2025年中考数学总复习《二次函数压轴之面积问题-比值转化法》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《二次函数压轴之面积问题一比值转化法》

专项测试卷带答案

学校:姓名：班级：考号：

1.如图，已知二次函数％=收5片。)与一次函数为=履-2的图象相交于A,5两点，其中

A(T，T).

(1)求△Q43的面积；

⑵当-”尤＜2时，求力的最值；

(3)当"T时，描述X的增减性.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=&+法+3与X轴交于点4(-2,0),8(4,0),与y轴

交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点/从点A出发,沿线段以每秒3个单位长度的速度运动，同时点N从点B出发，

沿线段8C以每秒1个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运

动，设运动时间为/秒.

①求的面积S与/的函数关系式，并求S的最值；

②当创W的面积最大时，在第二象限的抛物线上，是否存在点E,使得力CE：SBMN=50：9,

若存在，请求点石的横坐标，若不存在，说明理由.

3.在平面直角坐标系％Oy中，已知抛物线2=/+版-3与％轴交于A、5两点，OB-3OA,

与y轴交于。点，对称轴是X=1,。为抛物线顶点.

⑴求抛物线的表达式和点D的坐标.

(2)连接A。，交y轴于点E,尸是抛物线上的一个动点.。是抛物线对称轴上一个点，

是否存在以bE,P,。为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出尸点坐标；若

不存在，请说明理由.

(3)如图，点尸在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点、G,设w=4,则取有最

°BGP

大值还是最小值？取的最值是多少？

(4)已知点。和又关于抛物线对称轴对称，点N在直线上运动，求MN+¥BN的最小

值..

4.抛物线y=-/+6x+c经过点A,B,C,已知A(TO),8(4,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,尸为线段BC上一点，过点尸作y轴平行线，交抛物线于点，当3DC的面积

最大时，求点尸的坐标和即C面积的最大值；

(3)如图2,抛物线顶点为召，ETUx轴于F点，加(八。)是x轴上一动点，N是线段用上一

点.若/MNC=90。，请写出实数机的变化范围，并说明理由.

5.已知抛物线：'=/_2如+02+24(。为常数)，该函数图象的顶点为M.

斗

Ox

⑴若。=2,求顶点"的坐标；

(2)将抛物线上先向右平移优(%>0)个单位，再向上平移〃(〃>0)个单位后得到抛物线

其顶点为叱，与％轴交于点A和点5(点4在点5的左侧)，且点附在直线/：>=尤+1上，

若AB=272,m+n=7,求Q的值；

⑶在(2)的条件下，点尸为直线/下方抛物线U上一动点，抛物线//与直线/交于点。

和点。(点。在点D的左侧)，当△PCD面积最大时，求点P的坐标和△PCD面积的

最大值.

6.在平面直角坐标系中，抛物线股加+法+4与X轴交于点3(2,0)和点C(TO).。为第一

象限的抛物线上一点.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求4把面积的最大值；

⑶若点八G分别为线段3、上一点，且四边形A"如是菱形，直接写出。的坐标.

7.如图，将抛物线小片12平移，得到的新抛物线4经过点4(。，-3)和3(6,。).在第三象

限内新抛物线4上取点M,设点/在原抛物线右上的对应点为

(1)求新抛物线4的表达式；

(2)若由/〃求点/的坐标；

⑶若点〃在第三象限内新抛物线乙上移动，试探究四边形,池的面积是否为定值？若

是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=J+6x+c与％轴交于A(T,O),B(2,O)两点，

与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当点。在直线BC下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交3c于点E,设点。

的横坐标为K请写出/关于才的函数表达式，并写出自变量方的取值范围；

(3)连接入。，交BC于点F,求M的最大值.

°AAEF

9.如图1,抛物线与％轴交于点A,B,与y轴交于点。，点尸在入轴上方

的抛物线上.

⑵求以A,B,P,。为顶点的四边形面积的最大值；

⑶如图2,若直线如与直线BC相交于点V,且警■=；,求点尸的坐标.

10.如图，已知抛物线广皿2+法+C经过点A(_3,0),c(o,4)两点,且与X轴的另一个交点为

⑴求抛物线的表达式；

(2)已知点”是抛物线对称轴上一点，当&WBC的周长最小时，求“点的坐标.

(3)〃是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为机，求四边形如co面积S的最大

值及此时。点的坐标.

11.抛物线与X轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知4-3,0),抛物线的顶点坐标为(-1,4),

点尸是抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图1,点尸在线段AC上方的抛物线上运动(不与A,C重合)，过点尸作垂

足为。，尸£＞交AC于点E.作垂足为F，求！？斯的面积的最大值；

⑶如图2,点Q是抛物线的对称轴/上的一个动点，在抛物线上，是否存在点尸，使得

以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点尸的

坐标；若不存在，说明理由.

12.如图，A、B为一次函数y=f+5的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象的公共点，点A、

B的横坐标分别为0、4.尸为二次函数y=d+"+c的图象上的动点，且位于直线AB的下

(1)求瓦C的值;

(2)若于点“，求：的最大值.

13.如图1,在平面直角坐标系中，二次函数，=—+法+。与X轴交于A,5两点，对称轴

为直线尤=2,与y轴交点为点C(0，-5),点。为抛物线上任意一点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图2,当点。为抛物线的顶点时，求的面积；

⑶如图3,当点。在直线2c下方的抛物线上时，连接8交BC于点E,求需最大值.

14.如图，已知抛物线股加+法+c与X轴交于点人_1,0),3(3,0),与y轴交于点c(o,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第一象限内抛物线上是否存在点尸，过点p作PE垂直于X轴交X轴于点E,交直线

于点。求尸尸的最大值；

(3)抛物线上是否存在一点使直线AM与>轴所夹锐角是ZACO的2倍？若存在，请求

出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

15.已知二次函数y=/+2x-3的图象与X轴的交于A,8两点，与>轴交于点C.

(1)求A,2两点坐标；

(2)点。在第三象限内的抛物线上，过点。作x轴垂线交AC于点E,求QE的最大值；

⑶在(2)的条件下，抛物线上是否存在点N,使以，N,反。为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请求出点N的横坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1.(D3

(2»的最小值为T,最大值为0

(3)当*<-2时，乂随工的增大而增大；当x>2时，%随工的增大而减小

【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求解析式，二次函数的

图象和性质，

(1)首先利用待定系数法求出一2,然后联立求出“2,T),然后求出一次

函数与>轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式求解即可；

(2)首先求出二次函数顶点坐标，然后结合图象求解即可；

(3)首先根据二次函数的对称性求出点5关于对称轴对称的点的坐标为(-21),然后

结合图象求解即可.

【详解】(1)解：将A(TT)代入得a=-l

•.%=—x

将A(—1，-1)代入力=辰-2,得一1=-左一2

/.k=-l

y2=-x—2

联立得，["=*即*=*2

••光2—x—2—0

解得%=T,马=2

将％=2代入/=-22=-4

，B(2,T)

当x=0时，一次函数%=-》-2=-2

•*.△043的面积=；x2x[2-(-1)]=3；

(2)当x=0时，％=。，当x=2时，X=-4,

，由图象可得，当-1642时，-4<y<o,

即％的最小值为T,最大值为0;

(3)—

，对称轴为y轴，

*/3(2,T)

•••点B关于对称轴对称的点的坐标为(-2,T)

由图象可得，当”-4时，

当x<-2时，X随％的增大而增大；

当x>2时，％随％的增大而减小.

2.⑴>=-#+%+3

⑵①5=椅/+2，最大值是。②E点横坐标是2-1&.

【分析】(1)将点A、B分别代入y=a?+法+3,解方程即可;

(2)①过点N作M/LAB于点H.利用BHNsBOC,得HN=*.用珀勺代数式表示出AAffiN

的面积，再利用二次函数的性质求最值即可；

②首先求得"BCE=5,设E(a,-|/+Ja+3),直线8E的解析式为y=,3E交丁轴于点尸,

o4

解得况的解析式为「融+2比+蓊+2),得到小*+2)],CF=-1«,利用

oZ、乙JZ

S8CE'xjfaAG-aQS解得：a=2-^^~,进而得到E点坐标6-1.

，，3V/

【详解】(1)把点A(-2,0),8(4,0)分别代入尸加+法+3得:

4。一2b+3=0

16〃+46+3=0

3

a=—

解得38

b=-

[4

,该抛物线的解析式为：k[/+2+3；

o4

(2)①由题意知，AM=3t,BN=t,

:.MB=6—3/,

由题意得，点C的坐标为(0,3),

在Rt3OC中，BC=4¥7^=5,

如图1,过点N作于点H.

NH//CO

BHNsBOC,

HNBNRnHNt

OCBC135

3

/.HN=-t.

5

*.•A(—2,0),8(4,0),

.*•AB=6,

ii3999Q

22

SMRN=-MBxHN=-(6-3t)x-t=——t+-t=——(?-l)+—,

MBN2251051010

当AMBN存在时，0<t<2,

・・・当f=l时,SMBN最)<=而.

7=-、人之，运动1秒使AMBN的面积最大，其最大面积是\；

②存在；理由如下：

由①知SMBN最大=，

0q.BCE.-0Q.BMN——5J0U-Q”,

•v—5

-a.BCE-J,

aa

设E(a,-3),直线BE的解析式为丁=履+〃，BE交了轴于点尸,

o4

图2

0=4左+〃

代入得：323,

—aH—Q+3=ak+n

l84

k=--(a+

8、

解得：

3/小

=押+2)

33

二3£的解析式为y=--(a+2)x+—(a+2),

oZ

令x=0,则y=,(a+2),

贝|］尸［。,1°+2)］,

33

:.CF=3——(。+2)=——a,

22

13

二SBCE=-X(_—^)X(4-«)=5,

解得：a=2-手或2+W(不合题意，舍去),

•••E点横坐标是2-孚.

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形

的判定与性质，直角三角形的性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的

判定与性质是解题的关键.

3.(1)抛物线的表达式为尸X2-2X-3,点。的坐标为(1,4);

(2)存在,点尸的坐标为(4,5)或(-2,5)或(2,-3)；

(3).有最小值，最小值为U；

(4)3

【分析】(1)先求得A(-l,0),5(3,0),再利用待定系数法求解即可；

(2)利用待定系数法求得直线的表达式为产-2/2,求得点E的坐标为(0,-2),设

P(m,m2-2m-3),。(1,t),分5E为边和BE为对角线两种情况，利用平行四边形的性

质即可求解；

(3)设P(加，£-2〃-3),求得直线4P、5E的表达式，联立即可求得点G的坐标，三

角形的面积公式得到修能〜，利用二次函数的性质即可求解；

(4)过点N作轴于点H,推出HN*BN,得到MN+与BN=MN+NH,当M、N、

“在同一直线上时，取得最小值，据此求解即可.

【详解】(1)解:•••05=304,

•••设A(/,0),则5(3或，0),

...对称轴是X=1,

**2f

"I,

•••4(-1,0),5(3,0),

「mu，解得："，

抛物线的表达式为尸2-2尤-3,

当％=1时，y=l-2-3=-4,

•••点。的坐标为(1,4)；

(2)解:VA(-1,0),5(3,0),D(l,4),

设直线AD的表达式为y-kx+c,

一上+c=0k=-2

,解得

k+c=4c=-2

•••直线AD的表达式为尸2%-2,

当％=0时,y--2,

•••点E的坐标为(0,-2),

•••尸是抛物线上的一个动点，。是抛物线对称轴上一个点,

①当5E为边时，PQ//BE且PQ=BE,

当E对应。，由(0,-2)变为(1,要向右平移1个单位，

则当5(3,0)对应尸(加，苏-27〃-3),也要向右平移1个单位，即祖=3+1=4,

・•—2/77—3=5,

二・尸(4,5)；

当E对应尸，5对应。,由(3,0)变为(1,0，向左平移2个单位,

则由(0,-2)变为(加，/一2加一3),也向左平移2个单位,

m=0-2—2,

m2-2m-3=5，

/.P(-2,5)；

②当BE为对角线时，BE的中点坐标为(竽，")，即《，-1)，

•••P。的中点坐标也为(彳，-1),

...=.•.冽=2,贝I］疗-2初一3=-3,

.”(2,-3)；

综上，点尸的坐标为(4,5)或(-2,5)或(2,-3)；

(3)解：•・•点尸在第四象限的抛物线上，AP.BE交于点G,

设P(W2,m2-2m-3),其中0＜机＜3,

设直线AP的表达式为y-cx+d,

,/A(-l,0),P(JTI,m2-2m-3),

-3,解得:c=m-3

d=m-3

/.直线AP的表达式为y-(m-3)x+m-3,

同理求得直线BE的表达式为y=1x-2,

y=(m-3)x+m-3

联立方程组，得：2,

IF一29

3-3m

X-

3m-ll

解得：V24-8m

y=

3m-ll

.24—8m

••先二藐K'

*/0<«2<3,

，24-8心0,3m-ll<0,

•24-8m

■■----------<0,

3m-11

S|I

=_2_----

*-ABAyp\--AB-\yG\

|%I8m-2424-8m

=——=---------+(-------------m*22+2m+3)

|-yG|3m-113m-ll

8

-3m2+8m+3

425

令Az=-3m2+8m+3=-3(m--)2+-,

V-3<0,

425_L=2

...当m=可时，Z取得最大值w，W取得最小值为25一25,

33T

・3有最小值，最小值为If.

(4)解：当％=0时，y--3,

•••点。的坐标为(0,-3),

•••点5的坐标为(3,0),

•••05=3,0。=3,

•••AOBC是等腰直角三角形，

/OBC=/OCB=45°,

同理求得直线BC的表达式为yr-3,

..•点。和"关于抛物线对称轴对称，

•••点"的坐标为(2,-3),

过点N作轴于点”，

N050=45°,

・••^BHN是等腰直角三角形，

J.HN^BN,

2

MN+—BN=MN+NH,

2

•••当V、N、”在同一直线上时，+取得最小值，

MN+与BN的最小值为3.

故答案为：3.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线与三角形面积计算，二

次函数的性质求最值问题，抛物线与平行四边形综合等，运用转化思想是解题的关键.

4.(l)y=-x2+3x+4

(2)尸(2,2),8DC面积的最大值为8

⑶一3腔/理由见详解

Oo

【分析】(1)运用待定系数法求解即可；

(2)根据题意得到c(。，4),直线3c的解析式为y=T+4,设尸(p,-p+4)(O<p<4),则

必，_/+30+4),则5皿=5侬+5呀=-2(0-2『+8,结合二次函数最值的计算方法即可求解;

(3)分类讨论：如图所示，点”在直线所左边时，过点C作砂，可证,“Ws.MTC,

得缁=黑，由此列式，根据一元二次方程根的判别式可解；当加=1时，点”与点尸重

1N11Z7CZ

合，点N与点H重合，由NF"C=90。可得该种情况符合题意；如图所示，当点M在直线砂

左边时，若点N与点E重合，过点C作同理得SM质，—=—,由此列

CN"NFMF

式求解即可.

【详解】(1)解:抛物线y=*+bx+c经过点A,B,C,已知4(-1,0),8(4,0),

.f-(-l)2-Z?+c=0

\-42+4b+c=0，

解得,仁，

•••抛物线解析式为y=-/+3X+4；

(2)解：抛物线解析式为y=-Y+3x+4,当X=O时，y=4,

C(o,4),

设直线BC的解析式为y=履+4(%丰0),

4k+4=0,

解得，k=-\,

直线BC的解析式为y=-尤+4,

..•点尸为线段BC上一点，过点P作了轴平行线，交抛物线于点，

•••设P(，—"+4)(。＜。＜4),贝|。(“一。2+3。+4),

DP=-p2+3/?+4-(-/＞+4)=-/?2+4/?,

•Q—v-I-V

••2BDC-2CDP丁2BDP

=~DPXp+gDP^XB-xp)

=^DPXB

=；x(_p2+4p)x4

=-2(—)2+8,

*/-2<0,

当p=2时，3曲的面积最大，最大面积为8,

...y=-2+4=2,即尸（2,2）；

（3）解：-*彳理由如下，

抛物线解析式为yT+3x+4=-.|j+m,

如图所示，点”在直线所左边时，过点C作S，£产,

;抛物线顶点为E,EFLx轴于F点，/（列0）是X轴上一动点,

3325

/.OF=CH=-,OC=FH=4,MF=——m,EF=——

224

丁ZMNC=90°,

/.ZFMN=900-ZFNM=ZHNC,ZMFN=ZNHC=90°,

MFNsNHC,

.MFFN

•・加一而'

3

.2~m_FN

*•4ZRV=T?

2

设FN=n,

整理得，n2-4n-^m+^=0,

•••关于〃的方程有解，

A=（-4）2-4x^-|m+|^>0,

解得，根"I

6

a_

当根=］时，点M与点产重合，点N与点H重合,

.•/me=90°,

：.4MNC=90。，符合题意;

如图所示，当点”在直线EF左边时，若点N与点E重合，过点C作

一3259

同理,MF=m--9HN=--4=-9ZHCN+ZHNC=ZHNC^ZMNF=90°,

，/HCN=/MNF,旦/CHN=ZNFM=90。,

:,CNHs-NMF,

•CHNH

39

解得，〃

o

综上所述，-

o8

【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与

图形面积，二次函数与角度的计算方法，相似三角形的判定和性质是关键.

5.(1)(2,4)

(2)。=-4

(3)△PCD面积的最大值：，此时尸

【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数与面积综合；

(1)由"炉-26+/+2a=(x“y+2a得到抛物线顶点坐标为(a,2a),把a=2代入计算即可;

(2)平移后得到抛物线解析式为y=(x”-〃7『+2a+〃，则顶点为“S+九2a+〃)，代入

/:y=x+l得到a=〃2+li,再根据AB=2在%+〃=7,列方程求解即可;

（3）在（2）的条件下,小冲（尤+3）2-2,先联立抛物线和直线/求出。（-2,-1）,C（-3,-2）,

过尸作轴交直线/于Q,设尸（M?+3）、2）,贝则尸0=-/-5.6,

5。=。20（尤0-%）=-52一之一3,根据二次函数的性质求最值即可.

22

【详解】（1）角牟：*.*y=x—2ax+a+2a=（<x—a^+2a9

•••抛物线顶点坐标为（。，2"），

当。=2时，顶点”的坐标为（2,4）；

（2）解：将抛物线y=（尤-4+2”先向右平移机（m>0）个单位，再向上平移"（">0）个单

位后得到抛物线解析式为y=（%-。-根）2+2〃+”,

••・顶点为“（4+租，2。+”），

•点AT在直线/：y=x+l上,

•>2a+n=a+m+\,

整理得〃=加+1-〃,

令y=^x—a—m）2+2a+n=0角牟得x=a+m±J—2a—n,

•I丁=（%_〃_/+2々+"与无轴交于点A即0）和点B（XB,0）（点A在点3的左侧）,

••xA=a+加—J—2〃—〃，xB=〃+加+\/—2a一〃，

••AB—2,^2—Xg一—2J-2a-1,

整理得2a+〃=-2,

a=m+l-n

联立，2a+〃=-2,解得,n=6・

m+n=7a=-4

（3）解:在（2）的条件下,L'：y=（x+3）2-2,

y=（x+3）~-2x=-2x=-3

联立,解得或

y=%+l>=Ty=-2

•••抛物线V与直线/交于点。和点。（点。在点D的左侧）,

Z.0(-2,-1),C(-3,-2),

过尸作尸。人轴交直线/于。,如图,

PQ=f+l-k+3)2-2]=-/-5/-6,

22=+

•*,SPCD=-^PQ\xD-xc)=^x^-2+3)-^-t-5;-6)=-^f+g，

.,•当时，力必=:最大，止匕时小m

6.⑴y=-2f+2x+4

(2)2

1195

⑶。¥532

【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与

特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用

技巧是关键.

(1)根据题意得到4(。，4),由抛物线与x轴的交点可设y=a(x-2心+1),将点40,4)代入,

运用待定系数法即可求解；

(2)如图所示，过点。作轴于点M,交于点N,运用待定系数法可得直线A3

的解析式为，=-2%+4,设点。(租2毋+27九+4乂0＜加＜2),则点N(列-2祖+4),所以

DN=—2m2+2m+4—(—2m+4)=—2m2+4m,由S=；DNxOB=；x2x(—2/+4〃。=—2(加—1)~+2,结^■二

次函数最大值的计算方法即可求解；

(3)设DQ,-2d+2f+4),G(t,-2t+4),则DG=(-2产+2/+4)-(-2/+4)=-2产+4/,根据菱形的性质

得至l」AD=DG,由此列式得产+(-2/+2/+4-4)2=(_2〃+旬2,解方程即可求解.

【详解】(1)解：抛物线了=加+版+4,

当x=o时,y=4,

4(0,4),

抛物线与x轴交于点网2,0),C(-l,0),

.,.设y=a(x-2)(x+l),将点4(0,4)代入，

得：-2a=4,

解得：a=-2,

y——2(x—2)(%+1)——2/+2%+4；

,该抛物线的函数表达式为y=-2/+2x+4；

(2)解：。为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点。作方^轴于点加，交于

点、N,

设直线48的解析式为'=履+6,

•14(0,4),3(2,0),

J2Z+匕=0

"[b^4'

解得:仁2，

直线AB的解析式为y=-2X+4,

设点Z)(机—2/+2m+4)(0〈根<2),贝U点N(M,—2m+4),

DN=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,

22

SABD=|f)?/xOB=1x2x(-2m+4m)=-2(m-l)+2,

'：-2<0,

，当加=1时，一ADB面积的最大值为2；

(3)解:设匹,-2产+2f+4),G(t,-2t+4),

DG=(-2?+2?+4)-(-2z+4)=-2r+4g

四边形AfUD是菱形，

:.AD=DG,

t2+(—2/+2%+4—4)2=(—2/+41)2,

解得：4=。，％2=?,

O

（8321

7.⑴，=%-尤-3

（2）4,一：

（3）四边形加如r的面积是定值，这个定值为15

【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，运用待定系数法

求函数拭，正确求出函数关系式是解答本题的关键.

（1）设平移后新抛物线4的表达式为y=#+bx+c,再把A（0,-3）和3（6,0）代入解析式,

解出关于"c的方程组即可；

（2）求出抛物线右的顶点。（。⑼平移到抛物线L的顶点。仅,T）,得到平移方式，设

犷卜；病1,则M卜+21苏-4],运用待定系数法求出W和的解析式，根据W//BM可

得;加+2=:加+1，求出优的值即可解答；

4m4

（3）连接“，AB,W,证明M'M±AB,求出•,*S四边加MBM，=S/\AMH+++/XBMH

=15,可得结论.

【详解】（1）解：抛物线小，=：/平移得到新抛物线右,

设新抛物线4的表达式为y=^x2+bx+c,

把A（。,-3）和3（6,。）代入可得：；1；+66+C=0，

14

解得仁，

，新抛物线L2的表达式为y=一x-3；

（2）解：新抛物线4的表达式为y=%2r-3=；（尸2）2一4,

二抛物线右的顶点。（0，。）平移到抛物线L的顶点。（21）,

二抛物线4平移得抛物线4的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位,

...设河'（根,;根2],贝|J知（根+2,1根2_4）,

设也的解析式为、=空+4,它过4（0,-3）和"）,；一1,

=-3

则I12，

I4

解得匕=\m+~,

4m

设8河解析式为、=口+白，它过3（6,0）和+2,；苏-41，

6k2+%=0

人J（m+2）%2+打=；加2—4，

解得左2=%+1,

AMV/BM,

1—3=1—m+।l,

4m4

:.m=39

经检验：加=3是原方程的根，

17

当机=3时,m+2=5,—m2—4=——,

川5,一£|；

(3)解：连接“，AB,MM',设和交于点H,和的交点为E,

设8的解析式为y=3,它过。(2,T),

则叫=-4,

解得收=-2，

OD的解析式为y=-2元；

设AB的解析式为y=k4x+b4,它过A(0,-3)和8(6,0),

人16&+仇=0，

L=1

解得4-2,

%4=-3

.,.设的解析式为y=gx-3,

y=-2x

联立方程组.1

y=—x-3

I2

6

x=一

解得，,

）=一

06=6,

是直角三角形,

:.OD±AB,

平移过程中，点。的对应点为点。，点M的对应点为次,

OD//M'M,OD=M'M,

:.M'M±AB,

一S四边=S/XAMH+SgMH++S丛BMH

=-M'HAH+-MHAH+-M'HBH+-MHBH

2222

=-AH+^-MMBH

22

=--M'M-AB=-ODAB

22

=-XV22+42X732+62=15

2

二四边形AMB”的面积是定值，这个定值为15.

8.⑴y=/-x-2

(2)/=-/+2《0</<2)

(3)|

【分析】本题主要考查了二次函数及其图象的性质、求一次函数的解析式、相似三角

形的判定和性质等知识点，是掌握分类讨论思想是解题的关键.

（1）用待定系数法求出函数解析式即可；

(2)先求出C(0,-2),再用待定系数法求出直线BC的解析式为产x-2可得出。区2T_2),

Eg),从而可得/=r>E=—2_dT_2)=T2+2,,再求出自变量取值范围即可；

(3)分四种情形：当0</<2时，作AG〃。已交BC于G,可得出一。»s二AGE,从而器=器,

A.rACr

进而得出器=中=-*-1『+:，进一步得出结果；当x<-1，-1。<。和x>2时，可得出

AF333

沁没有最大值.

【详解】(1)解：:抛物线y=f+"+c与X轴交于A(-i,o),8(2,0)两点，

l-b+c=0b=-l

，解得:

4+2Z?+c=0c=-2

•••该抛物线的解析式为：>=/7-2.

(2)解：二次函数y=/-x-2中，令x=0,则y=-2,

C(0,-2),

设直线BC的解析式为：y=kx+m,

将3(2,。)，C(。,-2)代入得到：［,二二°,

IIII—一乙

k=\

解得

Im=-2

直线BC的解析式为：y=x-2,

•••过点。作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,

D(t,t~—t—2^,E(t,t—2^,

I=DE=t_2_(产_/_2)=—t~+,

•••点。在直线3C下方的抛物线上,

I——f2+2f(0<1<2).

(3)解：如图1：

G图1

当0</<2时，作AG〃。石交BC于G

；・DEFsAGF,

•DFDE

••布—而，

把％=-1代入y=x-2得：尸-3,

:.AG=3,

•DF—?2+2/1/\21

•・——(t1)+,

AF33V73

.•.当x=l时，冬有最大值;，

/\rJ

•SDEF_DF

-SAEF^AF^

・••沁有最大值!；

°AAEFD

如图2,当/>2时,此时工=产-—2-(?-2)=r-2r,

'G图2

AF33()3’

•L>1时，产-2邛逍着/的增大而增大,

没有最大值,

•0•隼•没有最大值;

/\r

如图3,

1/八21

=§（'T一§，

当T<t<0时，/一2汝随着力的增大而减小,

'•隼■没有最大值；

/\r

・••沁没有最大值;

0/\AEF

如图4,

没有最大值.

综上所述：当0</2时，泮有最大值］

°AAEF°

9.6、=-尤+3

（2）T

"3-717A/17-P

（3）。,4）或（2,3）或

2'2

1乙乙）

【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与

判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

(1)先求出点A,B,。的坐标，设直线的解析式为丫=履+6,代入点B,。的坐标，

利用待定系数法即可求解；

⑵设P1T+2f+3),分2种情况①点尸在直线BC上方；②点尸在直线2c下方，利用割

补法表示出以4B,P,。为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，

再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案；

(3)设网/，才+2i3),分2种情况①点尸在直线BC上方；②点尸在直线下方，过点A、

尸分别作y轴的平行线，交直线3C于点£)、E,得出+3),AD=4,通过证明PEMs_ADM,

得到隽=2=1，结合图形列出方程，解出/的值即可求出点尸的坐标•

/IJLXN

【详解】(1)解:令y=0,则-Y+2X+3=0,

解得：%=一1,%=3,

8(3,0),

令x=0,贝!]y=-x2+2x+3=3,

.•.C(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx+6,

代入3(3,。)和C(。,3),得[£;二°,

ILZ—J

解得:

直线BC的解析式为y=-尤+3.

(2)解:由(1)得，A(-l,0),3(3,0),C(0,3),

:.OA=\,OB=OC=3,

设「k,-〃+2/+3),

①若点尸在直线BC上方,则0</<3,

如图，连接AC、CP、PB、OP,

一S四边形ABPC-SOBp+Socp+SA0C

=；X3X(—»+2/+3)

~\—x3x/H—x3x1

22

39乙

=——t2+-t+6

22

2

3375

22

-卜，

,♦•当%时，S四边形.PC有最大值；

2o

②若点P在直线8C下方，则-

如图，连接钎、CP、OP,

一S四边形ABCP~SOAP+Socp+SBOC

二;x1x(-/+2/+3)+gx3x(-/)+:X3X3

11乙

=——t2——1+6

22

2

149

2

•♦•当仁时，S四边形ABCP有最大值¥；

Zo

7549

—〉—,

88

二以A,B,P,。为顶点的四边形面积的最大值为等.

(3)解:由(1)得，直线BC的解析式为广-尤+3,A(-1,O),

设？9,-/+2/+3),

①若点尸在直线3C上方，则0。＜3,

如图，过点A、P分别作，轴的平行线，交直线3C于点。、E,

.•.£>(-1,4),

.\AD=4,

PE〃AO〃y轴，

PEMsADM

.PEPM_1

,AD~AM~29

:.PE=-AD=2,

2

/.-1?+2/+3-(-1+3)=2,

解得：%=1，%=2,

二点P的坐标为(L4)或(2,3)；

②若点P在直线2C下方，则

如图，过点A、尸分别作y轴的平行线，交直线3C于点。、E,

PE〃AO〃y轴，

:._PEMS_A£）M

.PEPM_1

,AD~AM~29

:.PE=-AD=2,

2

/.—t+3-（-』+2/+3）=2,

解得：4=三普（舍去），1土手，

二点尸的坐标为［乎，当T；

二综上所述，点尸的坐标为（1,4）或（2,3）或［三叵，早’.

\7

4R

10.⑴y=_丁2_§X+4

⑵«1,|）

（3）四边形面积S的最大值为胃，此时点

【分析】（1）把点4（-3,0）,点C（0,4）的坐标带入y=o?+bx+c,再根据对称轴x=_2=T,

解出“，b,c,即可；

（2）设直线AC与对称轴的交点为点E,设直线AC的解析式为：尸丘+6（人0）,把点A,

点C的坐标代入，求出解析式，再根据点E在AC上，求出点E的坐标；根据直线x=T垂

直平分A8,则=EA=EB-根据等量代换，三角形三边的关系，则M4+MCNAC,

当点M在直线AC上，则M4+MC有最小值，根据C.BC=MB+MC+BC,BC是定值，即可；

（3）根据题意，则点。［根,-#-|根+4）,过点。作DGU轴交AC于点小则点山，2+4）,

求出。尸的值，根据四边形ABC。面积S为：S的+SABC,且

S2

ADC=~^AGXDF+-XOGXDF=-?.m-6m,当机=一万时，%wc有最大值；再根据以极=8,即

当根=-1时，四边形MCZ）面积S有最大值，最后根据点。在-11+4,即可.

【详解】（1）解：:抛物线y=*+bx+c经过点4（-3,0）,C（0,4）两点,

-36+4=0

[c=4

•.•对称轴为直线x=-l,

•.x-T一2丁a,

b=2a,

a=—4

3

解得：“=T

c=4

•••抛物线的解析式为：,=-$2-|x+4.

（2）解：设直线AC与对称轴的交点为点E,

设直线AC的解析式为：y=kx+b（k^0）,

0=-3k+b

b=4

k-i

解得：3,

b=4

.二直线AC的解析式为：y=3+4；

•••点《t)

直线x=T垂直平分AB,

:•MA=MB,EA=EB

MA+MC=MB+MC,EB+EC=EA+EC=AC,

当点”与点E重合时，MA+MC=AC,此时M4+MC有最小值,

/.MB+MC=MA+MC=EB+EC=AC,止匕时MB+MC的值最小，

VCMBC=MB+MC+BC,BC是定值

••・当点加1-1，野时，c侬=M8+MC+8C有最小值，

.•.力，!].

（3）解：过点。作AGA轴交AC于点尸，

设点。的横坐标为加，

,,,D^m,-^m2~^m+4^,^[相，1根+4),

.548.(4八4.

..DF=——m2——m+4-—m+4=——m2-4m,

33(3J3'

'：四边形A5CD的面积=S-+S△板，S^^^xAGxDF+^xOGxDF,

2

；.SAnr=-xAGxDF+-xOGxDF=-xOAxDF=-x3x\--m-4m],

ADC2222I3J,

••sADC=-6m=-2\m+-\+—,

当根=1时，s*有最大值，SVADC=|,

\・SABC=gxABxOC-8,

二.当根=-|•时，四边形ABCD面积S有最大值为：|+8=y,

【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，

两点间线段最短，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，学会运用数形结合是解

题的关键.

11.（l）y=-x2-2x+3

364

⑶存在，（2,-5）或（工一5）或（一2,3）

【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达

式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知

识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用.

（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将A点坐标代入即可求出抛物线表达式；

（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次

函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积

最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面

积；

（3）根据平行四边形的判定定理，分别以AC为平行四边形的边和对角线来进行分类讨

论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，

假设出点的坐标，列出方程求解即可.

【详解】（1）解：;抛物线的顶点坐标为（T考，

•••假设抛物线的表达式为y=a(x+l)2+4,

将A(-3,0)代入得，

0=«(-3+1)2+4,

解得＜2=-1,

二•抛物线的表达式为y=-(x+l)2+4=-f-2x+3；

(2)解:令x=o,则y=3,

令。=0,则-X2-2X+3=0,

解得%=-3,々=1,

.•.4(-3,0),5(1,0),C(0,3),

假设直线AC的表达式为广质+3,

将4(-3,0)代入得,0=-3Z+3,

解得左=1,

二.直线AC的表达式为尸x+3,

；OA=OC=3,

.•YWE是等腰直角