV30DV3V3OFV3

OC2OD2OE~2'OF~2'OG~2

广…04V3,27

所以二7=（TT）6

OG27'64'

又因为OA=\,

所以OG=f^.

故选：C.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键.

2.（2024•德州）如图，RtZXABC中，ZABC=90°,BD1AC,垂足为。，AE平分/A4C,分别交

BC于点、F,E.若AB：BC=3：4,则FD为（）

A.5：3B.5：4C.4：3D.2：1

【分析】设AB=3x,BC=4x,根据勾股定理得到AC=7AB2+BC2=5x,根据相似三角形的性质得到

AD=|x,根据等腰三角形的性质得到BE=8凡根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：BC=3：4,

.•.设AB=3x,BC=4x,

VZABC=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=5x,

'：BD±AC,

ZADB=ZABC=90°,

*：ZBAD=ZCABf

：.△ABDS^ACB,

ABAD

•t•—,

ACAB

.3xAD

••—,

5%3%

•*AD—5x,

TAE平分N5AC,

・•・ZBAF=ZDAFf

：./AEB=/AFD,

丁ZAFD=ZBFE,

:./BEF=/BFE,

；.BE=BF,

VZABE=ZADF=9Q°,

ZBAE=ZDAFf

：.AABE^AADF,

.BEAB

••—,

DFAD

*BFAB3x5

••----Q--，

DFAD|x3

方法二：VAB：BC=3：4,

・••设A8=3x,BC=4x,

VZABC=9Q°,

：.AC=7AB2+BC?=5x,

VBZ)±AC,

ZADB=ZABC=90°,

9

：ZBAD=ZCABf

：.△ABDS^ACB,

.AB_AD_

••—,

ACAB

.3xAD

••—,

5%3x

Q

：.AD=^x,过/H_LA8于从

TAE是N5AC的平分线，FDLAC,

:・FH=FD,

・・•/A_FH_AD

・smZABDND=丽=诟

.BFAB5

・'DF~AD~3'

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判

定和性质定理是解题的关键.

3.（2024•温州三模）如图，正方形A3CQ由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M.若

【分析】延长CB,DE,交于点N,设A"=l,AE=2,依据即可得出8N=1.5；再根

HM

据ADHMsANFM,即可得到——的值.

FM

【解答】解：如图所示，延长C3,DE,交于点N,设AH=1,AE=2,

・・•正方形A3CD由四个全等的直角三角形拼接而成,

：.BE=1,DH=BF=2,

,：AD//BN,

・•・AADEsXBNE,

—AD=A—E,Bp—3=2一,

BNBEBN1

；・BN=1.5,

U：DH//NF,

:.ADHMsANFM,

tHMPH24

"FM~NF~3.5~7’

故选：C.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是延长CbDE,构造两对“8”字

模型相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行计算.

4.（2024•南通）在△ABC中，ZB=ZC=a（0°<a<45°）,AH±BCf垂足为H,。是线段上的动

点（不与点”，C重合），将线段。〃绕点。顺时针旋转2a得到线段OE两位同学经过深入研究，小

明发现：当点E落在边AC上时，点。为HC的中点；小丽发现：连接AE,当AE的长最小时，AH2=

请对两位同学的发现作出评判（）

A.小明正确，小丽错误B.小明错误，小丽正确

C.小明、小丽都正确D.小明、小丽都错误

【分析】旋转得到。ZHDE=2a,当点E落在边AC上时，利用三角形的外角推出/CEZ）=a

=ZC,进而得到。E=CD,推出DH=CD,判断小明的说法，连接AE,HE,等边对等角，求出NDHE=

1

乙DEH=|（180°-2a）=90。-a,进而求出/AMD-推出点E在射线HE上运动，

根据垂线段最短，得到时，AE的长最小，进而推出判断小丽的说法即可.

（解答］解：；将线段DH绕点D顺时针旋转2a得到线段DE,

:.DH=DE,ZHDE=2a,

当点E落在边AC上时，如图:

：.ZCED=a=ZCf

:・DE=CD,

：.DH=CD,

・・・。为。〃的中点，

故小明的说法是正确的;

连接AE,HE,

1

:•乙DHE=乙DEH=.（180。-2a）=90°-a,

VAHXBC,

AZAHB=ZAHD=90°,

・•・ZAHE=ZAHD-ZDHE=a,

・••点E在射线“右上运动，

・,•当AE_LHE时，AE的长最小，

・••当AE的长最小时，ZAEH=ZAHB=90°,

又•：/B=NC=a=NAHE,

4EAH

：.—=—,

AHAB

.\AH2=ABM£,

故小丽的说法正确;

故选：C.

【点评】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的

判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点E的轨迹，是解题的关键.

5.（2024•东营）如图，在正方形ABCQ中，AC与8。交于点O,"为AB延长线上的一点，且

连接。X,分别交AC,BC于点、E,F,连接8E,则下列结论:

_CFV3

①一=—

BF2

@tanZH=V3-1；

③BE平分/CBD；

@2AB2=DE'DH.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】通过证明△•DCFs可得号=故①错误；由tanH=船=V2-1,故②错误；

DHBF2a门

由正方形的性质可得AC垂直平分2D,ZCDB^ZCBD,可得DE=BE,由角的数量关系可求

NDBE,即BE平分/CB。，故③正确；通过证明可得2AB?=DE・DH,故④正确；即

可求解.

【解答】解：^AB=BC=CD=AD=a,

:四边形ABC。是正方形,

：.CD//AB,BD=y[2a=BH,

:.△DCFs△HBF,

DCCFa42.

—=-=，故①错陕;

BHBFv2a2

DA_a

,.*tanH=

4Ha-\-41a

.,.tanH=V2-1,故②错误;

•；BD=BH,

：.ZH=NBDH,

9：CD//AB,

：./CDE=NH,

：.ZCDE=ZBDE=/H,

・・•四边形ABC。是正方形，

・・・AC垂直平分8D,/CDB=/CBD,

:・DE=BE,

:・/EDB=/EBD,

:,NCDE=NCBE,

：.NCBE=NDBE,

:・BE平分NCBD,故③正确；

,/ZBDE=/BDE,ZEDB=ZH=NDBE,

:•丛DEBs丛DBH,

.空DB

••=,

DBDH

：.DB2=DE'DH,

：.2.AB2=DE-DH,故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

压轴题型二：相似三角形填空题

L(2024•苏州)如图,△ABC中,ZACB=90°,CB=5,CA=10,点。,E分别在AC,AB边上,AE=短£>,

连接DE,将△AOE沿。E翻折，得到△尸£比，连接CE,CF.若的面积是△BEC面积的2倍，

,10

则A£>=—.

-3-

【分析】设AD=x,AE=V5x,根据折叠性质得。尸=AO=x,ZADE=ZFDE,过E作EH_LAC于”，

EHAHAE

设EF与AC相交于M,证明得到一=—=一，进而得到EH=x,AH=2x,证明

BCACAB

RtAEHD是等腰直角三角形，得到NHDE=/HED=45°,可得/即M=90°,证明△/。A/g/kEHM

1Q

(AAS),得到。M=MH=2%，贝UCM=4C—AD—DM=10-尹，根据三角形的面积公式结合已知可

得(10--久=2(25-5x),然后解一元二次方程求解X的值即可.

【解答】解：：4石=迅月。，

.,.设4。=尤，AE—V5x,

•/AADE沿DE翻折，得到△fDE,

：.DF=AD=x,ZADE=ZFDE,

过万作EHL4c于H,设EP与AC相交于M,

则/AHE=/ACB=90°,

又：ZA=ZA,

AAHEsAACB,

.EHAHAE

"BC~AC~AB'

'：CB=5,CA=10,AB=y/AC2+BC2=V102+52=5花，

.EHAHV5x

5—10—5后

：.EH=x,AH=VXF2-EH2=2%,贝UDH=AH-AD=x=EH,

；.RtZ\EHD是等腰直角三角形，

：.ZHDE=ZHED=45°,则/4。£=/石。尸=135°,

：.ZFDM^135°-45°=90°,

在△下。M和中,

NFDM=乙EHM=90°

乙DMF=4HME

、DF=EH

MFDMm4EHM(A4S),

13

：.DM=MH=^x,CM=AC-AD-DM=10-|x,

1I133

=SACME+SACMF=nCM,EH+5CM,DF—(10—,xx2=(10-,x,

乙乙乙乙乙

11

SABEC=SAABC—^LAEC=aXl0x5—=25-5x,

■:&CEF的面积是ABEC的面积的2倍,

3

・•・(10-界)•％=2(25-5%),

贝ij3/-40x+100=0,

1n

解得久1=手，X2=10（舍去）,

则力D=学

、a10

故答案为：—

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形

的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用

是解答的关键.

2.（2024•成都）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,是△ABC的一条角平分线，E为中点，连接

,1+V17

BE.若BE=BC,CD=2,则8。=------

-2

【分析】连接CE,过E作E/LL8C于凡设无，则8c=x+2,由/AC8=90°,E为中点，可

iCECD

得CE=AE=DE=aAD,有NCAE=NACE,/ECD=/EDC,证明可得一二一,

/BCCE

0,ACBC

/CED=NCBE,故。炉=。。・8。=2(x+2)=2x+4,MffiAABC^ABEF,得一二一,而AC=2ER

BFEF

即得2EF2=(X+1)(X+2),从而生咛出2=(2x+4)-I2,即可解得答案.

【解答】解：连接CE,过E作于R如图:

VZACB=90°，E为A0中点,

，CE=AE=DE=1AD,

：.ZCAE=ZACE,NECD=NEDC,

：.ZCED=2ZCAD,

•：BE=BC,

:・NECD=NBEC,

；・/BEC=/EDC,

•：NECD=NBCE,

:•△ECDS^BCE,

CECD

：.——=—,/CED=NCBE,

BCCE

；・CE2=CD・BC=2(X+2)=2X+4,

VAD平分NCA3,

：.ZCAB=2ZCAD.

:・NCAB=NCED,

・・.NCAB=NCBE,

VZACB=90°=NBFE,

：.△ABC"△BER

.ACBC

••=,

BFEF

•：CE=DE,EFLBC,

1

：.CF=DF=^CD=1.

;后为人。中点，

：.AC=2EF,

.2EFx+2

'<%+1—EF'

；.2£F2=(X+1)(X+2),

1/EF2=C£2-CF2,

=⑵+4)

解得尸土孝生或户上尹（小于0,舍去）,

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角

形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，熟练掌

握三角形相关知识是解答的关键.

3.（2024•无锡）如图，在△ABC中，AC=2,AB=3,直线CM〃A2,E是BC上的动点（端点除外），射

线AE交CM于点D在射线AE上取一点P,使得AP=2EZ）,作尸。〃AB,交射线AC于点。.设A。

=x,PQ=y.当x=y时，CD=2；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为_y=.

Q/-/P

AQPQ

【分析】易得CD〃PQ,则△APQS^ADC,得出二代入数据即可求出CD=2；根据△APQs

2CDDE2丫「

AADC,得出CD=把V，设。E=f,则4尸=2。通过证明△CDEs/XBAE,得出——=——，贝i]4E=岁，

进而得出4D=AE+DE=~3^y—，结合△APQS^AOC,可得祭=笫，代入各个数据，即可得出y

关于尤的函数表达式.

【解答】解：VCM//AB,PQ//AB,

J.CD//PQ,

AAPQ^/\ADC,

:.丝=丝，用=三,

ACCD2CD

•・・1=y,

:.CD=2；

:AAPQ^AADC,

.丝_丝-2L

ACCD2CD

整理得：CD=?,

设DE=3

\'AP=2ED,

：.AP^2t,

'：CM//AB,

二△CDES/XBAE,

2y

CDDEt

--=---,即---=---,

ABAE3AE

整理得：2E=簧，

：,AD=AE+DE=^+t=^^,

•・•AAPQ^AADC.

AQAPx2t

—=—,艮|3-=?

ACAD2t(3x+2y)

-2y-

整理得：、=福，

故答案为：2,y=

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例.

4.（2024•重庆）如图，在△ABC中，延长AC至点。，使CZ）=CA,过点。作。£〃C8,MDE=DC,连

接AE交8c于点尺若/CAB=NCR1,CP=1,则8/=3

D

E

【分析】由平行线的等分线段定理推出由三角形中位线定理推出。丘=2。尸=2,得至IJAC=2CT

=2,由△CA/S/XCBA,推出AC：BC=CF：AC,求出8C=4,即可得到8月的长.

【解答】解：,.,CZ)=CA,DE//CB,

：.AF=EFf

・・・C/是△4£)£；的中位线，

:・DE=2CF=2,

■:DE=DC,

：.AC=2CF=2,

9：ZCAB=ZCFA,ZACF=ZACB,

AACAF^ACBA,

：.AC：BC=CF：AC,

A2：BC=1：2,

：.BC=4f

:・BF=BC-FC=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，关键是由三角

形中位线定理得到AC=2C尸=2,由△CAFS2\Q5A,推出AC：BC=CF：AC.

5.(2024•东阿县模拟)如图，正方形A3C。的边长为12,OB的半径为6,点尸是上一个动点，则PD+^PC

的最小值为15.

BC

1

【分析】连接尸5,在5C上截取BE=3,可证得从而PE=[PC.

【解答】解：如图，

连接尸5,在8。上截取5E=3,则CE=BC-8E=12-3=9,

.BEPB1

••PB~BC~2

■:/PBE=/CBP,

:.ABPESABCP,

.PEBE1

••PC~PB~21

1

；・PE=^PC,

1

：.PD+^PC=PD+PE,

・•・当点。、P、E共线时，尸。+尸石最小,

•：DE=VCP2+CE2=V122+92=15,

.*.PD+*PC的最小值为15,

故答案为15.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是丛辅助线，构

造相似三角形.

6.(2024•济宁)如图，△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,AO是△ABC的角平分线.

(1)以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交54,BC于点E,F.

(2)以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G.

(3)以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点H.

(4)画射线AH.

(5)以点2为圆心，BC长为半径画弧，交射线于点

(6)连接MC,MB.MB分别交AC,AD于点N,P.

根据以上信息，下面五个结论中正确的是①②⑤.(只填序号)

4MV3

①BZ)=CD；②/ABM=15。③/APN=/ANP；④一=­；⑤Md=MN*MB.

AD2

A

//\\N^rIV?v\

【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MKLBC于点K,证出四边形AOKM为矩形，

即可通过边的比值关系求出/MBK=30°,即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角

的值进行

比较即可判断③；设AP=尤，则PD=AD-尤，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；

判定出LBMCs△CMN即可判断⑤.

【解答】解：TAB=AC,/BAC=9。；

三角形ABC为等腰直角三角形，ZABD=ZACD=45°,

又是△ABC的角平分线，

11

AZBAD^ZCAD=^ZBAC^x90°=45°,

ZABD=ZACD=ZBAD=ZCAD=45°,

：.BD=AD=DC,故①正确；

根据题意作图可得：ZMAC=ZABD=45°,BM=BC,

过M作MK_L8C于点K,则NMK2=90°,如图：

：是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD1BC,即NAOC=90°,

VZDAM=ZDAC+ZMAC=450+45°=90°,

/.ZDAM=ZMKB=ZADC=90°,

四边形ADKM为矩形,

11

・・・MK=AD=今BC=专BM,

：.ZMBK=30°,

AZABM=AABD-ZMBK=45°-30°=15°,故②正确；

VZAPN=ZABM+ZBAD=15°+45°=60°,NANP=NMBK+NDAC=30°=75

：.ZAPN^ZANP,故③错误；

设AP=x,则尸。=AO-x,

9：AM//BC,

：.ZAMB=ZMBC=30°,

.*.tanZAMB=tan30o=瑞=肃=等，即AM=底，

八cc。PDAD-x/3pinA八3X+73X

tanZMBC=tan30=-HH=—TTT-=亍，即AZ)=----□----，

DUAU3Z

*=&=«-'，故④错误；

2

添加解法：在Rt^MBC中，tan/MBC=万2%=£

Zi/*7J

(3-V3)AD=V3AM,

AMI-

A—■=V3-1,故④错误;

180。一4MBC180°-30°n。

•：NBMC=NBCM=

2-2—=75

:/MNC=NANP=15°，

/MNC=ZBCM,

又〈NBMC=NCMN,

:.ABMCsACMN,

：.MC：MN=MB：MC,

:.Md=MN,MB,故⑤正确；

综上所述，正确的有：①②⑤;

故答案为：①②⑤.

【点评】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含30度角的直角

三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是

解题的关键.

压轴题型三：相似三角形常见模型

1.（2024•西宁）【感知特例】

（1）如图1,点A,8在直线/上，ACM,DBLI,垂足分别为A,8,点尸在线段AB上，且PCLLP。，

垂足为P.

结论：AC-BD=AP'BP

（请将下列证明过程补充完整）

证明：VAC±Z,BD1l,PC±PD

：.NCAP=NDBP=NCPD=90°,

.\ZC+ZAPC=90°,

ZDPB.+ZAPC^90°,

ZC=NDPB,（同角的余角相等）

/.AAPCsABDP,（两角分别相等的两个三角形相似）

4cAP

,（相似三角形的对应边成比例）

-BP——BD—

即AC・BD=AP*BP.

【建构模型】

（2）如图2,点A,B在直线/上，点尸在线段上，且/CAP=/DBP=/CPD.结论

•8尸仍成立吗？请说明理由.

【解决问题】

（3）如图3,在AABC中，AC=BC=5,A8=8,点尸和点。分别是线段AB,8C上的动点，始终满足