2025年中考数学第一阶段复习：解直角三角形及其应用 考点过关练习

2025年中考数学第一阶段复习考点过关练习：解直角三角形及其应

用

1.如图1,在四边形A3。中，/B=NC,点E是上一点，且N/®=N3.

⑴求证：AABEsAECD.

⑵①如图2,若tanNAr)E=2,当NB=NC=90。时，求证：4AB=3CE

4

②如图3,当N3=NC=12O。，CE=2,BE=6,CD=4时，求AD的长.

2.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.

在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABC。绕点A顺时针旋转得到矩形A£FG,其

中点£,厂分别是点3,C的对应点.

C

-----.C----------\

/^\/\F

/、/D、----

*7。上，

V

图1图2备用图

⑴如图1,连接DG,BE,则等的值为——.

(2)如图2,当点E恰好落在边C。上，连接3G交AE于点。,连接8E.

①求证：EB平分/AEC；②求证：OG=OB.

(3)若直线£B,DG交于点H,当BE=8时，请直接写出3"的长.

3.将一个直角三角形纸片。4B放置在平面直角坐标系中，点。(0,0),点3(6,0),点A在

图①图②

⑴填空：如图①，点C的坐标为一，点A的坐标为一；

⑵连接AC,将直角三角形纸片Q46沿AC剪开，把AQAC水平向右平移得到点0,

A,C的对应点分别是D,E,F,设。D=f.

①如图②，当ADEF与VABC重叠部分为五边形时，EO分别与AB,AC相交于点G,H,

所与48相交于点M,试用含有t的式子表示GM的长，并直接写出/的取值范围；

②当时，求ADEF与VABC重叠部分的面积S的取值范围.(直接写出结果即可)

4.综合与探究

如图1,在矩形ABCD中，点E是边AO上一点，连接BE,CE,CE=BC,/ECD的平分

线与BE的延长线相交于点F,过点C作CM3/于点M.

答案第2页，共49页

图1图2备用图

⑴【问题发现】

判断尸的形状，并说明理由:

(2)【问题探究】

过点尸作尸G，尸C交朋的延长线于点G,根据题意在如图2中补全图形，探究线段BG与

线段8C的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

在(2)的条件下，AD=4i0,连接GE,当△GEF是等腰直角三角形时，直接写出的

值.

5.某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究.

图1图2图3

【合作探究】

如图1,在VABC中，点。为上一点，ZACD=ZB.求证：AC2=ADAB；

【内化迁移】

如图2,在nABCO中，点E为边2c上一点，点/为54延长线上一点.ZCFE=ZD.若

CF=3,CE=2.求AD的长；

【学以致用】

如图3,在菱形ABC。中，NABC=6（T,AB=26•点E是2c延长线上一点，连接E4,将

绕点A逆时针旋转30。得到石为，过点E作EF〃a）交AE的延长线于点F.若

2

EF=-BD,请直接写出BE的长.

6.(1)如图1,在VABC与VADE中，ZABC=ZADE^90°,ZBACZDAE45°,连

结BD,CE,求8。和CE的数量关系;

(2)如图2,在VA3C与ADEC中，ZACB=NDCE=90°,NA=/CDE=45。，边BC和OE

交于点歹，点。在边AB上，BD=3AD,求^的值.

(3)如图3,若ZBCD=90。,/DBC=45°,AB=3拒,AC=2,当AO的值最大时，求

BC的值.

答案第4页，共49页

7.如图1,在矩形ABCZ)中，AB=8也,乙应＞=30。，点E是边A3的中点，过点E作£F_LAB

交8。于点F.

⑴在一次数学活动中，小王同学将图1中的/XBEF绕点B按逆时针方向旋转90。如图2所

示，得到结论:

①芸的值为.

DF

②直线AE与DF所夹锐角的度数为

(2)小王同学继续将△跳:尸绕点8按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置，AE与BD交

于点。，AE与。尸交于点打.请问探究(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由:

(3)在以上探究中，当△BEF旋转至。、E、尸三点共线时，直接写出VADE的面积.

4

8.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD,AD=3,BC=9,tanC=§,点E为射

线CD上任意一点，过点A作AF/5E，与射线CD相交于点连接即，与直线相

=y

AD

E

BCBC

备用图

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)当点G在线段AO上时，求，关于尤的函数解析式，并写出函数的定义域;

⑶若:—=：,求线段CE的长.

9.直线A3交坐标轴于仆-5,0,8(0,13).

(1)求直线AB解析式；

(2)0(0,。是。8上的一点(不与O,B重合)，OC〃x轴交AB与点C,用含f的代数式表

示CD的长度d；

(3)在(2)的条件下，E是CD上一点，以8E为边构造△BEW,使在y

轴上取点X,HD=BD,连接WH,当/EWH=2/EBD时，3E=10时，求。点坐标.

答案第6页，共49页

10.已知点E是正方形ABC。内部一点，且/BEC=90。.

图1备用图

(1汝口图1,延长CE交AD于点P.求证：ABECSMDP；

(2)如图2,若正方形的边长为2,连接。E并延长交BC于点尸，当点尸是3C的中点时,

①求点E到边BC的距离;

②求笠CF的值;

BE

CF

(3)连接OE并延长交2C于点尸，当/班尸=30。时，请直接写出"的值・

BE

11.(1)【问题发现】如图1,在Rt^ABC中，ABAC=90°,ZC=30°,过点A作BC的

垂线，垂足为点。，作△ABD关于AB的对称图形AABE,若BE=1,则BC=.

(2)【拓展探究】在(1)的条件下，将AABE绕点B旋转至如图2所示的位置，A点的对

应点为A,E点的对应点为"，连接CA.求证：△◎'3s△他3；

(3)【结论运用】如图3,若Rt^ABC的直角边AB：AC=1:0，过点A作3C的垂线，垂

足为点。，作△ABD关于A3的对称图形AABE,将AABE绕点B旋转至如图3所示的位置

(此时C,A,£三点共线)时，求的值.

c

cc

12.在菱形ABC。中，AB=l+^,NC=60。，点E在射线CB上运动(点E与点C不重合)，

△DEC关于OE的轴对称图形为△DEC'.如图，为△DEC'的外接圆，直线CD与。。交

于点G,连接GC'交OE于点

⑴若NEC'G=15。，则/EDC'=。；

(2)当训.即=4时，连接AC',判断直线AC'与。。位置关系，并说明理由;

(3)直接写出△£)£€’的外接圆的半径厂的最小值.

答案第8页，共49页

13.已知VABC,点。在BC的延长线上，8=4,以CD为边，在VA5c的同侧作正方形

CDEF,经过E、尸两点作0。且与C。边相切于点G,连接AD,点尸是AD边的中点，

图1图2

(1)求0。的半径；

(2)如图1,当点尸在。。上，连接CP,若CP=CG,求证：CP是。。的切线;

DP

(3)如图2,若AB=BC=机，且/3=60。，连接OG交AD于点H,设——=y,

DH

①求y与机的函数关系式；

②当点尸在。。上时，求y的值.

14.如图，在等边VABC中,D、E分别为AC、BC上动点，满足AT)=CE.

⑴如图1,连接OE,过8作3/工AC于点尸，交OE于点G,若tan/EDC=咚，CD=6,

求BG的长；

(2)如图2,连接OE,P为3C中点，连接AP,G为边BP上一点,连接DG交AP于点F,F

恰为DG中点，将PG绕点G逆时针旋转60。到用，连接HE,HD.求证：HD=^HE-,

⑶如图3,点M是平面内直线3C上方一点，ZBMC=30°,。为直线3M右方一动点，满

足NM3Q=/MC3+30。，BQ=BC,连接MQ,N为MQ上一点，连接AN、AQ,当/。

取得最大值时，请直接写出当AMIQ为直角三角形时空的值.

答案第10页，共49页

《2025年中考数学二轮专题训练-解直角三角形的相关计算》参考答案

L(1)见解析

⑵①见解析；②辰

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知

识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)证明=钻，结合N8=NC即可得证；

4HAF

(2)①证明：由相似三角形的性质可得"证明为直角三角形，结合

ECED

aAF3

tanZADE=-,即可得证；②由相似三角形的性质可得AB=3,—=作于尸，

4DE2

DGLBC于G,求出/Z)CG=60。，得到CG=；CD=2,DG=CD-sin60°=273)EG=4,

由勾股定理可得DENEG。+DG2=2近，AE=3币,作AE于AE的延长线下，

OGL3c交3C延长线与G,由・••/4ED=NB,ZB=ZC=120°,知"EF=60。，在

RtADEF中，DE=2币,求得EF=币,DF=亚,在RLsAZ)厂中，求得AD的长.

即可得解.

【详解】(1)证明：：NAED=NB,

ZAEB+ZDEC^ZAEB+ZBAE,

：./DEC=/BAE,

:NB=NC,

：.AABES^ECD；

(2)①证明：由(1)可知：AABES/XECD,

.ABAE

"'~EC~~ED'

"：ZB=ZC=90°,ZAED=ZB,

...△AED为直角三角形，

3

丁tanNAOE=—,

4

.ABAE_3

**EC-E5-4'

J4AB=3CE；

②解：由(1)可知：人ABEsAECD,

.ABAEBE

''~EC~~ED~~CD'

VCE=2,BE=6,8=4,

.AE3

•・AB=3,=一,

DE2

如图，作于AE的延长线产，■DGLBC交BC延长线与G,

,//BCD=120。,

：.ZDCG=60°,

CG=：C£>=2,DG=CD-sin60°=2y/3,

：.EG=EC+CG=4,

在RtVDEG中，DE=dEG。+DG。=2币,

：.AE=3用,

VZAED=NB,ZB=ZC=120°,

ZAED=120°,ZDEF=60°

在RtaDEF中，DE=2近,ZDEF=60°,

EF=币,DF=,(2有『一(近『=V21

vAF=AE+EF,已知AE=3币,EF=布,

AF=3而+币=4币,

Rt^ADF中，AD=7(4A/7)2+(^)2=J112+21=7133.

F

⑵①证明见解析；②证明见解析；

(3)3”的长为3g-4或36+4.

【分析】(1)由旋转的性质得到A£>=AC=6,AB=A£=8,NDAG=/BAE,,求得

答案第12页，共49页

ADAG63根据相似三角形的性质得到喘T

ABAE8-4

(2)①过点B作⑻0_LA£于点M,由旋转可知AB=A£,得到NABE=NA£B,根据

平行线的性质得到NABE=NCEB,推出BE平分/A£C；

②根据角平分线的性质得到BC=3M，由旋转可知，AG^AD^BC,根据全等三角形的性

质得到OG=O3；

(3)根据旋转的性质得到AD=AG,AB=AE,ZDAG=ZBAE,求得ZADH+ZABH=180°,

得到NDHB=90。，得到AME为等边三角形，同理△ADG为等边三角形，如图2,根据三

(o/7

角函数的定义得到=B八5布60。=6-平x+=3若-4,如图3,同理可得

HE=3舟4,得出5H=3用4.

【详解】(1)解：由旋转的性质知，AD=AG=6fAB=AE=8,NDAG=NBAE,

.APAG_6_3

'AB~AE~S~49

:.ADAG^ABAE,

.OGAG_3

*BE-AE-4?

3

故答案为：—；

4

(2)证明：①由旋转可知，AB=AE,

,\ZABE=ZAEB,

AB//CD,

：.ZABE=ZCEB,

：./CEB=ZAEB,

：.BE平分/AEC,

②如图，过点区作册T_LAE于点M,

图1

・・•四边形ABCD是矩形,

・•・ZC=90°,

又・.・5M_LAE,BE平分NAEC,

・・・BC=BM,

由旋转可知，AG=AD=BCf

：.AG=BM,

在“LOG和中，

ZGAO=ZBMO=90°

<ZAOG=/MOB

AG=BM

：.△AOG%MO5(AAS),

：.OG=OB；

(3)解：由旋转得AD=AG,AB=AE,NDAG=ZBA£,

・・・ZADG=ZAGD=ZABE=ZAEB.

ZABE+ZABH=180°,

：.ZADH-^-ZABH=180°f在四边形AD/年中，ZDAB=90°,

：.ZDHB=90。,

9

：AB=AE=BE=8f

**•△ABE'为等边三角形，

JZDAG=ZBAE=60°,

'：AD=AG

：.ZVIOG为等边三角形，

・•・ZADG=60°f

如图，令与5c的交点为/,

ZIDC=90°-ZADG=30°,

图2

答案第14页，共49页

ZBIH=me=90°-ZIDC=60°,

8A/3

同理可得HE=3有-4,

，BH=HE+BE=36-4+8=36+4

综上所述，的长为3石-4或36+4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等

边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键.

3.(1)(3,0),||¥］；

(T)@GM=—t(0<r<3)；.

282

【分析】(1)由点*6,0),得到O3=6,根据点C是边OB的中点，得到OC=BC=goB=3,

从而得出点C坐标，连接OC,过点A作ANJ_OC于点N,证明ACMC为等边三角形，求出

ON,AN,即可得出点A坐标；

(2)①由平移可知，ADEF^OAC,DE//OA,CF=OD=t,有

DF=EF=3,Z.E=Z.EFC=60°,得到FB=FM=3-f,再得到/EGA/=90。，根据解直角

三角形可得答案；

②分两种情况:当1Vr<3时,重叠部分为五边形，当3vrV5时,重叠部分为直角三角形DGB,

分别求解即可得出答案.

【详解】（1）解：：点3（6,0）,

・・・OB=6,

•・•点。是边05的中点，

・•.OC=BC=-OB=3,

2

・・・点。（3,0）,

如图，连接AC,过点A作ANLOC于点N,

图①

VZOAB=90°,OC=BC,

・•・AC=OC

,：NAO5=60。，

・・・△O4C为等边三角形，

,OA=OC=3f

9：AN.LOC,

13

.\ON=-OC=-

229

故答案为：（3,0）,

（2）解：①由（1）可知，△OAC为等边三角形，

由平移可知，ADE®QAC,DE〃OA,CF=OD=t,有DF=EF=3,NE=NEFC=60。,

：.FB=CB-CF=3-t,

・.,ZOAB=90°,ZAOB=60°,

答案第16页，共49页

・•・ZABO=30°,

・•・ZFMB=ZEFC-ZABO=30°,

NFMB=ZABO,

：.FB=FM=3-t,

：.EM=EF-FM=t,

DE//OA,

：.NDGM=ZOAB=90°,

：.ZEGM=9Q°f

在Rt&EGM中，/E=60。,

GM=EM-sin£=^t(O<t<3);

②当iwr<3时，重叠部分为五边形,

••S=S^EDF°&DHC°AEGM，

由平移可得，DH\\OAf

：.4HDCS*OC,

・・・△HOC为等边三角形，

=¥〃2=¥・(3_)2,

同理，Sw号3.5

在RtAEGM中，

...S=\百一¥(3-b―#,=-|^(/-2)-+|>/3,

Vl<r<3,

・3=1时，5mm4百J=2时，5_=173,

oZ

.-.-A/3<S<-V3,

82

当3V/V5时，重叠部分为直角三角形DG8,

在RtADGB中,

•；ZABO=30°，

GD=DBsin30o=^DB=^(OB-OD)=^6-t),

：S=S.0GB=；DGGB=；DG-6DG=§DG2=W1(6-r)=*(6-r)2,

V3<r<5,

•."=5时，Smin=*,"3时，s皿［6

■vs—

88

...综上所述，s取值范围为：Ji<s<^.

82

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形,

平移的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键.

4.(1)等腰直角三角形，见解析；

(2)补全图形见解析，BG=BC,见解析；

⑶锄=乎或半.

【分析】(1)根据矩形的性质得到/BCD=90。，由CE=CB,CMVBF,再根据FC平分

/ECD得到ZECF=ZDCF,根据/3CD=90。，ZMCF=-ZBCD=45°,即可得出结论；

2

(2)过点3作的，BE交房延长线于点H,证明AG3/丝ACBH(ASA),即可得证；

(3)当NEGF=90。，过点G作GN_L3尸于点N,连接GE,证明A_BGN/ACBW(AAS),

AR3

进而证明△ABEIS/VBG,得出一=—,即可求解，当NG石尸=90。时，设BC=BG=a,

AD5

卜4AR4

AB=b,AE=x,贝UAG=a—人，进而解直角三角形得出一=：,即不=1，即可求解.

a5AD5

【详解】(1)解:等腰直角三角形，理由如下：

■:CB=CE,CM±BE,

：.ZBCM=ZECM,

,：ZDCF=ZECF,

ZMCF=ZECM+ZECF=1(NBCE+ZECD)=45°,

•••ACMF为等腰直角三角形；

(2)解：补全图形如图；

答案第18页，共49页

理由如下:

过点8作的，互交FC延长线于点H,

由(1)知：Rtz\CMF■中NMCF=45。，得NMFC=45°,

•••△用〃为等腰直角三角形，

BF=BH,NBHC=NBFG=45°,

：.ZBFG=ZH=45°,

,/NGBF+ZFBC=NHBC+ZFBC=90°,

ZGBF=ZCBH,

：.ABFG^ABHC(ASA),

BG=BC；

（3）解：①当NEG〃=90。，过点G作GN_LB尸于点N,

F

9：ZABE=ZBCM,BG=BC,ZBMC=ZBNG=90。,

：.△BGTV^ACBM(AAS)

・•・BM=GN,

・・・AGEF是等腰直角三角形，

:・GN=EN=FN,

•；BM=EM,

:.FN=EN=EM=BM=GN,

设GN=x,则BN=3x,BE=2x,

・•・BG=NGN?+BN2=A/I5X，

BC=AD=yjwx，

,：ZBNG=ZBAE=90°,ZABE=/GBN,

:.AABESANBG,

.ABBE

••南一法，

・AR3M

.•AB=------x

5

3M

：.AB__X_3；

ADy/lQx5

AD=M,

._3A/W

,,AABR--------;

5

②当NGEF=90。时，则N2+N3=90。，如图，

答案第20页，共49页

F

G

・・•四边形ABC。为矩形，

・•・/^4£)=90。=/1+/2,AD//BC,

：.Z1=Z3,

tanZ1=tanZ3,

.AEAG

**AB-AE?

设BC=BG=a,AB=b,AE=x,则AG=〃一Z?,

.xa-b

bx

x2=ab—b2@,

'：AD//BC,

・・・/2=/4,

477RM

：.cosZ2=cosZ4,即空二空，

BEBC

・•・._2,

yjb2+x2a

x2=lax-b1@,

由①②得：Zax-b1=ab—b2.

解得：x=^b,

将尤代入①得，-b2=ab-b2,

24

整理得h瞑三4即空」

a5AD5

AD=y/lO,

RY

综上得：=题或也.

55

【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，等

腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的

应用是解题的关键.

5.(1)见解析(2)|(3)73+715

【分析】(1)证明△ACDS"BC,列出比例式即可得出结论；

(2)平行四边形的性质，得到=/D,AD=8C,证明AFCES^BCF,得到CF2=BCCE,

求出3c的值即可；

(3)连接AC交30于点0,延长所与AO的延长线交于点G,证明四边形3DGE为平行

四边形，得到ZDGE=ZDBE=30。，BD=EG,旋转，得到/E4尸=30。，证明△AEGs/XEEA,

得至UAE?=..EG,求出AE0过点A作AH_LBE,三角函数求出AH,的长，勾股定

理求出E"的长，再根据=+进行求解即可.

【详解】(1)证明：：/ACD=/fi,ZA=ZA,

^ACD^AABC,

,ACAD

••耘一花’

AC2=AD-AB；

(2)解：：平行四边形ABCZ),

：.AD=BC,NB=ND,

'：ZCFE=ZD,

：.NCFE=NB,

,?ZECF=ZBCF,

AFCES^BCF,

.BCCF

••二,

CFCE

:.CF2=BCCE,

■:CF=3,CE=2,

9

・・・BC=~,

2

9

AD=BC=~；

2

(3)连接AC交30于点0,延长所与AO的延长线交于点G,

答案第22页，共49页

:菱形ABC。，ZABC=60°,AB=2y/3,

：.ZABD=ZCBD=30°,AD//BC,ACJ.BD,BD=2OB,

：.DG//BE,OB=ABcos30°=273x^5=3,

2

•；EF//BD,BD=6,

四边形BOGE为平行四边形，

ZDGE=ZDBE=30°,BD=EG,

;旋转,

ZEAF=30°,

ZEAF^ZAGE,

•/ZAEF=ZAEG,

：.AAE~AFE4,

.AEEG

••~~~一—~~，

EFAE

AE?=EF.EG,

VEF=-BD,EG=BD,

3

AE2=-BD2=-x62=24,

33

过点A作AH_LBE于X,则：AH=AB-sin60°=2^x=3,BH=ABcos60°=AB=>/3,

在RtAAFffi中，HE^y]AE2-AH2=V15'

/.BE=BH+HE=y/3+y/15.

【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股

定理，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键.

6.(1)些=变；(2)黑=痴；(3)BC=V34.

CE2BF

【分析】本题主要考查动点最值问题，涉及相似三角形的判定和性质、解直角三角形和勾股

定理.

4DAR

（1）根据题意得/54。=/。归，及第=喂，即可判定有

AEAC

BD_AB.„BDA/2

----==cosN/BD4ct,贝U有*=；

CEACCE2

...BEBC1

（2）连接BE,设AD=x,则3D=3x,由（1）知△ACDs/^CE",得/R——=——=l,

ADAC

FD=罟即可;

则郎=x,进一步判定△CFOSAEFN,则有一

FB

(3)以48为边在AB上方作等腰RtZ^BAE,且/E4S=90。，连接BE,EA,ED,EC,

可得△BDESABC4,求得DE,在RGAEB中求得AE,当点A,E,。三点共线时，A。的

值最大，此时可求得AD和3。，据此求解即可.

【详解】解：(1)：NBAC=NZME=45。,

ZBAD^ZCAE,

•・•ZABC=ZADE=90°,

ADAB口口ADAE

——，即——=——

~AEACABAC

/\ABD^/XACE,

BDAB^2

即0n--------cos/BAC------，

CEAC2

.BD

故+——=V2

CE~r

(2)连接BE,如图,

设AD=x,贝!]3。=3工,

同理，AACDsABCE,

.BEBC,

•,==1,

ADAC

BE=x,

ZCBE=ZCAD=ZCDF=45°,

/.NDBE=90。,

DE=y/BD2+BE2=J（3X）2+X2=Mx,

，CD=—DE=y/5x,

2

答案第24页，共49页

■:/CFD=/EFB,

：・KFDS^EFB,

,FD_CD_y[5x_FT

FBEBx

(3)以AB为边在AB上方作RhBAE,且/9R=90。，/EBA=45°,连接BE,EA,ED,

ACBC

:AC=2,

DE=26，

在Rt^AEB中，AB=3应,

AE=AB=30

当点A,E,。三点共线时，AD的值最大，最大值为AD=4E+£)E=5近,

在RtAABD中，BD=-JAB2+AD2=小用+(5拒丫=2#7,

BC=—BD=y/34.

2

7.⑴①乌②30。

2

(2)结论成立，理由见解析

(3)26^/13+2739或26而-2回.

【分析】(1)①求出AE,即可求出答案；②通过证明“可得出=些=3,

DFBF2

ZBDF=ZBAE,即可求解；

(2)通过证明可得丝=些=@,ZBDF=ZBAE,即可求解；

DFBF2

(3)分两种情况讨论，先求出AE,DG的长，即可求解.

【详解】(1)解：①如图1,；四边形ABC。是矩形，

/.ZA=90°,即AD1AB,

,/EFYAB,

，EF//AD,

,点E是边A5的中点,

1

1_DEBE

AE=-AB=443―=1,

29DFAE

,DF=BF=-BD

2

•.・ZABD=30°,ZDAB=90°,EF±BAf

BEAB_V>

cosZABD=--

BF

DB^AB^—=16,

2

DF=-BD=8

2

.AE_4y/3y/3

"DF~82

故答案为：也

2

如图2,设AB与£＞厂交于点。，AE与O尸交于点”,

图2

△3EF绕点2按逆时针方向旋转90。

/DBF=ZABE=90。,

**•公FBD-^/^EBAf

答案第26页，共49页

又,：2DOB=AAOF,

：.ZDBA^ZAHD^30°,

；•直线AE与DF所夹锐角的度数为30°,

故答案为：30。；

(2)结论仍然成立，

理由如下：如图3,设AE与交于点。，AE与DF交于点、H,

AB

图3

:将△3EF绕点8按逆时针方向旋转，

ZABE^ZDBF9

又・・BEABy/3

•茄一防—5’

/\ABESADBF,

ZBDF^ZBAE,

DFBF2

又：ADOH=ZAOB,

：.ZABD=ZAHD=3Q°,

直线AE与DF所夹锐角的度数为30°

(3)如图4,当点E在AB的上方时，过点。作DGLAE于G,

一

AB

图4

■:AB=8®ZABD=3Q0,点E是边48的中点，ZZMB=90°,

BE=473,AD=8,DB=16,

・.・ZEBF=30°,EF±BE,

.・・EF=4,

•.力、E、尸三点共线,

/.NDEB=NBEF=90。,

DE=yjBD2-BE2=4岳，

,?ZDEA=3CP,

：.DG=-DE=4jl3,

2

由(2)可得：—=—=^,

DFBF2

.AE石

"aT7Z=T,

AE=2回+2』,

VADE的面积=gxAExOG=]x(2屈+2g)x2而=26而+2屈；

如图5,当点E在AB的下方时，过点。作小,回，交E4的延长线于G,

E

图5

同理可求：VADE的面积=3*4£^06=3乂(2•一2力,2a=26小一2回

故答案为：26a+2屈或26g_2屈.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形

的性质，旋转的性质等知识，利用分情况讨论思想解决问题是解题的关键.

8.(1)24；

⑵y=]5。2x,定义域：

3x2

25

(3)EC=y.

【分析】(1)过点A、。作DNLBC,由梯形的性质得8M=NC=3,NB=NC,

由tanABC=M=:求出AM=4,然后根据梯形面积公式计算即可；

BM3

人G3

(2)由上=＞得46=广。6,DG+yDG=3,DG=--,证明八位用s^BCE得

DG1+y

非=岩=：，由AD〃BC得罂=黑，设CE=x,FD=；X,代入整理可得y=”产；

BCCE3BCFC33%

答案第28页，共49页

（3）由衿竺丝=;，S梯形=24得S四边形^=16,过点、E作EHJLBC,设△的面积为

3四边3

S,由相似的△3CE面积为9S,然后分两种情况求解即可.

【详解】（1）过点A、。作AM_L3C,DN1BC

C

•・•梯形A5C。中，AD//BC,AB=CD,A£>=3,BC=9

3M=NC=(9-3)+2=3,4B=/C,

4

tanZABC=tanC=—

3

VtanABC=—=-

BM3

：.AM=4f

3+9

；•梯形面积二〒*43

A(Z

(2)由上=>得46=广。6,DG+yDG=3,

DG

vZAFD=ZBEC,ZADF=ZC

:.AADF^ABCE

ADFDI

~BC~~CE~^3

AD\\BC

GDFD

**BC-FC

设CE=x,FD=1x

31

:-x

则

“—x+5

3

15-2x

解得y=

3x

V15-2x>0,

・,•定义域：0<-^<y

（3）由｝—=：,S梯形=24得S四边粉啊=16

D四边形ABCD3

过点E作EHJ.BC,设△ADR面积为S,

,:AF〃BE，AD//BC,

：.ZAFD=ZBEC,ZADF=ZC,

：.^ADFs^BCE,

,•S.BCE=9s,

①若点G在边AD上,

：S四边形ABEF-S梯形=8S=8

S=1,S&BCE=9,

-BCEH=9,

2

-x9EH=9,

2

EH=2,

答案第30页，共49页

②若点G在边AD延长线上,

•S四边形ABEF+S梯形+^^AFD=9S,

***S四边形ABEF+S梯形=8S=24+16=40,

・•・5=5,

•：S=45=-x9EH,

△BRLC匕P

EH=10,

综上可知，段CE的长为|5■或2号5.

【点睛】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，求函数解析式

及定义域等知识，难度较大，属中考压轴题.

9.⑴y=]x+13

⑵“一94+彳52

⑶O(0,13-4A国

【分析】(1)设直线A3的解析式为：y^kx+b,将A,8两点坐标代入，进一步得出结果；

(2)可证得ABCDSABA。，从而得出挈=丝，进一步得出结果；

(3)作EFLWH于尸，作HG_LBE交8E的延长线于点G,可推出/£HW=/3£W,从而

BW4

证得ABEW/AEHF,从而跖=3印，根据可得出一=-,设

EW5

4Z-4

BW=4k,EW=5k,求出EP=4七WF=3M从而得出tanNEWF=tan2a='=一，进而推

3k3

出tanN£BH=g§=¥=:，解直角三角形BED求得8。，进一步得出结果.

BG8"2

【详解】(1)解：设直线A3的解析式为：y=kx+b,

b=13

AS527八，

-----x+b=0

I5

%=13

・•・L5,

k=—

[4

y——x+13；

4

(2)解：.8〃无轴,

：・小BCDs^BAO

,CDBD

•・怎一砺’

d_13-r

作历,皿于尸，作HG,5石交房的延长线于点G,

CD1BH,HD=WH,

：•BE=EF=\U,

/EBH=/BHE,

设/EBH=NBHE=a,/HBW=0,

答案第32页，共49页

ZBEW=90°-a~/3,ZEWH=2a,

在四边形BEHW中，ZBWH=ZBWE+ZEWH=90°+2a,

/BEH=180。一NEBH—NBHE=180。一2a,

：.ZEHW=360°-（90°+2a）—（180。一2a）—（a+/）=90。一a—/,

：.ZEHW=ZBEWf

•；NBWE=NEFH=90°,

・・・△B£W^A£HF（AAS）,

・•・EF=BW,

•・•△HEWs△⑷?o,

52

：.BW__OA_^__4f

EW--5

设5W=4N石W=5左，

/.EF=4k,

：.WF=3kf

Ak4

tanZEWF=tan2a=——=—,

3k3

•・•ZGEH=ZEBH+ZBHE=2。，

・・・NGEH=NEWF,

4

AtanZGEH=tanZEWF=-,

3

.GH4

••~=一,

EG3

设GH=4a,EG=3a,则BE=EH=5a,

：.BG=BE+EG=8a,

../口RU_GH_4«_1

••tanA-EBH—————,

BG8。2

・DE1

••=一,

BD2

■/DE2+BD-=BE2=102,

BD=4A/5,

OD=OB-BD=13-445,

D（0,13-4^）.

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，

求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是寻找角之间数量关系.

10.⑴见解析

⑵①点E到边的距离为逋；②乌=避二1；

5BE2

c、CE3-A/3

--------•

BE2

【分析】(1)可得出NCPD=ZBCE,ZBEC=ZD,从而得出结论；

(2)①作EG,5c于G,可证得△尸GEs△尸CD,从而学=竺="，求得跖=5尸=CF=1,

CDFCDF

则。尸=6，进而得出EG,FG；

②可证得ABGES^EGC,从而得出笠=受=叵1；

BEEG