2025年中考数学复习：图形的相似中旋转问题 考前冲刺训练

2025年中考数学复习图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训

练

1.已知VABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,直线机是过点C的任一条直线，AELm

于点E,BDLm于点、D；

(2)当直线机绕点C旋转到如图(2)时，上述(1)中结论是否还成立？若不成立，请写出

AE与。E和2。的正确数量关系，并加以证明.

⑶当直线机绕点C旋转到如图(3)时，请直接写出AE与。E和的数量关系.

2.在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,将VABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC',

其中点A,C的对应点分别为点A',C'.

(1)如图1,当点H落在AC的延长线上时，则AA'的长为；

(2)如图2,当点。落在A8的延长线上时，连接CC',交43于点求的长；

(3)如图3,连接A4',CC',直线CC'交AA'于点O,若=连接£>£.在旋转过程中,

OE是否存在最小值？若存在，请直接写出OE的最小值；若不存在，请说明理由.

3.已知：在正方形A3CD中，E为对角线8。上一点，过点£作跖1.80,交BC于点、F,

连接。尸，G为。尸的中点，连接EG,CG.

图1

【猜想论证】

(1)猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明.

【拓展探究】

(2)将图1中ABEF绕B点逆时针旋转45。得到图2,取DF中点G,连接EG,CG.你在(1)中

得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.

4.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例,

请补充完整.原题：如图1，点、E、产分别在正方形的边3C、CD上，ZEAF=45°,

(1)思路梳理：

把AABE绕点A逆时针旋转90。至△APG,可使A3与重合，由NADG==90。，得，

NFDG=180。，即点RD、G共线，易证△AFG丝,故ERBE、DP之间的数

量关系为.

(2)类比引申:

如图2,点£、厂分别在正方形ABCD的边CRDC的延长线上，ZE4F=45°.连接防，试

猜想班、BE、DP之间的数量关系为,并给出证明.

(3)联想拓展：

如图3,在VABC中，ZBAC=90°,A5=AC,点£均在边BC上，且

ZBAD+ZEAC=45°.若BD=2,EC=2y/3,直接写出和AE的长.

试卷第2页，共8页

5.如图1,正方形ABCD和正方形A£FG,A,E,B三点共线，AB=8,AE=46，将正

方形AEFG绕点A逆时针旋转成0。4。445。)，连接BE,DG.

图1图2图3

(D如图2,求证：BE=DG；

⑵如图3,在旋转的过程中，当反瓦G三点共线时，试求8E的长；

(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻，使得NB£A=120。，若存在，请直接写出BE的长;

若不存在，请说明理由.

6.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例,

请补充完整.原题：如图1,点E、尸分别在正方形A3CL(的边BC、CD±,ZMF=45°,

(1)把AABE■绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使A3与AD重合，由NADG==90。，

得，ZFDG=180°,即点F、D、G共线，易证AAFG也,故所、BE、DF之

间的数量关系为.

(2)如图2,点E、尸分别在正方形ABCD的边CB、C。的延长线上，ZEAF=45°.连接跖，

试猜想防、BE、。厂之间的数量关系为,并给出证明.

(3)如图3,在VABC中，ZBAC=90°,钻=AC,点。、E均在边3c上，且

ZBAD+ZEAC=45°.若BD=2,EC=2^3,直接写出AD?的值和AE的长.

7.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例,

请补充完整.原题：如图1,点、E、P分别在正方形A2CD的边BC、CD上，ZE4F=45°,

连接防，试猜想ERBE、叱之间的数量关系

⑴思路梳理：把AME绕点A逆时针旋转90。至△AOG,可使与AD重合，由

NADG=/B=90。，得，/FDG=180。，即点RD、G共线，易证△AFG/,故

EF、BE、。厂之间的数量关系为.

⑵类比引申：如图2,点E、歹分别在正方形ABCD的边CB、OC的延长线上，ZMF=45。.连

接斯，试猜想砂、BE、。产之间的数量关系为,并给出证明.

(3)联想拓展：如图3,在VA3C中，已知/胡。=45。,4。，8。垂足于点。，且

BD=6,CD=4.求AD的长.

8.如图，将VA5C绕点A顺时针旋转得到点、B,C的对应点分别为N,M.

(1)如图1,当点N落在BC的延长线上时，＞ZACB=90°,AC=6,AB=W,求3N的长;

(2)如图2,7ABC绕点A顺时针旋转60°得到AANM,延长BC交AN于点Q,使得FN=AD,

连接叱，猜想线段珈，9/,之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,连接3N,CN,点R为BC的中点，连接RG.若NACB=90。,AC=6,AB^IO,

在旋转过程中，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由

9.如图1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC=2,D,E分别为AC,BC的中点，将ACDE

绕点C逆时针方向旋转得到ACD'E(如图2),使直线DE恰好过点2,连接

试卷第4页，共8页

⑴判断AD与3£>'的位置关系，并说明理由；

⑵求3E的长；

⑶若将ACDE绕点C逆时针方向旋转一周，当直线。E过Rt^ABC的一个顶点时，请直接

写出3笈长的其它所有值.

10.探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

如图，在矩形ABCD中，AD=nAB,将矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形CEFG.

（1）如图1,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90。，当〃=2时，连接AC,CF.

①求证：△ABC四△CEF,

②求出AB,BC,AF的数量关系（直接写出结论，不必证明）；

【深入探究】

（2）将矩形A3C。绕点C旋转，当"=g且点E落在直线AC上时，试探究线段AB,BC,

2尸的数量关系，并写出证明过程；

【拓展运用】

（3）如图2,将矩形ABCD绕点C旋转顺时针旋转，点G落在AD上，BE与CG,CD分别

FP

交于点。，P,当RD,。三点共线时，直接写出言的值.

Dr

11.【特例感知】

（1）如图1,已知VABC和VADE是等边三角形，直接写出线段EC与的数量关系是

【类比迁移】

(2)如图2,VABC和VADE是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,写出线段EC与8。

的数量关系，并说明理由；

【拓展运用】

(3)如图3,若AB=6,点C是线段A2外一动点，AC=2近,连接BC.若将CB绕点C

逆时针旋转得到CD,连接AD,求出的最大值.

图1图2图3

12.在AABC中，AC=BC,AC=6,ZACB=c,点。是BC边上任意一点，点E是直线

AD上一动点，连接3E,将8E绕点B顺时针旋转，旋转角为。，得到线段3/，连接EF.

(1)如图1,c=90。，/区4。=15。，点B在射线AD上，求3尸的长；

(2)如图2,3尸〃AD,CG，也于点G,2ZABF—3NEBF=4/BAE,猜想线段GE,BE,AC

之间存在的数量关系，并证明你的猜想：

⑶如图3,2=60。，点尸在射线AD上，点尸是8E上一点且满足AF=33P,连接钎，直

接写出当AP最小时，点尸到48的距离.

13.在VA3C和ACDE中，ZACB=ZCDE=90°,BC=AC,DC=DE,若BC=4,CE=3&.

试卷第6页，共8页

图1

⑴如图1,当点。在线段AC上时，连接BE,求tanZBEC；

(2)如图2.将图1中ACDE绕着点C旋转，使点。在VABC的内部，连接AD,BD.线段CE,

AD相交于点/，且AF=DF,此时/Cr>3=°；

(3汝口图3,在ACDE绕着点C旋转过程中，当点。落在线段AB上时，过点8作3G〃。石交

直线CE于点G,直接写出ABCG的面积.

14.如图1,在VABC中，ZACB=90°,CA=CB,^D,E分别在边C4,CD=CE,连接

DF,AE,点尸是线段中点，连接C尸交AF于点H.

(1)观察猜想：图1中，线段AE与CP的数量关系是，位置关系是；

(2)探究证明：把ACDE处点C逆时针旋转a(0°〈a<90。).如图2,请问(1)中的结论是否

仍然成立？请说明理由

(3)拓展延伸：把ACDE绕点C旋转，当点。旋转到直线AE上时，连接BE,试探究BE与C。、

W之间有怎样的数量关系？

15.在平面直角坐标系中，0为原点，点4(2,0),点3(0,2),把AABO绕点3逆时针旋转,

得△A3O',点A。旋转后的对应点为A,O',记旋转角为a,连接AO.

⑴如图①,若a=90。，求AO'的长;

(2)如图②，若《=60。，求的长;

(3)若点尸为线段AO'的中点，求AP的取值范围(直接写出结果即可).

试卷第8页，共8页

《2025年中考数学复习图形的相似中旋转问题考前冲刺专题训练》参考答案

L(1)见解析

(2)见解析

⑶AE=BD+DE

【分析】(1)先利用同角的余角相等判断出ZCAE=ZBCD,进而得出AACE^ACBD(AAS),

最后用线段的和差即可得出结论；

(2)先利用同角的余角相等判断出=进而得出AACEZACBZXAAS),最后

用线段的和差即可得出结论；

(3)先利用同角的余角相等判断出=进而得出AACE/AC3£>(AAS),最后

用线段的和差即可得出结论.

【详解】(1)证明：•.♦NACB=90。，

:.ZACE+ZBCD=90°,

AE±m,BD±m,

:.ZAEC=ZBDC=90°,

ZACE+ZCAE=90°,

:.ZCAE=ZBCD,

•••△MC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

/.AC=BC,

△ACE%CBD(AAS),

AE=CD,CE=BD,

•;CD=DE—CE=DE—BD,

:.AE=DE-BD；

(2)(1)中结论不成立，新结论为：AE=BD—DE

证明：•.•NACB=90°,

:.ZACE+ZBCD=9O°,

•/AE_Lm,BD_Lm,

,\ZAEC=ZBDC=90°,

ZACE+ZCAE=90%

:.ZCAE=ZBCDf

•.•△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

答案第1页，共42页

AC=BC,

・•.AACE%CBD(AAS),

AE=CD,CE=BD,

•：CD=CE-DE=BD—DE,

:.AE=BD-DE;

(3)证明：vZACB=90°,

..ZACE+/BCD=90。,

AE_Lm,BD±m,

:.ZAEC=NBDC=90°,

.\ZACE^ZCAE=90°,

,\ZCAE=ZBCDf

•「△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90。，

/.AC=BC,

z.△ACE/△CBD(AAS),

/.AE=CD,CE=BD,

・：CD=CE+DE=BD+DE,

:.AE=BD+DE.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌

握“三垂线模型”是解题的关键.

2.(1)8

⑵"

11

(3)DE存在最小值，最小值为§一所

2

【分析】(1)根据旋转的性质可知A3=AB=5,然后由等腰三角形的性质，可得A'C=AC,

再根据题意利用勾股定理可求出AC长为4.即可求出的长.

(2)过C作CDLAB于点。，作CE〃AB交A8于点E,由旋转可得，

NA'BC'=NA3C,BC=BC'=3,.再由平行线的性质可知，即可推出/ABC'=/CEB,从而

间接求出，CE=BC=BC'=3,DE=DB.由三角形面积公式可求出CO=1.再利用勾股定

1QOO

理即可求出=进而求出C'EMBE+BC'M.最后利用平行线分线段成比例即可求

答案第2页，共42页

出.

(3)作AP〃AC'且交CD的延长线于点P,连接AC.由题意易证明△APD/A4'C'D(AAS),

可得AD=Ab.然后根据三角形中位线定理可得£>G=1A'B,

根据锐角三角函数求出EG的值，由三角形三边关系可得DENDG-EG,即当点E在线段

EG上时最小，由此即可求出£)£1的最小值.

【详解】(1)解:由旋转的性质得：AB=AB=5,

:ZACB=9Q°,

...点4落在AC的延长线上，

ZACB=90°,

A'C=AC=y/AB2-BC2=4，

AAr=2AC=8；

故答案为：8

由旋转的性质得：ZA'BC'=ZABC,BC=BC'=3,

•：CE//AB,

ZABC=Z.CEB,

ZABC=NCEB,

：.CE=BC=BC=3,DE=DB,

S.C=^ABCD=^ACBC,即gx5C£>=gx4x3,

12

解得：CD=—,

在RtABCD中，DB=yjBC2-CD2=|,

.18

・・DRtFL=,

33

/.C'E=BE+BC'=—,

答案第3页，共42页

,?CE//AB,

AC'BMs&j'EC,

BM_3

.BMBC即亍w，

"CE~C'ET

BM=—

11

(3)解：如图，作AP〃AC'且交C'D的延长线于点P,连接AC,作跖，/18,交45于

点尸，作45中点P，连接EG、DG,

•/BC=BC',

：.NBCC'=NBCC,

•/ZACP=180°-ZACB-ZBCC,即ZACP=90°-Z.BCC,

ZAC'D=90°-ZBC'C,

ZA'C'D=ZACP,

AP//AC,

：.ZACD^ZAPC,

：.ZACP=ZAPC,

：.AP=AC,

：.AP=AC,

在和AA'C'。中，

ZADP=ZADC,ZAPD=ZA'C'D,AP=A'C,

：.△AP£^AA,C,D（AAS）,

AD=AD'，

即点。为AA'的中点，

:点G为AB的中点，

答案第4页，共42页

・・・DG=-AfB=-x5=-,

222

EF

BCEF_3ACAF-

VsinZG4B=—=——，即：55，解得：EF=—,cosZ.CAB-..=，即：55，

ABAE2ABAE—

2

解得：AF=2，

在RtAEFG中，EG=JEF'+FG。=Jg]=当，

根据题意得：DE>DG-EG=--—=5~^,

222

即当点E在线段EG上时OE最小，且最小值为止迎，

2

故答案为：DE存在最小值，最小值为匕叵.

【点睛】本题为旋转综合题.考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行

线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，中位线的判定

和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题.正确的作出辅助线为难点也是解题关键.

3.⑴EG=CG,理由见解析

(2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG,理由见解析

【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG.

(2)连接AG,过G点作MN」AD于M,与ER的延长线交于N点；再证明MG0ADCG,

得出AG=CG；再证出AOWG合△WVG(ASA),得到MG=NG；再证明△硒G,

得出AG=EG；最后证出CG=EG.

【详解】(1)EG=CG；

证明：•.,四边形ABC。是正方形，

：.ZDCF=90°,

在RtaFCD中，

•.,G为DF的中点,

CG=-DF,

2

•/EF1BD,

同理，在RtADEF中,

答案第5页，共42页

GE=-DF,

2

:.CG=EG.

(2)解：(1)中结论仍然成立，即EG=CG.

连接AG,过G点作朋N人AD于与所的延长线交于N点,

在ADAG与ADCG中，

■.■AD=CD,ZADG^ZCDG,DG=DG,

:.^DAGgADCG(SAS),

AG=CG；

在AOWG与△RVG中，

,?ZDGM=ZFGN,ZMDG=ZNFG,

：G为O尸的中点，

FG=DG,

.•.△DAfG四△RVG(ASA),

GM=GN-

•；NEAM=ZAEN=ZAMN=90。,

四边形是矩形，

：.AM=EN,

在AAMG与中，

"：AM=EN,ZAMG=ZENG,MG=NG,

AAMG丝△HVG(SAS)

:.AG=EG,

:.EG=CG.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形

答案第6页，共42页

的判定与性质，添加恰当的辅助线本题的关键.

4.(l)AAfE,EF=DF+BE

Q)EF=DF-BE,证明见解析

(3)AD=2+2A/3,AE=2网

【分析】(1)先根据旋转得：NADG=NA=90。，计算/FDG=180。，即点产、。、G共线，

再根据SAS证明"FE/ZXAFG,得EF=FG,可得结论EF=DF+DG=DF+BE；

(2)作辅助线：把“ISE绕点A逆时针旋转90。至△ADG,证明△E4F9△G4F,得

EF=FG,所以EF=DF-DG=DF—BE；

(3)同理作辅助线：把△板)绕点A逆时针旋转90。至AACG,证明△ZME四△&!£1,得

DE=EG,先由勾股定理求EG的长，证明△AED2△AEG(SAS),求出CO,DG,继而得到

AD,过A作AblBC,垂足为尸，根据等腰直角三角形的性质求出AF=B尸=5=3+6，

可得研=3-6，利用勾股定理可得AE.

【详解】(1)解：如图1,把AABE■绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使A5与重合，

即AB=AD,

由旋转得：ZADG=ZA=9Q°,BE=DG,NDAG=/BAE,AE=AG,

ZFDG=ZADF+ZADG=900+90°=180°,

即点尸、D、G共线，

•.•四边形MCD为矩形，

:.ZBAD=90°,

■.■ZEAF=45°,

ZBAE+ZFAD=90°-45°=45°,

NFAD+ZDAG=ZFAG=45°,

:.ZEAF=ZFAG=45°,

在AAFE和AAFG中，

AE=AG

,.•<ZEAF=ZFAG,

AF=AF

.-.AAFE^AAFG(SAS),

:.EF=FG,

答案第7页，共42页

:.EF=DF+DG=DF+BE；

故答案为：^AFE,EF=DF+BE;

(2)如图2,EF=DF—BE,理由是：

把AAB石绕点A逆时针旋转90。至△AZ)G,可使A3与AD重合，则G在OC上,

由旋转得：BE=DG,ZDAG=ZBAE,AE=AGf

QNB4D=90。，

:.ZBAE+ZBAG=90°,

・・・NE4尸=45。，

/.ZFAG=90°-45°=45°,

.\ZEAF=ZFAG=45°,

在△丛尸和尸中，

AE=AG

•.・<NEAF=ZGAF,

AF=AF

:.^EAF^AG4F(SAS),

:.EF=FG,

:.EF=DF-DG=DF-BE；

(3)如图3,把AABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，可使A8与AC重合，连接EG,DG,

由旋转得：AD=AG,ZBAD=ZCAG,BD=CG,

答案第8页，共42页

・.・NB4C=90。，AB=AC,

:.ZB=ZACB=45°f

:.ZACG=ZB=^5°,

."CG=ZACB+ZACG=45。+45。=90。，

,EC=CG=BD=2,

由勾股定理得：EG=7（2A^）2+22=4,

\'ZBAD=Z.CAG,ABAC=90°,

「.Nn4G=90。，

•.•Z£Hr>+ZE4C=45°,

ZCAG+ZEAC=45°=ZEAG,

:.ZDAE=45°,

:.ZDAE=ZEAG=45°f

NE4G=45。，

:AE=AE,

AAED^AAEG（SAS）,

.\DE=EG=4.

•.•ZBAD=ZCAGf

•;CD=DE+CE=4+26，

/.DG=y/cE^+CG2=7（4+2A/3）2+22=272+276,

AD=—DG=2+2y/3,

2

过A作A尸IBC,垂足为尸，

VBC=BD+DE+CE=6+2y/3,AB=ACf

：.AF=BF=CF=-BC=3+y/3,

2

EF=CF-CE=3+6-24=3-6

AE=VAF2+EF2=2A/6.

【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想,

引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三

角形全等，得出结论，从而解决问题.

答案第9页，共42页

5.(1)见解析

(2)4A/3-4

(3)2A/TO-2^

【分析】(1)根据正方形的性质可得=AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,再求出

ZBAE=ZDAG,然后利用“边角边”证明AABE和AADG全等，根据全等三角形对应边相等

证明即可；

(2)过点A作AH_LEG于H,根据正方形的性质与勾股定理得EG=&AE=8,从而求得

AH=EH=4,再在在Rt/XASH中，由勾股定理，求得BH=46,即可由鹿=3〃-团求

解.

(3)过点A作交BE的延长线于耳，根据邻补角的定义求出/A£H=60。，解直角

三角形求出AH、EH,再利用勾股定理列式求出3”,然后根据班=皿-石耳代入数据

计算即可得解；

【详解】(1)证明：在正方形ABCD和正方形A£FG中，

AB=AD,AE=AG,/BAD=N£AG=90。，

ZBAE+ZEAD=ZBAD=90°,

ZDAG+ZEAD=ZBAD=9CP,

:.ZBAE=ZDAG,

AB=AD

在AABE和△ADG中，＜NBAE=ZDAG,

AE=AG

.•.△ABE^AADG(SAS),

:.BE=DG；

(2)解：过点A作4/，即于修,

G

图3

,正方形A£FG,AE=4A历,

答案第10页，共42页

/.AE=AG,EG=42AE=S,

,：AHLEG,

：.EH=-EG=4,

2

•//E4G=90°

/.AH=EH=4

在RtAABH中，由勾股定理，得

BH=y/AB2-AH2=A/82-42=4^3

BE=BH-EH=443-4■

(3)解：如图2,过点A作AH_L助交BE的延长线于H,

G

图2

-.-ZBEA=nO0,

ZAEH=180°-120°=60°,

AE=472，

AH=AE-sin6Q°=4y/2x—=2-j6,

2

EH=AE-cos60°=4^2x-=242,

2

在RtAABH中，BH=JAB?-AH。=^82-(2"『=屈=2M,

BE=BH-EH=2>/10-272;

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解

直角三角形.属四边形综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键.

6.(l)AAfE,EF=DF+BE

(2)EF=DF—BE,理由见解析

(3)A£>2=8A/3+16,AE=2加

【分析】(1)根据旋转的性质可得△•二△4X7,利用S4S判定定理可直接证明

AAFG^AFE,再依据对应线段相等可求.

答案第11页，共42页

(2)把△A6E绕点A逆时针旋转90。，使AB与AD重合，证全等即可到结论.

(3)把绕点A逆时针旋转90。，使A5与AC重合，点5对应点为点尸，连接。尸和

£尸即可求解.

【详解】(1)解：AAFE,EF=DF+BE,理由如下：

・・,四边形ABC。是正方形，

AABAD=900,AB=AD,

由旋转的性质可知，△ABEgZkADG,

:.ZBAE=ZDAGfAE=AG,BE=DG,ZEAG=ZBAD=90°f

・.・NE4尸=45。

/.ZFAG=90°-ZEAF=45°,

,\ZEAF=ZFAG

,/AF=AF,

:.^AFE^„AFG(SAS),

:.EF=FG,

:.EF=DF+DG=DF+BE.

(2)EF=DF-BE,证明如下：

如下图，把△ABE*绕点A逆时针旋转90。，A5与AD重合，

:△ABE*ADG,ZE4G=90。，

:.BE=DG,AE=AGf

・・・NE4尸=45。，

ZFAG=ZEAG-ZEAF=45°；

:.ZEAF=ZGAF；

在A/E4和ZiG/%中，

'AF=AF

<NEAF=NFAG,

AE=AG

：.△石E4乌△GE^8IS)；

答案第12页，共42页

：.EF=FG；

DF=FG+GD；

:.DF=EF+BE

即EF=DF—BE.

(3)如图1.解：VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZB=ZC=45°,

把△AB。绕点A逆时针旋转90。，A5与AC重合，点5的对应点为点尸;

AAABD^AACF,ZZMF=90°,

：.ZB=ZACF=45°,CF=BD=2,

；・/ECF=90°,

;EC=26,

・••在RtZXEFC中，

EF=《*+Q6)2=4,

\-ZBAD+ZEAC=45°；

/.ZDAE=90°-45°=45°；

:.ZEAF=ZDAF-ZDAE=45°；

在^DAE和^FAE中,

答案第13页，共42页

AD=AF

ZDAE=ZFAE,

AE=AE

:.^DAE^^FAE(SAS)

：.DE=EF=4,

£>C=4+2A/3,

在直角三角形。PC中，由勾股定理得：

DF2=(2^+4)2+22,

；•。尸=32+165

V犷是等腰直角三角形；

2AD2=DF-，

AD2=16+85

同理把△AEC绕点A顺时针旋转90。，点E的对应点为点尸，连接印，EF；

BF=CE=2百；

,:DE=4,08=2；

/.BE=6；

在直角△FB石中，NFBE=90。；

EF2=(2A/3)2+62

EF=4A/3,

由旋转的性质可知/EAF=90。，AF=AE；

△E4E是等腰直角三角形；

答案第14页，共42页

/.AE=­EF，

2

/.AE=2屈.

【点睛】本题主要考查正方形中的45。半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类

比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键.

7.(l)AAFE,EF=DF+BE

Q)EF=DF—BE,证明见解析

⑶">=12

【分析】(1)先根据旋转得：Z4DG=ZBAD=90°,计算NFDG=180。，即点/、。、G共

线，再根据SAS证明△曲£/"FG,得EF=FG,可得结论砂=。尸+£心=止+郎；

(2)如图2,同理作辅助线：把AABE绕点A逆时针旋转90。至△ADG,证明AEAF名△G4F,

得EF=FG,所以EF=DF-DG=DF-BE；

(3)如图3,将△ABD沿翻折得AABE,AACE»ACSl!^fWAACF,延长£B、FC相

交于G,先证明四边形AEG/是正方形，再由勾股定理求AD的长即可.

【详解】(1)解：如图1,把AABE绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使A8与重合，

即

由旋转得：ZADG=ZBAD=90°,BE=DG,NDAG=NBAE,AE=AG,

ZFDG=ZADF+ZADG=90°+90°=180°,

即点产、。、G共线，

•••四边形"cr>为正方形，

:.ZBAD=90°,

■：ZEAF=45°,

ZBAE+ZFAD=90°-45°=45°,

Z.FAD+ZDAG=ZFAG=45°,

ZEAF=ZFAG=45°,

在AAFE和AAFG中，

AE=AG

•.•，NEAF=ZFAG,

AF=AF

.•.△AFE^AAFG(SAS),

答案第15页，共42页

:.EF=FGi

EF=DF+DG=DF+BE；

故答案为：AAFE,EF=DF+BE;

(2)解：如图2,EF=DF-BE,

FCGD

图2

理由是：

把△45石绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使AB与AO重合，则G在。。上，

由旋转得：BE=DG,/DAG=/BAE,AE=AG,

QNB4D=90。，

:.ZBAE-^ZBAG=90°,

・.・NE4尸=45。，

/.ZFAG=90°-45°=45°,

:.ZEAF=ZFAG=45°,

AE=AG

在△EAF和AGAF中<NEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△E4F^AG4F(SAS),

:.EF=FG,

.\EF=DF-DG=DF-BE；

(3)解：如图3,将△ABD沿A5翻折得△ABE,△AC。沿AC翻折得△ACF,延长£8、

尸C相交于G,

答案第16页，共42页

A

图3

ADJ.BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

由翻折可得：AE=AD=AF,BE=BD,CF=CD,ZEAB=ZDAB,ZFAC=ZDAC,

ZE=ZADB=90°,ZF=ZADC=90°,

：.ZEAF=2NBAD+2ZCAD=2ZBAC=2x45°=90。，

ZG=90°

.,•四边形AEG/是矩形，

■/AE=AF

...四边形AEGr是正方形，

EG=GF=AE=AD,

设AD=x,!OG=x—6,CG=x-4

在Rtz^CG中，BC=BD+CD=6+4=10,

由勾股定理，得

0-6)2+Q_4)2=102

解得x=12,

即AD=12.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，翻折、旋转的性质，通过类比

联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过翻折、旋转一三角形的辅助线作法，

构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题.

8.(1)16

Q)HN—MH=CD,证明见解答过程

(3)在旋转过程中，GR存在最小值2

【分析】⑴根据旋转的性质得到AB=3=10,利用勾股定理求得3C=8,CN=8,故BN

答案第17页，共42页

的长为16；

(2)在M0上取点。，使NQ=CO,连接FQ,由旋转的性质得到：ANAB,ZBAN=60°,

得AABN是等边三角形，证明之AADC(SAS),ZFQN=ZACD,FQ=AC,即可

得ZFQH=ZACB，由=ZACB,可得ZFQH=ZM,从而可证AAAH(AAS),

得QH=MH,故HN—MH=CD；

(3)过8作族〃MN交MC延长线于P,连接NC,由旋转的性质得到

AC=AM,ZAC3=ZAACV=90。,8C=MTV,证得/P=/3CP,得3P=BC,从而3P=MTV,

即可证ABPG丝AMWG(AAS),可知G是3N中点，GR=；NC,要使GR最小，只需NC最

小，止匕时N、C、A共线，NC的最小值为4V-AC=4,故GR最小为(NC=2.

【详解】(1)解：：将VABC绕点A顺时针旋转得到△⑷VM,

.-.AB^AN^IO,

-.■ZACB=90°,

NACN=90°,

vAC=6,

BC=qAB。_AC。=7102-62=8,CN=^AN2-AC2=V102-62=8，

:.BN=BC+CN=16；

(2)解:HN-MH=CD,证明如下：

在MW上取点。，使NQ=CD,连接尸0,如图：

由7ABe绕点A顺时针旋转60°得到iANM得：AN=AB,ZBAN=60°,

.1△ABN是等边三角形，

:.ZANB=6O°,

答案第18页，共42页

/.ZFNQ=180O-ZANB-ZANM=180°-60°-ZANM=120°-ZANM,

在△ABD中，ZADB=1800-ZBAN-ZABC=180°-600-ZABC=1200-ZABC,

由旋转性质知ZANM=ZABC,

/.ZADB=ZFNQ,

•：FN=AD,

..△FNQaADC(SAS),

/.ZFQN=ZACD,FQ=AC,

/.180°-ZFQN=180°-ZACD,gpZFQH=ZACB,

由旋转性质知/M=NACB,

/.ZFQH=ZM,

\-AM=AC,

FQ=AM,

・・•ZFHQ=ZAHM,

△尸。”2ATVWH(AAS),

:.QH=MH,

•;HN—QH=NQ,

:.HN—MH=CD：

(3)解：在旋转过程中，GR存在最小值2,理由如下：

过8作5P〃又N交MC延长线于P,连接NC,如图：

/.AC=AM,ZACB=ZAMN=90°,BC=MN,

,\ZACM=ZAMCf

而NBCP=18()o—NACB—NACM=90。—NACM,ZNMP=ZAMN-ZAMC=900-ZAMC9

:.ZBCP=/NMP,

♦：BP〃MN,

答案第19页，共42页

:.NP=NNMP,

：.ZP=ZBCP,

:.BP=BC,

:.BP=MN,

在ABPG和zJWWG中，

ZBGP=NNGM

■ZP=ZNMG,

BP=MN

.△BPG丝AMWG(AAS),

:.BG=NG,即G是BN中点，

:点R为BC的中点，

GR是谶区的中位线，

:.GR=-NC,

2

要使GR最小，只需NC最小，

而A/V=AB=10,AC=6,

:.N、C、A共线，NC的最小值为AN—AC=4,

二GR最小为』NC=2.

2

【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，三角

形中位线定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题.

9.^AD'IBD',见详解

,\/14—V2

2

⑶V2+V14或>/14--\/2

2~2

【分析】(1)根据旋转的不变性证明△CDA四△CE3,再由对应角相等及邻补角即可得证；

(2)设=在RtAAD'B中，由勾股定理得：尤?+(忘+尤『=(2也『，解方程即

可；

(3)分类讨论，分第一次经过点8,经过点A,再次经过点8讨论，根据变化中的不变性，

不变的是基本图形关系即△CD'A9△CE6,以及位置关系，始终有垂直，继而设

Aiy=BE'=x,运用勾股定理列方程求解即可.

答案第20页，共42页

【详解】(1)解：AZ7与3£>'的位置关系为

VAC=BC,D,E分别为AC,的中点，

；.CD=CE,即CD=CE',

•/ZC=90°,即ZBCA=ZD'CE'=90°,

：.ZACD'=NBCE',

，ACD'A^ACE'B,

ZCErB=ZCD'A,

VZC=90°,CD'=CE',AC=BC,

：.ZCD'E'=ZCE'iy=ZCAB=NCBA=45°,

ZCE'B=ZCD'A=135°,

：.ZAD'B=135°-45°=90°,

即：AiyiBD'.

(2)解：RtZ\AC3中，AC=BC=2,

BA=yjAC2+BC2=2>/2>同理可求。£'=收，

,/ACD'gACE'B,

:.AEf=BE',

设AD'=BE'=x,

在中，由勾股定理得：/+(0+尤『=(20『,

解得：彳=巫二巨(舍负)，

2

...BE，乐-6.

2

(3)解：①经过点B时，题(2)已求8解=色一二；

2

②经过点A时，如图所示，

同理可证：△CD'A四△CE5,

/.ZD,AC=ZE,BC,BE'=AD

'/N1=N2,

ZAE'B=ZBCA=90°,

设3E'=AD'=x,

答案第21页，共42页

在RtZW'3中，由勾股定理得：=（20『,

解得：尤=1上巫（舍负）,

2

即：8£=在±巫；

2

③再次经过点8时，如下图:

AD'A.BE',

设3E'=A£）'=x,

在RtZXADB中，由勾股定理得：尤2+1一@2=仅@2,

解得：尤=1土叵（舍负），

2

即：2£=应+9；

2

综上所述：BE=回5或BE，=炉-叵.

22

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练

掌握知识点是解题的关键.

10.（1）①见解析；②A产=2（44+8。2）；（2）点E落在直线AC上时，AB1+ABC2=BF2,

点E落在线段AC上时，曲（AB+BF）=BC,证明见解析；（3）或=二1±上叵

2BP2

【分析】（1）①由NAC3+ZBAC=9O。，ZACB+ZFCE=90°,得到NBAC=/FCE,结合

AC^CF,ZABC=ZFEC=90°,即可求解，②由4笈十台。？=入尸2,AC=CF,

AF2^AC2+AF2,通过等量代换，即可求解，

答案第22页，共42页

(2)①点E落在直线AC上时，连接Ab,交CG于点H,在AFGH与△CDH中,由

ZDCH=ZGFH,ZDHC=ZGHF,得到NHDC=90。，点A,D,尸三点共线，设AS=a,AD=43a,

在RSAEF中，得出AF=2ga,在RtVE4B中，BF=^a,即可求解，②点£落在线段AC

上时,连接AF,在AFBH与ACEH中，由ZECH=ZBFH,ZEHC=ZBHF,得到ZHBF=90°,

点A,B,尸三点共线，在△ACR中，AC=CF,/E4c=60。，设钻=a,BC=43a,即

可求解，

(3)作9_LAG,延长CD交EF于点M,由ACBH^AGCD(ASA),得到BH=CD=CE,

CH=GD,由ABHQmAECQ(AAS),得到HQ=CQ,由△CDGgAGWW(ASA),得到

GM=GC,设GH=a,HQ=CQ=b,贝ljzw=a,FM=GD=2b,GQ=a+b,由

q

DMFM-I+A/17EPSDPEEP°ACPE

△FDMsgDG,=—,解得：〃=b,由

VJDCrQBPSDPRBPq

2°ACPB

SgBC=S«BCG，得到葛=今迹，由ADCES^BCG,得至层=3造=券，将

"MBCGHF、ABCGHC

BC2=(a+2b^,3c2=(4+26)2-(26)2,a二士普-b代入,即可求解,

本题考查了，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形

的性质与判定，解题的关键是：找到等量关系，列出等量关系式.

【详解】解：（1）①证明：:/ABC=90。,

:.ZACB+ZBAC=90°,

ZACF=90°,

:.ZACB+ZFCE=90°,

:.ZBAC=/FCE,

AC=CF,

又ZABC=NFEC=90°,

AABC^ACEF(SAS),

@vAB2+BC2^AF2,AC=CF,AF2=AC2+AF2,

：.AF2^AB2+BC2+AB2+BC2=2(AB2+BC2),

：.AF2=2(AB2+BC2)(等价结果也正确)；

(2)结论①：AB2+4BC2=B