2025年中考数学复习：相似三角形综合解答题

(九)中考复习《相似三角形综合解答题》

1.如图，矩形ABC。中，AB=3,BC=2,点M在BC上，连接AM,^ZAMN=ZAMB,

点N在直线4。上，MN交CD于点E.

(1)求证：△AMN是等腰三角形；

(2)求证：AM2=2BM-AN；

(3)当〃为2C中点时，求ME的长.

2.在平面直角坐标系中，已知。4=10c〃z,08=5”?,点尸从点。开始沿。4边向点A以

2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿B0边向点0以lcm/s的速度移动.如果尸、。同

时出发，用t(s)表示移动的时间(0W/W5),

(1)用含f的代数式表示：线段尸。=cm；0Q=cm.

(2)当t为何值时，四边形的面积为195？.

(3)当△P。。与△AOB相似时，求出t的值.

3.如图，在△ABC中，ZACB=90°，AC=BC=2,M是边AC的中点，CH_LBM于H.

(1)求MH的长度；

(2)求证：AMAHsAMBA；

(3)若。是边AB上的点，且△A/TO为等腰三角形，直接写出的长.

4.如图，在△ABC中，ZACB=90°,CDLAB.

⑺图1中共有对相似三角形，写出来分别为(不需证明):

(2)已知A8=5,AC=4,请你求出CD的长：

(3)在(2)的情况下，如果以为x轴，为y轴，点。为坐标原点。，建立直角

坐标系(如图2),若点尸从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点。出

8点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两

点即刻同时停止运动；设运动时间为，秒是否存在点P,使以点从P、。为顶点的三角

形与AABC相似？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

5.如图，直线a〃6,氤M、N分别为直线。和直线b上的点，连接M,N,Nl=70°,点

P是线段MN上一动点，直线。E始终经过点P,且与直线a,b分别交于点。、E,设/

NPE=a.

(1)求证△MPDSANPE.

(2)当△〃「£)与全等时，直接写出点P的位置.

(3)当是等腰三角形时，求a的值.

6.如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,动点E从点A出发沿着线段AB

向终点8运动，速度为每秒3个单位长度，过点E作跖，AB交直线AC于点尸，连接

CE.设点E的运动时间为r秒.

(1)当点/在线段AC上(不含端点)时，

①求证：△ABCS/XAFE；

②当f为何值时，△CEE的面积为1.2；

(2)在运动过程中，是否存在某时刻3使为等腰三角形？若存在，求出f的值；

若不存在，请说明理由.

7.【操作发现】如图（1）,在△043和△OCZ）中，。4=。2,OC=OD,/AOB=NCOD

=45°,连接AC,BD交于点、M.

①AC与BD之间的数量关系为；

@ZAMB的度数为；

【类比探究】如图（2）,在△04B和△OCZ）中，NAOB=NCOD=90°,/0AB=N

08=30°,连接AC,交2。的延长线于点M.请计算空■的值及的度数；

BD

【实际应用】如图（3）,是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、OCE

组成的图形，其中/ACB=NZ）CE=90°,ZA=ZD=30°且。、E、8在同一直线上，

CE=1,BC=、国,求点4。之间的距离.

8.如图①，在四边形A2CD的边A3上任取一点E(点E不与A、2重合)，分别连接区＞、

EC,可以把四边形A8CD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫

做四边形ABC。的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四

边形A8CD的边上的“强相似点”.解决问题：

(1)如图①，NA=NB=/OEC=45°,试判断点£是否是四边形ABCD的边A8上的

相似点，并说明理由；

(2)如图②，在矩形ABC。中，A、B、C、。四点均在正方形网格(网格中每个小正方

形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形A8CD的边

48上的强相似点；

(3)如图③，将矩形ABC。沿CM折叠，使点。落在AB边上的点E处，若点E恰好

是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.

参考答案

1.(1)证明：•••四边形A8CD是矩形，

J.AD//BC,

，ZNAM=ZBMA,

,：/AMN=ZAMB,

：.NAMN=ZNAM,

：.AN=MN,即△&胸是等腰三角形；

(2)证明：•••四边形ABC。是矩形，

C.AD//BC,AD=BC=2,AB=CD=3,

：./NAM=/BMA,

作NH工AM于H,如图所示：

,:AN=MN,NH1AM,

：.AH=^AM,

2

VZNHA^ZABM^90°,/NAM=/BMA,

：.ANAHsAAMB,

.AN=AH

■*AM丽，

AN'BM=AH-AM=AAM2,

2

:.AW=2BM・AN；

(3)解：为BC中点，

BM=CM=AfiC=AX2=1,

22

由(2)得：AM2^2BM-AN,

即：AM2=2AN,

VAM2=AB2+BM2=32+l2=10,

；.10=2AN,

：.AN^5,

：.DN=AN-AD=5-2=3,

设。E=x,贝UCE=3-x,

,JAN//BC,

:.ADNEs"ME

.DN_DE即3—x

"CM-CE，［一言

解得：x=l,即。£=2,

44

2.解：(1)OP=2tcm,0Q=(5-t)cm,

故答案为：26(5-r),

(2)*.*S四边形物=-S^PQOf

19=1,义10X5-1X2fX(5-t'),

22

.\t=2或3,

...当f=2或3时，四边形物8。的面积为19C%2.

(3)•.,△POQ与△A08相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

.OP^OPJQ

0AOBOB0A

当_Qg_=OQ,则2L=5-t,

0AOB105

:.t=1,

?.当或1时，△POQ与△AOB相似.

2一

3.解：(1)在△M8C中，ZMCB=90°,BC=2,

又是边AC的中点，

：.AM=MC=—BC=1,

2

；.MB=rcM2+Bc2=T1+4=遍，

***SAMCBt=XxBCXCM=^-XBMXCH,

22

1X2.2V5

：.CH=

5

：.MH

场

(2)：叫=5V5MA1-V5

-

AM1kMBW5一一5

MHJ(A；^.ZAMH=ZAMB,

AMMB

AMAHsAMBA；

(3)VZACB=90°,AC=BC=2,

:.AB=2近,

AMAHsAMBA；

.AHAMV5

ABBM5_

AH=逅X2&=2A,

55

BM二遍,

5

：.BH=^^-,

5

若AH=A。时，

5

若DH=A//时，如图1,过点X作HELAB于E,

5

,:AH=DH,EHLAB,

・SC4口8V2

..AD—2AE—v,

5

若时，如图2,过点X作HELAB于E,

"：HE1=AH1-AE2=DH--DE1,

，殁,丝=4。2_(W2__AD)2,

25255

；.4。=亚，

2___

综上所述：的长为生亘或量之或近.

552

4.解：(1)图1中共有3对相似三角形，分别为：AABC^AACZ),AABC^ACBf),△

ACDs^CBD.

故答案为：3；AABC^AACD,AABC^ACBD,AACD^ACBZ).

(2)如图2中，在△ABC中，VZACB=90°,AB=5,AC=4,

BC=VAB2-AC2=^52-42=3-

•/AABC的面积=LAB・C£)=IAC・8C,

22

.^nAC*BC12

AB5

(3)存在点P,使以点2、P、。为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下:

在△BOC中，VZCOB=90°,BC=3,0C=卫，

5

：.0B=，.

5

分两种情况：

①当/8。尸=90°时，如图2①，此时△PQBszXACB,

.BP=BQ

■"ABBC'

・3~tt

53

解得Z=2,即80=CP=—,

88

：.BP=BC-CP=3--=—

88

3

在△BP。中，由勾股定理，得尸。=4Bp2_BQ--，

2

二点尸的坐标为（红，—）

402

②当NBPQ=90°时，如图2②，此时△QPBSA4CB,

.BP=BQ

"BC而’

••3•~t_-t,

35

解得f=E,gpBQ^CP^—,BP=2C-CP=3-m=9

8888

过点尸作PEJ_x轴于点E.

:△QPBs^ACB,

15

嚼噜即里=至

丝T

5

10

29.2-27

在△BPE中，BE22-(­

VPB-PE1040,

：.OE=OB-BE=--@=2,

5408

点尸的坐标为（?，且），

810

5.（1）证明：

AMPDs丛NPE.

(2),：a//b,

：.Z1=ZPNE.

又•：/MPD=/NPE,

.•.当与△"产£全等时，AMPD咨ANPE,止匕时MP=NP,即点P是MN的中点;

(3)①若PN=PE时，

•：Nl=NPNE=70°,

：.NT=NPNE=NPEN=70°.

.•.a=180°-/PNE-/PEN=\80°-70°-70°=40°.

Na=40°；

②若EP=EN时，则a=NPNE=N/=70°；

③若NP=NE时,则/PEN=a,此时2a=180°-NPNE=180°-ZZ=180°-70°

=110°

a=APEN—55°；

④当。点在M点右侧时，a=35°.

综上所述，a的值是40°或70°或55°或35°.

6.解：(1)当点/在线段AC上时,

①证明如下：

ZAEF=90°

在△ABC中，ZACB=90°

：.ZACB=ZAEF

又•:ZA=ZA

AABC^AAFE

②当f秒时，AE=3t,

由①得△ABCs/XAPE

・AC__BC即6__8

’'短记TT'FE

：.FE=4t

在RtAABC中，AB=4石53=762+82=10,

过点C作CHLAB于H,如图1：

由面积法可得：

yAB'CH=yBC-AC

."OAC6X824

•・CH=^-F=

A

S^CEF=S/^ACE-SAAEF

=r3tx^v3t，4t

=争56t2

令警t-6t2=1.2

D

=1,

解得：t2

经检验，符合题意.

答：当r为』秒或1秒时，△（?£尸的面积为1.2.

5

（2）存在，理由如下：

力当点尸在线段AC上时（0<f<旦），

5

ZCFE=ZAEF+ZA>900,

...当ACE尸为等腰三角形时，只能是尸C=FE

由②可知：FE=4t

：.AF=5t,FC=4t

.,.5/+4/=6,

・

••i——

3

而）当点尸在线段AC的延长线上时哈<《也），如图2,

53

ZFCE=ZFCB+ZECB>90°,

...当△CEP为等腰三角形时，只能是PC=EC

此时/尸=NCEP

'：EFLAB

：.ZAEF=90°即/CEA+ZCEF=900

又/尸+乙4=90°

：.ZCEA=ZA

；.CE=AC=6

，FC=6

：.AF=n即5f=12

.12

"T

综上所述，f的值为2秒或空秒时，所为等腰三角形.

35

7.解：【操作发现】如图（1）中，设交于K.

VZAOB=ZCOD=45°,

：.ZCOA=ZDOB,

"：OA=OB,OC=OD,

：./\COA^/\DOB(SAS),

：.AC=DB,ZCAO=ZDBO,

NMKA=NBKO,

：.ZAMK=ZBOK=45

故答案为：AC=BD,ZAMB=45

【类比探究】如图（2）中，

%

图（2）

在△OA8和△OCZ）中，VZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,

J.ZCOA^ZDOB,OC=M（）D,OA=«OB,

.OC=OA

"OD而’

：./\COA^/\DOB,

.•里=世=«,ZMAK=ZOBK,

BDOD

ZAKM=ZBKO,

：.ZAMK^ZBOK^90°.

【实际应用】如图3-1中，作CHJ_8。于“，连接AD

图（3必

在RtZkZJCE中，VZDC£=90°,ZCDE=30°,EC=\,

.\ZC£H=60°,

VZCHE=90°,

：.ZHCE^30°,

：.EH=^EC=^,

22

：.BE