2025年中考数学总复习《实际问题与二元一次方程组》专项测试卷及答案

2025年中考数学总复习《实际问题与二元一次方程组》专项测试卷

及答案

学校:姓名：班级：考号：

1.我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两

分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）.其

大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还

多四两；若每人分九两，则还差八两”.问客人数和银两分别是多少？

2.科技节期间，小智负责记录班级购买实验耗材A和8的情况（两次采购单价相同，

且按整件购买），第一天购买7件A和4件小智记为189元；第二天购买5件A和2

件3,小智记为84元.

⑴学习委员检查后指出小智记录矛盾，请通过计算说明错误原因；

（2）修正数据后，根据正确数据算得A的价格为每件15元，3的价格为每件21元.另一

班级用300元以同样价格购买这两种实验耗材（要求两种实验耗材均需购买）.请求出

所有满足条件的购买方案.

3.小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录.小亮周六进行了两组运动，第一

组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深

蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡.

（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？

（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量

不少于开合跳的数量.每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒

①假设安排机个深蹲，则安排个开合跳；（用含机的代数式填空.）

②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？

4.为了响应习近平主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该

校从商店购买了A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个,共花费4500元

，

已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元.

⑴求A、B两种品牌足球的单价各多少元？

⑵根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优

惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，5种品牌的足球单价打8折.如果

此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足

球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案

的购进费用为多少元？

5.四年23班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔.若

购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔，则需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支

自动铅笔，则需85元.

(1)求该品牌的钢笔和自动铅笔每支的定价分别是多少元；

⑵本班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共20支，总费用要低于340元，那么最多

可购买该品牌的钢笔多少支？

6.学校积极开展“阳光体育”活动，某班需要购买A,B两种跳绳，已知购买1根A型跳

绳和2根3型跳绳共需40元；购买3根A型跳绳和3根3型跳绳共需75元.

⑴购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元？

(2)若班级计划购买A,B两型跳绳共50根，8型跳绳根数不少于A型跳绳根数的2倍,

设购买A型跳绳“根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？

7.为积极响应湛江文旅“与老街共成长把美丽湛江寄出去”的号召，林怡在周末参加了

赤坎老街的集市活动，她来到大同路购买“湛江老街特色”的明信片，准备寄出去，明

信片有A,5两种系列，每套A种明信片比每套5种明信片贵8元，购买3套A种明信

片和2套5种明信片共花费74元.

⑴求A,5两种明信片每套各多少元；

（2）林怡计划购买这两种明信片共6套.设购买A种明信片a（套），购买两种明信片的

总费用为丁（元），请求出y与。之间的函数关系式；并求当购买4种明信片不少于4

套时，购买A种明信片多少套，总费用最少？求出最少总费用.

8.为了进一步加强学生的校园安全意识，某班开展校园安全知识竞赛活动，去奶茶店

购买A,5两种款式的奶茶作为奖品.若买10杯A款奶茶，15杯5款奶茶，共需230

元；若买25杯4款奶茶，25杯5款奶茶，共需450元.奶茶店为了满足市场的需求,

推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.

（1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元；

⑵在不加料的情况下，购买4,5两种款式的奶茶（两种都买），刚好用了200元，请

问有几种购买方案？

⑶若小华恰好用了268元购买A,5两款奶茶，其中A款不加料的数量是总数量的;，

则5款加料的奶茶买了多少杯？（直接写出结果）

9.绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、

丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）

车型甲乙丙

汽车运载量（〃辆）134

汽车运费（元/辆）100250300

⑴若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型

各多少辆；

（2）如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计

一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用.（每个档次的得分不同，优秀〉良

好〉合格）

总费

车型甲乙丙

用注意：4800元〈总费用V4900元为良好总费用＞4900元为

汽车辆合格

数

10.综合与实践

某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特

色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来

完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；

若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每

天分别施工工和y米.

【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是一米；乙工程队单独施工15

天完成的工程量是一米；甲、乙两个工程队同时共同施工阴天完成的工程量是一米；（用

含有字母的代数式表示）

【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？

【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时

共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两

个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多

少万元？

11.某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11,把十位数字和个位数字互换位置

后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45.

（1）试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；

⑵若设原来的两位数的个位数字为",十位数字为》依据题意列出关于X,y的方程

组（无需求解），并检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组.

12.某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我

这么大时，我就35岁了.”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁.

13.为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设

备进行更新换代.

⑴为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企

业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴.更新完这25条生产

线设备后，该企业共获得65万元补贴.问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？

⑵经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍

少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生

产线设备的数量相同.那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新

生产线的设备？

14.小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大

的长方形.小红看见了，说：“我来试一试."结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的

正方形.但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3mm的小正方形！求每个小长方

形的面积.

15.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式计费该市居民“一户一表”生

活用水阶梯式计费价格表的一部分信息如下：

自来水销售污水处理

每户每月用水量

价格价格

18m3及以下a兀/m31.40%/m3

超过18m3不超过30m3

b7U/m31.40元/n?

的部分

超过30m3的部分6.00元/n?1.407U/m3

［说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量②水费=自来水费+污水处理费］

已知小王家2025年4月份用水20m3,交水费64元；5月份用水25m3,交水费89元.

⑴求a,b的值.

(2)随着夏天的到来，用水量将增加，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2%.若

小王家月收入为11250元，则按计划小王家6月份最多可用水多少立方米？

参考答案

1.共有6名客人，46两银子

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有x名客人，》两银子，根

据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可.解题的关

键是理解题意，正确列出方程组.

【详解】解：设共有x名客人，》两银子

由题意可得,

解得［二K

答：共有6名客人，46两银子.

2.(1)小智的记录矛盾，理由见解答

⑵共有2种购买方案，方案1：购买了13件实验耗材A,5件实验耗材5；方案2：购

买了6件实验耗材A,10件实验耗材B

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，

正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键.

（1）设实验耗材A的单价为x元/件，实验耗材2的单价为，元/件，根据“第一天购买

7件A和4件8,小智记为189元；第二天购买5件A和2件8,小智记为84元”，可

列出关于X，，的二元一次方程组，利用（②X2-①）+3,可求出X的值，结合实验耗材A的

单价不能为负，可得出小智的记录矛盾；

（2）设另一班级购买了机件实验耗材A,〃件实验耗材利用总价=单价x数量，可列

出关于加，〃的二元一次方程，结合%〃均为正整数，即可得出各购买方案.

【详解】（1）解：小智的记录矛盾，理由如下：

设实验耗材A的单价为x元/件，实验耗材B的单价为了元/件

根据题意得：图丁黑

解得：*=-7

•••实验耗材A的单价不能为负

丁小智的记录矛盾；

（2）设另一班级购买了机件实验耗材A,〃件实验耗材3

根据题意得：1痴+21〃=300

/.m=20——n

又•••%〃均为正整数

二共有2种购买方案

方案1：购买了13件实验耗材A,5件实验耗材3；

方案2：购买了6件实验耗材A,10件实验耗材3.

3.(1)小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗。.5千卡的热量

(2)①(3。。-2根)；②小亮安排100个深蹲消耗的热量最多

【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，

正确列式求解是关键.

(I)设小亮每做一个深蹲消耗X千卡的热量，一个开合跳消耗y千卡的热量，由此列式

求解即可；

(2)①设小亮安排机个深蹲，根据每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，求出安

排开合跳的个数=300-2m；

②由题意得到%21。。，设消耗的热量为被千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算

方法即可求解.

【详解】(1)解：设小亮每做一个深蹲消耗x千卡的热量，一个开合跳消耗》千卡的热

量

30x+20y=34

根据题意得:

20x+40y=36

九=0.8

解得:y=0.5•

答：小亮每做一个深蹲消耗。8千卡的热量，一个开合跳消耗。$千卡的热量;

(2)解：①设小亮安排加个深蹲，则安排开合跳的个数为:

10x6；=(300-2喇个;

②设小亮安排加个深蹲

根据题意得：〃出300-29

解得：，"2100.

设消耗的总热量为w千卡,则w=08w+0.5(300-2m)

BPw=-0.2机+150

*/-0.2<0

，我随加的增大而减小

••・当〃，=100时，W取得最大值

答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多.

4.（1）4种品牌足球的单价是50元，5种品牌足球的单价是80元

⑵共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个4种品牌的

足球，23个5种品牌的足球；总费用为2714元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关

键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系,

正确列出一元一次不等式组.

（1）设A种品牌足球的单价是％元，5种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌

的足球50个，5种品牌的足球25个，共需4500元，5种品牌足球的单价比A种品牌

足球的单价高30元”，可得出关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出结论;

（2）设购买加个5种品牌的足球，则购买（5。-旬个A种品牌的足球，根据“此次学校

购买A、5两种品牌足球的总费用不超过2750元,且购买5种品牌的足球不少于23个”,

可得出关于根的一元一次不等式组，解之即可得出机的取值范围，结合冽为正整数,

可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论.

【详解】（1）解：设4种品牌足球的单价是％元，5种品牌足球的单价是y元

50元+25y=4500

根据题意得:

y—x=30

x=50

解得:

y=80

答：A种品牌足球的单价是50元，5种品牌足球的单价是80元；

（2）解：设购买加个5种品牌的足球，则购买（5。-⑹个A种品牌的足球

（50-4）（50-771）+80x0.8/77<2750

根据题意,得

m>23

解得：23<m<25

又•••加为正整数

•••加可以为23,24,25

•••共有3种购买方案

方案L购买27个A种品牌的足球，23个5种品牌的足球，总费用为

（50-4）x27+80x0,8x23=2714（元）；

方案2：购买26个4种品牌的足球，24个5种品牌的足球，总费用为

（50-4）x26+80x0.8x24=2732（元）；

方案3：购买25个A种品牌的足球，25个5种品牌的足球，总费用为

（50-4）x25+80x0.8x25=2750（元）.

,/2714<2732<2750

•••为了节约资金，学校应选择购买方案1,总费用为2714元.

5.（1）该品牌的钢笔每支25元，自动铅笔每支5元

（2）11支

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意,

确定相等关系与不等关系是解本题的关键.

（1）该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别％元，y元，根据购买1支钢笔和5支

自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元建立方程组，求解即可；

（2）设购买该品牌钢笔。支，则购买自动铅笔（20”）支，根据总费用要低于340元建

立不等式，求解即可.

【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支工元，自动铅笔每支y元

x+5y=50

由题意得:

3x+2y=85

解得:〔;3

答该品牌的钢笔每支25元，自动铅笔每支5元.

(2)解：设购买该品牌钢笔。支

25a+5(20-a)<340

解得：a<\2.

取正整数

的最大值为1L

答：最多购买该品牌钢笔至少11支.

6.(1)1根A型跳绳10元，1根3型跳绳15元

(2)670元

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的

应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数

量之间的关系，找出w关于。的函数关系式.

(1)设购买1根A型跳绳需工元，1根5型跳绳需y元，根据“购买1根A型跳绳和2

根B型跳绳共需40元；购买3根A型跳绳和3根B型跳绳共需75元”，可列出关于兀y

的二元一次方程组，解之可得出结论；

(2)根据购买5型跳绳根数不少于A型跳绳根数的2倍，可列出关于。的一元一次不

等式，解之可得出a的值，设购买跳绳所需费用是w元，利用总价=单价x数量，可找

出川关于。的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

【详解】(1)解：设1根A型跳绳和1根3型跳绳分别需x元、>元

依题意，得《X二，解得官

答：购买1根A型跳绳10元，1根3型跳绳15元.

(2)解：购买跳绳所需总费用为：枚=10a+15(5。-0=-5。+75。

•••w随。的增大而减少

又50—a>2a

33

为正整数

.•.当4=16时，w有最小值670.

，购买跳绳所需最少费用是670元.

7.(1)4,5两种明信片每套各18元和10元；

(2)J=8a+60；购买A种明信片4套，总费用最少，为92元.

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用：

(1)设45两种明信片每套各X元和丁元，根据每套A种明信片比每套3种明信片贵

8元，购买3套4种明信片和2套5种明信片共花费74元,列出方程组进行求解即可；

(2)根据总费用等于两种明信片的费用之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质

求最值即可.

【详解】(1)解：设45两种明信片每套各x元和，元，由题意，得：

〔；二:74,解得：｛叫

答：A,5两种明信片每套各18元和10元；

(2)由题意，得:y=18a+10(6-a)=8a+60

8>0

•••，随着。的增大而增大

•••购买A种明信片不少于4套

/.a>4

・•・当a=4时，＞最小为：8x4+60=92；

.二购买A种明信片4套，总费用最少，为92元.

8.(1)4款奶茶的销售单价是8元，5款奶茶的销售单价是10元

⑵有4种购买方案：①购买A种款式的奶茶20杯，购买3种款式的奶茶4杯；②购买

4种款式的奶茶15杯，购买5种款式的奶茶8杯；③购买4种款式的奶茶10杯，购

买5种款式的奶茶12杯；④购买A种款式的奶茶5杯，购买5种款式的奶茶16杯；

(3)5款加料的奶茶买了8杯

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用.解题的关键是:

(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一

次方程；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程.

(1)设4款奶茶的销售单价是％元，3款奶茶的销售单价是y元，根据买10杯A款奶

茶，15杯5款奶茶，共需230元；若买25杯A款奶茶，25杯5款奶茶，共需450元.列

出二元一次方程组，解方程组即可；

(2)设购买A种款式的奶茶加杯，购买5种款式的奶茶〃杯,根据在不加料的情况下，

购买4、5两种款式的奶茶(两种都要)，刚好花200元，列出二元一次方程，求出正

整数解即可；

(3)设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了。杯，A款加料的奶茶和5款不加

料的奶茶买了0杯，则5款加料的奶茶买了(2人勾杯,根据小华恰好用了268元购买A、

5两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可.

【详解】(1)解：设A款奶茶的销售单价是％元，3款奶茶的销售单价是y元

,口工―/口[10x+15y=230

由题意得：W450

x=S

解得:

y=10

答：A款奶茶的销售单价是8元，5款奶茶的销售单价是10元;

(2)设购买A种款式的奶茶加杯，购买5种款式的奶茶〃杯

由题意得：8/«+10/7=200

解得：根=25

八均为正整数

Jn=4Jn=8(n=12Jn=16

m=20m=15m=10m=5

.•.有4种购买方案：

①购买4种款式的奶茶20杯，购买5种款式的奶茶4杯；

②购买4种款式的奶茶15杯，购买5种款式的奶茶8杯；

③购买4种款式的奶茶10杯，购买3种款式的奶茶12杯；

④购买A种款式的奶茶5杯，购买5种款式的奶茶16杯；

(3)设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了。杯，A款加料的奶茶和5款不加

料的奶茶买了。杯

则5款加料的奶茶买了杯，即(2ad)杯

由题意得：8。+1。6+(1。+2)(2。-6)=268

整理得：6=16a-134

和b,3a-a-b均为正整数

:.2a-b>Q

.-.2a-(16a-134)>0

解得：

:.a=9b=W

2a—b=2x9—10=8

答：5款加料的奶茶买了8杯.

9.（1）需要甲13辆，乙16辆；

⑵共有6种运输方案，详见解析.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程是解答关键.

（1）设需要x辆甲种车，，辆乙种车，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解；

（2）设使用机辆甲种车，"辆乙种车，则使用（20-租-小辆丙种车，根据机辆甲种车运送

的蔬菜+〃辆乙种车运送的蔬菜+（20-根-〃）辆丙种车运送的蔬菜=61列出方程，再根据机、

“、（20-加-〃）都是正整数，进而即可求解.

【详解】（1）解：设需要x辆甲种车，）辆乙种车

.Jx+3y=61

••1100%+250y=5300

.k=13

，，［y=i6

，需要甲13辆，乙16辆.

（2）解：设使用机辆甲种车，〃辆乙种车,则使用（20-加-9辆丙种车

/.m+3n+4（20-m-n）=61,

•1n=19-3m,

又「m,

n,

（20-m-n）

总费等

甲乙丙

均为正

用级

整数

.fm=1

**=16

或尸2

以［〃=13

或1会

以［〃=10

ffm=4

或J

或［l

3［m=6

叫〃=1

二•共有6

种运输

方案，所

需费用

如下表

车型

优

61134750

秀

良

54114800

好

汽车辆

数良

4794850

好

良

31074900

好

合

21354950

格

合

11635000

格

10.(1)lOx,15y,m(x+y)(2)甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；

(3)0.4万元

【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用.

(1)根据题意可得答案；

(2)根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；

若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组

求解即可；

(3)设乙工程队每天的施工费用为。万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总

费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解.

【详解】解：(1)甲工程队单独施工10天完成的工程量是10x米；乙工程队单独施工

15天完成的工程量是15y米；甲、乙两个工程队同时共同施工加天完成的工程量是

米

故答案为：10x15ym(x+y)；

⑵由题意得"d;

解得：!；：20

答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米;

(3)设乙工程队每天的施工费用为Q万元

600-30x10

由题意得:0.6x10+a<12

20

解得aW0.4

答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元.

11.(1)原来的两位数为38；

⑵|：二5-,检验见解机

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，

正确列出二元一次方程组是解题的关键.

(1)设原来的两位数的十位数字为x,个位数字为(Ur),根据“把十位数字和个位数

字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于

X的一元一次方程，解之即可得出结论；

(2)根据“十位数字与个位数字之和为11,把十位数字和个位数字互换位置后得到一

个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45”，即可得出关于x，y的二元一次方程

组，再代入x，y值，验证即可.

【详解】(1)解：设原来的两位数的个位数字为X,则十位数字为(11T),依题意，得：

10(ll-%)+x+45=10x+(ll-%)

解得：x=8

：.n-x=3

••・原来的两位数为38；

(2)解：依题意，得:

x+y=11

10y+%+45=10x+y

由(1)知x=8,y=3

•j8+3=n

•・[10x3+8+45=10x8+3

•••4二:是方程组的解

A（1）中求得的结果满足所列的方程组.

12.今年李老师24岁，该学生13岁

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年％岁，李老师

今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可.

【详解】解：设该学生今年X岁，李老师今年y岁，则

相据该学生和李老师的年龄差不变

可得W

解得

答：今年李老师24岁，该学生13岁.

13.（1）该企业甲、乙两类生产线各有15条