2025年中考数学押题预测卷（山东青岛卷）（考试卷+答案详解）

2025年中考押题预测卷（山东青岛卷）

数学

（考试时间120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）

1.（本题3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（）

2.（本题3分）2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某A勿运动”步数，小南查到的步

数是16000步.将数据16000用科学记数法表示为（）

A.0.16xlO6B.1.6xlO5C.1.6xl04D.16xlO3

3.（本题3分）下列计算正确的是（）

21

A.a2a2=2a4B.卜6）=aC.（a2）3=a5D.2a~2=

4.（本题3分）在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出

一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个

数可能有（）

A.9B.10C.18D.20

5.（本题3分）如图，矩形Q4BC的顶点。（0,0）,8（-2,2有），若矩形绕点。逆时针旋转，每秒旋转60。，则

第2023秒时，矩形的对角线交点。的坐标为（）

A.(-1,A/3)B.(1,-石)C.(-2,0)D.(1,-3)

6.（本题3分）如图，在△AEG中，GA=GE,/G=40。，将△AEG的顶点E摆放在矩形ABCZ）的一边BC

上，使得AB=BE,其中EG与交于点尸，则/。尸G的度数是（）

C.65°D.45°

7.（本题3分）如图,圆。的直径为6,四边形ABCD内接于：。，连接Q4,OC.若N8=120。，则AC的

B.2%C.3万D.4〃

8.（本题3分）已知［为实数，规定运算：%T，…-"，…力按

上述规定，当q=2时，返京的值等于（）

A.—B.—C.—1D.0

32

k

9.（本题3分）函数y=依-左与函数》=—（左W0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

x

10.（本题3分）实数。，6在数轴上对应位置如图所示，贝U.J/_2"+廿_技=.

b0a

11.（本题3分）代数式3二与代数4二的值相等，则》=______.

x-1x+1

12.（本题3分）习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”.如

图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以。为圆心,

OA,02长分别为半径，圆心角/。=120。形成的扇面，若Q4=4m,OB=2m,则阴影部分的面积

为.（计算结果保留万）

做“理想、有本领、

有担当的时代新人

13.（本题3分）对于实数定义新运算：＜^,b=ma2b-2,a-l,例如由2=Px2加-2x1—1=2a-3,若关

于x的一元二次方程核1=0有两个相等的实数根，则机的值是

14.（本题3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2g,ZABC=60°,点G、E、F分别是a）、AB.AD上

的点，若GE+G尸=3,则AE+AF的值是

R

15.（本题3分）如图，二次函数y=4+〃%+c（a<o）的图象与1轴交于A（-1,0）、5（3,0）两点，与y轴交于

点G顶点为。，则下列结论:①2"+b=0；②2c=38；③若VABC是等腰三角形，。的值有2个;④当△38

是直角三角形时。=变.其中正确的是.（只需填写序号）

2

三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

16.（本题4分）如图，在四边形ABC。中，AB=BC,AD>CD,用圆规和直尺在A£>上取一点M,使得

ABMqCBM.（只保留作图痕迹，不写推理过程和作图步骤）

四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.）

Y—21

17.（本题9分）（1）解方程：--+1=-—；

x-33-x

4x-3<5

（2）解不等式组：p%+lx-1.

----->---

15--------3

18.（本题6分）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将

体育成绩纳入中考总分，包括A.运动参与、B.运动技能测试、C.体质健康测试、D.统一体能测试

四部分共70分（其中A运动参与满分6分，主要有平时体育课、课间体育活动等；8运动技能满分4分，

主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；C体质健康测试满分30分，包括

体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；。统一体能测试满分30分，包括跑步，引体向上（男）仰卧

起坐（女）等项目）.

某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出

部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述.

下面给出了部分信息：

信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用X表示（x230）,将总分数据分成如下四组：第1组:

50Vx<60,第4组：60<^<70,以下是总分的频数直方图和

结合信息一解决下列问题：

（1）将频数分布直方图补全，。=,第4组所对应的圆心角的度数是；

（2）所抽取的这些学生的中位数位于第组；

（3）该校八年级共有1500名学生，请估计体育总分不低于50分的学生有多少名？

信息二：

抽取的学生在A.运动参与、B.运动技能测试、C.体质健康测试、统一体能测试四部分的平均数

和方差如下表：

A运动参与3运动技能测试C体质健康测试。统一体能测试

平均分5.83.725.423.6

方差1.62.28.59.4

（4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩,

提出至少两条合理化建议.

19.（本题6分）为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“A.临夏砖雕、B.傩

舞傩戏、C.河州泥塑、D.保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演讲.班

长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这4个非物质文化遗产的图画.将卡片背面

朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容

进行准备.

临夏砖雕傩舞傩戏河州泥塑保安腰刀

(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是

(2)请用列表或画树状图的方法，甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率.

20.(本题6分)宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享

有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”.宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”(图

1),图2是其示意图.。为转动点，CD1AB,43与水平线的夹角NAOM=30。，OA=BD=40cm,

OB=160cm,当D点绕。点旋转下落到血W上时，线段A8,80旋转到线段位置，那么点A在

竖直方向上上升了多少？

图1图2

21.(本题8分)根据如下素材,完成探索社务.

背景快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.

买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元；

素材1

买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元.

!i

A型机器人每台每天可分拣快递22万件；iii

素材2

B型机器人每台每天可分拣快递18万件

6型

素材3用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台.

解决问题

任务1求A、8两种型号智能机器人的单价；

任务2选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

22.（本题8分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式炉-八+5的最小值时，利用公式/±2/+^=

,±92,对式子作如下变形：/一4彳+5=/-4*+4+1=（*-2）2+1,因为（》一2）&0,所以（x-2）2+121.所

以当x=2时，Y-4X+5有最小值，最小值为1.通过阅读，解下列问题：

⑴代数式炉+8尤+12的最小值为；

（2）求代数式-x?+2x+9的最大或最小值.

23.（本题8分）如图，在，ABCD中,E,尸是对角线上的两点（点E在点尸左侧），且/AEB=NCED=90。.

（1）求证：四边形AEb是平行四边形；

3

（2）当AB=5,tanZABE=-,NCBE=/E4/时，求斯的长.

4

24.（本题10分）如图，抛物线y=-尤2+bx+c与x轴交于A,B两点，与>轴交于点C（0,3）,对称轴为直

线x=l.点A/是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为根（。（根<3）.过点Af作MN_Lx轴，与8C交于点N,

（1）求抛物线的表达式；

（2）求线段"N的最大值；

（3）是否存在以CN为腰的等腰三角形QWN?若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.

25.（本题10分）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研

究.定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形.

图1图2图3

（1）定义理解

请在下面如图1所示的网格中确定两点C和。，使四边形为对等垂美四边形，且C和。均在格点上.（画

出一种即可）

（2）深入探究

如图2,在对等垂美四边形ABC。中，对角线AC与交于点O,且Q4=0D,OB=OC.将△COB绕点

。顺时针旋转（0。〈旋转角＜45。）.B、C的对应点分别为笈、C.如图3.请判断四边形是否为

对等垂美四边形，并说明理由.（仅就图3的情况证明即可）

（3）拓展运用

在（2）的条件下，若OB=3,OA=5,当△ODC'为直角三角形时，直接写出点C到。D的距离.

2025年中考押题预测卷（山东青岛卷）

数学•全解全析

第I卷

四、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）

1.（本题3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（）

【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，

那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合,

所以不是中心对称图形；

选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.

故选：A.

2.（本题3分）2025年元旦期间，小南一家来到昆明旅游，与好友比拼“某A勿运动”步数，小南查到的步

数是16000步.将数据16000用科学记数法表示为（）

A.0.16xlO6B.1.6xl05C.1.6xl04D.16xl03

【答案】C

【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其

中14忖＜1。，w为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，w的绝对值与小数

点移动的位数相同，据此求解即可.

【详解】数据16000用科学记数法表示为1.6x104.

故选：C.

3.（本题3分）下列计算正确的是（）

224235

A.a+a=2aB.=aC.（a）=aD.21=*

【答案】B

【分析】本题主要考查了合并同类项，二次根式的性质，黑的乘方，负整数塞.根据运算法则逐一判断即

可.

【详解】解：A、a2+a2=2a2,原计算错误，故此选项不符合题意；

B、卜五）=a,原计算正确，故此选项符合题意；

C、（/丫=。6,原计算错误，故此选项不符合题意；

D、24-2=原计算错误，故此选项不符合题意；

a

故选：B.

4.（本题3分）在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出

一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个

数可能有（）

A.9B.10C.18D.20

【答案】B

【分析】本题考查了用频率估计概率；解题关键是通过频率估计概率，用概率求黑球的个数.

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，设布袋中黑球的个数可能有尤

个，列出方程求解即可.

【详解】解：设布袋中黑球的个数可能有x个，

依题意得：

解得x=10，

经检验，x=10符合题意，

故布袋中黑球的个数可能有10个.

故选：B.

5.（本题3分）如图，矩形Q4BC的顶点。（0,0）,3（-2,26）,若矩形绕点。逆时针旋转，每秒旋转60。，则

第2023秒时，矩形的对角线交点。的坐标为（）

A.(-1,73)B.(l,-y/3)C.(-2,0)D.(1,-3)

【答案】C

【分析】本题考查了旋转变换，矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形.根

据题意得出。口道)，过点。作轴于点E,求出/OOE=60。，求出OD=2,再根据题意矩形绕点

。逆时针旋转，每秒旋转60。，第2023秒时，点。的位置，进而得到点。的坐标.

【详解】解：矩形Q4BC的顶点。Q0),8(-2,2^

；.味1网,

如图，过点。作轴于点E,

_____DE

:.OD=yj0E2+DE2=2>tanZDOE=—-=6,

UtL

:.ZDOE=60°f

「•矩形绕点。逆时针旋转，每秒旋转60。,

360。+60。=6秒，

.,.每6秒旋转一周，

2023+6=3371

60°xl=60°,

旋转第2023秒时，点。在x轴的负半轴,

•・.此时点。的坐标为（-2,0）,

故选：C.

6.（本题3分）如图，在△AEG中，GA=GE,ZG=40°,将△AEG的顶点E摆放在矩形ABC。的一边3c

上，使得=其中EG与交于点F,则NDFG的度数是（）

A.85°B.75°C.65°D.45°

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键.

由四边形ABCD是矩形，则AD〃CB,ZASC=90°,由平行线的性质可得/GED=/GEC,然后通过等边

对等角得出/朋E=NAEB=45。，ZGAE=ZGEA=10°,然后由平角定义求出NGEC=65。即可.

【详解】解：：四边形是矩形，

AAD//CB,ZABC=90°,

/.ZGFD^ZGEC,

AB=BE,

：./BAE=ZAEB=45。,

:GA=GE,NG=40。，

/GAE=/GEA=70°,

：.NGEC=180°-ZAEB-ZGEA=180°-45°-70°=65°,

/GFD=NGEC=65°,

故选：C.

7.（本题3分）如图，圆。的直径为6,四边形ABCD内接于。，连接Q4,OC.若ZB=120。，则AC的

长为（）

B

A

A.九B.2万C.D.4TT

【答案】B

【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，先求出"=60。，再运用圆周角定理得

ZAOC=120%然后根据弧长公式进行列式计算，即可作答.

【详解】解：:四边形ABC。内接于。，ZB=120°,

・•・ZD=180°-120°=60°,

AC=ACf

：.ZAOC=120°,

120°

则AC=-------x万x6=2万，

360°

故选：B.

8.（本题3分）已知4为实数，规定运算：%=1,“3=1-,。4=1一~,“5=1...»4=1----二.按

。2。3"4"〃-1

上述规定，当4=2时，我京的值等于（）

A.—B.—C.—1D.0

32

【答案】C

【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算我总的值即可.

【详解】解：当4=2时，

2

2

・・・2025+3=675,

••苞2025——1'

故选：c.

k

9.（本题3分）函数y=依-左与函数y=,（%H（））在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即

可.

【详解】解：当人＞0时，一次函数＞=质-左的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=：化工0）的图象

在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象;

当上＜0时，一次函数、=履-左的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=：（%w。）的图象在第二、四

象限，A选项的图象符合要求.

故选：A.

第n卷

五、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

10.（本题3分）实数。，6在数轴上对应位置如图所示，贝％J/-2仍+。2_护=.

b。。

【答案】a

【分析】本题考查了数轴的特点，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简是解题的关键.

根据数轴得到匕＜。（。，|郎问，结合因式分解，二次根式的性质化简即可求解.

【详解】解：根据题意，可得。＜0侬同洞,

a-b>0,

/.^-lab+b2一后=y/(a-b)2-后

=a-b-[-b)

-a，

故答案为：a.

11.（本题3分）代数式3―与代数4，的值相等，则了=______.

x-lX+1

【答案】7

【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

先根据题意列出方程，再解分式方程，再检验即可.

【详解】解：由题意得，上7=」'，

x-l尤+1

4（x-l）=3（x+l）,

角军得：x=l,

经检验，X=7是原方程的解，

，原方程的解为x=7,

故答案为：7.

12.（本题3分）习近平总书记强调“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”.如

图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以。为圆心,

0A,长分别为半径，圆心角/。=120。形成的扇面，若OA=4m,O3=2m,则阴影部分的面积

图2

【答案】441n2）

【分析】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式s扇形=需.根据扇形面积公式,

求出大扇形和小扇形的面积，最后根据s阴影=s大扇形-s小扇形即可求解.

【详解】解：根据题意可得：ZO=120°fOA=4m,OB=2mf

.0120^x4216/\o1207rx2?4（\

大扇形=360=2S小扇形二360丁白卜2

•*,S阴影=S大扇形一S小扇形=-7r--7i=47r（m2y

故答案为：4万（n?）.

13.（本题3分）对于实数定义新运算：睬b=ma2b-2a-\,例如皮2=Fx2〃z-2xl-l=2%-3,若关

于x的一元二次方程送1=0有两个相等的实数根，则机的值是.

【答案】-1

【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，根据新运算列出一元二次方程，根据方程有2个相等的实数

根，得到△=（）,进行求解即可.

【详解】解：x^<l=iwc2-2x-l=0y

•・,方程有2个相等的实数根，

A=4+4m=0,

/.m=—l；

故答案为：-1.

14.（本题3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2石，NABC=60。，点G、E、尸分别是⑻入AB,AD上

的点，若GE+G尸=3,则AE+AF的值是.

【答案】上

【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连

接AC,过A作40，3c于M,在BC上截取3K=5E,连接GK,由菱形的性质推出NA8C=NC3£>,3c=54,

BCAD,判定，BGKWcBGElSAS）,推出GK=GE,ZBEG=ZBKG,得至I」GF+GK=3,判定ABC是等

边三角形，求出AM=^A3=3,判定RG、K共线，且FKL5C,由菱形的性质推出

2

ZGBE=ZGDF=|ZABC=30°,AB=AD=273,求出BE=6GE,DF=6GF,得至UBE+O尸=3指，

于是AE+AT=R4+AD-（跖+D尸）=技

【详解】解：连接AC,过A作AM,3c于M,在上截取5K=5石，连接GK,

・・•四边形ABCD是菱形，

.・.ZABC=NCBD,BC=BA,BCAD,

•:BG=BG

・・._5GK均3G石(SAS),

GK=GE,ZBEG=ZBKG,

9：GF+GE=3,

:・GF+GK=3,

ZABC=6Q0,

・••一ABC是等边三角形，

JAM=—AB=3,

2

：.GF+GK=AM,

:・F、G、K共线，且FK_L3C,

JZBEG=ZBKG=90°,

,：ADBC,

:.FK_LAD,

.・・ZGFD=90°,

・・•四边形ABC。是菱形，

Z.ZGBE=ZGDF=-ZABC=30°,AB=AD=273,

2

BE=V3GE,DF=6GF,

BE+DF=g（GE+GF）=3百，

/.AE+AF=BA+AD-（BE+DF）=2y/3+2sj3-343=>/3

故答案为：>/3.

15.（本题3分）如图，二次函数y=4+bx+c（a<0）的图象与x轴交于A（T,O）、3（3,0）两点，与y轴交于

点C,顶点为D,则下列结论:①2a+b=0；②2c=3匕；③若VABC是等腰三角形，a的值有2个;④当△BCD

是直角三角形时。=变.其中正确的是.（只需填写序号）

2

【答案】①②③

b

【分析】由图象可得对称轴为直线X=-==1,可得6=-2a,可判断①;将点A坐标代入解析式可得c=-3。,

2a

可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求。的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距

离可求。=-1或“=-变，可判断④，即可求解.

2

【详解】解：：二次函数y=af+bx+c的图象与x轴交于A（TO）、8（3,0）两点，

b

・・・对称轴为直线X=-丁=1,

2a

••Z?——2a,

2a+b=0,

故①正确，

当x=-1时，0=a—Z?+c,

・•a+2a+c=0,

c=-3a,

・•・2c=3b,

故②正确；

，・•二次函数y二加一2dx-,

・••点。（0,-3〃），

BC=y19+9a2-AC=^l+9a2-

当3C=AB时，4=79797，

：.a=-—（正数值已舍去），

3

当AC=NA时，4=71797，

:.。=一叵（正数值已舍去），

3

.•.当VABC是等腰三角形时，。的值有2个，

故③正确；

,二次函数y=62_2存_3。=a（x—1）2-4a,

顶点4a）,

/.BD2=4+16a2,BC1^9+9a2,CO2=a2+l,

若XBDC=90°,可得BC2=BD-+CD2,

/.9+9o2=4+16a2+a2+l,

.V2

..a=------，

2

若/DCB=900,可得或>2=a>2+3c2,

・•・4+16/=9+9/+〃+1,

a=—1,

...当△BCD是直角三角形时，=-l^a=-—,

a2

故④错误.

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了抛物线与无轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的

性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

六、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

16.（本题4分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC,AD>CD,用圆规和直尺在AD上取一点M,使得

AW-CBM.（只保留作图痕迹，不写推理过程和作图步骤）

【答案】见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定，尺规作角平分线，作一ABC的角平分线，与4）交点即为此时

由=AB=BC,=可证明ABM^CBM.

2

【详解】解：如图，点M即为所求点M

四、解答题：（本大题共9个小题，共71分.）

17.（本题9分）（1）解方程：Jr-2+l=^—1;

元一33-尤

4x-3<5

（2）解不等式组：2龙+1x-1.

----->---

15--------3

【答案】（1）x=2；（2）-8<x<2

【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自求解方法和解题步骤是解

题的关键；

（1）通过去分母转化为整式方程，即可求解；

（2）分别解两个不等式，再求出其公共解集即可.

【详解】（1）方程两边同乘（尤-3）,得

x—2+x—3——1

解得尤=2

检验：当x=2时，％—3。0,

・•・原方程的解为％=2.

4x-345,①

（2）,2x+lx-l人

I53

解不等式①，得尤W2,

解不等式②，得x>-8.

原不等式组的解集为-8<%<2.

18.（本题6分）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将

体育成绩纳入中考总分，包括A.运动参与、B.运动技能测试、C.体质健康测试、D.统一体能测试

四部分共70分（其中A运动参与满分6分，主要有平时体育课、课间体育活动等；8运动技能满分4分，

主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；C体质健康测试满分30分，包括

体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；。统一体能测试满分30分，包括跑步，引体向上（男）仰卧

起坐（女）等项目）.

某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出

部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述.

下面给出了部分信息：

信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用x表示（x230）,将总分数据分成如下四组：第1组:

50Vx<60,第4组：60<x<70,以下是总分的频数直方图和

结合信息一解决下列问题：

（1）将频数分布直方图补全，,第4组所对应的圆心角的度数是

（2）所抽取的这些学生的中位数位于第组；

（3）该校八年级共有1500名学生，请估计体育总分不低于50分的学生有多少名？

信息二:

抽取的学生在A.运动参与、B.运动技能测试、C.体质健康测试、D.统一体能测试四部分的平均数

和方差如下表：

A运动参与B运动技能测试C体质健康测试。统一体能测试

平均分5.83.725.423.6

方差1.62.28.59.4

（4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩,

提出至少两条合理化建议.

【答案】（1）36；72°；

（2）3；

（3）780人；

（4）见解析.

【分析】⑴从条形统计图可知：第1组、2组、4组人数之和为6+18+10=34,从扇形统计图中可知：第1

组、2组、4组人数之和占总人数的百分比为1-32%=68%,利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人

数，用总人数乘以扇形统计图中第3组人数所占的百分比求出第3组的人数，根据第3组的人数补全统计图

即可；。是第2组人数占总人数的百分比，根据第2组的人数和总人数计算即可；根据第4的人数和总人数

求出第4组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第4组的圆心角即可；

（2）共抽查了50学生，根据中位数的定义可知：中位数是第25、26名成绩的平均数，从条形统计图中可知：

第25、26名位于第3组，所以抽取的这些学生的中位数位于第3组；

（3）利用样本估计总体，根据抽查的50名学生中体育成绩不低于50分的人数所占的百分比代表全校所有学

生成绩不低于50分人数的百分比，计算即可；

（4）从表格中可知C、。两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从C、。两项中提高

成绩.

【详解】（1）解：从条形统计图可知：第1组、2组、4组人数之和为6+18+10=34,

从扇形统计图中可知：第1组、2组、4组人数之和占总人数的1-32%=68%,

抽取的总人数为：（6+18+10）+（1-32%）=50（人）

二第3组的人数为：50x32%=16（人）,

补全条形统计图如下：

第2组有18人，占比为：18+50x100%=36%,

a=36,

;第4组有10人，

，第4组占抽查总人数的10+50xl00%=20%,

，扇形统计图中第4组对应的圆心角的度数为：义*100%x360°=72。，

故答案为36,72°；

（2）•总共抽查了50人，

•••中位数是第25、26名成绩的平均数，

第1组和第2组总人数是24人，

从条形统计图中可知：第25、26名位于第3组，

抽取的这些学生的中位数位于第3组；

（3）从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于50分的学生，

利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于50分的学生总人数为1500?780人；

（4）C、。两项权重较大，是影响体育总分的主要因素.

建议：①保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内；

②加强锻炼增强肺活量；

③加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练.（合理即可）

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角

度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息.

19.（本题6分）为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“A.临夏砖雕、B.傩

舞傩戏、C.河州泥塑、D.保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演讲.班

长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这4个非物质文化遗产的图画.将卡片背面

朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容

进行准备.

临夏砖雕傩舞傩戏河州泥塑保安腰刀

（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是

（2）请用列表或画树状图的方法，甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率.

【答案】⑴；

⑵;

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的

关键.

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果数，再利用概率公式

可得出答案.

【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有1种，

.••甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是1.

（2）解：列表如下：

ABcD

A(A，A)(A,B)(A©（A。）

B(昆A)（B,B）(B©(BQ)

C(CA)(GB)(c，c)(G0

D0,A)(D,B)（D，C）（2。）

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果有12种,

123

・・・甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率为0

164

20.（本题6分）宣纸是中国独特的手工艺品，具有质地绵韧、光洁如玉、不蛀不腐、墨韵万变之特色，享

有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”.宣纸制作包括108道工序，其中“打浆”这一工序需要使用工具“碓”（图

1）,图2是其示意图.。为转动点，CDLAB,A3与水平线的夹角/AOM=30。，Q4=8£>=40cm,

OB=160cm,当D点绕。点旋转下落到"N上时，线段AB,8。旋转到线段AM,57y位置，那么点A在

竖直方向上上升了多少？

图2

【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质,含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判

定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.

连接OD,过点B作于点E,过笈作于点/，B'GJLBE于点G,则四边形B'FEG是矩

形，过点A作交AE于点K,过点A作A7，MV,得出EG=EB',/BON=30。,得BE=80,

求出。。=40旧，证明OB'D'^OFB',得”=竺，得笈尸=电5叵，得BG=[80」6噌],根据

BFOB1717

hOA

~BG~OB

【详解】解：设A上升的高度为〃，

连接8,过点8作于点E,过？作B'FLMN于点/，3'3，班于点6,则四边形3'EEG是矩

形，过点A作AH_LMV,交AE于点K,过点H作A7J_MV,

:.EG=FB,

E上N

/BON=30。,OB=160cm,

BE=—OB=80cm,

2

•:BE工MN,AH±MN,

/.BE//AH,

：..OBEsOAH,

.OBBE160，

'OAAH40，

AH=20cm,

CD_LAB于点5,BD=40cm,

:.OD=ylOB2+BD2=4(X/F7cm，

OD'=40A/17cm,

,NOB'D'=NOBD=9。。,

NOB'D'=/OFB'=90°,

ZB'OD'^ZFOB',

OB'D's-OFB'.

,D'B'_OD'Bn4040V17

B'FOB'B'F160

n，L160717

..BF=---------cm,

17

VA'lrMN,B'F工MN

：.A'I//B'F,

:.BOFB'S.OIA,

答：点A在竖直方向上上升了

21.（本题8分）根据如下素材，完成探索社务.

背景快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣

买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元；，型三

素材1

买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元.一■4

A型机器人每台每天可分拣快递22万件；

素材2

B型机器人每台每天可分拣快递18万件

素材3用不超过700万元购买A、3两种型号智能机器人共10台.

解决问题

任务1求A、8两种型号智能机器人的单价；

任务2选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？

【答案】任务1：80万元、60万元

任务2：A型号智能机器人5台，B型号智能机器人5台

【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意

正确列出等式、式子、不等式是解题的关键.

任务1：设A、3两种型号智能机器人的单价分别为x万元、>万元，利用“买1台A型机器人，3台3型机

器人，共需260万元”和“买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元”列式求解即可；

任务2：设每天分拣快递的件数为w万件，购买A型号智能机器人。（a>0,且。为整数）台，则购买3型

号智能机器人。0-。）台，列出攻关于。的一次函数，再利用“用不超过700万元购买A、3两种型号智能机

器人共10台”列出不等式，求出。的范围，最后利用一次函数的性质即可求解.

【详解】解：任务1：设A、8两种型号智能机器人的单价分别为x万元、y万元，

x+3y=260

根据题意得:

3x+2y=360

答：A、8两种型号智能机器人的单价分别为80万元、60万元；

任务2：设每天分拣快递的件数为w万件，购买A型号智能机器人。（a>0,且。为整数）台,

则购买8型号智能机器人台，

根据题意得：w=22a+18（10-a）=4a+180,

,/80a+60(10-a)?700,

解得：a<5,

0<<5,

V461+180,4>0,

w随〃的增大而增大，

・・・当。=5时，w取得最大值4?5180=200(万件)，

10-a=5(台)，

即购买A型号智能机器人5台，购买3型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多.

22.(本题8分)阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式犬2—以+5的最小值时，利用公式/±2〃。+/=

伍±万)2,对式子作如下变形：x2-4x+5=/-4x+4+l=(x-2)2+l,因为(X-2)2>0,所以(x-2y+121.所

以当x=2时，d-4x+5有最小值，最小值为1.通过阅读，解下列问题：

(1)代数式/+8尤+12的最小值为；

⑵求代数式-d+2x+9的最大或最小值.

【答案】⑴T

(2)最大值为10

【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键：

(1)仿照题干的方法进行求解即可；

(2)仿照题干的方法进行求解即可.

【详解】⑴解:炉+8尤+12

=Y+8%+16-4

=(X+4)2-4；

(X+4)2>0,

2

/.(X+4)-4>-4,

，当x=-4时，f+8尤+12有最小值为Y；

2

(2)-X+2X+9

=-(x-l)2+10；

(x-l)2>0,

-(%—1)w0,

?.-(x-l)2+10<10,

.•