2025年中考数学专项训练：图形的相似（含解析）

2025年中考数学专题训练：图形的相似

一、单选题

1.如图，四边形ABCD的对角线AC,8。相交于点O,分别记VAOB,ABOC,MOD,AAOD

的面积为S1,S2,S3,S4,若AB〃CD,则下列结论不一定正确的是（）

B.SJ+53=S2+54

C.Si:S2=S4:S3D.S2=[S].S3

2.如图，在口ABC。中，DG:GC=1:2,连接3G并延长交AD的延长线于点尸，交对角线AC于点

E,若G石=4,则所的长为（）

A.15B.18C.21D.24

3.如图，在RtZXABC中，NABC为直角，5DLAC于点O,若照=?,则》也二()

BC4S2BCD

4.如图1,已知矩形A5CD,£是5c边上的一个动点，AEA.EF,EF交CD于点F.设防的长为工,

c尸的长为y,若y与％之间的函数关系图象如图2所示，则矩形ABC。的面积为（）.

A.8B.6C.12D.14

5.如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板在刻度尺70cm

处，光屏在刻度尺80cm处，量得像高女m,则蜡烛的长为（）

6.在平面直角坐标系中，将一个Rt^ABO的直角顶点与原点O重合，顶点A、8恰好分别落在函数

y=B（x<0）,y=§（x>0）的图象上，若黑=#,则1k的值为（）

4

7.如图，在平面直角坐标系中，A、5两点分别在x轴、y轴上,tanN3AO=§,Q4的垂直平分线与

反比例函数y="（4#。）的图象交于点E,与AB交于点。，与无轴交于点C.连接0E并延长，交A8

x

于点E若DE：CE=1:3,且％EF=!，则上的值为（）

8.如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家

赵爽的“弦图”.它是由4个全等的直角三角形AABH,ABCE,NCDF,AD4G和一个小正方形跖G"

拼接而成的大正方形ABCD.已知直线rH分别交边BC、A£>于点M、N.若F、//是线段肱V的

两个三等分点，则大正方形ABC。与小正方形EFG"的面积比为（）.

ICM20()2

金

Beijing

Angul20-21.2002

A.9+60C.9+V2D.不确定

二、填空题

9.如图，在RJABC中，ZA=30°,IB90?,点。为A3的中点，BC=2,若过点。作。E〃3c

交AC于点E,则AE的长为.

10.已知VABC与ADEF是位似三角形，且45=3£>£,则VABC与△口£户的周长比为.

11.如图，在矩形ABCD中，点E,P分别在边2C,OC上，S.AEA.EF.若AB=2,AD=4,BE=1,

则匹的长为

12.在平面直角坐标系中，已知A(0,0),8(6,0),C(m,后,D(m+6,8.分别连接A3,BC,AC,

把VABC沿8C翻折得到AA'3c.当A与。重合时，BD=；当以A、C、B、。为顶点的四边

形是矩形时，机=.

13.如图，边长为6的正六边形ABCDEF内接于圆。，点尸为劣弧A3的中点，连接叱，BP.

(1)NAP3的度数为

(2)连接尸C交AB于点G,则尸G-PC=

14.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点M,N分别在边CD,BC上,S.BN=2DM.连

接AM,过点N作NPLAM,垂足为P,连接OP,则DP的长的最小值为.

15.如图，在矩形Q4BC和矩形OD所中，OA=2OC=2OD=4OF=4,矩形OD跖绕点。在平面内

旋转一周的过程中，直线AD,CF相交于点G,则NAGC=°,BG的最小值为.

16.如图，在正方形ABCD中，点、E,点厂分别在边BC,AB上(点E不与点8,C重合)，且酢=砥.连

接AC,。R交于点G,连接AE,3G交于点H.若DF=4GH,贝1」丝=.

三、解答题

17.图1,图2是3x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A,点3,点C均在格点上.仅

用无刻度的直尺，在给定网格中完成两个画图任务，保留作图痕迹，不要求写出画法.

图1图2

(1)在图1中画线段所〃3C且BE=2,点、E,尸均在格点上.

(2)在图2中画BC边上的高A。，在射线上找一点尸，使NPCB=/4CB.(画线条数不超过三条)

18.如图，在Rt^ABC中，ZBC4=90°,在A3上取一点。，以点。为圆心，08长为半径作。

交AB于点E,且与AC相切于点O,连接即并延长交BC延长线于点尸.

CF

⑴求证：BE=BF；

310

(2)若tanA="AE=—,求BECF的值.

19.如图，已知VABC是等边三角形，点。、E分别在AC、A3上，且CD=AF,3。与CE相交于

点P.

⑴求证：.ACE%CBD；

(2)如图2,将沿直线CP翻折得到对应的△CPAf,过C作CG〃AB,交射线PM于点G,PG

与BC相交于点孔连接3G.

①试判断四边形ABGC的形状，并说明理由；

②若四边形ABGC的面积为4道，PF=1,求尸G的长.

20.定义：长宽比为«:1为正整数)的矩形称为而矩形.下面我们通过折叠的方式折出一个夜

矩形，如图1所示.

操作1：将正方形的跖沿过点A的直线折叠,使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处,折痕为

操作2：将EE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AE2E上，折痕为DC,则四边形ABCD

为母矩形.

图1图2

⑴证明：四边形ABCD为a矩形;

⑵点M是边A3上一动点.如图2,0是对角线AC的中点，若点N在边2C上，OMLON,连接MN,

求证丝=2.

OM

21.如图1,已知ABCD内接于。O,连接BO平分NABC,点P是BC的中点，连接AP分别

交BD,BC于点、E,F.

图1图2

(1)如图2,若A3为。。的直径，求NAE3的度数.

⑵求证：

®DC=DE；

@PE2-PF2=PFAF-

22.如图1,在矩形ABCZ)中，AB=4cm,BC=6cm,长度为2cm线段PQ在射线BC上，点尸与点C

重合，如图2,线段P。从图1所示起始位置出发，沿CB方向匀速运动，速度为Icm/s；同时点M从

点5出发，沿3fAf。方向以2cm/s速度运动，当“点到达。时运动结束，P。运动同时结束.连

接AQ,DP,相交于点E.设运动时间为t秒，解答下列问题：

ADAMD

(备用图1)

⑴当/为何值时四边形APQ"是平行四边形?

(2)当点M在45上运动时，求/为何值时点M在AQ的垂直平分线上?

⑶求的面积S与t的关系式；

(4)运动过程中，将AOCP绕点。顺时针旋转90。得到△DCP,是否存在某一时刻乙使C',P',E

三点在同一条直线上？若存在请求出♦的值，若不存在请说明理由.

《2025年中考数学专题训练：图形的相似》参考答案

题号12345678

答案BACCCCAA

1.B

【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角

形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点.

首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比

S.OAS.OAS.S.

得到肃=定，U=进而可判断B和C；将邑=邑代入7t=”即可判断D.

【详解】解：；AB〃CD

:•S&ABD=S4ABe（同底等高的两个三角形面积相等）

SABD_S]=^ABC~S1

；・邑=邑，故A正确;

・・,点A,O,。共线

・••点B到OA的距离等于点B到OC的距离

.S1OA即W="5,

1OC2

____s4OA

同理可得,即邑=

S.OC，

Sj+53=—s9+—s4

13OCOA4

・・・。4和OC不一定相等

・・,a+53和52+54不一定相等，故B正确;

ss

:•寸二U,故c正确;

»3

:.52s4=S1S3

2

S2=5应

AS2=7S,-S3,故D正确.

故选：B.

2.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用.设FG=匹

BE=b,DF=x,证明ADBGSACBG和△AFE's/xCBE,得至l]2a=〃+4①，36=2a+8②，据此求

解即可.

【详解】角星：^FG=a,BE=b,DF=x,贝！J£F=方G+£G=，+4,

四边形ABC。是平行四边形,

AD//CB,AD=BC,

'：DF//CB,

:•ADFGS点JBG9

,DFFGDG1xa1

即an——=----=-

*BC-BGCG2BC。+42

/.BC=2x,2a=b+4①,

AD=BC=2x,AF=AD+DF=3x,

'：AF//CB,

：.Z\AFE^/\CBE,

.AFFE3xQ+4

••一，艮IJ=,

BCBE2xb

：.3Z?=2Q+8②，

解①②得b=6,a=5,

・•・3尸=5+4+6=15,

故选：A.

3.C

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明△ABDS^BCD,由相似三角形的性质求解

即可.

【详解】解：・・,5D，AC于点。，

：.ZADB=ZBDC=90°,

,/NABC为直角，

：.ZABD^ZDBC=9Q°,

又・・・NABD+NA=90。，

：.ZA=ZDBC=90°,

**•AABDS^BCD,

S#CD[BC)UJ16

故选：C

4.C

【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键.

设AB=。，证明△SAEsaCEF,列出关系式，结合图象求出。值，进而求出矩形面积.

【详解】解：根据图2得BC=4,

设AB=a,

QZABE=90°,

.*.ZBAE+ZAEB=90°,

QAE1EF,

.\ZAEF=90°,

,-.ZAEB+ZCEF=90°,

,\ZBAE=ZCEF,

:NBAE^NCEF,

.BECF

,・瓦一法‘

即2=十，

a4-x

1414

y=——x20+—x=——(x-2)92+—,

aaaa

44

当％=2时，y有最大值一=z，

a3

..a=3,

・,・矩形ABC。的面积为12,

故选：C.

5.C

【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意aAO5s△co。，运用相似三角形的性质可

得结论.

【详解】解：如图，

,AAOBSGOD,

,CD__0C_

^~AB~~0A

・.・OA=70-50=20cm,OC=80-70=10cm,CD=3cm,

-3_10

**AB-20?

AB=6cm

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义等知识，过A作AC，％轴于

C,过8作3DJLx轴于。，证明AACOSAODB,得出黑四=［四］=2,根据反比例函数的几何意

S.ODBVOB）9

义得出％co=-I，&曲=共，代入化简即可求解.

【详解】解：过A作AC_Lx轴于C,过2作BD_Lx轴于

则ZACO=NBDO=90°,

又ZAOB=90°,

ZACO=NOBD=90°-ZBOD,

AACOSQDB,

.—c。："。丫阳12

,•S.ODBUBJt3J9'

..•顶点A、8恰好分别落在函数y=+(x<O),y=与(无>0)的图象上,

,•S&ACO=一万卜1,SqDB=5%

・刍=_2

,•k?9f

故选：C.

7.A

【分析】连接OO,由CD是04的垂直平分线可得0c是VAOB的中位线，结合。E=：QC,可得

4

DE=~BO,即段=：.易证△BPOSAOPE,所以=（也］=64,则其防。=64x：=芋，设

S4DEF\DE）263

ii9

棉形X22

OA=6x,则OB=OAtanZBAO=8x,则SDCOB——(℃+CD)xOC=18x,SAOCE=—OCxCE=—x

1932

6尸O=gDEF+S梯形OEQ3=SgM+S梯形DCQB—S^OCE=/+18x+彳％~~T~»求出％的值，则可求出点石

1O23

的坐标，进而可求出左的值.

【详解】解：如图，连接。。，

由题意可知，C。垂直平分Q4,

OD=AD,ZODC=ZADC=-ZODA,

2

・・・ZAOB=ZDCA=90°f

：.DC//OB,

：・/BOD=NCDO,ZABO=ZADC=ZODCf

：.ZABO=ZBOD,

・•・△3OD是等腰三角形，

:・BD=OD,

,：OD=AD,

：.BD=OD=AD,即点。为AB的中点.

・.・DC[IBO,

ZADC=ZABO

•・・ZA=ZA

△ADCs小ABO

.DCAD\

**OB-2

・•・DC=-BO,

2

,/DE：CE=1：3,

DE=-DC,

4

即出

DE=-BO,

8

VZOBF=ZEDF,ZDFE=ZBFO,

"BFOSQFE,

..DEI

*BO~S"

=f—?=64,

s^LD>ELFrv、DE/J

132

贝1JSABFO=64XN=T，

o3

设Q4=6x,则Q5=Q4tanNB4O=8x,

:.DC=4x,

3

CE=-CD=3x.

4

・・・OC=AC=-OA=3x

2f

・•・OC=EC,

iio

梯切OC+CD无2

贝I」SCOB=2（）xOC=182,S^CE=-OCXCE=-X,

」+1如+工2萼

Q&BFOS&DEF+§梯形0E08SADEF+S梯形c08—SQCE

01623

解得x=*

CE=3x=币,

，OC=EC=币,

；.E（近，⑺，

:=q.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定与性质，

相似三角形的性质与判定，解直角三角形的相关运算等知识，解题的关键是根据面积之间的关系得出

方程.

8.A

【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用以上知识点，确定相似三

角形是解题的关键.延长。/交3C于点尸，设=EF=a,由题意可得"F=AG=;c+a,根据

DFFNr+/72r+/7

AD〃BC,易得ADFNs^PFM，即/=言，由题意得"=j，因此FP=,又根据FP//EB,

j-1j-'r\X'"I_Cl_

易得△CFPsACEB,即二得％_2,因止匕X?-2融—4=0,解得：x=(l+J^)〃或

x+ax

x=（l-@a（负值舍去），即x=（l+3）a,在RtAAGD中，利用勾股定理得仞？=（9+6&）〃

最后根据正方形面积公式即可求出面积比.

【详解】解：如图，延长。尸交5c于点尸，

四边形ABC。是正方形,

:.AD//BC,AB=BC=CD=DA,

•・•大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形小BCE,VCDF,△ZMG和一个小正方形石尸GH

拼接而成，

..AH=BE=CF=DG,EF=FG=GH=HE,

设AH=BE=CF=DG=x,EF=FG=GH=HE=a,

DF=CE=BH=AG=九+Q,

:AD//BC,

,△DFNsgFM,

DF_FN

'FPFM'

,F、”是线段MN的两个三等分点,

,FN=2FM,

x+a_2

FP-T，

・・,四边形EFGH是正方形,

:.FP〃EB,

.-.△CFP^ACEB,

.CF_FP

,~CE~BE"

x+a

即％_2，

x+ax

f—2dX—a2—0,

解得：x=（l+0）a或尤=（1一0）a（负值舍去）,

即x=（1+应）。，

在Rt^AGD中，AD2=AG2+DG2=（x+a）2+_?=（9+6叫a2,

,正方旅BQ=竺=（9+61）。=队6亚，

S正方形EFGHHGa

故选：A.

9.2

【分析】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相

关知识.根据含30。角的直角三角形的性质可得AC=23C=4,由DE〃BC,点。为A3的中点，可

1ApArt1

得AADEsAABC,AD^-AB,得到==士，即可求解.

2ACAB2

【详解】解：,•・在Rt~45c中，NA=30。，IB90?,BC=2,

AC=2BC=A,

••・£）石〃3。，点。为A3的中点，

AADE^AABCAD=-AB

f2f

•AD_1

"AC-AB-2'

/.AE=—AC=2,

2

故答案为：2.

10.3:1

【分析】本题主要考查了位似图形的性质.相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案.

【详解】解：与△口£尸是位似三角形，S.AB=3DE,

：.△ABCS^DEF,相似比为3:1,

/.NABC与&DEF的周长比等于相似比3:1.

故答案为：3:1.

“3亚

11.---------

2

【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得△ABEs^ECF是

解题的关键.

根据矩形的性质以及勾股定理可得EC=3、AE=45，再证明△""/△氏/,然后根据相似三角

形的性质列比例式求解即可.

【详解】解：,••四边形是矩形,

,々="=90。，BC=AD=4,

：.EC=BC-BE=4-1=3,AE=JAB2+BE2=5

'：ZB=ZC=90°,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

*.*AE±EF,

：.ZAEB-^-ZCEF=90°,

：.ZBAE=ZCEF,

：.AABEsAJECF,

.♦.小四,即立=2解得：EC若

EFECEF3

故答案为：垣.

2

12.61或5或6

【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：

根据轴的性质得AC=DC=6,由勾股定理得AC=J疗+同=6,求得机=回，再根据两点间距

离公式求出BD=6；第二空：分A点在x轴上和不在x轴上两种情况讨论求解即可.

【详解】解：根据题意得，当A与。重合时，2C是AA的垂直平分线，

AC=DC,

,:C(m,舟,D(m+6,布),

CD=m+6-m=6,

・•・AC=6f

,：A(0,0),

AC2=(777-O)2+(^5-O)2=62,

解得，机=，

.•.00+6,灼，

BD=J(731+6-6)2+(V5-0)2=6；

当以A，、C、B、O为顶点的四边形是矩形时，有两种情况:

①当A点在无轴上，如图，

m=6；

・•・ZCEB=ZDFB=90°,

；・/ECB+/CBE=90。,

・・•四边形ACBQ是矩形,

/.ZCBD=90°,

ZECB=ZFBDf

又/CEB=/DFB=90。,

:・ACBESABDF,

.CEBEy/56-m

••--=---，即----=---7=~,

BFDFmy/5

解得，m=1或机=5,

综上，加的值为：1或5或6；

故答案为：6；1或5或6.

13.150。/150度72-3673

【分析】（1）连接OA,OB,OP,OP交AB于点H,先根据正六边形的性质求出A3=6,ZAOB=60。，

再根据圆周角定理可得/尸区4=^/尸。4=15。，ZPAB=^ZPOB=15°,然后根据三角形的内角和定

理求解即可得；

（2）先根据垂径定理可得。尸，4民出/=[A2=3,利用勾股定理求出尸笈的值，再证出

2

YPCB内PBG,根据相似三角形的性质即可得.

【详解】解：（1）如图，连接。AO8,OP,0P交AB于点”,

:边长为6的正六边形A3CDER内接于圆。,

360°

/.AB=6,NAOB=——=60°,

6

,点P为劣弧的中点，

ZPOA=ZPOB=-ZAOB=30°,

2

由圆周角定理得：ZPBA=-ZPOA=15°,ZPAB=-ZPOB=15°,

■-22

，ZAPB=180°-APBA-APAB=150°,

故答案为：150°.

(2):点尸为劣弧A3的中点，AB=6,

：.OP±AB,BH=-AB=3,

2

.,.在RtA30H中，OB=2BH=6,

OH=y/OB2-BH2=3A/3，

又：OP=OB=6,

PH=OP-OH=6-3也,

在中，PB2=PH2+BH2=72-3673,

由圆周角定理得：NPCB=NPAB=15。,

由(1)已得：ZPBA=15°,

：./PCB=NPBG,

在APCB和△PBG中，

JZPCB=ZPBG

[ZBPC=ZGPB，

：.NPCB^NPBG,

.PCPB

"PB-PG)

PG-PC=PB-=12-3643

故答案为：72-36/.

【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定

理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的性质是解题关键.

14.2

【分析】延长AB到H，使得BH=2AD=12,连接,可证明△政必得到^BNH=ZAMD,

再导角证明NHNH+NRVB=180。，得到尸、N、”三点共线；取的中点0,连接。尸，OD,则可

得到当点尸在线段8上时，DP有最小值，最小值为8-8的值，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，延长到“，使得9=24)=12,连接"N,

・・•四边形ABCD是矩形，

・•・ZADC=ZABC=ZC=90°,

・•・/NBH=180。—ZABC=90°=ZADM,

•；BN=2DM,BH=2AD=12f

.BNBH

**DM-

：.^NBH^AMDA,

：.NBNH=/AMD,

,：NP.LAMf

：.ZNPM=90°,

：./PMC+/PNC=360°-ZC-ZNPM=180°,

ZAMD+ZPMC=ZPNC+ZPNB=180°,

AZAAffi)+ZPA®=180°,

・•・ZBNH+ZPNB=180°,

:・P、N、”三点共线;

如图所示，取AH的中点O,连接。尸，OD,

H

•：AH=AB+BH=16,

：.OA=OP=-AH=8,

2

'：DP>OD-OP,

・•・当点尸在线段OO上时，。尸有最小值，最小值为OD-的值,

在Rt^ADO中，由勾股定理得8=44/再&7=10，

场小值=10一8=2,

故答案为；2.

【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判

定，矩形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点尸的轨迹是解题的关键.

15.90V15

【分析】本题考查矩形的性质，圆与多边形的综合，相似三角形的性质和判定以及解直角三角形，综

合性比较高，难度较大.

①在矩形QWC和矩形ODEF中，ZAOC=ZDOF=90°,贝ljNZXM=NFOC,由

OA=2OC=2OD=4OF=4,得至U"="=工，证明AFOCSAOQA,得至I」//CO=/ZMO,设直

ODOA2

线位）与直线CO交于点ZGHC=ZAHO,从而得到结果；

②当AD与0。相切时，此时3G的值最小，分点。在AO在上方和下方两种情况讨论，两种情况计

算方法相同，在RSAOD中，OA=2OD,则NAOD=60。，ZCOF=ZAOD=60°f求得。尸的长度，

再利用CT和3G的关系，即可得结果.

【详解】在矩形Q4BC和矩形OL史方中，ZAOC=ZDOF=90°,

/./DOA+/DOC=/FOC+/DOC,

:./DOA=NFOC,

XOA=2OC=2OD=4OF=4

OFPC

,OD~OA~2

:4FOCsgOA,

・•・ZFCO=ZDAOf

设直线与直线CO交于点H,

如图（1）,

ZAGC=Z.GHC+AFCO=ZAOH=ZDAO+AAHO=90°,

如图（2）,

图⑵

在CT右侧作。WLCF,并使CN=2CF,连接MV,MB,EB,

则NMCF=90。,

在矩形Q4BC中，ZOCB=90°,

ZOCF+ZOCM=ZBCM+ZOCM

.\ZOCF=ZBCM

PC_CF

~BC~~CM~2

.△OCFs^BCM

OF1

:.ZBMC=ZOFC,且——=-

BM2

..OF_1

•OD~29

:.BM=OD=EF,

♦:/BMF+ZMFE=/BMC+/CMF+NCFM—/CFE=/BMC+(/CMF+/CFM)—/CFE

=/OFC+90°-ZCFE=180。，

:,EF//BM

四边形EKWB为平行四边形，CM=2CF,

MF2=CF2+CM2=CF2+4CF2,

BE=MF=V5CF,

点。在以点。为圆心，。。为半径的圆上运动，，

若点。在AO上方，则当AD与。。相切时，8_LAD,此时点E与点G重合，如图（3）,

图⑶

此时BG的值最小，BG=BE=辰F,

在RLAOD中，OA=2OD,

ZAOD=60°,

:.NCOF=ZAOD=60°,

CF=COsin60°=A/3,

.­.BG=715,

若点。在AO下方，如图(4),

同理可得BG的最小值为V15,

综上，8G的最小值为

故答案为：90,岳.

16.好

3

【分析】证明AOA尸/AABEGAS),得/ADF=NBAE,DF=AE,再证明3G=Z)G,推导出

AH

&/7=皿=成，贝I]——=1,DF=AE=2AH=2BH,再推导出尸G=G",再证明△AFgz^CDG,

HE

33

得到CG=[AC,DG=：DF,设设AF=小，利用勾股定理计算，于是得到问题的答案.

44

【详解】解：:四边形A5CD是正方形，

C.AB//CD,DA=AB,ZDAF=ZABE=ZADC=90°,

•/AF=BE,

：.△ZMF^AABE(SAS),

；・NADF=NBAE,DF=AE,

连接3。，则AC垂直平分30,

・・・BG=DG,

VZADB=ZABD,ZGDB=/GBD,

:.ZADB—NGDB=ZABD—NGBD,

：.ZADF=ZABG,

：・NBAE=ZABG,

：.NHEB=90。—NBAE=90。—ZABG=NHBE,

・•・AH=BH=HE,

DF=AE=2AH=2BH,

・・・DF=4GH,

：.2BH=4GH,

:.BH=2GH,

：.BG=DG=2GH+GH=3GH,

：.FG=4GH-3GH=GH,

*：AF//CD,

：.△AFWACDG,

.AG_AF_FG_GH_1

CG~CD~DG~3GH-3'

3333

ACG=——AC=-AC,DG=——DF=-DF,

1+341+34

设=则AD=CD=3AF=3根，

・•・AC=yjAD2+CD2=J（3m）2+（3m）2=342m,

DF=^AF2+AD2=y/m2+（3m）2=Mm，

・3A3而3V10

••CG=—x3v2m=-----m,DG=—xvlOm=-------m,

4444

3M

DGY~m小

"'CG=142~=T，

------m

4

故答案为：叵.

3

【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三

角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出==是解题的关键.

17.（1）画图见解析

（2）画图见解析

【分析】（1）如图1,取格点E、F,连接跖，可得巫=CF=2,因为郎〃CF,所以四边形8EFC

是平行四边形，即得跖〃3C,故线段所即为所求；

（2）如图2,取格点连接AM,交BC于点。，则网格特点可知ADSBC,再取格点£、F,

连接EF,与射线A。相交于点尸，由（1）知EF〃BC,因为=所以由平行线等分线段定

理可得AD=D0,由线段垂直平分线的性质得AC=MC,再根据等腰三角形的性质可得

ZPCB=ZACB,故点尸即为所求；

本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点

是解题的关键.

【详解】（1）解：如图1所示，线段EF即为所求；

图1

（2）解：如图2所示，线段仞及点尸即为所求.

（2）20

【分析】（1）连接OD,由直线AC为。。的切线可得ODLAC,从而得出NOA4=90。，进一步得

出OD||8C,由平行线的性质得到NOZ）E=/F.由OD=OE可得NODE=NOED,再证得

ZOED=ZF,最后得出结论；

（2）由（1）知NOZM=90。，设OD=OE=3x,贝!10A=OE+4£=弓+3*，AD=4x,在中，

,_________252040

tM=j5+O02=5%,求出OD=O石=5，OA=-9AD=—,AB=BE+AE=—f证明

△AOD^AABC,求出BC=8,进而求出C尸=2,即可解答.

【详解】（1）证明：连接O。，

・・•直线AC为。。的切线,

・•・ODA.AC,

：.ZODA=90°9

9：ZBCA=90°,

：.OD\\BC,

：.ZODE=ZF.

9：OD=OE,

：.ZODE=ZOED,

：.ZOED=ZF,

：.BE=BF；

（2）解：由（1）知NOZM=90。,

310

VtanA=-,AE=——

43

.OD3

・・tanA4------=一,即nn

AD4

设OD=OE=3x,贝ijOA=OE+AE=W+3尤，AD=4x,

3

在Rt~4O。中，OA=^AD2-^OD2=5X^

・・・5x=—+3x,

3

._5

••x——

39

：・OD=OE=5,

・•.y,5

：.BE=BF=1Q,

40

AB=BE+AE=—

3

•：OD\\BC,

^AOD^^ABC,

.OA_OD

ABBC

.•.BC=3=8,

OA

：.CF=BF-BC=2,

：.BE-CF=10x2=20.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论

证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了等腰三角形

的性质，相似三角形的判定和性质和三角函数的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅

助线是解决此题的关键.

19.（1）证明见解析；

⑵①四边形9GC是菱形，理由见解析；②FG=叵」.

22

【分析】（1）根据SAS证明AACE%CBD；

（2）①根据（1）中：xACE经KBD，得NACE=NCBD,则NDPC=ZACB=60。，证明ACDB沿ACFG,

可得CG=AB=AC,则四边形A3GC是菱形；

②作高CH,设菱形ABGC的边长为。，根据菱形的面积列式为ARCH=4石，即小走a=4若，

2

可得4的值，证明尸s△尸GB,列比例式可得bG的长.

【详解】(1)证明：:VABC是等边三角形，

.・.ZA=ZACB=60°,AC=BC,

在“。石和中，

AC=CB

<NA=/BCD,

AE=CD

：.△ACE^ACBD(SAS)；

(2)解：①四边形ABGC为菱形，理由如下：

^ACE^^CBD,

：.ZACE=ZCBD,

：.NDPC=NPCB+NCBD=NPCB+ZACE=ZACB=60。,

由翻折得：CD=CM,NCDP=/CMP,/MPC=/DPC=60

：.ZDCF+ZDPF=60°+2x60°=180°,

・•・ACDP+ACFP=360°-180°=180°,

・•・ZCMP+ZCMF=180°,

JZCMF=ZCFP,

：.CF=CM=CD,

・.・ZCFM+ZCFG=180°,ZCDB+ZCFM=180°,

:.ZCDB=ZCFG,

9：CG//AB,

：.ZGCF=ZCBA=60°=ZBCD,

在△CD5和中，

ZCDB=ZCFG

<CD=CF,

ZCDB=ZCFG

：.ACDB^ACFG(ASA),

・•・CG=CB,

：.CG=AB,

'：CG//AB,CG=AB=AC,

・•・四边形ABGC是菱形；

②过。作SLAB于"，设菱形ABGC的边长为。，如图:

・・・VABC是等边三角形，

AH=BH=-a,

2

，CH=AH♦sin60°=-ay（3=—，

22

・・,菱形ABGC的面积为4A/3,

:.ABCH=46，即〃史〃=46，

2

a=2A/2（负值已舍去），

BG=2式，

•・•四边形ABGC是菱形，

:.AC//BG,

・•・ZGBC=ZACB=60°,

9：Z.GPB=180°-ZCPD-ZCPM=60°,

・•・NGBC=NGPB,

■:/BGF=/BGF,

：.ABGFS/GB,

BGFG目口

BPBG19=FGPG,

PCJBG

:PF^1,3G=20,

.■.（2V2）2=FG-（FG+1）,

解得：FG=---^FG=-—~-（舍去），

2222

/.FG=—

22

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行

四边形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键.

20.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，相

似三角形的判定与性质，正确理解新定义是解题的关键.

(1)设正方形ABEF的边长为。，先根据折叠的性质证四边形ABCD是矩形，再根据△ADG是等腰

直角三角形得出A3和AO的比例关系，即可得证结论；

(2)作OPLAB,OQ±BC,垂足分别为P,Q,证Rt/XQONsRt^POM,根据线段比例关系得

出第=桨即可得出结论.

OMBC

【详解】(1)证明：设正方形AB£F的边长为。，

AE是正方形ABEF的对角线，

:.ZDAG=45°,

由折叠的性质可知AG=AB=a,ZFDC=ZADC=90°,

:四边形ABEF是正方形，

ZDAB=ZABC=9G°,

：.ZDAB=ZABC=ZADC=90°

.•.四边形A3CZ)是矩形，

工37是等腰直角三角形，

AD=DG=AG-sinZDAG=云，

AB:AD=a:~^==0:1,

V2

四边形ABC。是亚矩形；

(2)证明：作OPLAB,OQLBC,垂足分别为P,Q,

••・四边形A3。是矩形，?B90?,

NB=ZOPB=ZOQB=90°,

二.四边形。尸8。是矩形，

ZPOQ=90°,OP//BC,OQ//AB,

/XAOP^AACB,ACOQ^AG4B,

.OPAOOQCO

"BC-AC'~AB~~CA'

•.♦O为AC的中点，

:.OP=-BC,OQ=-AB,

22

•.•NMON=90°,

ZQON=ZPOM=90°-ZMOQ,

ZOPM=ZOQC=90°

Rt/XQONsRtzXPOM,

.ON一OQ一AB£

"OM~OP~BC~~，

OM

21.(1)135°

⑵①见解析；②见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圆周角之间的关系，

熟练掌握弧、弦和圆周角之间的关系是解题的关键.

(1)连接AC,根据直径所对的圆周角是直角得到Z4CB=90。，贝U可得至1JNC4B+NCBA=9O°,再

根据等弧所对的圆周角相等得到=由角平分线的定义得到=则可求出

ZEAB+ZEBA=45°,据此根据三角形内角和定理可得答案；

(2)①连接AC,先证明=NCAD=NCBD,贝U可证明4>A4=Nr>BC,进而证明

ZCAD=ZABD,AD=CD,进一步证明NZME=NA£D,得到=则可证明DE=CD；②如

图所示，连接尸3,先证明ZPAD=ZPBD,再证明ZPEB=NPBE，得到PE=PB；证明AAPB^ABPF,

得到=PE2PA-PF>再根据上4=PB+AF,即可证明PE?-依2=小..

【详解】(1)解:如图所示，连接AC,

：A3为。。的直径，

ZACB=90。,

：.ZCAB+ZCBA=180°-ZACB=90°；

:点尸是BC的中点，

PC=PB，

：.ZPAB=Z