2025年中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷（带答案）

2025年中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷带答案

学校:姓名:班级：考号：

一、单选题

1.已知相似比为1:4,那么VABC和AAEC'的周长比为（）

A.1:4B.3:4C.1:8D.1:16

2.如图，VABC与位似，位似中心为点O,OC:CC'=2A,AAEC的面积为12,

则VABC面积为（）

9

A.54B.32C.27D.—

16

3.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为48的

黄金分割点（转＞依），如果的长度为10cm,那么总的长度为（）cm.

B

A.575-5B.106-10C.15-5百D.15+5下

4.如图，在VABC中，AB=AC,ZA=36°,平分/ABC.与AC交于点。.若3c=2,

则CD的长度为（）

A.1B.3C.75+1D.75-1

5.如图，在正方形ABCL（中，M为BC的三等分点，MC=2BM,对角线AC与相交于

点R过点F作CD的垂线，垂足为G,过点尸作BC的垂线，垂足为E,已知">=4,则FG

的长度为（）

6.如图，VABC与ADE尸是以点。为位似中心的图形（点A,B,C的对应点分别为点。,

nA

E,F）.若VABC与ADEF的周长之比为1:2,则一的值为（）

7.矩形ABC£>中，AB=4,BC=3,点河在线段C。上，CM=1,连接过点A作

AEJ.BM,垂足为与对角线3D交于点尸，则所的长是（）

A.—B.勺叵C.9D.3

135

8.如图，在正五边形ABCDE中，连结BE,BD,过点。作CD的垂线，与边AE交于点F,

与对角线砥交于点P,下列结论中错误的是（）

A.ZEFD=54°B.AB+AF=BE

AFV5-1

D.点尸是AE的黄金分割点

而一2

二、填空题

9.如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=5,AC=12,=，点E是AC的中点，BE、

8相交于尸，则四边形ADEE的面积为.

10.如图，矩形ABCD中，点E为BC边的中点，连接AE,点尸为边上一点，连接CP

2

交AE于点G,若CO=CG=3如，tan/EGC=],则线段BC的长度为.

11.如图，在VA3C中，£>E〃BC分别交A3、AC于点。、E,D尸〃AC交BC于点F,

AP2

—跖=10,则C/的长为—.

EC5

12.如图，在平面直角坐标系中，VABC的顶点A在第二象限，点8的坐标为(-2,0),点C

的坐标为(-1,0).以点C为位似中心.在龙轴的下方作VA3C的位似图形△AB'C.若点A的

对应点A的坐标为(2,-3),点B的对应点B'的坐标为(1,0),则点A的坐标为.

13.如图，小孔成像实验如图1,抽象为数学问题如图2,AC与8£）交于点0,AB//CD,

若点。到A3的距离为10cm,点。到CD的距离为15cm,蜡烛火焰倒立的像CD的高度是

6cm,则蜡烛火焰AB的高度是cm.

图1图2

3

14.如图，在平面直角坐标系中，直线>=］尤-6分另IJ与x轴、>轴相交于点A、B,点、E、F

分别是正方形。1C。的边OZXAC上的动点，且=过原点。作OH,EE,垂足为

H,连接HA、HB,贝lj"MB面积的最大值为.

三、解答题

15.如图，在uABCD中，AC为对角线，过点B作跖，AC交AC于点E,交于点

交C。的延长线于点G.

G

⑴求证：GFCG=DGBG-,

(2)如果AB?=BE.8/，求证：四边形ABCD是矩形.

16.如图，ABC是一张锐角三角形纸片.

(1)按下面的步骤完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)

①作一BAC的角平分线，交8C于点£＞；

②在AB、AC上分别取两点E和尸，连接OE、DF,使四边形如是菱形.

⑵若AB=3,AC=4,求DE的长.

17.如图，点E在正方形ABC。边上，点尸是线段A3上的动点（不与点A重合），DF

交AC于点G,64，4）于点8,AB=3,DE=1.

⑴求tanZACE1的值；

（2）设AP=尤,G"=y,试探究y与尤的函数关系式（写出尤的取值范围）;

⑶当ZADF=ZACE时,判断ACGE与△ZMF是否相似并说明理由.

18.【问题情境】在矩形ABCD中，点E为边2C上一个动点，连接AE.将沿AE翻

图1图2备用图

【探究发现】

（1）如图1,若BC=-J^AB,求NA也的度数;

（2）如图2,当AB=4,且跳=8时，求BC的长.

【拓展延伸】

（3）若矩形ABC。满足AB:3c=2:3,点E为边BC上一个动点，将矩形ABCD沿进行

翻折，点C的对应点为C',当点E,C,O三点共线时，求154E的正切值.

19.如图①，在菱形A5C。中，AB-lOcm,BD=16cm.动点尸从点8出发，沿BC方向

匀速运动，速度为lcm/s；同时，线段MN(点、M,N分别与点A,。重合)从点。出发,

沿方向匀速平移，速度为2cm/s；线段"N停止运动时，点尸也随之停止运动.MN交

A3于点E,连接PN,MB.设运动时间为》(s)(0<f<8),解答下列问题：

E花ME

图①图①备用图图②

(1)是否存在某一时刻K使PN〃EB?若存在,求出f的值；若不存在，说明理由；

(2)是否存在某一时刻f,使点E在14汨的平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，说

明理由；

⑶设四边形的面积为S(cn?),求S与，的函数关系式；

(4)如图②，点N'是点N关于直线BC的对称点，连接BN"NN',当r为何值时，点B,

N'在同一条直线上？请说明理由.

20.如图，边长为4的正方形ABCD内部有一点E,点尸在边AD的上方，AE=AF,

/E4F=90°,连接跖、BE、DF.

FF

备用图

(1)求证：AABE当△ADF；

⑵延长BE交D尸所在直线于点G；

①若AE=丘,归=45。时，求AEPG的面积；

②若AE=2,当154石从。。至U60。的变化过程中，求点G经过的路径长.

参考答案

题号12345678

答案ACCDBAAC

1.A

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比,

是解题的关键.根据相似三角形的性质，进行求解即可.

【详解】解：AABCsAAEC',相似比为1:4,

NABC和△A'3'C'的周长比为1:4.

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，

根据冷=5可得冷=1,即可得出优Q=G，再结合S“A0C，=12可得答案.

CC1UC5，ABC"

OC'2

【详解】解：

.OC2

••—―,

OC3

*,ASADACRr~9'

・・q-19

S^ABC=27.

故选：c.

3.C

【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线

段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点.根据4尸=叵448,

2

即可求出3P.

【详解】解：・.・P为居的黄金分割点(AP>M)

・•・AP=3^AB=3^xlO=(5正一5km

・・.PB=AB-AP=10-(55/5-5)=(15-5^)cm

故答案为：C.

4.D

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟

练掌握以上知识点是解题的关键.先利用等腰三角形以及三角形内角和，求得Z4BC=NC,

再利用角平分线，求得NO3C=NA3D=：ZA3C,然后计算出N5DC,推出AZ)=a)=BC,

最后证明Z\BCDS^ACB，然后利用对应边成比例求得答案.

【详解】解：•.・=NA=36。,

180。—/A。—。=。,

:.ZABC=ZC=1803672

2

•・,BO平分/ABC,

/.ZDBC=ZABD=-ZABC=36°,

2

ZDBC=ZA=ZABD,ZBDC=180。一ZDBC-ZC=180°-36°-72°=72°

BD=AD,BD=BC

ZC=ZC,ZDBC=ZA

△BCDsAACB,

BCCD

花一百，

BC=2,

2CD

AD+CD~2

2CD

"1+CD~2

2CO+m=4

:.CD=布-1(舍去负值)

故选：D.

5.B

【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由正方形得到40=30=4,

AD//BC,ZAZ)C=90°,贝I笑=2，结合三等分点得到三=:,再由垂直证明

CMCFAC5

CFFG2

△ADCs^FGC,得到---=---二—,即可求出FG的长度.

ACAD5

【详解】解：・・,在正方形ABCO中，4)=4,

/.AD=BC=4,AD//BC,ZADC=90°,

.AD_AF

,•三一五'

为BC的三等分点，MC=2BM,

22

：.CM=-BC=-AD,

33

.AD_AF_3

**CM-CF-2，

,CF_2

•・就一二，

•・,过点尸作CD的垂线，垂足为G,

：.ZADC=ZFGC=9Q°,

：.AADC^FGC,

,CFFG2FG2

..—=—=一，则ni一=一,

ACAD545

Q

解得BG=g,

故选：B.

6.A

【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得

AD1

到根据相似三角形的性质求出二=彳，再根据相似三角形的性质计算,

DE2

得到答案.

【详解】解：：VABC与AOEF是以点。为位似中心的位似图形，

:.AABCs^DEF,AB//DE,

：VABC的周长与ADEF的周长比是1:2,

.AB1

••=一，

DE2

AB//DE,

^AOB^^DOE,

.OA_AB

**OD-DE-2'

故选：A.

7.A

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.根据矩形的性质证明

△CBMs由栖和2DFsANBF,根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可.

【详解】解：如图所示，延长交于点N

・・•四边形ABCD是矩形,

AZC=ZABC=90°,AB//CD,BC=AD=3,CD=AB=4,

：./BAN+ZANB=94。,

AE.LBM,

：.ZBEN=90。,

・•・ZCBM+ZANB=90°,

：.Z.CBM=/BAN,

・•・^CBM^BAN,

.BCCM

••商一加‘

.3__£_

・・一，

4BN

4

/.BN=~,

3

u：AD//BC,

：./\ADF^ANBF,

DFAD39

BF~BN~

3

^DF=9x,贝l]5/=4x,

・•・BD=13x,

在Rt~4BD中，由勾股定理得5。=J.2+仞2=532+42=5,

・・・13x=5,

x=—5

13

故选：A.

8.C

【分析】连接A。交BE于点G,连接G尸，由正五边的性质求出/£AB=108。，由等腰三角

形的性质及三角形内角和定理可得/ABE=ZEAD=36°,然后证明AEDF%GDF（SAS）,

得出ZDEF=ZDGF=108。，证出AG=AF,则可得出AB+诙=BE;再证明,

贝噂嘿,整理得力=-x",解得小牛^（负值已舍去），则

竺=必二1,所以点尸是AE的黄金分割点，再得出1"=或上1人尸=4£,算出

AE2V5-12

BD=AE+AF=J^-^-AF,即可作答.

2

【详解】证明：如图，连接AD交座于点G,连接G/，

A

正五边形的内角和是（5-2）x180。=540。，

・•・/FED=ZCDE=ZEAB=540。+5=108°,

・・•过点。作CD的垂线，

・・・/CDF=90°,

：.ZFDE=108°-90°=18°

在R/EFD中，ZEFD=180°-18°-108°=54°,

故A选项是正确的，不符合题意；

QAE=AB,

,\ZAEB=ZABE,

ZABE=-x（180。—108。）=36。

2

・•・/ABE=ZEAD=36°，

oo

..ZBAD=108-36=72°f

ZBGA=180°-72°-36°=72°

:.AB=BG,

又・・•NEW=/AEG=36。，

:.GA=GE,

:.BA+GA=BG+GE=BE,

XZEDF=180°-90°-72°=18°,ZGDF=36°-18°=18°,

/.ZCGB=ZCBG=72°,

:.DG=DE,

在△£/）尸和aGD厂中，

ED=DG

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF

.AEDF学AGDF（SAS）,

.\ZDEF=ZDGF=108°,GF=EF

:.ZAGF=ZAFG=72°f

,\AG=AF,

:.AE+AF=BE.

・•・AB+AF=BE,

故B选项是正确的，不符合题意;

•：AB=BG,AG=AF,

.AB_BG_1

**AF-AG-

ZABG=ZGAF=36°,

・•・△ABGs△丛G,

目口AFGF

即——=——，

ABAG

VAG=AF,GF=EF,

AF2=AB2-ABXAFF

解得4尸=避二1AB（负值已舍去）,

2

，AF=J^-AE,

2

即”=红

AE2

・•・点/是的黄金分割点，

故D选项是正确的，不符合题意；

则ZBDE=ZCDE-ZCDB=108°-36°=72°,

ZBDE=ZBED,

:.BE=BD,

则5石=5G+GE=AB+AG=AE+AF,

即BD=AE+AF,

BD=AE+AF=^^~AF+AF=^^~AF,

22

故C选项不是正确的，符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质是解题的关键.

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，,

作EG〃ED交AB于点G,贝1白丝=黑=3,得出S.3c=学，证明△A£18A4CD得出

、JDBDB2

14543

\AEG=75AADC=V>证明△屏DSABEG得出S/FB=AS,GEB=7,进而即可求解.

4o92

【详解】解：如图所示，作EG〃ED交AB于点G,

/.S△/I.D„rC=-2ACxBC=30

YE是AC的中点，EG//FD

.AEAG

••正一而

：.AD=DG

'：AD=3BD,

・S.ADC==3

••S.ADB-DB一

331345

•­^=-S^=-X-XACXBC=-X12X5=—

ADC4BC4，oZ

■:EF//CD

**•^AEG^^ACD

45

,,S4AEG=WS^ADC

T

•・•E为AC的中点

•*,S.ABE=—S^ABC=15

75

q一q

°ABGE°AABEUdEG=15--=

8~8

■:EG//FD

"BFDS^BEG

、2

.o_4._±Z2_3

-V

,,MDFB~9口《EB258-2

3?7

•e•四边形ADFE的面积为SA.-SAD尸§=15-5=5

7

故答案为：四边形AD方石的面积为万.

10.4a

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，延长AE交

的延长线于点“，过点C作CM_L于点M,可证△ECHs-i£)H,可得

CH=CD=3岳,即得CG=C",得到N"=/EGC,进而得到”=:,利用勾股定理

得CM=6,又由余角性质可得NECM=NH,由三角函数得EM=4,进而即可求解，正确

作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，延长AE交OC的延长线于点H,过点。作CMLAH于点则

/CMH=NCME=9伊,

H

・・•四边形ABC。是矩形，

:・AD=BC,AD//BC,4CD=90。,

:•小ECHs&ADH,NECH=90。,

.CHEC

••一—,

DHAD

•・•点E为5c边的中点，

.ECX

••=一,

BC2

.EC_1

・•茄¥

.CH_1

・・而―/，

CH=CD=3A/13,

*/CG=35,

：.CG=CH,

：.ZH=ZEGC,

：.tan/H=tanZEGC=-,

3

.CM_2

••MHi飞'

设CM=2a,贝!JMH=3a,

在RjCMW中，CM2+MH2=CH2,

・・・（2〃）2+（3〃）2=（3拒『，

解得a=3,

：.CM=6,

•:/H+/MCH=90°,/ECM+ZMCH=9V,

:・/ECM=ZH,

：.tanZECM=tanNH=2,

3

.EM_2

**CM-3）

EM2

即nn~~T=7，

63

・•・EM=4,

CE=4EM2+CM2="=+62=2V13>

，BC=2CE=4^/13,

故答案为：4A/13.

11.4

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，由OE〃BC,

£>/〃AC,得四边形。ECF是平行四边形，DE=CF,设DE=CF=x,由△ADES/\ABC,

笠AE==2可得r小=25,即可解得答案.

EC510+x7

【详解】解：・.・D£〃5C,DF//AC,

・・・四边形是平行四边形，

；・DE=CF,

^DE=CF=x,

VBF=10,

・•・BC=BF+CF=10+x,

DE//BC,

：.AADE^ABCf

.AEDE

**AC-BC?

..AE2

EC5

.AE_2

*AC-7

解得％=4,

・•・CF=4,

故答案为:4.

53

252

【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，作AE，龙轴于E,

作A'_F_1_无轴于_F,由题意可得OB=2,OC==1,OF=2,AF=3,BC=1,CB'=2,

3

C尸=3,AABC^AA^C,由相似三角形的性质得出AE=/,再证明，求出

35

CE=3,再求出OE=EC+OC=],即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题

的关键.

【详解】解：如图，作四，无轴于£,作轴于产，

・・,点3的坐标为(-2,0),点。的坐标为(-1,0),点A的坐标为(2,-3),点笈的坐标为(1,0),

：.OB=2,OC=OB'=1,OF=2,A方=3,BC=1,CB'=2,CF=3,

由题意可得：△ABC,

AE_BC_1

AE=~,

2

,

ZACE=ZACFfZAEC=ZAFC=9Q0,

AAEC^^AFC,

EC_AE_1

CF-2?

CE=-,

・・OE=EC+OC=-

2f

13.4

【分析】本题考查了相似三角形的应用，由A3〃CD可得△AO5s«?。。，即得而=话,

据此解答即可求解，掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解题的关键.

【详解】解：・・・AB〃C。,

・•・AAOBS^COD,

AB1Q

•-•_一，

CD15

*.*CD=6cm,

.AB10

••一，

615

解得AB=4cm,

故答案为：4.

14.26+10应“0/+26

【分析】连接AD,交.EF于N,连接OC,取QV的中点连接过点M作筋

于。，交A0于点K,作MP_LOA于点P,如图所示，先证明ON=CV,再证点H在以ON

直径的圆上运动，则当点H在的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的

性质可求MK,KQ的长，由三角形的面积公式代值求解即可得到答案.

【详解】解:连接AD,交EF于N,连接OC,取ON的中点M,连接MX,过点M作MQ_L

于Q,交AO于点K,作MP_LQ4于点P,如图所示：

3

:直线y=：x-6分别与无轴、》轴相交于点A、B,

.•.点4(8,0),点3(0,-6),

.-.OB=6,OA=8,

:.AB=S尺+OB?=10,

四边形ACDO是正方形，

OD//CA,AO=AC=OD=8,OC=872,ZCOA=45°,

:.ZEDN=ZNAF,ZDEN=ZAFN,

X-.-DE=AF,

..△DEN四®W(ASA),

：.DN=AN,EN=NF,

.・•点N是AD的中点，即点N是OC的中点，

ON=NC=4>/2,

\-OHVEF,

:.ZOHN=9QP,

•・•点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在的延长线上时，点”到的距离最大,

•・・点M是QV的中点，

:.OM=MN=2y/2，

•・・MP_LOP,ZCOA=45°,

:.OP=MP=2,

贝!JAP=6,

­.•ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB^-ZAKQ,

:.ZAKQ=ZABO=NMKP,

又­.­ZAOB=ZMPK=90°,

:./\MPK^/\AOB,

MPPKMK

^A~OB~AB

2PKMK解得=°

则支

~6~76~2

“I

\'ZAKQ=ZABO,ZOAB=ZKAQ,

:./\AKQ^/\ABO,

9

AKKQ

,即

AB-OB

10-6

:.QM=KQ+MK=-+—=—,

点H到AB的最大距离为g+2后,

面积的最大值=卜0*《+2问=26+10后,

故答案为：26+10应.

【点睛】本题是四边形综合题，涉及正方形的性质、勾股定理、一次函数图象与性质、全等

三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、动点最值-辅助圆问题等知识，求出MQ的

长是解题的关键.

15.(1)见解析;

Q)见解析.

【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定

与性质、矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

(1)由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到AGFDSAGBC,由相似比变形即可得

证；

(2)由题中条件，结合相似三角形的判定得到再由相似三角形的性质得到

ZAEB^ZFAB,根据四边形ABCD是平行四边形，由矩形的判定即可得证.

【详解】(1)证明：：四边形A3。是平行四边形，

DF//BC,

：.ZGDF=ZGCB,

,/NG=NG,

：.AGFDS4GBC,

.GFDG

••一J

GBCG

：・GFCG=DGBG；

(2)AB2=BEBFf

.ABBE

,•一—,

BFAB

又•：ABE=ZABF,

AABES忑BN,

:.ZAEB=ZFAB,

■:BE^AC,

：.ZAEB=90°9

•••NBAb=90。，

,/四边形AB。是平行四边形，

...四边形ABCD是矩形.

16.(1)①图见解析；②图见解析

(2)£D=y

【分析】(1)①作已知一A4c的角平分线即可；

②先作线段AD的垂直平分线，交A3于点E,交AC于点尸，连接DE、DF,根据线段的

垂直平分线的作图和性质及AD平分/BAC,可得钻=£0=。？=酢，即四边形AEZ)户是

菱形.

CFFD4—FDFD

(2)利用菱形的性质证得△CFDS^CM,可得三=即一解方程，即

CAAB43

可求解.

【详解】(1)解：①如图所示,

②如图所示，四边形血不为所求.

:.AE//DF,AF=AE=ED=FD,

..^CFD^^CAB,

CFFD

*CA-AB?

•/AB=3,AC=4,

4—EDED

••一，

43

12

•••解得：ED=­.

【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，相似三角

形的判定与性质，解一元一次方程，熟练掌握相关尺规作图是解题关键.

17.⑴tanZACE1=；

qx

(2)y=—j(0<xW3)；

(3)当NAD尸=NACE时，△CGEs/^DAF,理由见解析

【分析】(1)过点E作EM_LAC于点M,由正方形的性质求出4E=2,由直角三角形的

性质求出EM和CM的长，则可得出答案；

(2)证明AOHGSAZMF,由相似三角形的性质得出笔=名,则可得出答案；

AFDA

AFx13

(3)由锐角三角函数的定义得出矢=3=；,求出x=2，y=l,证明AEHG和AAHG都是

等腰直角三角形，则可得出答案.

【详解】(1)解：过点E作EMLAC于点Af,

Z.CAD=45°,AE=AD—DE=3—1=2,

:.EM=AM=AEsinZCAD=2x与=0,AC=372，

CM=AC-AM=342-42=2-42,

2加=需=奈='

(2)解：•.•四边形ABC。是边长为3的正方形,

.\ZCAD=45°,

,.GH上AD,

.•.△AHG是等腰直角三角形,

：.AH=GH=y,

•.•GH上AD,ABA.AD,

.\GH//AB,

:.ADHGsaAF,

HG_PH

AF~DA

..--3-y

x3

:.y=x—xy,

%+3、7

(3)解：当NADF=NAC石时，ACGES^DAF,

理由：tanZADF=tanZACE=-,

2

.A/％_1

一~AD~3~2，

q3X-

371

•••%=孑，3=1，

2-+3

2

.\HA=GH=1,

:.EH=AD—DE—AH=1,

.•.△EHG是等腰直角三角形，

:.ZHGE=45°,

・「△AHG是等腰直角三角形，

vZAGH=45°,

:.ZAGE=ZAGH+ZHGE=90。,

,\ZCGE=ZDAF=90°.

'：ZADF=ZACE,

：.ACGEs公DAF.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾

股定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

18.(1)120°；(2)4拒；(3)③-，或..

22

【分析】(1)由矩形的性质和锐角三角函数定义，得NABD=60。，再由折叠性质得：AF=AB,

故445?是等边三角形，即可得结论；

(2)由折叠性质得：BFLAE,EF=EB,则3C=2E3,再证AABESABS,根据相似

的性质可得的长；

(3)分类讨论且结合作图，当点E在2、C之间时，得DE=AD=BC=3*运用勾股定理

得CE={DE。-CD。=&.,BE=?_布)n,tanZBAE=；当E与C重合时,

BE=BC=3n,tanZBAE=—=-,即可作答.

AB2

【详解】解：(1),四边形ABCD是矩形,

AD=BC,ZBAD=90°,

VBC=y/3AB,

AD=也AB,

4n-

tmZABD=——=6

AB

ZABD=6Q°,

由折叠的性质得：AF=AB,

-e•AAS/是等边三角形，

ZAFB=60°,

,ZAFD=180O-ZAFB=120°；

(2)由折叠的性质得：BFLAE,EF=EB,

，ZBGE=9Q°,

•・,EF=EC,

・•.EF=EC=EB,

BC=2EB,

•・・四边形ABCD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=49

•・,ZBAE+ZAEB=90°,/CBD+ZAEB=90°,

・・./CBD=/BAE,

•・,ZBCD=ZABE,

△ABECy^)^BCD,

:.包=里,即4"J

BCCD^=—

BC=4y/2(负值已舍去)，

即BC的长为4点；

(3)设AB=2〃，BC=3n,

分两种情况：当点£在&C之间时,

由折叠的性质得：ZAEC'=ZAEC,

'：ZBEC=ZDEC,

ZAEB=ZAED,

•/AD//BC,

ZAEB=ZDAE,

,ZDAE=ZAED,

DE-AD=BC=3n,

在中,CE=dDE2-CD2=&i，BE=（3-V5）n,

tanZ.BAE=-——

2

当E与C重合时，BE=BC=3n,

：.tanZBAE=-=-

AB2

综上所述，的正切值为一或，

【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定

与性质，折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

40

19.⑴:——s

9

⑵V

（3）5=-|?-|r+48（0</<8）

39

（4”=——

8

【分析】(1)根据菱形ABCD中，AS=10cm,BD=16cm.动点尸从点8出发,速度为1cm/s；

同时，线段建V速度为2cm/s,设运动时间为3则3P=rcm,DN=2tcm,

BN=BD-DN=(16-2t)cm,根据硒〃AO得到△班NSEA。，列出比例式网=空

BDAD

当第=硒时，四边形是平行四边形，即可证PN〃EB；

(2)根据硒〃A。，得WE=NA®E>,根据点E在一ADB的平分线上，得到

ZADE=ZNDE,于是得到ZNED=/NDE即EN=DN,建立方程2r=10-』/,解答即可；

4

(3)连接AC与。8交于点O,求得04=OC=1AB?-OB?=6(cm),过点N作GH_L8C于

点G,交AD于点H,则G”为菱形的高，根据BC.GH=；AC.3。，就可以得到

1x12x16BNGN48—6%

248,根据△5QVS3MV,得到黑=黑，求得GN="1，后根据

GH=------.......=—DNHN5

486f

S=|MN-GN+1BPGN=1xJx(10+r)_g/+48解答即可.

(4)连接AC与交于点O,设MV'与交于点。，求得cos/OBC=^=J得到

BC5

464—2

BQ=8NCOSNOBC=M(16-2。==一，证明NQ=N'Q,得MB=&V',根据三角形中位

线定理，得BQ二1MN=5,故5=上64—广8/，解得才=芸39.

25o

【详解】(1)解：,・•菱形ABCD中，4B=10cm,BD=16cm.动点尸从点3出发，速度为

1cm/s；同时，线段A/N速度为2cm/s,

设运动时间为3则8P=/cm,DN=2tcm,BN-BD-DN=(16-2z)cm,

AB=BC=CD=DA=Wcm,

-EN//AD,

：.^BEN^BAD,

.BNEN

・・茄一茄‘

.16-2/_EN

••一，

1610

解得EN=IO-3,

4

当=时，四边形RVPB是平行四边形，即可证PN〃EB,

于是，％=10-

4

解得/=《,

40

故当时，PN//EB,

(2)解.・YENHAD,

：.ZADE=ZNED,

•・•点E在ZADB的平分线上,

・•・ZADE=ZNDE,

：.ZNED=Z.NDE,

：.EN=DN,

2z=10—t,

4

解得"音40，

故当/=1S时，点E在/反汨的平分线上.

（3）解：连接AC与。8交于点O,

:菱形A2CZ）中，AB=10cm,BD=16cm.

ZAO8=90°,OB=OD=-BD=Scm,

2

/.OA=OC=y/AB2-OB2=6（cm）,

过点N作GHLBC于点G,交AD于点”，

则G/f为菱形的高，

•?BC-GH=-AC>BD,

2

•/BC//AD,

4BGNS&DHN,

.BNGN

•・而一而'

16—2,GN

2t

解得GN="4一8-6/

5

48-67

：.S=-MN-GN+-BP-GN=-xx(10+?)

2225

=--t2-3+48.

55

(4)解：连接AC与。8交于点O,设MV'与8C交于点°,

:菱形ABC。中，AB=10cm,BD=16cm.

ZAOB=90°,OB=OD=-BD=8cm,

2

OA=OC=y/AB2-OB2=6(cm),

/.cosZOBC=—^~,

BC5

648f

：.BQ=BNcosZOBC=1(16-2f)=J

根据题意，得NQ=N'Q