2025年中考数学复习难题之一元二次方程

2025年中考数学复习难题速递之一元二次方程（2025年4月）

选择题（共10小题）

1.（2025春•合肥月考）已知某运动会中乒乓球比赛的赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行

了21场比赛，若设有x支球队参加比赛，则下列方程正确的是（）

11

A.-x（x+1）=21B.-%（x—1）=21

C.x（x-1）=21D.xCx+1）=21

2.（2025春•合肥月考）《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作.其

书中有一种几何方法可以解形如x（x+6）=27的方程的正数解，方法如下：如图，将四张长为（x+6）、

宽为x的长方形纸片（面积均为27）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为27X4+62=144,因此

大正方形的边长为12,故得x（x+6）=27的正数解为％=竽=3.小辉按此方法解关于x的方程f+px

-q=0时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为169,小正方形的面积为25,则p+q的值是（）

3.（2025春•合肥月考）若一元二次方程7+x-3=0的一个根为加，则2025-优2-机的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

4.（2025・永年区模拟）已知关于了的一元二次方程晨-1）/+2；1+1=0的两个实数根的和为2,则左=（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024秋•铜仁市期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四

位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位

同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一名同学的计算结果.接力计

算中，出现错误的同学是（）

李陈

A.张B.王C.李D.陈

6.（2025春•江津区校级月考）已知整式M:4Z5X5+«4X4+4Z3X3+6Z2X2+<21X+6Z0,其中40,41,〃2,〃3,Q4,Q5

均为自然数.则下列说法，正确的个数为（）

①若M—（X-1）5,则〃0+。2+〃4=16;

②〃0,41,02,。3,〃4,。5中必有两个数的差是5的倍数；

1

③当M=0时，该方程存在5个实数解记为XI,尤2,X3,X4,尤5,若存在整数"，使XLX"3X4X5=-而，且

410=1,OA--7?2+25,则44+。5存在最大值为25.

A.3个B.2个C.1个D.0个

7.（2025春•长寿区校级月考）新能源汽车节能环保，越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售

量为24万辆，销售量逐年增加且年平均增长率相同，2024年预估销售量为29万辆，求这款新能源汽

车的年平均增长率.设这款新能源汽车的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的为（）

A.24（1+x2）=29B.29（1-?）=24

C.29（1-%）2=24D.24（1+x）2=29

8.（2025春•巴彦县月考）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降

价的百分率为（）

A.10%B.15%C.20%D.30%

9.（2025•衡阳模拟）已知一元二次方程/-4x+左=0的一个根是3,则上的值为（）

A.-3B.0C.2D.3

10.（2025•福田区模拟）实数a,b定义新运算“*”如下：a*b=b2+ab,例如1*2=2?+1X2=4+2=6,则

方程2*尤=-2的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.没有实数根

—.填空题（共5小题）

2±/4-4x3x（-l）.

11.（2025春•合肥月考）若％=-----7-5---------是一元二次方程ax1+bx+c=Q的根，则a+b-c的值

为.

12.（2025•乌鲁木齐一模）设机，〃是方程/+x-2025=0的两个实数根,则m2+2m+n+mn的值为.

13.（2025春•东阳市月考）若关于x的方程（4-m2）f+23-1=0的所有根都是小于1的正实数，则实

数机的取值范围是,

14.（2025•江北区模拟）暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进

行销售，第一天销售256张.第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400

张.则第二、三天平均的增长率为

15.（2025•碧江区一模）如图，正方形ABC。的边长为4c机，E为A8的中点，点P以2cm/s的速度从点

2出发，沿2C-a）向点。运动，同时点。以Icwi/s的速度从点E出发，沿班-8C向点C运动，当

点P运动到点。时，P、Q两点同时停止运动，若在运动过程中，当SAAPQ=2SABPQ时，BP的长度

为____________________.

三.解答题（共5小题）

16.（2025春•合肥月考）2阅读与思考：

下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务.

研究一元二次方程的新解法

讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开

平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程x2-4.r-6=0,

设x^y+m（m为常数），

将原方程化为（y+加）2-4（y+M-6=0,①

方程①整理，得/+（2m-4）y+rrr-4m-6—0,②

令2m-4=0,解得m=2.

当m=2时，m2-4m-6=22-4X2-6=-10,

方程②化为f-10=0,解得%=V10,y2=-V10,

••xi=y\+m=_____________________▲,X2=yi+m=______________________

任务：

（1）直接写出材料中“▲”部分方程的解XI=,X2=

（2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3/+12无+1=0.

17.(2025春•合肥月考)配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值.

例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式-/-2x+4的最大值.

解：-/-2x+4=-(/+2x+l-1)+4=-(x+1)-+1+4=-(x+1)~+5.

-(x+1)2^0

，-(x+1)2+5W5,

当尤=-1时，-尤2-2x+4取最大值，最大值是5.

试利用配方法解决下列问题：

(1)求出x2+6x-9的最小值.

(2)已知尸=4/-x+2,Q=3/+3尤-5,试判断尸，。的大小，并说明理由.

(3)如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=12cm,M,N分别是线段AC和8c上的动点，

点〃从点A出发以lcm/s的速度向终点C运动，同时点N从点C出发以2cm/s的速度向终点B运动，

当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.设运动的时间为ts,则当t的值为多少时，四边形

的面积最小？最小面积为多少？

18.(2025春•上海月考)解下列关于x的方程:

(1)or2-2=7+1(cz#l)；

4%1

(2)j

%2+3%-4

o5

(3)2X4-2^=-3X；

(4)x—y/x—2=4.

19.(2025春•合肥月考)对于任意实数a,b(aWO)规定一种新运算a*6=5+"-2.例如：3*2=32+3

X2-2=13.请根据上述定义解决以下问题:

(1)计算：(-2)*3.

(2)若(-尤)*2的值为1,求x的值.

20.(2025•碧江区一模)随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河.暑期来

临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景

观，最后在九龙镇汇合.甲队走A路线，全程120千米；乙队走2路线，全程160千米.由于A路线

1

的路况没有2路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的一，最终甲队比乙队晚2天到达九龙

2

镇.

(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地；

(2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元.甲队最开始计划有8个人同行，计

划每人每天花费300元，后来又有机个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均

花费将减少30元.若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致.两队

共需花费17640元，求机的值.

2025年中考数学复习难题速递之一元二次方程（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BCAABBDCDD

选择题（共10小题）

1.（2025春•合肥月考）已知某运动会中乒乓球比赛的赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），一共进行

了21场比赛，若设有尤支球队参加比赛，则下列方程正确的是（）

11

A.-x（x+1）=21B.-%（%—1）=21

C.x（x-1）=21D.尤（x+1）=21

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了21场比赛，找出等量关系，列出方

程即可.

【解答】解：根据题意得：

1

-x（x—1）—21

故选：B.

【点评】本题考查一元二次方程的运用，解题的关键理解单循环形式的比赛规则.

2.（2025春•合肥月考）《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作.其

书中有一种几何方法可以解形如无（尤+6）=27的方程的正数解，方法如下：如图，将四张长为G+6）、

宽为x的长方形纸片（面积均为27）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为27X4+62=144,因此

大正方形的边长为12,故得xG+6）=27的正数解为x=专心=3.小辉按此方法解关于x的方程f+px

-q=0时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积为169,小正方形的面积为25,则p+q的值是（

【考点】一元二次方程的应用；数学常识；解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据题意将尤的方程1+.-4=0化为x（x+p）=q,即长方形的长为x+p,宽为X,再依据大

正方形的面积为169,小正方形的面积为25,用代数式表示出边长即可.

【解答】解：：大正方形的面积为169,小正方形的面积为25,

关于龙的方程S+px-q=0化为无（x+p）—q,

...图中长方形的长为x+p,宽为x,

图中小正方形的边长是x+p—x=p=V25=5,

大正方形的边长是x+x+p=2x+p=V169—13,

.13-58.<

..%=-—=2=%P=5，

,\q—jT+px=x（无+p）=4X（4+5）=4X9=36,

故p=5,q—36,

；.p+q=5+36=41,

所以p+q的值是41,

故选：C.

【点评】本题主要考查了解一元二次方程，数学常识，一元二次方程的应用，根据题目给出的条件、找

出合适的等量关系、列出方程是解答本题的关键.

3.（2025春•合肥月考）若一元二次方程d+x-3=0的一个根为加，贝U2025-加？的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【考点】一元二次方程的解；代数式求值.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】根据根是方程/+x-3=0的一个根，可得〃，+,〃=3,再代入代数式计算即可求.

【解答】解：由条件可知m2+m-3=0,

・・1n+in3,

.•.2025-tn2-/77=2025-Gf+m）=2025-3=2022.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键.

4.（2025・永年区模拟）已知关于工的一元二次方程（左-1）/+2；1+1=0的两个实数根的和为2,则改=（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】先根据一元二次方程的定义以及有实数根得到左W2且左W1,再由根与系数的关系即可求解.

【解答】解：由条件可知22-4（k-1）20,

解得kW2且左。1.

*,•%1+%2=~~T=2,解得k=3此时方程有实数解，

K.—J.

故选：A.

【点评】此题考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系、根的判别式，掌握一元二次方程根与系

数的关系是解题的关键，易错点容易忽略二次项系数不为0.

5.（2024秋•铜仁市期末）数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四

位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位

同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一名同学的计算结果.接力计

算中，出现错误的同学是（）

原方程

2x2+4x—1=0

【考点】解一元二次方程-配方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学.

【解答】解：原方程移项得：2X2+4X=1,故小张正确;

方程左右两边同时除以2可得：%2+2%=故小王错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键.

6.(2025春•江津区校级月考)已知整式M:fl5X5+4Z4X4+4Z3X3+tZ2X2+<71X+6Z0,其中〃0,ai,02,〃3,44,〃5

均为自然数.则下列说法，正确的个数为()

①若M=(X-1)5,则〃0+。2+〃4=16;

②“0,41,O1,〃3,44,45中必有两个数的差是5的倍数；

1

③当M=0时，该方程存在5个实数解记为XI,XI,X3,X4,尤5,若存在整数小使X1X2X3X4X5=-1且

40=1,。4=-7+25,则04+。5存在最大值为25.

A.3个B.2个C.1个D.0个

【考点】根与系数的关系；代数式求值；根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】表示出当x=l时，当x=-1时M的值，再进行加法运算即可判断①；令x=l,则M=

a=

。0+。1+。2+。3+。4+。5,令了=-1，则M=-。5+。4-。3+。2-。1+。0,表示出询+a2+4_1)

的+%+附=叭"=1)曰=_1),结合题意即可判断②；由题意结合一元二次方程的解以及一元二次

111101

方程根与系数的关系得出一=——,即〃5=-n,从而得出。4+。5=—几2+25—几=—(71+5)2+-］一,

asn/4

计算即可判断③，从而得解.

【解答】解：①当X=1时，〃5+。4+。3+"2+。1+。0=0①，

当X=-1时，-〃5+〃4-〃3+。2-〃1+〃0=-32(2),

工由①+②可得：2(〃o+〃2+〃4)=-32,

ao+a2+a4=-16,故①错误；

②令％=0,则M=〃o,

令X=1,则"=〃0+。1+。2+〃3+。4+。5,

令X=-1,贝IM=-。5+〃4-43+。2-〃1+。0,

.〃.+0_M(%=l)+M.=_l)_M(x=l)-M(x=-1)

••CLQIUn-2I口4—2，TLegT(Z5—?,

由条件可知Q0+Q2+3,。1+〃3+。5均为整数,

，Q0+〃2+〃4与41+Q3+Q5必有一个为5的倍数,

・・・〃0,4/1=2,〃2,43,〃4,45中必有两个数的差是5的倍数，所以②正确；

③由题意，得XI,%2,%3,X4,X5为方程即％6+*/+的/+的/+%.%+。0=0的五个解，

..1一

・％I%2%314%5=一或〃0一1，

11

——=——,BP475——九,

a5n

2

Va4=—n+25,

・、。

・・。4+.CI5=_—712'+Io25r—72_=—（r荏+I^1）2d।1^―1,

/.当"=0或”=-1时，44+05有最大值25,

...当”=-1时，04+45的最大值为25,

所以③正确，

综上所述，正确的有②③，共2个，

故选：B.

【点评】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的

关系，正确计算是解此题的关键.

7.（2025春•长寿区校级月考）新能源汽车节能环保，越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售

量为24万辆，销售量逐年增加且年平均增长率相同，2024年预估销售量为29万辆，求这款新能源汽

车的年平均增长率.设这款新能源汽车的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的为（）

A.24（1+/）=29B.29（1-%2）=24

C.29（1-尤）2=24D.24（1+x）2=29

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据平均变化率的等量关系。（l±x）2=b,增长为加，降低为减，列出方程即可.

【解答】解：由题意知，24（1+x）2=29,

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意是关键.

8.（2025春•巴彦县月考）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降

价的百分率为（）

A.10%B.15%C.20%D.30%

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识.

【答案】C

【分析】设平均每次降价的百分率为X,根据商品原来销售单价义（1-每次降价的百分率）2=现在销

售单价，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【解答】解：设平均每次降价的百分率为X,

根据题意得：25（1-%）2=16,

解得：xi=0.2=20%,尤2=1.8（不合题意，舍去），

即平均每次降价的百分率为20%,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

9.（2025•衡阳模拟）已知一元二次方程尤2-以+左=0的一个根是3,则人的值为（）

A.-3B.0C.2D.3

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】将x=3代入方程/-4x+k=0再解关于k的一元一次方程即可.

【解答】解：由条件可知32-4X3+4=0,

:.k=3.

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程的解的定义.方程的解就是能使左、右两边相等的未知数的值.

10.（2025•福田区模拟）实数a,b定义新运算"*"如下：a*b—b2+ab,例如1*2=22+1X2=4+2=6,则

方程2*尤=-2的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根

D.没有实数根

【考点】根的判别式；实数的运算.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据运算“*”的定义将方程2*x=-2转化为一般式，由根的判别式△<（）,即可得出该方程

无实数根.

【解答】解：由题可得：方程2*尤=-2化为f+2x=-2,

即X2+2X+2=0,

"：A=22-4X1X2=-4<0,

；•方程没有实数根，

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当A<0时，方程无实数根”是解题的关键.

填空题（共5小题）

2±U-4x3x（-l）"

11.（2025春•合肥月考）若x=」~E--------是一元二次方程aS+bx+c=0的根,则a+b-c的值为2

【考点】解一元二次方程-公式法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】2.

【分析】利用求根公式判断求解即可.

【解答】解：由条件可知。=3,b=-2,c=-1,

/.a+b-c=3-2+1=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查解一元二次方程-公式法，熟练掌握该知识点是关键.

12.（2025•乌鲁木齐一模）设m,n是方程/+尤-2025=0的两个实数根，则层+2优的值为-1.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】-L

【分析】根据题意得到m2+m=2025,m+n=-1,mn=-2025,将所求代数式变形得m2+m+Gn+n）

+"〃?，代入计算即可求解.

【解答】解：设相，〃是方程的两个实数根，

.,.nr+m=2Q25,m+n=-1,mn=-2025,

m2+2m+n+mn—nr+m+(〃?+w)+mn--1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的

关系的计算是关键.

13.(2025春•东阳市月考)若关于x的方程(4-相2)/+2如-1=0的所有根都是小于1的正实数，则实

数m的取值范围是m22.

【考点】根与系数的关系；根的判别式.

【专题】分类讨论；运算能力；推理能力.

【答案】相、2.

【分析】分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，分别求得根都是小于1的正实数时m的值

和取值范围即可.

【解答】解：①4-〃，=o,机=±2时，方程为一元一次方程，

1

I>m=2时，方程为4%-1=0,解得冗二五，符合题意；

4

II、根=-2时，方程为-4工-1=0,解得x=-[,不符合题意;

②4-苏不。，方程为一元二次方程，

△=(2m)2-4(4-m2)X(-1)=16>0,

.••方程有两个不相等的实数根，

._—2m+4_2(2—m)_1

•,"I—2(4-m2)—2(2+m)(2—m)—2+m,

_—2m—4_-2(m+2)_1

X2~2(4-m2)—2(2+m)(2—m)—m—29

:关于尤的方程(4-m2)/+2必-1=0的所有根都是小于1的正实数,

解得：加>2,

综上：

故答案为：根22.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系的相关知识.分类探讨关于尤的方程根的情况是解决本

题的易错点.

14.(2025•江北区模拟)暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进

行销售，第一天销售256张.第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400

张.则第二、三天平均的增长率为25%.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】设第二、三天平均的增长率为x,利用第三天的销售量=第一天的销售量X（1+第二、三天平

均的增长率）2,列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可.

【解答】解：设第二、三天平均的增长率为尤，

根据题意得：256（1+x）2=400,

解得：xi=0.25=25%,xi--2.25（不符合题意，舍去），

即第二、三天平均的增长率为25%,

故答案为：25%.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

15.（2025•碧江区一模）如图，正方形48。的边长为4cmE为A8的中点，点P以2c机/s的速度从点

8出发，沿BC-C。向点。运动，同时点。以1c机/s的速度从点£出发，沿EB-BC向点C运动，当

点尸运动到点。时，尸、。两点同时停止运动，若在运动过程中，当SAAPQ=2S^BPQ时，8尸的长度为

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】1或4.

【分析】分两种情况讨论，0ctW2,2</W4,根据&APQ=2SABPQ分别列出方程，解方程，即可求解.

【解答】解：如图所示，当0<rW2时，点0在线段班上，尸在BC上，

依题意，EQ=t,QB=2-t,则AQ=2+/；BP=2t,

•S/\APQ=2S/\BPQf

11

xPB=2x-BQxPB,

：.AQ=2BQ,

：.2+t=2(2-r),

解得：t=

CQ=CB-BQ=4-(L2)=6-t,

*/S正方形-(S/\ADP^-S/\ABQ+SAPCQ)=1S/\BPQ，

1I11

**•4x4一5X4X(8—2t)+2x(2t—4)(6—t)+)X4x(t-2)]=2X彳X(力—2)x(2t—4),

解得：£=4或/=-2（舍去）,

综上所述，t二|或4,

故答案为：孑或4.

【点评】本考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025春•合肥月考）2阅读与思考:

下面是八(1)班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务.

研究一元二次方程的新解法

讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开

平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程:-4尤-6=0,

设尤=y+机(机为常数)，

将原方程化为(y+〃z)2-4(y+m)-6=0,①

方程①整理，得/+(2m-4)y+m2-4m-6=0,②

令2根-4=0,解得777—2.

当77?=2时，iv1-4m-6=22-4X2-6—-10,

.,.方程②化为廿-10=0,解得力=V10,y2=-V10,

.".xi=yi+m=_V10+2_▲,无2=丫2+m=-VTU+2；

任务：

(1)直接写出材料中部分方程的解xi=_VIU+2—,%2=-V10+2.

(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3/+12%+1=0.

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)V10+2,-V10+2；

“、_733„_733

(2)I[=-2,%2=Q2•

【分析】(1)根据材料中的方法求出解即可；

(2)设x=y+m(m为常数),将原方程化为(y+m)2+4(y+m)+^=0,方程整理,得9+(2m+4)y+

iillii

m2+4m+耳=0,令2m+4=0解得-2,当m=-2时，根2+47n+可=—可，方程化为y?——^-=0,

解得%=孚，%=孚，%=—孚，即可求出答案•

【解答】解：(1)设尸尹机(机为常数)，

将原方程化为(y+m)2-4(y+M-6=0,①

方程①整理，得y2+(2m-4)y+m2-4m-6=0,②

令2m-4=0,解得m=2.

当m=2时，m2-4m-6=22-4X2-6=-10,

・,•方程②化为y2-10=0,解得力=0",y2=—V10,

m=

xr=yr+m=V10+2,xr=yr-\-m=VTo+2,x2=y2+~V10+2.

故答案为：V10+2,-V10+2；

(2)设％=y+m(机为常数)，

将原方程化为(y+m)2+4(y+m)+可=0①

方程①整理得：

1

y2+(2m+4)y+m2+4m+可=。②

令2m+4=0解得m=-2,

.111

当m=-2时，m2+4m+可=一万"，

方程②化为必—孕=0

A774B_133_,33

解得，丫2=—»

._._J33_J33Q

・・％】=y1+??1=-92,%2=y2+血=2•

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，

17.(2025春•合肥月考)配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值.

例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式-%2-2x+4的最大值.

解：-/-2x+4=-C+2x+l-1)+4=-(x+1)“+1+4=-(尤+1)〜+5.

：-(尤+1)2^0

-(x+1)2+5W5,

...当尤=-1时，-/-2x+4取最大值，最大值是5.

试利用配方法解决下列问题：

(1)求出x?+6x-9的最小值.

(2)已知P=4/-x+2,。=3/+3尤-5,试判断尸，。的大小，并说明理由.

(3)如图，在△ABC中，/C=90°,AC^6cm,BC=12cm,M,N分别是线段AC和BC上的动点，

点〃从点A出发以lcm/s的速度向终点C运动，同时点N从点C出发以2cm/s的速度向终点8运动，

当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.设运动的时间为ts,则当f的值为多少时，四边形

的面积最小？最小面积为多少？

CNB

【考点】配方法的应用；三角形的面积；非负数的性质：偶次方；完全平方公式.

【专题】配方法；运算能力.

【答案】(1)-18；

(2)P>Q.理由见解析；

(3)f=3时，四边形AMN8面积的最小值，最小面积为27c”，.

【分析】(1)直接利用完全平方公式和材料求解即可；

(2)先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可；

(3)根据题意表示出SAMCN=-(t-3)2+9,再利用完全平方的非负性求出当t的值为3时，△MCN

的面积有最大，最大值为9cm2.由四边形AMNB的面积得到当f=3时，四边形AMNB

面积的最小值，最小面积为36-9=27(cm2).

【解答】解：(1)，/X2+6X-9=(x+3)2-18,

(x+3)220,

(x+3)2-182-18,

当尤=-3时，X2+6X-9的最小值为-18.

(2)P>Q,理由如下：

P-Q—(4尤2-尤+2)-(3X2+3X-5)=7-4x+7=(%-2)2+3,

,?(x-2)2\0,

(%-2)2+3>3>0,

■,-P>Q.

(3)由题意得：CM=6-t,CN=2t,

1

:*SAMCN=2x2tx(6—t)=-t2+6t=—(t—3)2+9,

.,*-(L3)2・0,

，(L3)2+9<9,

・••当力=3时，-(L3)2+9有最大值，最大值为9,即：当/的值为3时，△〃0代的面积最大，最大

值为9cm2.

,:S四边形AMN3=S44BC-S4MCN

当AMCN的面积最大时，四边形AMNB的面积有最小值，

即当f=3时，四边形AWVB面积的最小值，最小面积为36-9=27(cM

【点评】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全

平方公式是解本题的关键.

18.(2025春•上海月考)解下列关于x的方程：

(1)ax2-2=X2+1(aWl)；

(4)x—Vx-2=4.

【考点】无理方程；解分式方程；解一元二次方程-直接开平方法.

【专题】方程与不等式；运算能力.

【答案】(1)/=言;

(2)xi=3,X2=-1；

51

(3)%]——f汽2=1，-2，%4~一1；

(4)x=6.

【分析】(1)按照解方程的步骤，即可求解；

(2)方程两边同时乘以W+3X-4,消去分母，解出方程后再结合原方程分母不为。验证根是否存在即

可；

(3)利用换元法，令y=2W+3x,解出y的值，再代入求解即可；

(4)将无理方程转化为整式方程，求解后再验证即可.

【解答】解:(1)OJ?-2=X2+1,

aj?-X2=1+2,

(〃-1)/=3,

解得：%i=

(2)原方程变形可得:

4%1

+=1,

(x-l)(x+4)--x+4

4x+x-1=f+3x-4,

.*.x2-2x-3=0,

**.(x-3)(x+1)=0,

解得：Xl=3,X2=-1,

经检验，X1=3,X2=-1是原方程的解,

工原方程的解是Xl=3,X2=-1;

(3)将原方程移项可得:

2/+31=品?

2

令y=2x+3xf

・・・y—4=3,

)y

.*.y2-4y-5=0,

・・・(y-5)(y+1)=0,

解得：yi=5,y2=-b

当y=5时，2/+3x=5,

2X2+3^-5=0,

⑵+5)(x-1)=0,

解得：=-29%2=L

当y=-1时，2?+3x=-1,

.*.2X2+3X+1=0,

(2x+l)(x+1)=0,

解得：x3=-x4=-1,

q1

经检验，第1=一,，冷=1，％3=-2，%4=-1是原方程的解，

工方程的解是久1=一%2=1，久3=—%4=-1；

(4)X—V%—2=4,

.*.%—4=V%—2,

.'.x2-8x+16=x-2,

.'.x2-9x+18=0,

(x-3)(尤-6)=0,

解得：xi=3,X2=6,

经检验，尤1=3是增根，X2=6是原方程的解，

方程的解为x=6.

【点评】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解无理方程等知识，掌握相关知识是解题的关键.

19.(2025春•合肥月考)对于任意实数b(a#0)规定一种新运算“*6=a"+a6-2.例如：3*2=3〉+3

X2-2=13.请根据上述定义解决以下问题：

(1)计算：(-2)*3.

(2)若(-尤)*2的值为1,求x的值.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；有理数的混合运算.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】⑴-16；

(2)xi=-LX2=3.

【分析】(1)根据新定义计算即可；

(2)根据新定义得到f-2x-2=l,利用因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：(1)(-2)*3=(-2)3+(-2)X3-2=-16；

(2)a*b=ab+ab-2,

(-x)*2=(-x)2-2x-2=/-2x-2,

x1-2x-3=0,

(x+1)(尤-3)=0,

解得尤1=-1.X2=3.

【点评】此题考查了实数的新定义运算，解一元二次方程，理解新定义的运算是解题的关键.

20.(2025•碧江区一模)随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河.暑期来

临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自然景

观，最后在九龙镇汇合.甲队走A路线，全程120千米；乙队走2路线，全程160千米.由于A路线

的路况没有8路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的去最终甲队比乙队晚2天到达九龙

镇.

(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地;

(2)在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为135元.甲队最开始计划有8个人同行，计

划每人每天花费300元，后来又有机个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均

花费将减少30元.若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致.两队

共需花费17640元，求m的值.

【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】(1)甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地；

(2)fn=6.

【分析】(1)设甲队计划1天到达目的地，则乙队计划(元-2)天到达目的地，根据甲队每天行驶的路

程是乙队每天行驶路程的科建立方程求解即可；

(2)分别用含尤的代数式计算出两队的费用，再根据总费用为17640元建立方程求解即可.

【解答】解：(1)设甲队计划尤天到达目的地，由题意得：

1201160

=­,,

x2x-2

解得冗=6,

经检验，I=6是原方程的解，且符合题意，

Ax-2=4,

答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地；

(2)由题意得，135X4(m+8)+6(300-30加(m+8)=17640,

解得m—6或m--1(舍去).

【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系建立

对应的方程是解题的关键.

考点卡片

1.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为。时，则其中的每一项都必须等于①

2.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计

算；如果有括号，要先做括号内的运算.

(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化

为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积

为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

3.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度要会选择它合

适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

4.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的