2025年中考数学复习难题之代数式

2025年中考数学复习难题速递之代数式（2025年4月）

选择题（共10小题）

1.（2025春•迎泽区校级月考）如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样

的杯子中，那么一共需要（）个这样的杯子.

2.（2025春•北倍区校级月考）已知多项式尤1-X2-X3-切，满足尤1>X2>X3>3>尤n>0,"22且"

为正整数，将其中的根（0〈根W/1-1）个“-"改为“+”后得到一个新多项式.下列说法中正确的个

数是（）

①当爪=今5为偶数）时，新多项式的值可能为0；

②当机=1时，若XI,…，X”均为正整数且X1=〃，得到的新多项式的值恒为非负数，则2WwW4；

③当w=6,m=2时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有15种.

A.0B.1C.2D.3

3.（2025春•大足区月考）如图，是一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9

个四边形，第3个图案中有13个四边形，…，按此规律，第7个图案中四边形的个数为（）

4.（2025•阿城区一模）烷垃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的

分子结构模型图，其中黑球代表碳原子，蓝球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②

有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子

的个数是（）

内容

①②③④

A.16B.18C.20D.22

5.（2024秋•长安区校级期末）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第1个图形需要6根木棒，第2个图

形需要11根木棒，第3个图形需要16根木棒，…，按这种方式摆放下去，用含〃的代数式表示第〃个

图形需要木棒的根数为（）

III

第1个图形第2个图形第3个图形

A.6nB.5〃+1C.5n-1D.4n+2

6.（2025春•重庆月考）2021年是农历我国“牛”年，为祝福我们伟大祖国更加繁荣昌盛，同时勉励新一

届初三人在2021年更加“牛气冲天”，某同学制作了如图“牛气图”，请根据如图规律，计算第15个图

案中一共有多少个“牛”字？（）

牛牛牛牛牛

①牛②牛牛③牛牛牛④牛牛牛牛

A.119B.120C.121D.5050

7.（2025春•东西湖区月考）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所

著的《详解九章算法》中.如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩

上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第2行左边的1

开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：41=1,01=2,43=3,44=3,4/5=6,〃6=

4,47=10,48=5…，则〃99-4100的值是（）

1

11

1—►21

13f31

146^41

151010f51

A.1222B.1223C.1224D.1225

8.（2025春•淹桥区校级月考）杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著

的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪（11世纪）的《释锁》.在欧洲I,帕斯卡

于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头

2,3,3,6,4,10,5,则在该数列中，第37项是（)

A.153B.171C.190D.210

9.（2025春•江津区校级月考）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第

②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下

去，则第⑩个图案中正方形的个数为（)

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊

①②③④

A.37B.41C.45D.49

10.（2025•祥云县模拟）有一组单项式依次为a,-42a2,V3a3,-2a4,V5a5,…，根据它们的规律，

第100个单项式为（）

A.-lOOfl100B.lOOa100C.-10a100D.lOa100

二.填空题（共5小题）

11.（2025•洛南县一模）如图是由大小相同的正六边形组成的“蜂窝图”，按此规律排列下去，则第9个

第3个

12.（2025春•郑州月考）“杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在

我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察

下列各式及其展开式：

1

11(a+b)'=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

1464(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4afa3+b4

请你猜想（a+b）9展开式的第三项的系数是.

13.（2025•潼南区模拟）一个四位正整数其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字

与千位数字之和，则称这个四位数M为“压轴数”.将“压轴数”〃的千位数字去掉得到一个三位数,

再将这个三位数与原“压轴数”M的千位数字的3倍求和，记作F（M）.则最大的压轴数与最小的压

轴数之差为.有两个四位正整数尸=1000a+200b+10c+d,K=1010a+200+x（iWa、c、d、

xW9,1W6W4）均为“压轴数”，若F（P）+F（K）能被7整除且F（K）能被13整除，则满足条件

的P值的和为.

14.（2025•市中区一模）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（O）和黄色无人机（A）组成如下图

案:

OAO

△△

OAO

△△

△O△

△△△△

△△

△△△△

第1个图案第3个图案

结合上面图案中“O”和“△”的排列方式及规律，当正整数〃=时，使得红色无人机（O）

比黄色无人机（△）的个数多28台.

15.（2025•海淀区校级模拟）某快递员负责为A,B,C,D,E五个小区取送快递，每送一个快递收益1

元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表

小区需送快递数量需取快递数量

A156

B105

C85

D47

E134

（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一

种满足条件的方案（写出小区编号）；

（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案（写出

小区编号）.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•庐江县模拟）综合与实践：

【发现】数学兴趣小组在讨论对于一个个位数和9相乘的问题时，发现可以用10个手指直观地展示出

来，如计算3X9,将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2

个手指，右边有7个手指，27正是3X9的结果.

【应用】

（1）填空：若计算5X9,从左边开始数至第个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数

为,右边手指个数为,结果为;

【探究】

（2）从左边开始数至第n个手指，将它弯起，此时它的左边手指个数为,右边手指个数

为,用所学的数学知识证明上面的发现.

3X9=27

17.（2025春•合肥月考）观察以下等式:

第1个等式：l=l2-02=2X0+l；

第2个等式：3=22-12=2X1+1；

第3个等式：5=32-22=2X2+1；

第4个等式：7=42-32=2X3+l；

(1)请写出第6个等式：.

(2)通过上面等式发现，任意一个正奇数，都可以写成相邻两个非负整数的平方差.如果仿与VF是两

个相邻的整数，其中a>6,设V^=m+1,yj~b=m,试说明：a-b=2y/b+1.

(3)如果V?与VT口是两个相邻的整数，求f的值.

18.(2025春•迎泽区校级月考)如图，一幅长为由九，宽为勿《的长方形风景画，画面的四周留有空白区

域作装饰，其中四角均是边长为X7”的正方形，正中间画面的面积是多少平方米？

19.(2025春•高新区校级月考)观察下列各式:

(1)(尤-1)(尤+1)=；

(x-1)(f+x+l)=；

(X-1)(x3+x2+x+l)=;

(2)猜想：(X-1)(/7+/-2+d-3一/3+/+彳+1)=(〃为正整数)；

(3)应用:-5n+510-59+--53+52-5.

20.(2025•晋州市模拟)有一个边长为b的小正方形和一个边长为a(a>b)的大正方形.将小正方形按

图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为Si；再将小正方形按图2的方式放入大正方形

中，取A8的中点设图中三角形(阴影部分)的面积为S2.

(1)Si=(用含a,b的式子表示)；

(2)求S2的大小(结果用含a,b的式子表示)；

(3)若SI=HS2,请你直接写出左的值，不用说明理由.

图1图2

2025年中考数学复习难题速递之代数式（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案ADCCBBCCBC

一.选择题（共10小题）

1.（2025春•迎泽区校级月考）如图，图1的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2这样

的杯子中，那么一共需要（）个这样的杯子.

2

图2

11

A.-h+2HB.-h+HC.h+2HD.h+H

22

【考点】列代数式；整式的除法.

【专题】整式；运算能力.

【答案】A

【分析】圆柱的体积公式=n/•爪首先算出图（1）中瓶子的体积，然后再算出图（2）中杯子的体积，

即可得出结论.

3

【解答】解：图（1）图（1）瓶子的体积为：兀（犷/1+兀小”=,7m2%+7m2“=@八+”）7m2（cm）.

3

图（2）杯子的体积为兀@。）2X8=（cm）.

111

・•・一共需要杯子为Qh+H）7ia24-Tia2=（2H+个.

故选：A.

【点评】本题考查了整式除法的应用，列代数式，解本题的关键在熟练掌握圆柱的体积公式.

2.（2025春•北培区校级月考）已知多项式-X2-X3-…-％九，满足％1>X2>X3>—>初>0,且〃

为正整数，将其中的根（0<m^n-1）个“-"改为“+”后得到一个新多项式.下列说法中正确的个

数是()

①当山=今("为偶数)时，新多项式的值可能为0；

②当机=1时，若XI,…，物均为正整数且XI=加得到的新多项式的值恒为非负数，则2W/W4；

③当”=6,机=2时，对新多项式取绝对值后化简的结果共有15种.

A.0B.1C.2D.3

【考点】规律型：数字的变化类；不等式的性质.

【专题】运算能力.

【答案】D

【分析】①中，正确举例即可得；

②中，卞艮据XI,…，物均为正整数且Xl=n,Xl>X2>X3>">Xn>0,得出XI-X2-X3--Xn=n--1)

-(n-2)-----2-1,设-%2-工3-…-初=〃-(〃-1)-(〃-2)------2-1,先判断

Mn-X,再得出当根=1时，跖:的新多项式的最小值为改变项物=1前的“-”，设最小值为降/,得出

Mn'=Mn+2,得出n=2时，Mi'=3；n=3时，M3,=2；〃=4时，M4=-2,M4'=0；又由Mn

<Mn-i<M4,得MzV-2,则可得W=Mt+2V0,即可判断；

③中，逐一枚举，并利用不等式的性质进行化简即可得.

【解答】解：①例如，多项式XI-12-％3-％4-％5-X6,n=6,

则m=2=3,

新多项式可以为XI-X2-X3+X4+X5+X6,

举例：9-8-7+3+2+1=0(9>8>7>3>2>1),

则①正确；

②若％1,…，X"均为正整数且Xl=〃，X1>X2>X3>->XH>0,

••Xn=1,Xn-1=2,Xn-2~3,Xn-3~4,…,=〃-2,Xl~ri1,Xl=〃,

/.XI-X2-X3----Xn=n-(n-1)--2)---2-1,

Mn—X\-X2-X3---Xn—n-(〃-1)-(〃-2)-…-2-1,

Mn-1=Xl-X2-X?>---Xn-l=-1)-(〃-2)-…-2-1,

Mn-Mn-\—n-(n-1)-(n-2)---2-1-[(n-1)-(九-2)-…-2-1]=2-m

・.,介2,

其中，当〃>2时，Mn-Mn-\=2-n<Q,

・・MnVMn-1,

当"7=1时，M"的新多项式的最小值为改变项物=1前的“-

设最小值为跖」,

gpMn'=n-(w-1)-(«-2)——2+l=Mi+2,

：“=2时，M2=2-1=1,M2'=2-1+2=3；

〃=3时，〃3=3-2-1=0,M3,=3-2-1+2=2；

”=4时，M4=4-3-2-1=-2,MS=4-3-2-1+2=0；

又：跖1c跖

：.Mn<-2,

：.Mn'=跖计2<0,

...只有当2WwW4时，得到的新多项式的值恒为非负数，

故②正确；

③当W=6,机=2时，Mn—xi-X2-X3-X4-X5-X6,

情况1:|X1+X2+X3-X4-X5-X6\>

VXl>X2>X3>">Xn>0,

.*.X1-X4>0,X2-X5>0,X3-X6>0,

.'.X1+X2+X3-X4-X5-X6>0,

|X1+X2+X3-X4-X5_X6|=X1+X2+X3-X4_X5-X6,

情况2:|xi+%2-X3+X4-X5-X6|，

*.*%1>x2>%3>“>切>0,

.*.X1-X3>0,X2-X5>0,X4-X6>0，

.*.X1+X2-X3+X4-X5-X6>0,

\X1+X2-X3+X4-X5-X6|=X1+X2-%3+%4~X5-％6,

情况3:|X1+X2-X3-X4+X5-X6|，

VXl>X2>X3>'>Xn>0^

/.XI-X3>0,X2-X4>0,X5~X6>0,

.*.X1+X2-X3-X4+X5-X6>0,

\xi+X2_X3-X4+X5-X6|—|X1+X2-X3-X4+%5-X6,

情况4:\X1+X2-X3-X4-X5+X6|,

由X1>X2>X3>">XH>0无法为J断入1+X2一%3一X4-X5+X6的正负,

|X1+X2-%3-X4-X5+X6|=X1+X2-X3-X4~X5+%6或|%l+12-X3~X4-X5+%6|=~XI-X2+%3+%4+X5X6；

情况5:\X1-X2+X3+X4-X5~%6|,

*.*Xl>X2>％3>“>X〃>0,

.*.X1-X2>0,X3-X5>0，X4-X6>0，

.".XI-X2+X3+X4-X5-％6>0,

，新多项式取绝对值化简结果为XI-X2+X3+X4-X5-X6；

情况6:\X1-X2+X3-X4+X5~X6|，

*/XI>X2>X3>…>0,

/.XI-X2>0,X3-X4>0,X5-X6>0,

.'•XI-X2+X3-X4+X5-X6>0,

・••新多项式取绝对值化简结果为XI-X2+X3-X4+X5-X6；

情况7:|X1-X2+X3-X4-X5+X6|,

由X1>X2>X3>->XH>0无法判断XI-X2+X3-X4-X5+X6的正负性，

・••新多项式取绝对值化简结果为XI-X2+X3-X4-X5+X6或-X1+X2-X3+X4+X5-X6；

情况8:|X1-Xl-X3+X4+X5-%6|，

由Xl>X2>X3>->Xn>0无法判断XI-I2-X3+X4+X5-16的正负性，

新多项式取绝对值化简结果为XI-12-X3+X4+X5-X6或-X1+X2+X3-X4~X5+X6；

情况9：|X1-XI-尤3+尤4-X5+X6I，

由Xl>X2>X3>->X«>0无法判断XI-X2-X3+X4-X5+X6的正负性，

新多项式取绝对值化简结果为XI-尤2-尤3+X4-X5+X6或-X1+X2+X3-X4+X5-X6；

'情况10:|%1-X2~X3-X4+X5+X6I，

由Xl>X2>X3>->Xn>0无法判断XI-X2-尤3-X4+X5+X6的正负，

新多项式取绝对值化简结果为XI-X2-X3-X4+X5+尤6或-无1+X2+X3+X4-X5-X6；

综上，新多项式取绝对值后化简的结果共有15种，

故③正确.

故选：D.

【点评】本题考查绝对值的化简，不等式的性质，整式的规律探索，熟练根据题意正确列出多项式是解

题的关键.

3.（2025春•大足区月考）如图，是一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9

个四边形，第3个图案中有13个四边形，…，按此规律，第7个图案中四边形的个数为（）

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】c

【分析】根据所给图形，依次求出图形中四边形的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

第1个图案中四边形的个数为：5=1X4+1；

第2个图案中四边形的个数为：9=2X4+1；

第3个图案中四边形的个数为：13=3X4+1；

所以第几个图案中四边形的个数为（4n+l）个.

当n=l时，

4n+l=4X7+l=29（个），

即第7个图案中四边形的个数为29个.

故选：C.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律,能根据所给图形发现四边形的个数依次增加4是解题的关键.

4.（2025•阿城区一模）烷妙是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的

分子结构模型图，其中黑球代表碳原子，蓝球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②

有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子

的个数是（）

①②③④

A.16B.18C.20D.22

【考点】规律型：数字的变化类.

【专题】规律型；推理能力.

【答案】c

【分析】先根据图形计算前4个图形中的氢原子的个数，找到规律，再计算求解.

【解答】解：第1种如图①有4个氢原子，

第2种如图②有3X2=6个氢原子，

第3种如图③有3X2+2=8个氢原子，

第4种有3X2+2X2=8=10个氢原子，

第"种有3X2+2(n-2)=(2〃+2)个氢原子,

按照这一规律,

第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2X9+2=20,

故选：C.

【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键.

5.（2024秋•长安区校级期末）用木棒按如图所示的规律摆放图形，第1个图形需要6根木棒，第2个图

形需要11根木棒，第3个图形需要16根木棒，…，按这种方式摆放下去，用含〃的代数式表示第〃个

图形需要木棒的根数为（）

III

第1个图形第2个图形第3个图形

A.6nB.5n+lC.5«-1D.4n+2

【考点】规律型：图形的变化类；列代数式.

【专题】规律型；几何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】根据后一个图形的木棒比前一个图形的木棒多5根，即可得到答案.

【解答】解：第个图形需要6根木棒，第2个图形需要11根木棒，第3个图形需要16根木棒,

:搭第1个图形需要：6=5X1+1,

搭第2个图形需要：11=5X2+1,

搭第3个图形需要：16=5X3+1,

搭第"个图形需要的木棒的根数是：5/7+1.

故选：B.

【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，列代数式，找到“后一个图形的木棒比前一个图形的木

棒多5根”这个规律，是解题的关键.

6.（2025春•重庆月考）2021年是农历我国“牛”年，为祝福我们伟大祖国更加繁荣昌盛，同时勉励新一

届初三人在2021年更加“牛气冲天”，某同学制作了如图“牛气图”，请根据如图规律，计算第15个图

案中一共有多少个“牛”字？（）

牛牛牛牛牛

①牛②牛牛③牛牛牛④牛牛牛牛

A.119B.120C.121D.5050

【考点】规律型:图形的变化类.

【专题】规律型;运算能力.

【答案】B

lx(l+l)2X(2+1)3X(3+1)4X(4+1)

【分析】第①〜④个图案中“牛”字的个数依次为,归纳类

2222

推出一般规律，由此即可得.

【解答】解：由图可知:

第①个图案中“牛”字的个数为1（个）,

第②个图案中“牛”字的个数为3（个）,

第③个图案中“牛”字的个数为6（个）,

第④个图案中“牛”字的个数为10（个）,

n(n+l)

发现规律：第"个图案中“牛”字的个数为•个，其中〃为正整数,

2

15x(15+1)

则第15个图案中“牛”字的个数为=120,

2

故选：B.

【点评】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

7.（2025春•东西湖区月考）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所

著的《详解九章算法》中.如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩

上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第2行左边的1

开始按"锯齿形"排列的箭头所指的数依次构成一个数列：。1=1,02=2,43=3,04=3,（15=6,。6=

4,47=10,48=5…，则499-4100的值是（）

1

11

1—►21

七

13—►31

146^*41

151010-►51

A.1222B.1223C.1224D.1225

【考点】规律型：图形的变化类；数学常识.

【专题】规律型；推理能力.

【答案】C

【分析】根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出。99-moo的值.

【解答】解：由图可得，第偶数项对应的数是一些连续的自然数，

从2开始，第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始，

.•.(199-aioo=(1+2+3+-+50)-I(1004-2)+1]

=50x^0+1)_[(1004-2)+1]

=1275-51

=1224,

故选：C.

【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的

值.

8.(2025春♦浦桥区校级月考)杨辉三角是数字呈三角形形状的排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著

的《详解九章算法》指出这个三角形排列出自于北宋时期贾宪(11世纪)的《释锁》.在欧洲，帕斯卡

于1654年发现这一规律，比贾宪的发现要迟约500年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头

所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5,则在该数列中，第37项是()

1

1010

A.153B.171C.190D.210

【考点】规律型:数字的变化类.

【专题】规律型;运算能力.

【答案】C

【分析】根据图形找出数据之间的关系，再计算求解.

【解答】解：由题意可知，从第4行起的每行第三个数依次为3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,…,

所以第左（左24）行的第三个数为1+2+3+-+（%-2）,

在该数列中，第37项为第21行的第三个数,

所以该数列的第37项为1+2+…+19=19*（；+19）=190,

故选：C.

【点评】本题考查了数字的变换类，找到变换规律是解题的关键.

9.（2025春•江津区校级月考）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第

②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下

去，则第⑩个图案中正方形的个数为（）

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

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◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

①②③④

A.37B.41C.45D.49

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；运算能力.

【答案】B

【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由

此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第"个图形的算式，然后再解答

即可.

【解答】解：第1个图中有5个正方形；

第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4X1；

第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4X2；

第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4X3；

第八个图中有正方形，可以写成：5+4（«-1）=4〃+1；

当”=10时，代入4〃+1得：4X10+1=41.

故选：B.

【点评】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，发现规律是关键.

10.（2025•祥云县模拟）有一组单项式依次为a,-V2a2,V3a3,-2a4,V5a5,…，根据它们的规律,

第100个单项式为（）

A.-lOOfl100B.lOOfl100C.-lOfl100D.10a100

【考点】规律型：数字的变化类；单项式.

【专题】规律型；运算能力.

【答案】C

【分析】根据题意，可以发现第w个单项式的规律为（-1尸+1伤心，据此即可求解.

【解答】解：第1个单项式为（-1）1+%1,

第2个单项式为一迎a?=（-l）2+1V2a2,

第3个单项式为=（-l）3+1V3a3,

第4个单项式为—2a4=（-l）4+1V4a4,

.•.第n个单项式为（-1尸+1伤心，

.,.第100个单项式是（-=-10a100.

故选：C.

【点评】本题考查了单项式规律题，算术平方根，理解题意找到式子的规律是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•洛南县一模）如图是由大小相同的正六边形组成的“蜂窝图”，按此规律排列下去，则第9个

图案中有29个正六边形.

第1个第2个第3个

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】29.

【分析】根据所给图形，依次求出图形中正六边形的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解:由所给图形可知，

第1个图案中正六边形的个数为：5=IX3+2；

第2个图案中正六边形的个数为：8=2X3+2；

第3个图案中正六边形的个数为：11=3X3+2；

所以第w个图案中正六边形的个数为（3〃+2）个.

当n=9时，

3”+2=3X9+2=29(个),

即第9个图案中正六边形的个数为29个.

故答案为：29.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正六边形的个数依次增加3是解题的关

键.

12.（2025春•郑州月考）“杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在

我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察

下列各式及其展开式：

1

(a+b)'=a+b

11

121(a+bV=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

请你猜想（a+b）9展开式的第三项的系数是36

【考点】规律型：数字的变化类；数学常识.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】36.

【分析】根据题意，得出Q+b)”展开式中的第三项系数的变化规律即可解决问题.

【解答】解:由题知，

从Q+6)2开始，展开式的第三项的系数依次为1,3,6,10,15,…，

所以C〃展开式中的第三项系数为：1+2+3+…1=攻尹；

当〃=9时，

n(n-l)9x8

==36,

2------2

即(a+b)9展开式的第三项的系数是36.

故答案为：36.

【点评】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意发现(。+6)〃展开式中的第三项系

数的变化规律是解题的关键.

13.(2025•潼南区模拟)一个四位正整数M,其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字

与千位数字之和，则称这个四位数M为“压轴数”.将“压轴数”〃的千位数字去掉得到一个三位数，

再将这个三位数与原“压轴数”M的千位数字的3倍求和，记作F(M).则最大的压轴数与最小的压

轴数之差为7807.有两个四位正整数尸=1000a+200b+10c+d,K=1010a+200+x(IWa、c、d、x

W9,1W6W4)均为“压轴数”，若尸(P)+F(K)能被7整除且E(K)能被13整除，则满足条件的

P值的和为9507.

【考点】列代数式；整式的加减.

【专题】整式；运算能力.

【答案】7807；9507.

【分析】根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出F(P)+F

(K)和尸(K),然后根据E(P)+F(K)能被7整除且尸(K)能被13整除，即可求解.

【解答】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数，

又：各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和，

...千位不能为9,即千位最大是8,最小是1,

...最大的“压轴数”是8919,最小的“压轴数”是1112,

最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为8919-1112=7807,

•?P=1000a+2006+10c+d,K=1010a+200+x,

：.F(P)=2006+10c+d+3a,F(K)=104+200+无+3。,

•••个位数字等于十位数字与千位数字之和，

••d~-d~^c»尤:=2a,

：.F(P)=2006+llc+4a,F(K)=15a+200,

：.F(P)+F(K)=2006+llc+19a+200=(1966+196+7c+14a)+(4b+4+5a+4c),

F(K)=15a+200=(195+13。)+(5+2。)，

VF(P)+F(K)能被7整除且尸(K)能被13整除，

：.4b+4+5a+4c能被7整除，5+2a能被13整除，

:TWaW9,

.,.a=4,

46+4+5a+4c=24+4b+4c,

；.24+46+4c能被7整除，

•.TW6W4.KW9,

当匕=3,c=5时，F(P)+F(K)能被7整除，此时尸=4659,

当6=4,c=4时，F(P)+F(K)能被7整除，此时尸=4848,

其余取值均不符合，

，满足条件的p值的和为4659+4848=9507.

故答案为：7807,9507.

【点评】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，能正确理解题意并列出代数式是解决本题的

关键.

14.(2025•市中区一模)如图，春节期间，广场上空用红色无人机(。)和黄色无人机(△)组成如下图

案：

oAo

△△

OAO△c△人

o△o£

装蹩软

aA△△△

△△△△△△

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

结合上面图案中“O”和“△”的排列方式及规律，当正整数〃=8时，使得红色无人机(O)比

黄色无人机（△）的个数多28台.

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】猜想归纳；推理能力.

【答案】8.

【分析】根据所给图形，分别求出图形中。和△的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

第1个图案中。的个数为3=P+2,△的个数为10=1X4+6；

第2个图案中。的个数为6=22+2,△的个数为14=2X4+6；

第3个图案中。的个数为11=32+2,△的个数为18=3X4+6；

***J

所以第"个图案中。的个数为（层+2）个，△的个数为（4«+6）个.

由/+2=4〃+6+28得，

m=-4（舍去），砥=8,

所以w的值为8.

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现。和△个数的变化规律是解题的关键.

15.（2025•海淀区校级模拟）某快递员负责为A,B,C,D,E五个小区取送快递，每送一个快递收益1

元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表

小区需送快递数量需取快递数量

A156

B105

C85

D47

E134

（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一

种满足条件的方案ABC或ABE