2025年中考数学总复习《一次函数中等腰三角形存在性问题》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《一次函数中等腰三角形存在性问题》专项测试卷

(带答案)

学校:班级：姓名：考号：

4

1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=1x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,且与正比例函数y-%

3

的图象交点为C.

(1)点3的坐标为；

(2)求△20C的面积；

(3)在y轴上求一点P,使△POC是以0C为腰的等腰三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐

标.

2.如图，直线＞=丘+6(ZW0)与坐标轴分别交于A、8两点，04=8,。8=6,点M(4,m)在直线上，动点P

从。点出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动.

(1)A点的坐标为；8点的坐标为；

(2)直线A8的函数解析式；

(3)设点尸的运动时间为t秒(0W/W4),/XB%的面积为S,求S与f之间的函数关系式：并求出当S=8时

点P的坐标；

(4)x轴正半轴上是否存在一点P,使△0PM为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若

不存在，请说明理由.

(2)一次函数中面积相关问题训练

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3.如图，直线y=-联+4与坐标轴相交于A、B两点，将△A3。沿过点A的直线折叠，使点B与x轴上的点C重

合，折痕为4D

(1)求点A、B的坐标；

(2)求折痕所在直线对应的函数表达式；

(3)若点P为直线上的一点，且S"BO=ZSAABO，求点尸的坐标.

4.如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点8在x轴上，已知点A的坐标是(0,4),点8的坐

标是(8,0).

(1)求对角线A8所在直线的函数关系式；

(2)对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点连接AM,求线段AM的长；

(3)在(2)的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，当△公!〃的面积与长方形AO8C的面积相等时，求

点尸的坐标.

(3)一次函数中角度相关问题训练

5.如图1,已知直线A：y=fcv+4交无轴于A(4,0),交y轴于艮

(1)直接写出左的值为；8点坐标为

第2页共19页

⑵如图2,过C(-2,0)点的直线"：y与AB交于点p，点Q为射线以上一动点，若点。到直

线CP的距离为2而，求点Q的横坐标t的值；

(3)如图3,已知点M(-1,0),点N(5m,3〃什2)为直线AB右侧一点，且满足/A8N,求点N

坐标.

A\xA\汽\OA\x

6.一次函数》=履+。的图象经过点A(-2,0)、B(-l,1),且和一次函数y=-2x+〃的图象交于点C,如图所

(1)填空：不等式fci+bvo的解集是;

(2)若不等式履+/?>-21+〃的解集是x>l,求点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，点尸是直线y=-2x+〃上一动点.且在点C上方，当NB4C=15°时，求点尸的坐标.

y=kx+b

O、力

y=—2x+a

(4)一次函数中平行四边形存在性问题训练

7.如图，已知函数>=一寺％+b的图象与X轴、y轴分别交于点A、B,与函数>=%的图象交于点点E的横坐

标为3.

(1)求点A的坐标；

(2)在尤轴上有一点尸(a,0),过点尸作无轴的垂线，分别交函数y=—gx+6和y=x的图象于点C、D,若

第3页共19页

以点3、0、C、。为顶点的四边形为平行四边形，求a的值.

8.如图，已知直线＞=依+少经过A(6,0)、B(0,3)两点.

(1)求直线y=fcr+6的解析式；

(2)若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上.

①求点C和点D的坐标；

②若点P在y轴上，Q在直线A3上，是否存在以C、D、P、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写

出所有满足条件的点0坐标，否则说明理由.

(5)一次函数中菱形存在性问题训练

9.已知：在平面直角坐标系中，直线/1：y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、2两点，直线/2经过点A,与y轴交

于点C(0,-4).

(1)求直线/2的解析式；

(2)如图1,点P为直线人上的一个动点，若△R1C的面积等于9时，请求出点尸的坐标；

(3)如图2,将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△ALBICL请问在平面内是否存在点。，使得以

4、Ci、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点。的坐标.

®i图2备用图

10.如图，在平面直角坐标系中，直线A：产-3+6分别与x轴、y轴交于点3、C,且与直线，2：交于点A.

(1)求出点A的坐标.

(2)若。是线段OA上的点，且△C。。的面积为12,求直线C。的函数表达式.

(3)在(2)的条件下，设尸是射线CD上的点，在平面内是否存在点。，使以。、C、P、0为顶点的四边形

是菱形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(6)一次函数中全等三角形和相似三角形存在性问题

11.如图，直线A8分别与两坐标轴交于点A(4,0).B(0,8),点C的坐标为(2,0).

(1)求直线的解析式；

(2)在线段AB上有一动点P.

①过点P分别作无，y轴的垂线，垂足分别为点E,F,若矩形OEPE的面积为6,求点尸的坐标.

②连接CP,是否存在点尸，使△ACP与AAOB相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

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12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/1：>=尤+2与x轴交于点A,直线八：y=3x-6与x轴交于点。，与人

相交于点C.

(1)求点D的坐标；

(2)在y轴上一点E,若S^ACE=S^ACD,求点E的坐标；

(3)直线A上一点尸(1,3),平面内一点「若以A、P、尸为顶点的三角形与△APO全等，求点尸的坐标.

(7)一次函数线段和差及周长最值问题

13.如图，长方形OA8C,是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上,

04=10,OC=6,在A8上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作夕点.

(1)求8'点的坐标；

(2)求折痕CM所在直线的表达式；

(3)求折痕CM上是否存在一点P,使尸。+P9最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由.

14.如图，已知一次函数y=2x+4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点3,点M为线段AB的中点.

(1)点A/的坐标为；

(2)y轴上有一动点。，连接QM,QA,求周长的最小值及此时点。的坐标；

(3)在(2)的条件下，当△QMA的周长最小时，若x轴上有一点R过点/作直线轴，交直线于点

G,交直线A8于点“，若G”的长为3,求点尸的坐标.

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备用图

参考答案

1.【解答】解：(1)对于y=0+2,当x=0时，尸2,即点2(0,2)

故答案为：(0,2)；

24

--

(2)联立两个函数表达式得:33则x=3,即点C(3,4)

11

则△BOC的面积=1xOBXxc=2X2X3=3；

(3)设点P(0,y)

由点尸、0、C的坐标得，2。2=/,PC2=9+(y-4)2,CO2=25

则PO=CO^PC=OC

即25=9+(y-4)2或/=25,则》=±5或0(舍去)或8

即点P(0,5)或(0,-5)或(0,8).

2.【解答】解：(1):直线y=Ax+b(后0)与坐标轴分别交于A、B两点，04=8,。2=6

AA(8,0),B(0,6)

故答案为：(8,0)；(0,6)；

(2)把A(8,0),B(0,6)代入y=fcc+b(笈#0),得：

(b=6

l8fc+/?=0

解得：卜=一［

3=6

.*.y=—4%+6；

(3)由题意，得：0P=2t

当0WfW4时，点P在线段。4上

：.AP=8-2t

11

ABB4的面积为S=2ap-OB=1x6(8-2t)=-6t+24

当S=8时，得：-6什24=8

8

得

解--

3

。产163

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(竽，0).

(4)尤轴正半轴上存在一点P,使△OPM为等腰三角形；理由如下:

-：y=-^x+6,把A/(4,M,代入得：y=—充义4+6=3

：.M(4,3)

.,.OM=V32+42=5

设尸⑵,0)(AO)

当△OPM为等腰三角形时，分三种情况：

①0P=0M=5,则：P(5,0)；

②当OP=PM时，贝I：(2r)2=(2r-3)2+42

解得：1=称

；.P偿，0)；

③当时，过点轴，贝ij：ON=4,OP=2ON=8

：.P(8,0)；

综上，x轴正半轴上存在一点P,使△OPM为等腰三角形；P(5,0),P(8,0),P偿，0).

4

3.【解答】解：(1)对于y=-@x+4,当x=0时，y=4,令y=0,则x=3

即点A、8的坐标分别为：(3,0)、(0,4),则A8=5；

(2)设点。(0,y)

由题意得：CD=BD,AC^AB=5,则0c=2,即点C(-2,0)

,:CD=BD,贝Uy2+4=(j-4)2,贝Uy=怖

3

即点D(0,-)

2

设直线的表达式为：y=kx+l

将点A的坐标代入上式得：0=34+宗则仁—义

故直线AD的表达式为：y=—2%+］；

(3)设点尸(羽-11x+12)

2121

9：SAPBO=及枷0,即一xOBX\x\=2x2xAOXOB

则点尸59-0Z)或(QV，1一5)・

2424

4.【解答】解：(1)设直线AB的解析式为：y=kx+b

第8页共19页

•・•点A的坐标是（0,4）,点3的坐标是（8,0）,且A、5两点都在直线A5上

.(b=4

…抽+匕=0

(b=4

解得k=~l

对角线AB所在直线的函数关系式为：y=-1x+4；

（2）:点A的坐标是（0,4）,点8的坐标是（8,0）

；.。4=4,02=8

,:MN是AB的垂直平分线

在RtzXAOM中，由勾股定理得:

.•.42+(8-AM)2=AM2

.\AM=5；

（3）长方形A05C的面积为：4X8=32,设点尸的纵坐标为y

当点尸在第二象限时

由S^BMP-S/^AMB=S^PAM=S矩形A03C

11

A-x5x|y|--x5x4=32

2⑶2

解得：y=

当尸熟寸，£=-1+4

解得：x=—竽

当点P在第四象限时

同理可矢口：S/\BMP+S/\AMB=S^PAM=S矩形AOBC

11

—Kx5xy+Kx5x4=32

22

44

解得：y=-

亏

当〉=—昔时，—背=—9+4

解得：%=苧

点尸的坐标为：（詈，-£）或（-*勤.

5.【解答】解：（1）:直线止y=fcc+4交无轴于A（4,0）

：.0=4k+4

:・k=-1

••y=-x+4,当x=0时，y=4

：.B（0,4）；

故答案为：7,（0,4）；

（2）,・,过。（-2,0）点的直线%：y=★%+九与A3交于点尸

/.0=x(—2)+n

第9页共19页

.-.y=/1+1

联立卜=b+l

ly=—%+4

解得:(y：2

：.P(2,2)

过点尸作PEJ_x轴于点E,贝I：PE=2

VCC-2,0)

；.OC=2

：.CE=4,CP=V42+22=2V5

1/点。为射线PA上一动点，点。到直线CP的距离为2代，Q的横坐标为t

则：QG,-f+4)

过点。作。N,CP于点N,QMLx轴交CP于点如图2

图2

贝ij：M(t,1t+1),QN=2V5,QM//PE,NQNM=90°

13

:・NM=NCPE,QM=^t+1-(-t+4)=|t-3

9：ZQNM=ZPEC=90°

:・APECs丛MNQ

.QMQN|532V5

・・—=—,BP：—尸=----

CPCE2V54

解得：”学

(3)在尤轴上取一点P(l,0),连接BP,过点尸作BPLPQ,交BN于点Q,过点。作于点R,如图

图3

贝ij：ZBOP=ZBPQ=ZQRP=9Q°

：.ZPBO=ZQPR=900-ZOPB

,：A(4,0),B(0,4)

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：.0A=0B=4

：.ZOBA=ZOAB=45°

9：M(-1,0)

：.OM=OP=1

•；BO上PM

：.BM=BP

：.ZOBP=ZOBM=NABN

：.NOBP+/PBA=ZABN+ZPBA

即：ZPBQ=ZOBA=45°

：.ZPBQ=ZPQB=45°

：.PB=PQ

又/BOP=/QRP=9U°,ZPBO=ZQPR

：.ABOP^APRQ

：.PR=OB=4,RQ=OP=1

：.OR=5

：.Q(5,1)

设直线BQ的解析式为：y=ax+b

则:{:二产

解得：卜=_g

3=4

y=—F%+4

■:N(5m,3m+2)在直线5Q上

3

3m+2=一1x5m+4

m=

：.N(^,3).

6.【解答】解：(1)..•一次函数的图象与无轴交于点A(-2,0)

不等式fcv+b<0的解集是尤<-2

故答案为尤<-2.

(2)一次函数〉=履+6的图象经过点A(-2,0),8(-1,1)

.(—2k+b=0

•Lk+b=1

.(k=1

**tb=2

・•・解析式为：y=x+2

•・•一次函数的图象和一次函数y=-2x+o的图象交于点C

且不等式kx+b>-2x+〃的解集是x>l

・・・结合图象可得，点。的横坐标为1

当％=1时，y=x+2=l+2=3

所以点。的坐标为(1,3).

(3)如图，设直线AC与y轴交于点。，直线必与y轴交于点E

•••一次函数y=-2x+〃的图象经过点C(1,3)

・・・3=-2X1+〃

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••〃=5

・••函数解析式为：y=-2i+5

对于一次函数y=x+2

当％=0时，y=2

・••点D的坐标为(0,2)

：.OD=2

\9OA=2

：.OA=OD

：.ZDAO=45°

又・・・NB4C=15°

AZPAO=ZDAO+ZPAC=45°+15°=60°

JZAEO=30°

.\AE=2OA=2X2=4

在RtZkEAO中，由勾股定理得

0E=y/AE2-OA2=V42-22=2百

・••点E的坐标为(0,2V3)

设直线AE的解析式为：y=rrvc+n

把A(-2,0),E(0,2V3)两点坐标代入上式得

(—2m+n=0

tn=2V3

.Cm=V3

"In=2V3

，解析式为：y=V3x+2V3

解方程组得

(y=V3x+2V3

.卜=16-9A/3

"(y=-27+18V3

故点尸的坐标为(16—9/，-27+18V3).

7.【解答】解：(1)把x=3代入y=x,得：y=3,即E(3,3)

把E坐标代入＞=—%+b中，得：b=4,即函数解析式为y=—%+4

令y=0,得到x=12

贝IJA(12,0)；

(2)直线AB解析式为y=—^.r+4

由题意可知，C、。的横坐标为。

.1

「・C(〃，—gi+4),D(a,a)

14

.**CD=a-(—可［+4)=可4-4

若以点8、。、。、。为顶点的四边形为平行四边形

4

：.CD=OB=4,即号〃一4|=4

解得：a=6.

8.【解答】解:(1)将A(6,0),B(0,3)代入y=fci+Z?得:

^k+b=0；解得:k=-

b=3

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，直线AB的表达式为y=—^x+3；

(2)①•；NBOC=NBCD=NCED=90°

：.Z0CB+ZDCE=9Q°,ZDCE+ZCDE=90°

：.ZBCO=ZCDE.

在△30。和△CED中

NBOC=Z.CED

乙BCO=乙CDE

BC=CD

:•△BOCQ4CED（A4S）

：・0C=DE,B0=CE=3.

设,0C=DE=m,则点。的坐标为（m+3,m）

•・•点。在直线AB上

m=-2（m+3）+3

・・m=1

.,.点C的坐标为（1,0）,点。的坐标为（4,1）；

②存在，设点。的坐标为（小-如3）.

分两种情况考虑

当CD为边时

:点C的坐标为（1,0）,点。的坐标为（4,1）,点P的横坐标为0

.'.0-n—4-1或w-0=4-1

.,.n=-3或n=3

39

.•.点。的坐标为（3,3）或（-3,-）；

当C。为对角线时

:点C的坐标为（1,0）,点。的坐标为（4,1）,点P的横坐标为0

w+0=l+4

•«n=5

1

点。〃的坐标为（5,-）.

391

综上所述：存在以C、D、P、。为顶点的四边形是平行四边形，点。的坐标为（3,5）或（-3,3）或（5,

9.【解答】解：（1）设直线/2的解析式>=日+。

:直线A：y=-x+2与无轴，y轴分别交于A、B两点

AA（2,0）,B（0,2）

:直线72经过点A,与y轴交于点C（0,-4）

.（2k+b=0

tb=—4

.（k—2

"tb=-4

直线/2的解析式：y=2x-4；

（2）由题意可知，BC=6

设点P的横坐标为m

第13页共19页

11

/.S/^PAC-2*kA-xp\,BC—引2-〃z|X6=9

•*HI~~~1回^m5.

：.P(-1,3)或尸(5,-3)；

(3)设将AABC沿着无轴平移/个单位长度得到△4B1C1

：.Ai(2-t,0)

.".CCi=t,AiCi=AC=2V5

设。点坐标为(p,q)

①当CCi为以4、Ci、C、。为顶点的菱形边长时，有两种情况：

当CCi=4Ci=2近时,即f=2西

此时CC1〃4D,即点。在x轴上

且A1D=A1C1=2病

...点。与点A重合，即。(2,0).

当CCi=AiC=t时

VA1(2-t,0),C(0,-4)

(-4)2+(2-/)2=户

解得t=5

此时CCi〃A。，即点〃在无轴上

且4O=CCi=5

：.D(-8,0).

②当CCi为以4、Ci、C、。为顶点的菱形对角线时，A1C1=A1C=2V5,即点Ai在CC1的垂直平分线上，且

Ai,。关于CQ对称

当△ABC向左一移动，Ai(2-t,0),C(0,-4),Ci(-r,-4)

(-4)2+(2-/)2=(2V5)2

解得f=4或t=0(舍)

当△ABC向右移动时，Ai(2+30),C(0,-4),Ci(t,-4)

：.(-4)2+(2+02=(2V5)2

解得1=-4(舍)或t=0(舍)

AA1(-2,0)

：.D(-2,-8).

综上所述，存在点。，使得以4、Cl、C、。为顶点的四边形是菱形，点。的坐标为(2,0),(-8,0),(-2,

-8).

io.【解答】解：(1)解方程组：2"+6,得七二?

1

丫=尹

AA(6,3)；

1

(2)设D(x,-%)

2

•••△CO。的面积为12

・••一x6X%=12

2

解得：x=4

：.D(4,2)

设直线CD的函数表达式是

把C(0,6),0(4,2)代入得：］?=巳，〃，解得

・•・直线CD解析式为y=-x+6；

第14页共

1

(3)在直线/i：y=-2,t+6中，当x=0时，y—6

：.C(0,6)

存在点尸，使以0、c、P、。为顶点的四边形是菱形

如图所示，分三种情况考虑：

(z)当四边形OP1Q1C为菱形时，由/COPi=90°,得到四边形OP10C为正方形，止匕时OPi=OC=6,即Pi

(6,0)；

GD当四边形OP2c0为菱形时，由C坐标为(0,6),得到P2纵坐标为3

把y=3代入直线CP的解析式y=-x+6中，可得3=-尤+6,解得x=3,此时P2(3,3)；

(沆)当四边形。。3P3c为菱形时，则有0。3=。?=。尸3=尸3。3=6,设P3(X,-X+6)

；./+(-x+6-6)2=62,解得彳=3近或彳=-3位(舍去)，此时P3(3V2,-3^2+6)；

综上可知存在满足条件的点的尸，其坐标为(6,0)或(3,3)或(3V2,-3V2+6).

11.【解答】解：(1)设直线的解析式为y=fcv+b,如图1：

=o

依题意,r=v

.(k=-2

・力=-2x+8；

(2)①设动点尸(x,-2x+8),则PE=x,PF=-2x+8

S^OEPF=PE*PF=x(-2x+8)=6

=X2=3;

经检验Xl=l,X2=3都符合题意

・•・点尸(1,6)或(3,2)；

②存在，分两种情况

第一种：CP//OB

：.AACP^AAOB

而点。的坐标为(2,0)

・・・点尸(2,4)；

第二种CP_LA8

VZAPC=ZAOB=90°,ZPAC=ZBAO

：.AAPC^AAOB

.APAC

0A~AB

.AP2

・・4―V42+82

：.AP=等

如图2,过点P作尸轴，垂足为“

第15页共19页

J.PH//OB

：.△AP”S/\A5。

.PHAPAH

OB~AB~OA

2V5

PHMAH

-8・475.4

42

,""=I，AH=g

：.OH=OA-AH=^

-184

**•点P

184

・••点P的坐标为(2,4)或点尸(Y，-).

12.【解答】解：(1),・•直线/2：y=3x-6与x轴交于点。

・••令y=0,贝！)3%-6=0

••x~~2

：.D(2,0)；

(2)如图1

;•直线A：y=x+2与x轴交于点A

・••令y=0.

**«x+2—0

••x^~-2

(-2,0)

由(1)知，D(2,0)

：.AD=4

联立直线/I,/2的解析式得，P=：+2

(y=3%—6

解得，

：.C(4,6)

11

ASAACD=2A£)・|yc|=qx4X6=12

S△ACE=S^ACD

SAACE=12

直线/i与y轴的交点记作点B

：.B(0,2)

第16页共19页

设点E(0,M

：.BE=\m-2|

11

SMCE--^E,\XC-XA\—彳依-2|X|4+2|=3防-2|=12

'.m--2或m—6

.•.点E(0,-2)或(0,6)；

(3)如图2

①当点尸在直线/1上方时

•.•以A、P、尸为顶点的三角形与△AP。全等

I、当△AP尸丝时，连接。尸，BD

由(2)知，B(0,2)

由(1)知，A(-2,0),D(2,0)

：.OB=OA=OD

：.ZABO^ZDBO^45°

：.ZABZ)=90°

C.DBLh

,：AAPF^AAPD

:.PF=PD,AF^AD

直线h是线段OF的垂直平分线

...点。，尸关于直线/1对称

：.DF±h

尸过点2,且点8是。F的中点

.*.F(-2,4)

II、当时

：.PF=AD,ZAPF=APAD

：.PF//AD

;点D(2,0),A(-2,0)

点D向左平移4个单位

二点P向左平移4个单位得，F(1-4,3)

：.F(-3,3)

②当点尸在直线/1下方时

•."△B4F'^AAP£)

由①n知，AB4P0Z\AP£)

.•.△B4F^AE4F'

：.AF=AF',PF=PF'

：.点F与点尸关于直线Zi对称

：.FF'M\

VDFX/i

：.FF'//DF

而点F(-2,4)先向左平移一个单位，再向下平移一个单位

：.D(2,0),向左平移1个单位，再向下平移一个单位得广(2-1,0-1)

：.F'(1,-1)

当点尸与点P重合时，符合题意，即F(2,0)

即：点尸的坐标为(-3,3)或(-2,4)或(1,-1)或(2,0).

13.【解答】解：(1)：四边形OA8C是长方形，。4=10

：.BC=OA=10

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•「△CBM沿CM翻折

：.B'C=BC=10

在RtAB'OC中，B'C=10,OC=6

：.B'O=yjB'C2-OC2=8

：.B'(8,0)；

(2)设AM=x,则AM=6-%

VOA=10,B'0=8

：.B'A=2

•••△CBM沿CM翻折

：.B'M=BM=6-x

在RtZXABM中，B'^AM2=B'M2

22+X1=(6-x)2M

8

-A

301Bz

8

：.M(10,-)

3

g

设CM所在直线的解析式为y=fcv+。，将C(0,6)、M(10,-)代入得:

(6=b

8

至=10k+b

I。

解得：卜=_§

(6=6

.,.CM所在直线的解析式为y=-1x+6；

(3)折痕CM上存在一点P,使PO+PB最小,连接OB,OB与CM交点即为所求点P,连接如图