2025年中考数学总复习《圆中相似三角形》专项检测卷及答案

2025年中考数学总复习《圆中相似三角形》专项检测卷及答案

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1.已知AD为。。的直径，BC为。。的切线，切点为M,分别过A,D两点作

BC的垂线，垂足分别为B,C,AD的延长线与BC相交于点E.

(1)求证：△ABMs^MCD；

(2)若AD=8,AB=5,求ME的长.

2.如图AB是。O的直径，PA与。O相切于点A,BP与。O相交于点D,C

为。O上的一点，分别连接CB、CD,

ZBCD=60°.

(1)求NABD的度数；

(2)若AB=6,求PD的长度.

3.如图，AD是AABC的外接圆。O的直径，点P在BC延长线上，且满足

ZPAC=ZB.

(1)求证：PA是。O的切线；

(2)弦CELAD交AB于点F,若AF・AB=12,求AC的长.

B

D

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4.如图所示，＜30的半径为4,点A是。。上一点，直线1过点A；P是上

的一个动点(不与点A重合)，过点P作PBL1于点B,交。。于点E,直

径PD延长线交直线1于点F,点A是废的中

(1)求证：直线1是。0的切线；(oX/\

(2)若PA=6,求PB的长.\//

5.如图，在△ABC中，AB=BC,以AB为直径的。。交BC于点D,交AC于

点F,过点C作CE〃AB,与过点A的切线相交于点E,连接AD.

(1)求证：AD=AE；B

(2)若AB=6,AC=4,求AE的长.//\\

6.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，AD和过点C的切线互相垂直,

垂足为D,且交。。于点E.连接0C,BE,相交于点F.

(1)求证：EF=BF；

(2)若DC=4,DE=2,求直径AB的长.n

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7.如图，四边形ABCD内接于。O,NBAD=90。，点E在BC的延长线上，且

ZDEC=ZBAC.

(1)求证：DE是。。的切线；，

(2)若AC〃DE,当AB=8,CE=2时，求AC的长.

8.如图，AB是。M的直径，BC是。M的切线，切点为B,C是BC上(除B

点外)的任意一点，连接CM交。M于点G,过点C作DCLBC交BG的延

长线于点D,连接AG并延长交BC于点E.

(1)求证：AABEs^BCD；

A

(2)若MB=BE=1,求CD的长度.

9.如图，P是。0外的一点，PA、PB是。0的两条切线，A、B是切点，P0交

AB于点F,延长B0交。0于点C,交PA的延长交于点Q,连结AC.

(1)求证：AC//PO；

(2)设D为PB的中点，QD交AB于点E,若。。的半径为3,CQ=2,求处的

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10.如图，AB是。O的直径，AC=BC.E是OB的中点，连接CE并延长到点F,

使EF=CE.连接AF交。O于点D,连接BD,BF.

(1)求证：直线BF是的切线;

(2)若OB=2,求BD的长.

11.已知：AB为。O的直径，延长AB到点P,过点P作圆O的切线，切点为

C,连接AC,且AC=CP.

(1)求NP的度数；

(2)若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E,且DE・DC=20,求。O

的面积.(兀取3.14)

O/E/Bp

12.如图，AG是NHAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的。。交AG

于点D,过点D作AH的垂线，垂足为点C,交AF于点B.

(1)求证：直线BC是。。的切线；

(2)若AC=2CD,设。。的半径为r,求BD的长度.

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13.如图，CD是。0的切线，点C在直径AB的延长线上.

(1)求证：ZCAD=ZBDC；

（2）若BD=2AD,AC=3,求CD的长.

3

24.如图，点P是。O的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M为金上一个

动点(不与A,B重合)，射线PM与。0交于点N(不与M重合).

(1)当M在什么位置时，AMAB的面积最大，并求出这个最大值；

(2)求证：△PANs^PMB.

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15.如图，AB是。0的直径，点E为线段OB上一点(不与0,B重合)，作

ECXOB,交。0于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,

作AFLPC于点F,连接CB.

(1)求证：AC平分NFAB；

(2)求证：BC2=CE«CP；

(3)当AB=4点且空=旦时，求劣弧俞的长度.

CP4

16.如图，已知BCLAC,圆心0在AC上，点M与点C分别是AC与。。的

交点，点D是MB与。0的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且胆=

AP

AM

A01

(1)求证：PD是。0的切线；

(2)若AD=12,AM=MC,求坦的值.

MD

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参考答案

1•【解答】（1）证明：..2口为圆。的切线，

AZAMD=90°,

VZBMC=180°,

.*.Z2+Z3=90°,

VZABM=ZMCD=90°,

/.Z2+Zl=90°,

.\Z1=Z3,

则4ABM^AMCD；

(2)解：连接OM,

•；BC为圆O的切线,

AOMXBC,

VABXBC,

即AB_OM

sinZE=—=—-

AEOEAO+OEOE

：AD=8,AB=5,

5_4即OE=16,

4+OEOE

根据勾股定理得：ME=、/O62~QM2=、j]g22=4A/15,

2.【解答】解：（1）方法一：如图1,连接AD.

••,BA是。O直径，

.,.ZBDA=90°.

,•*BD=BD-

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.*.ZBAD=ZC=60°.

/.ZABD=90°-ZBAD=90°-60°=30°.

方法二：如图2,连接DA、0D,则NBOD=2NC=2x60o=120。.

VOB=OD,

/.ZOBD=ZODB=1(180°-120°)=30°.

2

即NABD=30°.

(2)如图1,：AP是。。的切线，

.*.ZBAP=90o.

在RtABAD中,ZABD=30°,

图1

DA=—BA=—x6=3.

22

BD=IRDA=3«.

在RtABAP中，VcosZABD=^-,

PB

cos30°=-^-=^-^-.

PB2

.•.BP=4«.

/.PD=BP-BD=4近-3行证.图2

3.【解答】(1)：AD是。O的直径

/.ZACD=90°；

.*.ZCAD+ZD=90°

VZPAC=ZPBA,ZD=ZPBA,

.*.ZCAD+ZPAC=90°,

/.ZPAD=90°,

APAXAD,

•.•点A在。O上,

...PA是。O的切线

(2)VCF±AD,

/.ZACF+ZCAD=90°,

VZCAD+ZD=90°,

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.*.ZD=ZACF,

/.ZB=ZACF,

,?ZBAC=ZCAF,

.,.△ABC^AACF,

•••A-F=--AC,

ACAB

.\AC2=AF»AB

VAF»AB=12,

.*.AC2=12,

•,.AC=2«.

4.【解答】(1)证明：连接DE,OA.

VPD是直径，

ZDEP=90°,

VPBXFB,

ZDEP=ZFBP,

.•.DE〃BF,

VAD=AE，

AOAXDE,

.*.OA±BF,

・•.直线1是。O的切线.

(2)解：作OHLPA于H.

VOA=OP,OH±PA,

.*.AH=PH=3,

VOA/7PB,

NOAH=NAPB,

VZAHO=ZABP=90°,

AAAOH^APAB,

•OA=AH

,*PAPB;

•••4_―3,

6PB

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.\PB=1.

2

5.【解答】(1)证明：：AE与。O相切，AB是。。的直径,

/.ZBAE=90°,ZADB=90°,

VCE//AB,

/.ZE=90°,

ZE=ZADB,

♦在AABC中，AB=BC,

ZBAC=ZBCA,

VZBAC+ZEAC=90°,ZACE+ZEAC=90°,

/.ZBAC=ZACE,

ZBCA=ZACE,

XVAC=AC,

AAADC^AAEC(AAS),

.*.AD=AE；

⑵解：设AE=AD=x,CE=CD=y,

则BD=(6-y),

,/AAEC和^ADB为直角三角形，

AE2+CE2=AC2,AD2+BD2=AB2,

AB=6,AC=4,AE=AD=x,CE=CD=y,BD=(6-y)代入，

解得：y=A,

33

即AE的长为包1

3

6.【解答】(1)证明：VOCXCD,ADXCD,

...OC〃AD,ZOCD=90°,

/.ZOFE=ZOCD=90°,

VOB=OE,

，EF=BF；

(2)•「.♦AB为。。的直径，

ZAEB=90°,

第io页共20页

VZOCD=ZCFE=90°,

・•.四边形EFCD是矩形，

，EF=CD,DE=CF,

VDC=4,DE=2,

.•.EF=4,CF=2,

设＜30的为r,

VZOFB=90°,

.*.OB2=OF2+BF2,

即F二(r-2)2+42,

解得，r=5,

AB=2r=10,

即直径AB的长是10.

7.【解答】解：(1)如图，

连接BD,VZBAD=90°,

・•.点。必在BD上，即：BD是直径，

/.ZBCD=90°,

.,.ZDEC+ZCDE=90°,

ZDEC=ZBAC,

/.ZBAC+ZCDE=90°,

VZBAC=ZBDC,

/.ZBDC+ZCDE=90°,

AZBDE=90°,即：BD±DE,

•点D在。O上,

.••DE是的切线；

(2)VDE//AC,

ZBDE=90°,

.,.ZBFC=90°,

/.CB=AB=8,AF=CF=1AC,

2

VZCDE+ZBDC=90°,ZBDC+ZCBD=90°,

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ZCDE=ZCBD,

VZDCE=ZBCD=90°,

.,.△BCD^ADCE,

•BCCD

•百五，

•8CD

••-------，

CD2

.•.CD=4,

在RtABCD中，BD=^BC2+CD2=4A/5

同理：ACEDsaBCD,

•CFCD

•CF4

…铲砒，

...CF=8遥,

5_

.*.AC=2AF=A^5.

5

8.【解答】（1）证明：..力©为。M切线

/.ZABC=90°

VDC±BC

/.ZBCD=90°

/.ZABC=ZBCD

VAB是。M的直径

/.ZAGB=90°

即：BG±AE

/.ZCBD=ZA

AAABE^ABCD

（2）解：过点G作GHLBC于H

VMB=BE=1

.\AB=2

AAE=VAB2+BE2=V5

由（1）根据面积法

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AB・BE=BG・AE

.•.BG="而

5

由勾股定理：

AG=^LGE=在

55

：GH〃AB

•GH_GE

,*AB^AE

在

.GH_5

',TW

5

.•.GH=2

5

又：GH〃AB

坨❷①

BC-MB

①+②，得

-HC-+-B-H=-G-H+GH

BCMB夜

•GH,GH,

MBDC

.•.CD=Z

3

9.【解答】(1)证明：..TA、PB是。O的两条切线，A、B是切点,

・・.PA=PB,且PO平分NBPA,

APOXAB.

VBC是直径，

/.ZCAB=90°,

.'.ACLAB,

.,.AC/7PO；

(2)解：连结OA、DF,如图，

VPA,PB是。O的两条切线，A、B是切点，

/.ZOAQ=ZPBQ=90°.

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在Rt2\0AQ中，0A=0C=3,.\0Q=5.

由QA2+OA2=OQ2,得QA=4.

在RtZkPBQ中，PA=PB,QB=0Q+0B=8,

由QB2+PB2=PQ2,82+PB2=(PB+4)2,

解得PB=6,

，PA=PB=6,

VOP±AB,

.\BF=AF=1AB.

2

又「D为PB的中点,

.•.DF〃AP,DF=1PA=3,

2

ADFE^AQEA,

•••AE_AQ-_4,

FEDF3

设AE=4t,FE=3t,则AF=AE+FE=7t,

BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t,

•AE=4t=2

*,BETO75"

10.【解答】(1)证明：连接OC,

VAB是。O的直径，AC=BC-

/.ZBOC=90°,

,.,E是OB的中点，

.*.OE=BE,

在^OCE和^BFE中，

rOE=BE

,•*.NOEC=NBEF，

CE=EF

/.△OCE^ABFE(SAS),

/.ZOBF=ZCOE=90°,

・•.直线BF是。O的切线；一-

(2)解：VOB=OC=2,/

由(1)得：△OCE/aBFE,/o/

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，BF=0C=2,

AF=VAB2+BF2=V42+22=2

._11

・・$c△ABF--ABpBF=_AFPBD,

4x2=2泥・BD,

.♦.BD=^X

5

11.【解答】解：(1)连接OC,

：PC为。O的切线，

/.ZOCP=90°,即N2+NP=90°,

VOA=OC,

.\ZCAO=Z1,

VAC=CP,

.*.ZP=ZCAO,

又VZ2是^AOC的一个外角，

/.Z2=2ZCAO=2ZP,

.,.2ZP+ZP=90°,

.*.ZP=30°；

(2)连接AD,

：D为金的中点，

/.NACD=NDAE,

AACD^AEAD,

...AD=DC,即AD2=DC.DE,

DEAD

VDC«DE=20,

AD=2逐，

VAD=BD>

，AD=BD,

•..AB是。0的直径，

ARtAADB为等腰直角三角形，

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AB=2VTO>

OA=^-AB='/lO,

.,・Soo=7i・OA2=10jr=31.4.

12.【解答】（1）证明：连接OD,

：AG是NHAF的平分线，

.*.ZCAD=ZBAD,

VOA=OD,

ZOAD=ZODA,

/.ZCAD=ZODA,

...OD〃AC,

VZACD=90°,

/.ZODB=ZACD=90°,即ODLCB,

：D在。O上，

・•.直线BC是。O的切线；

（2）解：在Rt^ACD中，设CD=a,则AC=2a,AD=V^a,

连接DE,

：AE是。O的直径，

ZADE=90°,

由NCAD=NBAD,ZACD=ZADE=90°,

AACD^AADE,

•ADAC

,*AE^AD，

即逗空^

2rV5aA/\

由（1）知：OD〃AC,I\::

c

ABD=OD（即BD

BCACBD+a2aH'XG

*.*a=—,解得BD=&r.

53

13.【解答】（1）证明：连接OD,如图所示.

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・OB=OD,

\ZOBD=ZODB.

；CD是。O的切线，OD是。。的半径,

,.ZODB+ZBDC=90o.

/AB是。0的直径，

\ZADB=90o,

,.ZOBD+ZCAD=90°,

\ZCAD=ZBDC.

(2)解：：NC=NC,NCAD=NCDB,

,.△CDB^ACAD,

•BD=CD

*ADAC-

;BD=2AD,

3

BD--J

AD3

CD

AC--J

3

又"©=3,

.\CD=2.

14.【解答】解：(1)当点M在篇的中点处时，AMAB面积最大,止匕时OMLAB,

OM=—AB=—x4=2，

22

••SAABM——AB»OM=—x4x2=4；

22

(2)VZPMB=ZPAN,ZP=ZP,

.,.△PAN^APMB.

15.【解答】(1)证明：..2:6是直径，

/.ZACB=90°,

/.ZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

ZBCP=ZBCE,

/.ZACF=ZACE,即AC平分NFAB.

(2)证明：VOC=OB,

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.*.ZOCB=ZOBC,

：PF是。O的切线，CE±AB,

.*.ZOCP=ZCEB=90°,

/.ZPCB+ZOCB=90°,ZBCE+ZOBC=90°,

/.ZBCE=ZBCP,

VCD是直径，

.,.ZCBD=ZCBP=90°,

AACBE^ACPB,

•CB,CE

,*CPCB1

/.BC2=CE«CP；

(3)解：作BM±PF于M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,

PM=a,

VZMCB+ZP=90°,ZP+ZPBM=90°,

A