2025年中考数学压轴题型模型方与技巧：几何选填压轴之一题多解与一题多变（原卷版+解析）

2025届中考复习专题13:几何选填压轴之一题多解与题多变⑴

一、宿迁中考真题：瓜豆最值问题的3类处理策略........................................2

【变式11直线型瓜豆最值...................................................2

【变式2】圆弧型瓜豆最值问题...............................................2

【变式3】路径问题..........................................................3

【变式4]瓜豆+将军饮马....................................................3

【变式5】瓜豆+胡不归.......................................................4

二、广州市2022中考真题：加权线段和最值问题・7种解法................................6

【变式1】阿氏圆问题（3类）................................................6

【变式2】加权费马点问题...................................................7

【变式3]胡不归问题（3类）..................................................7

【变式4】加权逆等线问题...................................................8

【变式5】瓜豆加权线段和问题...............................................8

【变式6】2024•四川泸州•中考真题............................................9

【变式7】2024•四川凉山•中考真题............................................9

三、成都・2024四川师大附中九年级B卷压轴:相似构造一题10解......................10

【变式1】2024深圳坪山区中考一模..........................................10

【变式2】2023武汉中考几何压轴............................................10

【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴.............................12

【变式4]2025成都青白江区统考B卷压轴...................................12

四、深圳・2024中考真题填空压轴：结合相似求比值•一题5解............................13

【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴......................................13

【变式2】线段比转化为相似比..............................................13

【变式3】求线段比.........................................................14

五、深圳市宝安中学九年级联考压轴：旋转六法构造手拉手共8种解法.....................14

【变式1】2022深圳中考填空压轴............................................15

【变式2]2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴........................15

【变式3】湖北襄阳•中考真题................................................15

【变式4】2020武汉市中考几何压轴..........................................16

六、深圳市二模压轴:1234模型,45。与线段比构造相似一题6解........................16

【变式1】12345模型.......................................................16

【变式2】线段比构造相似...................................................17

【变式3】利用特殊角度解三角形............................................18

一、宿迁中考真题：瓜豆最值问题的3类处理策略

如图，正方形ABC。的边长为4,E为8C上一点，且8£=1,尸为AB边上的一个动点，连接ER

以跖为边向右侧作等边△£/&连接CG,则CG的最小值为.

【变式1】直线型瓜豆最值

【练1-1】如图，正方形A8CD的边长为4,E为3c上一点，且8E=1,F为AB边上的一个动点,

连接EF,以EF为底向右侧作等腰直角AE/G,连接CG,则CG的最小值为.

【练1-1］如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.P是对角线AC上的动点，连接DP.将直线DP绕点P顺

时针旋转，使Nl=/2,且过点D作DGLPG,连接CG.则CG最小值为

【变式2】圆弧型瓜豆最值问题

【练2-1】如图，AB=4,O为钻的中点，的半径为1,点尸是。。上一动点，以尸3为直角

边的等腰直角三角形P3C（点P、B、C按逆时针方向排列）,则线段AC的长的取值范围为.

【练2-2】如图，在△ABC中，AB=8,AC=3石，将CB绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接AD,

则AD的最大值是.

【变式3】路径问题

【练3-1】如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,动点E从点A运动到点，以CE为边在CE

的右侧构造正方形CEFG,连接AF,则AF的最小值为，点尸运动的路径长为.

【练3-2】如图，在正方形ABCD中，AB=8,点E在边AD上，且A£>=4AE,点尸为边上的

FF

动点，连接PE,过点E作砂_LPE,交射线BC于点E则y=_____,若点M是线段所的中点，

PE

则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为.

【变式4】瓜豆+将军饮马

【练4-1】如图1,对于平面内的点A、P,如果将线段总绕点P逆时针旋转90。得到线段尸B,就称

点8是点A关于点P的“放垂点如图2,已知点4(4,0),点尸是y轴上一点，点B是点A关于点

图1图2

A.4B.4A/5C.8D.86

【练4-2】如图，在矩形ABC。中，AB=4,8C=9,M为8c上一点，连接MA,将线段绕点M

顺时针90。得到线段MN,连接CMDN,则CN+OV的最小值为.

【变式5】瓜豆+胡不归

【练5-1】如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),点C的坐标是(0,-2).点3(x,0)是x轴上的

动点，点8在X轴上移动时，始终保持△ABP是等边三角形(点P不在第二象限),连接尸C,求得

A.473B.4C.2A/3D.2

【练5-2】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最值”为主题的探究活动.

E

【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1,在矩形ABC。中,AB=6,BC=12,尸为边上

的一动点，以PC为边向右作等边APCE,连接8E,如何求BE的最小值?

【探究发现】小亮发现:如图4所示，以BC为边向下构造一个等边ABCM,便可得到APCM当AECB,

进而将BE的最小值转化为PM的最小值的问题.

(1)按照小明的想法，求证：APCM冬AECB；并求出BE的最小值.

【拓展应用】

(2)小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2,若将图1当中构造的等边三角形，改为以PC

为边向右构造正方形PC尸G,在运动过程中，求出BG的最小值.

(3)小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3,若将图2当中构造的正方形

改为以PC为边向右构造菱形PC印，使NCP/=120。，请求得8/的最小值；再请你直接写出

BI+J3BH的最小值_______.

(4)第二天徐老师对同学们说：我看到了大家在解决复杂问题时所展现出来的创造力和逻辑思维能

力，这正是我们学习数学的意义所在，并又提出了新的问题：求走8/-'pa的最大值.

32

二、广州市2022中考真题：加权线段和最值问题•7种解法

如图，在菱形A8CD中，ZBAD=120°,AB=6,连接8。.

⑴求BD的长；

⑵点E为线段8。上一动点（不与点2,。重合），点尸在边AD上，且8£=石。尸，当四边形

的面积取得最小值时，CE+&C尸的值是否也最小？如果是，求CE+百CF的最小值；如果不是，

请说明理由.

【变式1】阿氏圆问题（3类）

【练1-1】如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一

动点，连接4°,BP.

求①+®2AP+BP;®^AP+BP；④AP+33尸的最小值.

【练1-2】如图，在。。中，点A、点8在。。上，ZAOB=90°,。4=6,点C在。4上，且OC=2AC,

点。是08的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DW的最小值为.

【变式2】加权费马点问题

【练2-1】在等边三角形ABC中，边长为4,尸为三角形A8C内部一点，求AP+BP+&PC的最小值

【练2-2】如图，在AABC中，NACB=60。，BC=3,AC=4,在AABC内部有一点P,连接

PA,PB,PC,贝I（1）工巳4+立心+「。的最小值为；（2）++的

2222

最小值为

【变式3］胡不归问题（3类）

【练3-1】如图，0。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE1AC于点E,点尸

为线段BE上一动点（点P不与2,E重合），则CP+；BP的最小值为.

A

【练3-2】如图，二次函数y=/+2依-3a与x轴交于点A,B,对称轴为直线/,顶点C到x轴的

距离为.点尸为直线/上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿C尸运动到

点P,再以每秒1个单位长度的速度沿PA运动到点A停止，则时间最短为秒.

【练3-3】如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=26,点E在上，连接。E,在点E的运动

过程中，BE+ViDE的最小值为.

【变式4】加权逆等线问题

【练4-1】如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=\,AC=2.D,E分别是边A3,AC上的动

点，且CE=2AD,则8E+2CD的最小值为.

【练4-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-#+%+4与无轴交于两点4（-3,0）,3（4,0）,与

y轴交于点。（0,4）.若点。，E分别是线段AC,A3上的动点，且AE=2CD,求CE+2BD的最小

值.

【变式5】瓜豆加权线段和问题

【练5-1】（原创题）已知点A（2,O）,点B是直线y=—2上一个动点，将线段绕点B逆时针旋

转90°得到线段BC

（1）求0C的最小值；

（2）求逝3C+OC的最小值；

（3）记0（0,2）,①求。C+06的最小值；②求003+OC的最小值

【练5-2】如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=20，点E为边上一动点，以CE为边向右作

直角三角形CEF使/CEP=90。，ZCFE=30°,连接BE,BF,求8E+』族的最小值.

2

【变式6】2024•四川泸州•中考真题

【练6-1】如图,在边长为6的正方形ABCD中，点E,尸分别是边AB,3C上的动点，且满足4E=3产,

"与DE交于点。，点M是O尸的中点，G是边A3上的点，AG=2GB,则OM+g/G的最小值

是（）

A.4B.5C.8D.10

【变式7】2024•四川凉山•中考真题

【练7-1】如图，在菱形A5CD中，ABC=60°,AB=2,E是BC边上一个动点，连接AE,AE的

垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点、N.连接EN,CN.

⑴求证：EN=CN；(2)求2E7V+BN的最小值.

三、成都・2024四川师大附中九年级B卷压轴：相似构造•一题10解

如图，在菱形ABCD中，4=120。，点E是BC上一点，连接AE,将AE绕点E顺时针旋转120。至FE,

连接AF与CQ交于点G,若段=?，则与|=_____.

CG4CE

【变式1】2024深圳坪山区中考一模

【练1-1】如图，E是菱形ABCD边BC上一点，ZABC=120°,把AE绕点E顺时针旋转120。得到

FE、交C。于点G,BE=1,EC=2,则DG=.

【变式2】2023武汉中考几何压轴

【练2-1】问题提出：如图(1),E是菱形A3CD边8C上一点，△A£F是等腰三角形，AE=EF,

/4£厂=/转。=々(0290。),跖交。于点6,探究/GC5与。的数量关系.

⑴(2)(3)

问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图(2),当a=90。时，直接写出/GCF的大小；

(2)再探究一般情形，如图(1),求NGCT与。的数量关系.

问题拓展：

(3)将图(1)特殊化，如图(3),当“=120。时，若段=：,求罢的值.

CG2CE

【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴

【练3-1】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理

问题的重要手段.

（1）【问题情景】：如图（1）,正方形ABCD中，点E是线段上一点（不与点B、C重合），连接

EA.将E4绕点E顺时针旋转90。得到砂，连接C/,求的度数.

以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，

①小聪：过点尸作BC的延长线的垂线；

②小明：在上截取使得=

请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

BECBEc

图⑴图⑵图(3)

（2）【类比探究】：如图（2）点E是菱形ABCD边BC上一点（不与点8、C重合），ZABC=a,

将E4绕点E顺时针旋转“得到EF,使得NA防=NABC=a（a290。），则/FCD的度数为

（用含a的代数式表示）

（3）【学以致用】：如图（3）,在（2）的条件下，连结AF,与CD相交于点G,当口=120。时，若丝=二，

CG2

求三三的值.

【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴

【练4-1】如图，在菱形ABCD中，AB=6,E是边BC上一点,在的右侧作=且

^AEF=^ABC=120°,连接C/,连接"交于点G.若G为边C。的三等分点，则班的长

为________________.

-F

BEC

四、深圳•2024中考真题填空压轴：结合相似求比值•一题5解

CRDO

如图，在VA3C中，AB=BC,tanZB=-,。为BC上一点，且满足五=y，过。作DE工AD交

AC延长线于点E,则三=

A

【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴

【练1-1】如图，在VABC中，AB=BC,tanZB=1-,D为BC上一点,若满足过。

12o

CF

作。EIAD交AC延长线于点E,贝-

【变式2】线段比转化为相似比

【练2-1】如图，在RrAABC中，ZABC=90°,C（0,-3）,CD=3AD,点A在>=：上，且>轴平分

角ACB,求上=.

C

【练2-2】如图，在Rt^ABC中，/C=90。，AD是VABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE.若

BE=BC,CO=4,贝.

【练2-3】在锐角AABC中，AD,仍分别为“LBC的中线和角平分线，AD=BE,且则

AC

BC

【变式3】求线段比

3

【练3-1】（深圳中考）如图，在AABC中，AB=AC,tanB=：,点。为BC上一动点，连接AD,

4

S-

将△ABD沿AO翻折得到VADE,DE交AC于点G,GE<DG,且AG:CG=3:1,则=_____

»三角形4JG

【练3-2］（深圳中考）如图，已知四边形ABC。，AC与5。相交于点O,ZABC=ZDAC=90°,

q

八1BO4^△ABD

tan,-----=J,则q

2OD3CBD

五、深圳市宝安中学九年级联考压轴：旋转六法构造手拉手共8种解法

己知：如图，在四边形ABCD中，N&LD=90。，/3c0=45。，5=2衣，连接3£>、40若/钻。=60。,

AC=JIU,则BC的长为.

A

【变式1】2022深圳中考填空压轴

【练1-1】已知VABC是直角三角形，N8=90。,AB=3,BC=5,AE=2百,连接CE以CE为底作直角

三角形CDE且瓦/是AE边上的一点，连接和BD且//比>=45。,则转长为.

【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴

【练2-1】如图，四边形A3c。中，ZABC=ZADC=^°,ZBAD>90°,ACLBC,若

AB=2,AD=立,则的长为.

【变式3】湖北襄阳•中考真题

【练3-1】如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C,点。在AB上,

CF

ZBAC=ZDEC=30\AC与交于点方，连接AE,若&)=1,AD=5,则:==.

A

【变式4】2020武汉市中考几何压轴

【练4-1】如图，。是VA3C内一点，/BAD=NCBD=3。。,NBDC40。,AB=4,AC=2y/3,

则AO的长为.

六、深圳市二模压轴：1234模型，45°与线段比构造相似•一题6解

如图，在等腰Rt^ABC中，ZB=90°,BA=BC,D为BC上一点，且8。=3,E为AD

上点，连接CE,NCED=45°,CE=®AE，则CE的长.

【变式1】12345模型

【练1-1】在心AABC中，NC=90。，AD平分班平分/ABC,AD.BE相交于点尸，且

AF=4,EF=&,则AC=.

A

【练1-2】（广东省中考）如图，已知正方形ABCD的边长为6,E为BC的中点，将AABE沿直

线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G,则FG的长是.

【练1-3】如图，矩形A3CD中，AB=3,BC=4,以点2为圆心，适当长为半径画弧，分别交3C,

BD于点、E,F,再分别以点E,尸为圆心，大于长为半径画弧交于点尸，作射线8P,过点C

2

作的垂线分别交3D,他于点M,N,则CN的长为（）

A.MB.VTTc.2A/3D.4

【变式2】线段比构造相似

【练2-1】如图，点E■，点产分别在菱形ABCD的边A3,4。上，S.AE=DF,BF交DE于点G,

AFHF

延长5尸交CD的延长线于若二=3,则6的值为（）

DF7T

【练2-2】如图，菱形A3。的边长为4,E、E分别是AB、上的点，连接CE、CF、EF,AC

与母相交于点G,^BE=AF=1,/BAD=120。，则以3：SAAGE的值为

【变式3】利用特殊角度解三角形

【练3-1】如图，在Rt^ABC中，ZC=90,AC=2y/3,CB=6,。为AC中点，E为BC上一点、,

连接AE、BD交于点、F,若ZAED=30。，则CE的长为

【练3-2］（2024・四川达州•中考真题）如图，在Rt/XABC中,NC=90。.点。在线段8c上,

/BAD=45。.若AC=4,CD=L则VA3C的面积是.

【练3-3】如图，。。的半径为1,四边形ABDC内接于。。，BC是。。的直径，若/AfiC=30。,

BD=CD,贝l|AD=.

［练3-4］（2024・广东深圳・模拟预测）在RtAABC中，ZABC=90。，点石为AC边上的中点,连接BE,

3DF

已知点尸为班的中点，连接b并延长，交A5于点。.若tanA==,则）的值为_____.

4BD

2025届中考复习专题13:几何选填压轴之一题多解与题多变⑴

一、宿迁中考真题：瓜豆最值问题的3类处理策略........................................2

【变式11直线型瓜豆最值...................................................2

【变式2】圆弧型瓜豆最值问题...............................................2

【变式3】路径问题..........................................................3

【变式4】瓜豆+将军饮马....................................................3

【变式5】瓜豆+胡不归.......................................................4

二、广州市2022中考真题：加权线段和最值问题・7种解法................................6

【变式1】阿氏圆问题（3类）................................................6

【变式2】加权费马点问题...................................................7

【变式3］胡不归问题（3类）..................................................7

【变式4】加权逆等线问题...................................................8

【变式5】瓜豆加权线段和问题...............................................8

【变式6】2024•四川泸州•中考真题............................................9

【变式7】2024•四川凉山•中考真题............................................9

三、成都・2024四川师大附中九年级B卷压轴:相似构造一题10解......................10

【变式1】2024深圳坪山区中考一模..........................................10

【变式2】2023武汉中考几何压轴............................................10

【变式3】2024深圳南山区部分学校中考一模压轴.............................12

【变式4】2025成都青白江区统考B卷压轴...................................12

四、深圳・2024中考真题填空压轴：结合相似求比值•一题5解............................13

【变式1】四川省遂宁市九年级填空压轴......................................13

【变式2】线段比转化为相似比..............................................13

【变式3】求线段比.........................................................14

五、深圳市宝安中学九年级联考压轴：旋转六法构造手拉手共8种解法.....................14

【变式1】2022深圳中考填空压轴............................................15

【变式2】2024-2025学年深圳市九年级二十校联考压轴........................15

【变式3】湖北襄阳•中考真题................................................15

【变式4】2020武汉市中考几何压轴..........................................16

六、深圳市二模压轴:1234模型,45°与线段比构造相似•一题6解........................16

【变式1】12345模型.......................................................16

【变式2】线段比构造相似...................................................17

【变式3】利用特殊角度解三角形............................................18

一、宿迁中考真题：瓜豆最值问题的3类处理策略

如图，正方形ABC。的边长为4,E为8C上一点，且8£=1,尸为AB边上的一个动点，连接ER

以跖为边向右侧作等边△£/&连接CG,则CG的最小值为.

策略一：找始末，定轨迹

我们分别以BE,AE为边，按题目要求构造等边三角形得到Gi与8,连接Gi与&得至I点G的轨

迹，再作垂线C”得到最小值.

前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到ZAMGr

=60°,

进一步得到△MBGi为等腰三角形后，求S就不难了，可得C"=：

策略二：在点T7轨迹上找一点进行旋转，解出从动点轨迹

我们分别对A,8顺时针旋转60°,构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹,

对A点旋转会得到一个正切值为;的角，即tan/GME=tanNAFE=；,然后进一步算出最值

【简证】EM=AE=&jnEN=ln/NEC=120。nIC=3,则CH=、

对8点旋转得到NEMG=N/^E=90°,相对来说要容易一些.

策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.

讲点C逆时针旋转60°,得到点H,易i正ACGE咨AHFE,则有CG="F,作于M,HM

即为所求.相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很

多.

【变式1】直线型瓜豆最值

【练1-1】如图，正方形ABC。的边长为4,E为8C上一点，且BE=1,P为AB边上的一个动点,

连接EF,以EF为底向右侧作等腰直角AEPG,连接CG,则CG的最小值为

【简析】策略一,:反向构造+伸缩

如图从主动点F到从动点G可以理解为，将线段FE绕定点E顺时针旋转了45°再缩短为原来的42,

2

反向构造则需要把CE绕点E逆时针旋转45°,再扩大变为原来的血倍，得到EH,显然AECH

为等腰直角三角形，进一步得到AFEHsAGEC,相似比为亚'，所以CG=与FHN2立.

策略二：求轨迹—以BE为底向上作等腰RtZXBHE,易得G点轨迹所在直线为BD,故CG最小

值为20

【练1-1］如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接DP,将直线DP绕点P顺

时针旋转，使/1=/2,且过点D作DGJ_PG,连接CG.则CG最小值为

AD

【答案】II

【分析】策略一：得到G点轨迹直线后，画出起点G1和终点G2

策略2：旋转相似:

【变式2】圆弧型瓜豆最值问题

【练2-1】如图，AB=4,。为AB的中点，。。的半径为1,点尸是上一动点，以尸3为直角

边的等腰直角三角形P3C（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围

为

c

【答案】72<AC<3A/2

【解答】解：

【法一：解出C点轨迹】

如图，作OK_LAB,在OK上截取OK=04=03,连接M、BK、KC、OP.

・.・OK=OA=OB,OKA.AB,:.KA=KB,ZAKB=9Q0,

「.AAKB是等腰直角三角形，・；NOBK=NPBC,:.ZOBP=ZKBC,

..OBPBKCBCr-

:.\OBP^NKBC,—=—=12,,.・OP=1,

•BK~BC~2OPPB

:.KC=叵,•二点。的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK=J5Q4=20,

•.AC的最大值为3近，AC的最小值0,「•伍火。30.

【法二：反向构造手拉手】

【简析】易知AC=MPD,PO-r<PD<PO+r,故岳收C3应

【练2-2】如图，在△ABC中，A3=8,AC=36,将CB绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接AD,

【答案】8+3A/6

【分析】旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理.

思路：定点为B,A、D两点旋转相似中的定位是一样的，BD是斜边，则构造以AB为斜边的等腰

直角三角形，

思路2：将AB绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接BD,BE,DE,iiAEBD^AABC,

可得DE=0AC=3j^,由ADWAE+DE,可得AD的最大值.

总结：熟悉模型，补全结构

【解析】法一：如图，构造等腰直南三角形ABE,由旋转相似可知=,

而CEWBE+BC=46+3』,故AOW4+3胡

法二：将AB绕点A逆时针旋转90。得到AE,连接8。，BE,DE.

由题意，△ABE和△BC。都是等腰直角三角形，

BE=42AB,BD=叵BC,^ABE=ZCBD=45°,

BEBD「

----=-----=,NEBD=^.ABC,

ABBC7

人DEBD厂

AAEBDs/\ABC,----==y/2,,

ACBC

；.DE=V2AC=3A/6.

•：AB=8,AD^AE+DE,的最大值是8+3".

【变式3】路径问题

【练3-1】如图，在矩形A3C。中，AB=2,AD=4,动点E从点A运动到点。，以CE为边在CE

的右侧构造正方形CEFG,连接AR则AF的最小值为，点尸运动的路径长为

【答案】30，40

【解析】

法一：如图，作等腰直角三角形AGC,易知△ACFs^GCE,且=

而GENGH,由12345模型可知tan/AG"=tan/B4G=L儆AH=YmAG=l,则G〃=3

310

故F的路径为点E路径的正倍，故F的路径为4近

法二：延长AD到点P,使DP=DC,连接FP,过点F作AD的垂线，垂足为H.

注:

由一线三等角全等模型可知4CDE注△EHF,（注：也可以用旋转相似来证）

；.EH=CD=DP,ED=FH,

；.ED=HP,；.FH=HP,；./P=45°.

当AFXFP时AF最小，最小值=与AP*（4+2尸3点.

VZFHP=90°,FH=HP,.'.FP=42HP=42ED.

当动点E从点A运动到点D时，DE的长从AD变化到0,

.•.点F运动的路径长为41AD=40.

【练3-2】如图，在正方形ABC。中，回=8,点E在边AO上，且AD=4AE,点尸为边A5上的

EF

动点，连接PE,过点后作所，尸石，交射线3c于点孔则须:=____.若点M是线段石厂的中点，

PE

则当点P从点A运动到点B时，点〃运动的路径长为.

AE

【答案】416

EFFK

【分析】过/作FKLAD交AZ）延长线于点K,证明AAEPSAKEE,得到二=>即可求解；过

PEAE

M作G"_LAD交AD于点G,丈BC于点、H,证明AEGM/得到MG=MH,故点M的

运动轨迹是一条平行于3C的线段，当点P与A重合时，BF”AE=2,当点尸与3重合时，由

28.

△E145s△5月后得到了二方正，即耳乙二32,从而求解.

【详解】解：过尸作尸K_LAT>交AO延长线于点K

AEDK

则四边形为矩形，NA=NK=90。

.・.AB=FK=8

由题意可得：AE=-AD=2

EFLPE

：.ZAEP+NKEF=ZPEF=90°

又NPEA+NAPE=90°

：.ZAPE=ZKEF

：,AAEPS^KFE

过M作GHLAD交A。于点G,交BC于点、H,如下图

在AEGM和ATW中

ZMGE=ZMHF

<NEMG=ZFMH

ME=MF

：.AEGMg△FEM(AAS)

:.MG=MH,

故点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段，

当点。与A重合时，BF\=AE=2

当点P与3重合时，ZBEF2=ZF2+ZEBF[=90°,/应4+乙期=90。

ZF2=/BER

・.・NERF?=/EF、B=90°

△EFJBs△工与E

BEEF28

EF、F\FJ'8F、F?

解得居4=32

•;瞩、M2分别为EF、、E瑞的中点

是AE片工的中位线

即点运动的路径长为

/.MXM2=^FXF2=16,A/16

【变式4】瓜豆+将军饮马

【练4-1】如图1,对于平面内的点A、P,如果将线段绕点尸逆时针旋转90。得到线段号，就称

点2是点A关于点P的“放垂点如图2,已知点4(4,0),点P是y轴上一点，点B是点A关于点

尸的“放垂点”，连接AB、OB,则03+AB的最小值是()

B

图1图2

A.4B.4.x/5C.8D.8下

【答案】B

【分析】在y轴的正半轴上截取0C,使得0C=。4=4,连接AC.BC,首先证明ZAOP=ZACB=90°,

点8在直线y=x+4上运动，作点。关于直线BC的对称点E,连接AE交BC于点T,当点、B与T

重合时，08+AB的值最小，再利用勾股定理进行求值即可.

【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取OC,使得OC=Q4=4,连接AC、BC,且BC的延长

线与％轴交于点M,

•••△AOC、AA/汨是等腰直角三角形，

AZOAC=ZPAB=45°,AC=41OA,AB=J2AP.

AZOAP=ZCAB,—,

ACAB

：.^OPA^^CAB,

・•・ZAOP=ZACB=90°,

：./CW=45。，

：.CM=CA,

：.OM=OA,

AM(-4,0),

设直线MC的解析式为y=kx+b,

.j-4k+b=0

9[b=4

(k=l

"\b=^

・••点5在直线y=x+4上运动，

作点。关于直线3c的对称点瓦OE与MC交于点、F,连接EM、连接A石交3c于点T,

当点3与T重合时，QB+AB的值最小，

•・•ZCMO=45°,ZMFO=90°,

：.ZFMO=45°,

根据对称得：ZEMF=ZOMF=45°,ZMEF=ZMOF=45°,ME=MO=4,

：.ZEMO=90°,

：.£(-4,4)、

VA（4,o）,

•*-AE="+8?