2025年中考数学二轮复习：二次函数的相似三角形问题 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：二次函数的相似三角形问题提分刷题练习题

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵该抛物线与轴交于点A,(点A在点8的左侧)，与＞轴交于点c,

(i)如图1,求证：VABC是直角三角形；

(ii)如图2,该抛物线的对称轴与x轴交于点。，点尸是抛物线对称轴上的一动点，若以点。，

D,P为顶点的三角形与VABC相似，求点P的坐标.

2.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线〉=-；/+灰+。(0,c是常数)交于

A、3两点，点A在x轴上，点3在y轴上.设抛物线与x轴的另一个交点为点C.

⑴求该抛物线的解析式；

(2)如图1,直线上方抛物线上是否存在点使得的面积等于3,若存在，写出点M

的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)P是抛物线上一动点(不与点A、3重合)，如图2,若点尸在直线48上方，连接O尸交A3于

点、D,记AAOP,△ADO的面积分别为1,S],求1t的最大值.

3.如图1,平面直角坐标系中，抛物线y=-d+2x+3交X轴于A,B两点(5点在A点的右边)，

交，轴于点C.点M是线段上一个动点，过点”作x轴的垂线，交抛物线于点E.

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(1)求A,8两点的坐标；

(2)求线段跖的最大值；

⑶如图2,是否存在以点c,E,尸为顶点的三角形与VABC相似？若存在，求M点的坐标；

若不存在，请说明理由.

13

4.如图，抛物线＞=-5尤2+^+2与》轴交于4、3两点(点A在点3的左边)，与y轴交于点

C,连接3C.

(1)求点A、B、。的坐标；

(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为f,过点P作直线尸轴，交抛物线于点N,交直线8C

于点M.

①当点尸在线段上时，设MN的长度为s,求s与/的函数关系式；

②当点尸在线段OB上时，是否存在点P,使得以0、P、N三点为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点。为坐标原点.抛物线＞=-/一2办+3a分别交x轴于

A、3两点，交y轴于点C,OA=OC.

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⑴求该抛物线的解析式；

⑵如图2,点尸为第二象限抛物线上一点，过点尸作PDLAC于点。，设点P的横坐标为f,

线段PD的长度为d,求d与/的函数关系式(不要求写出自变量/的取值范围)；

⑶在(2)的条件下，当直线PD经过点3时，如图3,点E在线段3。上，点R在线段AE上，

Q

且NDRE=45。，产的面积为求的长.

6.如图，已知A(-2,0)、B(3,0),抛物线y=ax2+bx+4经过A、B两点，交y轴于点C.点

尸是第一象限内抛物线上的一动点，点尸的横坐标为乙过点尸作轴，垂足为点”，

PM交3c于点Q.过点P作尸NL3C,垂足为点N.

⑵请用含m的代数式表示线段PN的长」

(3)连接PC,在第一象限的抛物线上是否存在点P,使得乙BCO+2NPCN=90。？若存在，请

求出机的值；若不存在，请说明理由；

(4)连接AQ,若AACQ为等腰三角形，请直接写出机的值」

13

7.如图1,已知抛物线>=-不/+/犬+2交》轴于A,3两点，交y轴于点C,点P是直线AC上

一动点.

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⑴求直线AC的解析式；

(2)若点P关于原点。的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；

(3)如图2,连接BC,过点尸作PE/ABC交x轴于点E,连接CE,将△(?回沿CE对折，点P的

对应点P恰好落在x轴上时，求点E的坐标.

8.如图，已知直线y=-§x+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y=-经

过A、3两点.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)直线与该抛物线交于点C,与线段A3交于点。(点。与点A、5不重合)，与x轴交

于点E,联结AC、BC.

①当第=熬时，求。的值；

CD0E

②当CD平分NAC3时，求ABC的面积.

410

9.如图，抛物线＞=-§/+了》+2与x轴相交于点A,与y轴交于点3,C为线段。4上的一个

动点，过点C作x轴的垂线，交直线A3于点。，交该抛物线于点E.

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⑴求直线A3的表达式，直接写出顶点M的坐标；

⑵当以3,E,。为顶点的三角形与QM相似时，求点C的坐标；

（3）当ZB£D=2/Q4B时，求VBDE与CDA的面积之比.

10.如图.在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+2尤+°（0片0）与大轴交于点4、B,与y轴交于

点C,点A的坐标为（TO）,对称轴为直线x=l.点M为线段上的一个动点，过点M作直

线/平行于y轴交直线于点F,交抛物线丁=办2+2彳+以中0）于点E.

⑵当以C、E、R为顶点的三角形与VA3C相似时，求线段取的长度：

（3）如果将△£■（牙沿直线CE翻折，点R恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标.

11.如图1,抛物线y=++5ax+c经过A（3,0）,C（0,T）,点3在x轴上，且AC=3C,过点3

作轴交抛物线于点。，点E,R分别是线段CO,3c上的动点，且CE=BP,连接EF

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(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)当AC防是直角三角形时，求点R的坐标；

(3)如图2,连接AE,AF,直接写出AE+AF的最小值为：.

12.如图，已知抛物线J交x轴于A、5两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴

翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象w”，图象w交y轴于点c.

(1)写出图象W位于线段A3上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线y=-x+8与图象w有三个交点，请结合图象，直接写出匕的值；

(3)P为X轴正半轴上一动点，过点P作PM//y轴交直线BC于点交图象W于点N,是否存

在这样的点尸，使与△O3C相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

13.如图，抛物线y=r2-2x+3与％轴交于A,3两点(A在3的右侧)，与y轴交于点C,顶点

为D.抛物线对称轴与x轴交于点RE是对称轴上的一个动点.

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(1)若CE〃BD,求sinNOEC的值；

(2)若NBCE=NBDF,求点E的坐标；

⑶当AE+goK取得最小值时，连接并延长AE交抛物线于点请直接写出AM的长度.

14.如图，抛物线与X轴交于A,5两点，与y轴交于C点，且。4=1,03=4,点C坐标为(0,2).

(1)求抛物线解析式；

⑵设抛物线的对称轴/与2C边交于点。，若P是对称轴/上的点，且满足以？，C,。为顶点的

三角形与△AOC相似，求点尸的坐标；

(3)在对称轴/和抛物线上是否分别存在点N,使得以A,0,M,N为顶点的四边形是平

行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

15.如图1,在平面直角坐标系龙Qy中，直线y=gx-2与X轴交于点3,与y轴交于点C.抛物

线丫=62+法+<:的对称轴是直线苫=5且经过3、C两点，与x轴的另一交点为点A.

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(1)①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式.

(2)如图2,若点P为直线BC下方的抛物线上的一点，连接P&PC.求APBC的面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角

形与VABC相似？若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

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参考答案

193.

1・⑴尸一］%+寸+2

(2)(i)见解析；(ii)或加或(r，或(I,T

【分析】(1)运用待定系数法解方程组即可；

(2)①利用勾股定理的逆定理证明即可；

②分两种情况：当AODPS^BCA以及AODPS^BCA,列出比例式，求出P£),再求点P坐标.

【详解】(1)解：•••抛物线>=-92+云+,经过点(-3,-7)和(3,2),

1

——x(-3y9-3b+c=-7

,<~~

1,

——X32+3/?+C=2

I2

\3

b——

解得2

c-2

13

二抛物线的函数表达式为y=+2；

(2)解：(i)y=-jx2+jx+2,

当x=0时，y=2,

，点C坐标为(0,2),

13

当y=0时，_于+产2=0,

解得x=T或x=4,

点A在点5的左侧，

•••点A坐标为(-1,0),点B坐标为(4,0),

.-.AB=|-1-4|=5,AC=712+22=75>BC=A/22+42=2^5,

AC2+BC2=(V5)2+(2^)2=25,AB2=52=25,

AC2+BC2=AB2,

ABC是直角三角形；

2

123c125

(ii)y=——x+—x+2=——x-|+一，

2228

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，抛物线的对称轴是直线X=］

二点O坐标为1|，。］,设点p坐标为1|，利］,

分两种情况：①当时，窄=桨，

ACnC

3

即5=H,

下26

解得加=±3,

此时点尸的坐标为［，-3)或g,3)；

3

②当△ODPsABCZ时，段=咨，即2_帆，

BCAC访一者

解得机=±土，

此时点尸的坐标为(g，-|■1或g，|J;

综上，点尸坐标为(|，-3)或(|,3)或或(I，：).

【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与

性质，勾股定理的逆定理.解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用.

2.⑴y=_g%2_%+4

⑵存在，

⑶3

【分析】(1)由直线>=彳+4与两坐标的交点可得A(-4,0),3(0,4),然后利用待定系数法求解

即可；

(2)在图1中，过点M作跖V〃C®交直线AB于点N,设-1产—+力，则N(0+4),Y<t<0,

利用坐标与图形可得卜4Jj,由一…=3求得/值，进而可求解；

SPDPE

(3)过点P作尸石〃OB交直线A3于点E,则.PDESAODB,所以《=痂=不，设点

d2LfUUD

p［m,-^m2-m+4\-4<m<0),利用坐标与图形可得1t=-：(利+2)-+；,利用二次函数的性质

求解即可.

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【详解】(1)解：直线y=x+4与坐标轴交于A、3两点,

当x=0时，y=4,当y=o时，x=T,

.•.A(T,O),3(0,4),

将A、3代入抛物线y=-；/+6x+c,得

0=--x(-4)2-4b+c“”口俗=-4

2[J,解得一

[c=41。=4

••・抛物线的解析式为：尸-x+4.

(2)解：存在.

在图1中，过点〃作MN〃OB交直线A3于点N,

________fil________

依题意，设加"，-；产—+4),则N&/+4),-4<t<0,

11

/.MN=——t2?-t+4-t-4=——?t2-2t,

22

*e*SMAB=gx]—9—2，1X4=-，2-4t,

由—』_4/=3得产+4+3=0,

解得％=-1,，2=-3,

当/=—1时，—/+4=g,贝

当年-3时，-97+44则M13口

综上，存在点M使得△肠1S的面积等于3,此时加,埒],加13口

(3)解：在图2中，过点P作尸E〃QB交直线A3于点E,则/

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篙券，贝哈嚼喘

设点尸［机机2_机+4)(_4＜加＜0),

/.E(m,m+4),

11

/.PE=——m2—m+4-m—4=——m2-2m,

22

H_PE2121lzc\21

二——m——m=——m+2+—

^~~OB4828V72

V--<0,-4<m<0,

8

当利=-2时，9有最大值，最大值为J.

【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式,

二次函数的性质，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，解题的关

键是添加合适的辅助线构造PDE^,ODB.

3.(l)A(-l,0),8(3,0)

o

(2)跖最大值为了

(3)存在，与0)或与0)

【分析】(1)令"。，得至U-V+2x+3=0,即可求解；

(2)设则加2+2机+3),先求出直线2C的解析式为y=-x+3,可得"〃z,-"2+3),

可得到用机表示所的长，再根据二次函数的性质，即可求解；

(3)根据题意可得ZABC=/3CO=/MFB=NCFE=45。，从而得到当以点C,E,尸为顶点的三

角形与VABC相似时，8与尸为对应顶点.然后分两种情况讨论，即可求解.

【详解】(1)解：,抛物线>=-—+2工+3与x轴相交于A,B两点

••—f+2%+3=0.

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解得：再=一1,电=3,

AA（-1,O）,3（3,0）；

（2）解：设”（〃7,0）,则E（见-苏+29+3）,

•••抛物线y=-X2+2x+3与y轴相交于点c,

C（o,3）.

设直线3C解析式为，=履+6,

,直线BC经过点8,C,

直线BC的解析式为y=T+3,

又■:E^m,—m2+2m+3^,

EF=（-m2+2m+3）—（-m+3）=—m2+3m=—^m—^^+（；

3Q

•••当相=5时，所取得最大值“

（3）解：存在以点C,E,尸为顶点的三角形与VABC相似，理由如下:

设M（〃z,0）,

由（2）得：EF=—m2+3m9

如图，过点R作/轴于点G,则FG=m,

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由⑴可得：OB=OC=3,AB=4,BC=3五,

：.ZABC=ZBCO=ZMFB=ZCFE=45°9

・・・Z\C尸G是等腰直角三角形，

••CF=V2m.

・•・当以点C,E,b为顶点的三角形与VABC相似时，3与尸为对应顶点.

①当eABCsvCFE时，

s[2m-府+3m

解得：=5或m=0（舍去）,

解得：根=［或根=0（舍去）

...喉。］.

综上所述，加1|，“或加/，0）.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图

象和性质，相似三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

4.（l）A（-LO）,B（4,0）,C（0,2）；

⑵①s=-;②点P的坐标为

【分析】（1）分别令犬=0、＞=0,求出对应的y值和x的值，即可求出A、B、C的坐标；

（2）①根据点P的横坐标为/,可得-?+7^-；产+|/+2）,然后分点尸在y轴的左

侧和点P在y轴的右侧两种情况，分别表示出MN即可；

②分OP、N、sCOB时和ORN2s80c时两种情况，分别根据相似三角形的性质列出比例式，

整理后得出关于t的一元二次方程，解方程求出t的值即可.

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【详解】（1）解：当x=0时，y=2,

13

当y=o时，即一万./+]X+2=0,

解得：々=T,々=4,

/.A(-LO),8(4,0),C(0,2)；

（2）解：①设直线3C的解析式为尸反+6（心0）,

,/、/、八、14左+Z?=0

把34,0,C0,2代入，得

k=--

斛AR得Zr-t：\2,

b=2

直线8C的解析式为y=x+2,

•••点尸的横坐标为t,

+,N^t,--t2+-|r+2^,

当点P在y轴的左侧，即-1白<0时，

由题意得：s=-17+2-1_g〃+|'f+2j=_；f+2+172-|f-2=；/_2f；

当点P在y轴的右侧（包含原点），即0<r<4时,

/

由题意得：s=—；/+|"'+2-［一：'+2)=-：/+'|'+2+；'-2=-1■产+2r.

|r2-2f(-l<f<0)

综上,S=<

-1z2+2r(O<r<4)

②如图，当04Ms4c。8时,

13c

可得鬻.二环--12H-/+2

，即上22

BO

24

•・一产+3,+4=4,,

整理得：〃+”4=0,

解得：上叵，/±（不合题意，舍去）,

22

当.OP2N2s,BOC时,

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可得需=箸，即，一92+9+2

_

DCC7...

U42

••—2/2+61+8—2t9

整理得：?-2r-4=0,

解得：G=I+石，n=i-非（不合题意，舍去）,

综上，点P的坐标为［，二,o］和（i+技。）.

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数的应用、相

似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是数形结合思想与分类讨论思想

的应用.

5.(1))=一九2—2x+3

(2)1=一与一述r

22

z^27To

【分析】（1）先根据二次函数与V轴的交点，求出C（0,3”），可得出A（-3a,0）,再代入解二次函

数解析式即可;

（2）过P作尸KU轴于K,交AC于点J,分别用含/的代数式表示出KJ,PJ,在应AD/V中,

有勾股定理即可求出求d与t的函数关系式;

（3）延长DR交A3于N,过R、。分别作FH±AB,DQ1AB,垂足为“、Q,证明ANFflsANDQ,

AAFNS^DAN,根据相似三角形的性质及勾股定理即可求的长.

【详解】（1）解：抛物线＞=-/-2依+3a交y轴于C,

当x=0时，y=3a,

：.C（0,3a）,

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/.0C=3a,

*：OA=OC,

OA=3a,

A(-3a,0),

•••点A在抛物线y=-x2-2ax+3a±.,

••一(—3a)~—2ax(—3a)+3a=0,

解得：01=1，“2=。，

Va>0,

••a——1,

•••抛物线解析式y=f2_2x+3.

(2)过P作轴于K,交AC于点J,

•.•点P横坐标为t,

.'.OK=­t,

'：A(-3,0),

OA=3,AK=AO—0K=3—(—?)=3+f,

"：OA=OC,

：.ZOAC=45°,ZKJA=ZKAJ=45°,

.".KJ=AK=3+t,

•点P在抛物线丫=-尤2-2尤+3上，当无=/时，y=-t2-2t+3,

...PK=—/―2f+3,PJ=PK—KJ=—产一2r+3—(3+7)=—广一3/,

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,?PD=d,ZDJP=ZAJK=45°,

ZDPJ=ZDJP,DJ=DP,

：.DP=DJ=d,在无中，ZPDA=90°,

DP2+DJ2=PJ2,

d2+d2=(-t2-3t)2,

公一与一出，

22

，公与

22

(3)延长DE交A3于N,过R。分别作切LAB,DQ1AB,垂足为“、Q,

.•.8(1,0),A(-3,0),

：.AB=4,

..q_8

•^^ABF~《，

1Q

:・一ABFH=—,

25

4

:・FH=飞,

A(-3,0),C(0,3),PD1AC,

：.ZDAB=45°,DQ=^AB=29

VFH^AB,DQLAB,

Z\NFHS/\NDQ,

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4

・・.空=竺=5=2，

DQ~ND~2~3

设NF=2m,则ND=5m,DF=3m,

VZZ>FE=45°,ZDAB=45°,

AZDAF+ZAPF=45°,ZDAF+ZNAF=45°,

：.ZADF=ZNAF,

*.•ZANF=ZDNA,

：.AAFNs/\DAN,

.AN_FN

・・丽―菽’

/.AN2=FN-DN=2m^5m=10m2,

AN=VlOm(负值舍去)

在及AONQ中，QN=2-y/10m9DN=5m,DQ=2,

勾股定理得DN2=QN2+DQ2,

/.（5m）2=^2-V10mj+4,

解得：叫=2^^，m2=--^-（负根•舍去）,

【点睛】本题考查二次函数与几何图形综合，涉及到勾股定理、相似三角形的判定和性质，属

于中考压轴题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质和判定定理.

22

6.⑴丁二——x9+-X+4

v733

(2)PN=—^m2+1相

7

⑶存在，-

(4)竽或葭

【分析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；

2?

(2)先由二次函数解析式求得，C(0,4),P(m,--m2+-m+4),证从而求

[2—23

得〃Q=--一，PQ=PM-MQ=--nr+2m,再证△PNQS/^BMQ,求得PN=gPQ,代入即

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可求解.

(3)过点C作CD，。。,交直线于D,易证四边形OMDC是矩形，从而得PD=MD-PM=4-(-

222296

-m2+—m+4)=Q疗相，再证NPC£)=NPCN,从而得至!JPN=P£),由(2)知：PN二——m2+—m,

333355

贝1有机•机二加

Jg2_12_|_求解即可;

(4)分AC=AQ、AC=CQ,CQ=A。三种情况，分别求解即可；

【详解】(1)解：设二次函数表达式为：y-a(%+2)(x-3)-a(x2-x-6)=ax2-ax-6a,

又•:抛物线y=ax2+bx+4-

2

.•・-6〃=4,解得：a=--,

则抛物线的表达式为y=-fx2+|x+4；

22

(2)解：当工=用，贝！J/机+4,

22

P(m,»z2+jm+4),

当x=0时，y=4,

•"(0,4),

：.0C=4,

•••5(3,0),

OB=3,

.".BC=yJoB2+OC2=5;

轴，

.".PM//OC,

：.ABMQsABOC,

.MQBMBQMQ_3-mBMOB_3

,,工二而二五'4=3>~BQ~~BC~1>，

.2,212-4m2,八

..PQ=PM-MQ=-jm-+ym+4-=——m~+2m,

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■:PNLBC,

：.ZPNQ=ZBMQ=90°,

'：ZPQN=ZBQM,

:.丛PNQs丛BMQ,

.PN_PQPNBMOB3

••丽—蔽，S~PQ~~BQ~~BC~1>

33(2226

PN=—PQ=jl-jm2+2m——m~+—m•

55

（3）解：过点c作craoc,交直线“尸于。，如图,

'：CD±OC,OCLOM,PMLOM,

•••四边形OMDC是矩形，

OCD=ZPDC=90°,MD=OC=4,

2722

.".PD=MD-PM=4-(--m2+—m+4)=-

'33733

/.ZBCO+/PCN+/PCD=90。

当NBCO+2NPCN=90。时，

则NPCD=NPCN,

：.PD=PN,

.2226

..—m2'--m=—m2H—m,

3355

化简得：4m2-lm-0,

7

解得：〃?]=一,"4=0,

4

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•••点P是第一象限内抛物线上的一动点，点尸的横坐标为m,

•.-m=7-,

4

7

.•.当时，在第一象限的抛物线上存在点P,使得/3。。+2/^^=90。；

(4)解：存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(3,0)、(0,4),

则AC="+42=2有，AB=3-(-2)=5,>]OB2+OC2=5>

则AC=AQ=26,

:M(m,0),

•\AM=m+2,

,,12-4m

由(z2x)知：MQ=------,

3

由勾股定理，^AQ2=AM2+MQ1,

乂2南=(m+2『+(一［，

1?

解得："2=m或"2=0(舍去)，

.12

②当AC=CQ时，如图2,

第14页共48页

由勾股定理，得约32=92+MQ2,

即(5_2括『=(3_m)2+,2；4加］,

解得：加="或m=6-述(不符合题意，舍去)，

55

"=哈

③当CQ=AQ时，点。在AC的垂直平分线上，

'：BC=AB=5,

・••点3在AC的垂直平分线上，

•••点。与点3重合，不符合题意，

，CQ=AQ此种情况不存在；

综上，2^4。。为等腰三角形时，机=竽或葭.

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与了二次函数几何图形结合的综合能力的培

养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

度，从而求出线段之间的关系.本题属二次函数与几何图形综合题目，难度较大，熟练掌握二

次函数图象性质，相似三角形判定与性质，勾股定理是解题的关键.

7.(l)y=f+2

⑶(6T,0)或卜君T,0)

【分析】(1)根据抛物线的解析式令尸。即可求得A2的坐标，令x=0即可求得C点的坐标,

进而待定系数法求得直线AC的解析式；

第15页共48页

（2）由（1）设点尸（皿根+21，贝IJQ1见;机一2]在y=-g/+|x+2上，代入解方程即可求得

优的值，进而求得点尸的值；

（3）先求得直线BC的解析式，进而表示出PE解析式，得点E的坐标为1go],进而根据平

行得.APESaAce,根据相似三角形的性质可得根据勾股定理及逆定理证明△ACB是

直角三角形，进而可得P对称后的点P与。重合，进而可得尸C=2,求得点P的纵坐标，进而

根据=?求得,的值，即可求得点E的坐标•

AByc

13

【详解】（1）解：已知抛物线＞=一5犬+5》+2交x轴于A,3两点，交y轴于点C,

令x=0,得y=2

即C（0,2）

13

令y=0,U\i--x2+-x+2=0

解得占=-1,々=4

设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A（4,0）,C（0,2）代入得，

j4k+b=0

[b=2

.k=—

解得2

b=2

•••直线AC的解析式为y=-〈x+2

（2）点P是直线AC上一动点，直线AC的解析式为y=+2

设点P,，-gm+2）,

点尸关于原点。的对称点。刚好落在抛物线上，

贝1]0（一肛;机一21在丫=一3炉+|犬+2上

BO—m—2=——m2——m+2

222

解得町=2A/3-2,叫二—2^3—2

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.\-1-m+2=3-A/3^3+V3

P（2指—2,3-后或卜2百-2,3+6）

（3）依题意，设点+

设直线BC的解析式为y=ax+b,将点B（-l,0）,C（0,2）代入得,

[—a+Z?=0

\b=2

直线BC的解析式为y=2尤+2

PE//BC

设直线PE的解析式为y=2x+r

令y=0,x=_g,则点E的坐标为T,oj

AE=4+—,AB—5,

2

PE//BC

APEs一ACB

AE=j>

-AByc

A（4,0）,B（-l,0）,C（2,0）

AO=4,3O=1,CO=2

AB=5,BC=^BOr+COr=45,AC=^ACf+CO1=2也

AB2=BC2+AC2

回。是直角三角形

APEsACB

:.ZAPE=ZACB=90°

将ACPE沿CE对折，点P的对应点P恰好落在龙轴上时,

ZCP'E=ZCPE=90°,

ZCOE=90°

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•••P与。点重合，

则尸C=PC=OC=2

产,-1+2],C（0,2）

；"+]-3〃+2-2）=2

解得〃小警,"「一半

.・3=二〃+2—'述+2=2-2

02255

0n4+-2--V5_p.4+-2+-V5

即2=5或2_5

5一25-2

解得t=2-2布或/=2+2出

(石-1,0)或卜方-1,0)

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾

股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键.

24

8・(l)y=--^+］尤+2

(2)①2；②：

【分析】(1)先求出点4点3坐标，利用待定系数法可求解析式；

(2)①证明△ADEs△Bog由相似三角形的性质得出/D4E=ND3C,证出AE〃3C,得

第18页共48页

出C点的纵坐标为2,则可求出答案；

②设C6-当2+%+2),过点B作BHLCE于点H,得出tanZBCH=tanZACE,则名AE

33CrzCE

解方程求出/的值，则可求出答案.

【详解】(1)解：由产-；x+2可得：

当x=0时，y=2；当y=0时，x=3,

：.A(3,0),B(0,2),

2

把A、B的坐标代入y=--x2+bx+c得：

-2

——x9+3Z7+c=0

<3,

c=2

n

解得：3,

c=2

74

•••抛物线的解析式为：y=-；N+(x+2；

(2)①如图1,

图1

,JDE//OB,

.AE_AD

"~OE~~BD，

..AEDE

,~OE~~CD，

.AD_DE

,,HD~~CD,

又•:ZADE=ZBDC,

：.AADE^ABDC,

：.ZDAE=ZDBC,

第19页共48页

J.AE//BC,

・・・C点的纵坐标为2,

24

.，・2=--x2+—x+2,

•\x=0或x=2,

：.C(2,2),

：.t=2；

74

②如图2,设C(1,--12+—f+2),

图2

过点5作BHLCE于点H,

*.•ZBCH=ZACE,

:•tcm/BCH=tcm/ACE,

.BHAE

^~CH~~CE，

t3-t

・•・224=224,

-----1H—t1H—£+2

3333

•\t=—,

••.Y，)

SAACB=SAACE-^-S梯形BOCE-S^ABO

1551-5、11,5

=—X—xF—x(2+—)x---x2x3=—

22222224

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三

角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

9.(l)y=-gx+2,M(：,§

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⑵4，。)或弓，0)

oZ

(3)股

104

【分析】(1)求出A、8点的坐标，用待定系数法求直线A3的解析式即可；

⑵由题意可知ABED是直角三角形，设C(f,0),分两种情况讨论①当4£D=90。，时，BEIIAC,

此时E(t,2),由此可求f=②当ZEBD=90。时，过点E作石。，了轴交于点Q,可证明AABO-ABEQ,

则4=为，可求E(r,2+|/),再由E点在抛物线上，则可求公?，进而求C点坐标；

(3)作取的垂直平分线交尤轴于点Q,连接BQ,过点8作3GLEC于点G,则有4。。=4团，

1ocio

在R/AB。。中，802=4+(3-80)2,求出8Q=二，QO=~,贝ljtanN8QO=tanZBEG=—,设C(r,0),贝lj

665

12t2

£>«,-彳+2),石(人-『+%+2),则有5一4210,求出£=||,即可求¥^=京7=与曰.

333+—t16UDA3TW4

【详解】(1)解：令y=0,则-y+g+2=0,

17c

=或x=3,

A(3,0),

令％=0,则y=2,

・•・5(0,2),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

Jb=2

一13左+0=0，

小二

3,

6=2

二.y=—1+2.

3

(2)解：ZADC=ZBDE,XACD=90°,

.­.AB£D是直角三角形，

设C(f,0),

第21页共48页

①如图1,

：1=0（舍）或t=

C（|,。）；

②如图2,

过点E作轴交于点

Z.BAO+ZABO=90°,ZABO+NQBE=90°,

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/QBE=NBAO,

/./^ABO^ABEQ,

AOB0

._pn3_2

**~BQ~1EQ9即被一［，

3

•.BQ=,,

、3

E（t,2+—?）,

c34210c

」.2H—t=—tH----才+2,

233

•,1=0（舍）或r=”，

o

.・C（1,。）；

o

综上所述：。点的坐标为（?，。）或（1",。）；

oZ

（3）解：如图3,作班的垂直平分线交x轴于点连接BQ,过点8作3GLEC于点G,

*■

0^

\

1图3'

，BQ=AQ,

ZBQA=ZQAB9

ZBED=2ZOAB9

:.ZBQO=ZBED,

在中，BQ2=BO2+OQ2,

二.％2=4+（3—BQ）2,

第23页共48页

eo=j

6

/.tanZ.BQO=—,

tanZBEG=—,

5

设C(£,0),贝(J/)亿一余+2),石亿—g*才+2),

49410

BG=t,DE=—*+4/,AC—3—t,DC=—，+2,EG=—r-i—t

3333

12_r

二•二二4/]0

33

..35

..t——,

16

S2DE=_ED.BG,

S皿=*CD，

z42A\

S&BDE（-丁+4»2t21225

SRCDA（3-f）（-|r+2）3T104

【点睛】本题是二次函数的综合题，求一次函数的解析式，解题的关键熟练掌握二次函数的图

象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合也是解题的关键.

10.（1）y=—九2+2x4-3

9

⑵EF=Z

⑶N的坐标是（0,3&+1）

【分析】（1）根据抛物线过点A（-L0）,对称轴为直线x=l列方程计算即可；

（2）求出3、。坐标及直线3c解析式，由08=0C可得ZMM=NFBM=NCFE=45。，再设E、

R的坐标，根据相似计算即可；

（3）由翻折结合环〃y轴可得CP=E产，设E、R坐标计算即可.

0=〃—2+c

【详解】（1）由题意得：2,

------=1

、2a

解得：

[c=3

第24页共48页

，所求的抛物线的解析式是：丫=--+2*+3

（2）由题意得：B（3,O）,C（O,3）,

直线的解析式为：y=-x+3

，OB=OC,

：.ZMBF=ZFBM=ZCFE=45°

设尸（m,-瓶+3）,则E（m,-m2+2m+3）

EF=—m2+2m+3—（—m+3）=—m2+3m,CF=m?+（3+m—3）2=y/2m

当以C、E、尸为顶点的三角形与VABC相似时，

不什EFCFEti一机2+3mV2m

①右IT而,则^^=乖,

m=|^m=0（舍去）

•二尸

..Er=-m2+,3&m=——20

9

分北CF_EFM|V2m_-m2+3m

°右耘一方'人」3亚'

・••m=5或机=o（舍去）

9

/.EF=-m92+3根=—

4

•.*CEN是由印沿直线CE翻折而得

CN=CF,ZNCE=ZECF,

NC//EF,

：.ZNCE=ZCEF,

：.ZECF=ZCEF,

第25页共48页

/.CF=EF

设及+3）,贝E（〃,一/+2〃+3）

EF=-n2+2〃+3-（-〃+3）=-n2+3n,CF=^（0-n）2+（3+n-3）2=-Jin

•*一九2+3n=A/2H，

解得：〃=3-&或〃=。（舍去）

/.CF=®=3®-2

/.ON=OC+CN=OC+CF=3^+\

・・・N的坐标是（0,30+1）

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等

知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解.

11.（1）y=为+，-4,点0（-3,-5）；

0O

⑶洞

【分析】（1）把点A（3,0）,C（0,T）代入可求出抛物线解析式，再由AC=BC,0CLAB,可得

点。的横坐标为-3,即可求解；

（2）根据勾股定理求出3C=5,设点E（0,m）,则3/三CE=4-m,可得CF=BCBF=m+l,然

后分两种情况讨论：当/。£歹=/3。。=90。时,£尸〃》轴，4ECFs^ocB,当NCFE=/BOC=90。

时，△FCEsAocB,即可求解；

（3）连接AD,DF,nJiiE