2025年中考数学考点过关练：二次函数的应用

第13关二次函数的应用

考点1抛物线与线段长、面积、角度

1.R024江苏南京二模］如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，

已知网格的单位长度为1,若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为()

343

A.-B.lC.-D.-

432

第1题图第2题图

2.［2024黑龙江大庆校级模拟］如图，正方形ABCD的顶点A,B与正方形EFGH的顶点G,H同在一段抛物线

上,且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形的边AB与EF同时落在x轴上,若正方形ABCD的边长为

4,则正方形EFGH的边长为()

X.2V5+2B.V5-1C.2V5-20,V5+1

3.［2024辽宁］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+.+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,

0),若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为.

4.［2024湖南永州二模］如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，在矩形ABCO中，B点坐标为(4,2),A、C分

别在y轴、x轴上.D点坐标为(1,0),连接AD,点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1

单位/秒，当E、F两点相遇时,两点停止运动.过E点作EG〃AD交x轴于H点，交y轴于G点，连接FG,FH,在运

动过程中，△FGH的最大面积为,

5.［2024新疆］如图.抛物线y=科久2一4久+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上

移动(点C在点D下方)，且CD=3.当AD+BC的值最小时.点C的坐标为.

6.［2024湖北武汉］抛物线y=12+2久一|交x轴于A,B两点(A在B的右边)，交y轴于

点C.

(1)直接写出点A,B,C的坐标.

⑵如图⑴,连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ〃AC,交y轴于点Q.若BC平分线段PQ,求

点P的坐标.

(3)如图(2),点D与原点O关于点C对称,过原点的直线EF交抛物线于E,F两点(点E在x轴下方)，线段D

E交抛物线于另一点G,连接FG.若NEGF=90。,求直线DE的解析式.

7.[2024重庆B卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+族_3与x轴交于A(-1,O).B两点，交y轴于

点C、抛物线的对称轴是直线久=1

⑴求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD〃x轴交抛物线于点D、作PELBC于点E,

求PD+苧PE的最大值及此时点P的坐标；

⑶将抛物线沿射线BC方向平移逐个单位，在PD+亨PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应

点，连接AF交y轴于点M,点N为平移后的抛物线上一点、若/NMF-NABC=45。,请直接写出所有符合条件的

点N的坐标.

考点2二次函数的实际应用

8.[2024山西介休校级模拟]中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧

道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，图2为截面示

意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，

建立平面直角坐标系.经测量，0A=12m,抛物线的顶点P到0A的距离为5m，则抛物线的函数表达式为()

图1图2

Ay=—：（%+6）2B.y=——6）2

C.y=——（x+6）2+5D,y=——（%—6）2+5

3636

9.［2024天津］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式

是％=30t—5t2（0<t<6）,有下列结论:

①小球从抛出到落地需要6s；

②小球运动中的高度可以是30m；

③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.

其中，正确结论的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

10.［2024广西］如图,壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是:m,出手后实心球沿一段抛物线运行,

到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则OM为m.

11.［2024甘肃］如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，图2是棚顶的竖直高度

y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足的函数关系y=-0.02/+0.3%+1.6的图象，

点B（6,2.68）在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD=4m，高DE=1.8m的矩形,则可判定

货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

图1图2

12,2024广东］广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔

枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100

吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售

收入”最大?并求出其最大值.（题中“元”为人民币）

提升练

13.[2024陕西西安校级模拟]在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y=x2+x-2在第三象限的部分上的一

点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P,Q,则四边形OPMQ的周长的最大值为

()

A.lB.2C.4D.6

14.[2024广东佛山校级模拟]据科学计算，运载“神十八”的长征二号F火箭在点火后第一秒内通过的路程为2k

m,第二秒结束时共通过了6km的路程，第三秒结束时共通过了12km的路程，在这一过程中路程与时间成二次

函数关系，在达到离地面240km的高度时，火箭拐弯，则这一过程需要的时间大约是（）

A.10秒B,13秒C.15秒D.20秒

15.[2024贵州遵义一模]如图1,质量为m的小球从高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已

知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）.从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在

整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度Al（cm）之间的关系图象如图2所示.根据图

)

A.小球刚接触弹簧就开始减速

B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大

C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm

D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm

16.[2024内蒙古呼伦贝尔二模]已知抛物线y=-2（X-1）（久-9）与x轴交于A,B两点，对称轴与抛物线交

1O

于点C,与X轴交于点D,©C的半径为2,G为。C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为

)

D.5

17.[2024四川资阳]已知二次函数y=-|x2+bx与y=|x2-bx的图象均过点A（4、0）和坐标原点O，这两个

函数在0WXW4时形成的封闭图象如图所示F为线段OA的中点过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B,

C两点.给出下列结论：

①b=2;②PB=PC;③以O,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形;④若点B的横坐标为1,点Q在y轴上（Q、B、

C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为：5+V13.

其中，所有正确结论的个数是（）

18.[2024吉林长春一模]如图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从O点正上方发出，把球看成点、其

运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足表达式y=-0.02/+0.24x+a.已知球网与O点的水平距离为9米,

高度为2.43米，球场的边界距O点的水平距离为18米.若排球不碰球网且不出界，则a的取值范围是.

（排球落在边界线上时为界内）

19.[2024江西]如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=a/+版（a<0

）刻画，斜坡可以用一次函数y=（x刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：

X012m4567・•・

715157

068n・•・

y2TT2

⑴①m=.n=;

②小球的落点是A,求点A的坐标.

（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系：y=-5t2+vt.

①小球飞行的最大高度为米；

②求v的值.

20.[2024江苏扬州]如图，已知二次函数y=-/+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)、B(1,O)两点.

⑴求b、c的值

⑵若点P在该二次函数的图象上，且4PAB的面积为6,求点P的坐标.

21.[2024黑龙江牡丹江]如图，二次函数y=|x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A

的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),连接BC.

⑴求该二次函数的解析式；

(2)点P是抛物线在第四象限部分上的任意一点，当4BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为.

22.[2024河南]从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(n0满足关系式h=-5产+其中t(s)是物体运动

的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.

(1)小球被发射后S时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).

(2)若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度.

⑶按⑵中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”

已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由.

23.[2024陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁的缆索J与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO

与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直

角坐标系.

已知：缆索J所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m,

AO=BC=17m,缆索Li的最低点P到FF的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计).

⑴求缆索LI所在抛物线的函数表达式；

⑵点E在缆索L2上,EFLFF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的长.

24.[2024北京大兴区一模]某洒水车为绿化带浇水.图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作

是抛物线的一部分、下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.喷水口H距地面的竖直高度OH为1.5m,喷

水区域的上、下边缘与地面交于A、B两点，上边缘抛物线的最高点C恰好在点B的正上方，已知OA=6m、OB=

2m,CB=2m.建立如图2所示的平面直角坐标系.

(1)在①y=-久工+2)2+2,②y=-式”-2)2+2两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为一

OO

下边缘抛物线的表达式为(把表达式的序号填在对应横线上).

⑵如图3、洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶、绿化带的横截面可以看作矩形DEFG,水平宽度DE=3m,竖

直高度DG=0.5m.如图4,OD为喷水口距绿化带底部的最近水平距离(单位：m).若矩形DEFG在喷水区域内，则

称洒水车能浇灌到整个绿化带.

图3图4

①当OD=2.6m时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由；

②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则OD的取值范围是

2322

25.[2024广东广州]已知抛物线y=ax-6ax-a+2a+l(a)0)过点A.,2)和点B(x2,2),直线l:y=mx

+九过点C(3,l),交线段AB于点口,记4CDA的周长为Ci,△CDB的周长为C2，且G=C2+2.

(1)求抛物线G的对称轴.

(2)求m的值.

⑶直线1绕点c以每秒3。的速度顺时针旋转t秒后（0*45兑导到直线1；当r〃AB时，直线1交抛物线G于E,F

两点.

①求t的值；

②设△AEF的面积为S,若对于任意的a>0,均有S>k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式.

26.[2024吉林长春]在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=x2+2x+c(c是常数)经过点(-2,-2).

点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、-m,点C的横坐标为-5m，点C的纵坐标与点A的纵坐

标相同，连接AB、AC.

⑴求该抛物线对应的函数表达式.

(2)求证：当m取不为零的任意实数时,tanZCAB的值始终为2.

(3)作AC的垂直平分线交直线AB于点D,以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE,连接DE.

①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；

②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.

2

27.[2024湖南长沙]已知四个不同的点A&,yi),C(x2,y2),B(x3,y3),D(x4,y4)都在关于x的函数y=ax+

bx+c(a,b,c是常数，a/))的图象上.

⑴当A,B两点的坐标分别为(-1,-4),(3,4)时，求代数式2024a+1012b+物值

2

(2)当A,B两点的坐标满足a+2(yi+y2)a+4yly2=。时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，

并说明理由.

2

(3)当a>0时该函数图象与x轴交于EF两点且AB,CQ四点的坐标满足：2a+2(yt+y2)a+比+犬=0

2

,2a-2(y3+y4)a+yj+y1=0.请问是否存在实数使得AB,CD,mEF这三条线段组成一个三角形，且该

三角形的三个内角的大小之比为1：2：3?若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：

m-EF表示一条长度等于EF的m倍的线段).

第13关二次函数的应用

1.D解析：建立平面直角坐标系如图所示，依题意可知，经过点A,B,C时，抛物线开口向上，a的值最大,

•.A(-1,O),B(2,O),

.・抛物线解析式为y=a(x+l)(x-2),将C(l,-3)代入得-3=-2a,解得a=|,

2.C解析:•.正方形ABCD边长为4,.•.抛物线顶点坐标为(0,4),B(2,0),设抛物线解析式为y=a/+由将B点坐

标代入得0=4a+4,解得a=-l,

•,抛物线解析式为y=-%2+4,设G点坐标为((m^-m2+4),则2m=-m2+4,

整理得m2+2m—4=0,

解得7nl=-1+V5,m2=-1-遍舍去)，(

「•正方形EFGH的边长：=2m=2A/5—2.

3.4

解析:由题意,•.抛物线y=ax2+bx+3过B(3,0),C(2,3),

|9a+36+3=0,(a=-l,

14a+26+3=3,'(6=2.

，抛物线为y=-x2+2x+3.

，抛物线的对称轴是直线x=l.

■:抛物线与x轴的一个交点为B(3,0),

，另一交点A的坐标为(-1,0).

..AB=3-(-l)=4.

4.4.5

解析:由题意可知A(0,2),

，设直线AD的解析式为y=kx+2把D(l,0)代入得k+2=0,解得k=-2,

，直线AD的解析式为y=-2x+2,

•.EGHAD,

，设直线EG的解析式为y=-2x+b,则G(O,b),

当y=2时，x=—,

.•.E(等，2),

4bb—2r，.j-,b—2

•••AE=—,•••BDF=AE=—,

2，2

h—9

EF=4-2X—=6-b,

2，

1

SHFCII=S^EFC+S^EFH=々EF.0G=

—(6-6),b=-g(6—3)2+4.5,

|<0,当b=3时AE=I<

AFGH的最大面积为4.5.

5.(4,1)

解析：如图，作A点关于对称轴的对称点A1,WA，向下平移3个单位，得到A",连接A"B,交对称轴于点

C,

止匕时AD+BC的值最小,AD+BC=A"B,在y=^x2-4x+6中，令x=0彳导y=6〃•.点A(0,6),

令y=(X得|x2-4x+6=0,

解得x=2或x=6,

:点B(2,0),

•・抛物线的对称轴为直线久=-口=4,二八'(8,6),「八"(8,3),设直线人"8的解析式为y=kx+b代入A”,B的

2X2

坐标得慑非二演得｛jt;,

，直线A"B的解析式为y=，—1,当x=4时,,y=l,，c(4,l).

6.(l)A(l,0);B(-5,0);c(0,-|

⑵P(-2，-3

⑶y=一|%-5

解析:⑴由y=次+2%-英］,当x=0时,y=一盘则C(0,一|),当y=0时,|x2+2x-|=0,解得/=-5

,X?=1.

.A在B的右边，

.­.A(l,0),B(-5,0).

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k/0),

z匚、k+b—0,fc=7,

将A(1,0),C(0，—|)代入，得｛°=一三，解得｛=

2-2，

..直线AC的解析式为y=|“—|,

■.PQllAC,

・•・设直线PQ的解析式为y=|%+bi，

•••P在第三象限的抛物线上，

・•.设P(苗/+2t—|)(―5<t<0),

・•・：七+瓦—|+2t—

・•・瓦=-t2----,

1222

.­.Q(0-t2

y1222/

设PQ的中点为M,

••・c(0,—，・••设BC所在直线的解析式为y=k°K-I，

将B(-5,0)代入得0=—一盘解得^0=

二直线BC的解析式为y=—3久一李

•.BC平分线段PQ,

.■.M在直线BC上，

.1t5_〃+|t-5

222-2'

解得£1=-2也=。舍去).(

当t=-2时,|t2+2t-|=-|,

・•・P(-2，号).

(3)如图所示过点G作TSllx轴，过点E,F分别作TS的垂线,垂足分别为T,S,

・•・NEGT=90°-NFGS=NGFS,

.•.△ETG—GSF.

ET_TG

••GS-FS'

BPGS-TG=ET-FS.

1•点D与原点O关于点C（0，-1）对称，

.D（0,-5）,

设直线EF的解析式为y=Lx直线DE的解析式为：y=k2x-5.

联立直线EF与抛物线的解析式得

y=心久，

2

{y=lx2+25可得fc1X=lx2+2X-I，即|x+（2--|=0.

y=k2x-5,

联立直线DE与抛物线的解析式得{12,95可得kx-5=-x2+2x一卞即/2+&-七）％+

y=-X+ZX—,2222

:22,

J.

设XE==f,XQ=g,

：ef=-5,eg=5ze+g=2k2-4f

..f=-g,

FT=je2+2e-|-(^g2+2g-|)=~(e+g+4)(e-g),

FS=lf2+2f-l-^g2+2g-l)="f+g+4)(—g).

•.GSTG=ETFS,

­■(f-g)(g-e)=^(e+g+4)(e-g)-+g+4)(/-g),

将.f=-g代入得e+g=-5,

•••2k2—4=-5,々2=一右

直线DE的解析式为y=-1x-5.

7.(l)y=|x2-|%-3

(2)PD+亨PE的最大值为；此时P的坐标为(5,-3)

(3)(^-4-V73),(l+V13,季)

解析:⑴.•点A(-1,O)在抛物线y=a/+bx-3上，抛物线的对称轴是直线x=|,

a—b—3=0,a=-,

2

・・・{__L=三解得{5

2a~2"b=

，抛物线的表达式为y=4-|久-3.

⑵如图，延长PE交x轴于G,过P作PHIIy轴交BC于H,

在y=|x2-|x-3中，令y=(X得0=|x2-|x-3,

解得X]=-1,%2=6,

.-.B(6,0).

当x=0时,y=-3,

..C(0,-3),

BC=V32+62=3^5,

6_2^5

・•・sin^BCO=—3V5-5'

・「PHlly轴〃•.NPHE=NBCO,

•••sinNPHE=署=言，:PE=卓「丹由B(6,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为y=jx-3,

设P(X<|x2-|x-3)厕H(%'|x-3),PH=-|x2+3x,

,・抛物线y=|x2~lx-3的对称轴为直线x=I，P£)=2(%-j^)=2x-5,

PD+—PE=2x—5+—x—x(—-x2+3x)=--x2+5x—5,

225\272

1

•・.——<0,

2

・•・当PD+千时，PE取光=-一六不=5得最大值，最大值为项t匕时,JP(5、-3).

22x——)2

(3)将抛物线沿射线BC方向平移返单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，,新的抛物

线为y=|(X+2)2-1(x+2)-3-1=|%2-|x-7,F的坐标为(3,-4),

如图，当N在y轴左侧时，过N作NK±y轴于K,

由A(-l,0),F(3,-4)得直线AF的解析式为y=-x-l,当x=0由y=-l,

..NAMO=NOAM=45°=NFMK,

•.zNMF-zABC=45°,

.•.zNMK+45°-zABC=45°,

..NNMK=NABC,

tanNNMK=tan为BC=黑=|='设N(n>|n2—|n—7),

NK_-n_1

.•MK~-l-ln2+|n+7-2，

解得n=手或n=胃舍去)，经检验n=看是原方程的解，且符合题意，

Np2尹,4-可)；

当N在y轴右侧时，易知点N在点F右侧，点M上方，过M作y轴的垂线MT,过N作NT,MT于T,

同理可得NNMT=NABC,

12_1_7,1

设N7)则T(m,-1),同理可得

m=1+6巨或m=1-旧(舍去),经检验，m=l+旧是原方程的解，且符合题意,

・•.N(i+vn，竽)，

综上所述，所有符合条件的点N的坐标为(手，4-履)，(1+旧，①|二)

8.D解析:•.•0A=12m,抛物线的顶点P到0A的距离为5m,

，抛物线顶点P的坐标为(6,5),

设抛物线的函数表达式为y=a(x-6¥+5,

将0(0,0)代入y=a(x-6)2+5得0=36a+5,

解得a=

DO

.,抛物线的函数表达式为丫=—幺％—6T+5.

DO

9.C解析:①令h=0,则30t-5t2=o,解得t1=0,t2=6,

二小球从抛出到落地需要6s,故①正确；

(2)h,=30t—5t2=—5(t2—6t)=—5(t—3)^+45,

•.-5<0,

二.当t=3时,h有最大值，最大值为45,

二小球运动中的高度可以是30m,故②正确；

③t=2时,h=30x2-5x4=40,

t=5时,h=30x5-5x25=25,

二小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误.

正确结论的个数是2,故选C.

10.3-

3

解析：以点0为坐标原点，直线0M为x轴，直线0P为y轴，建立平面直角坐标系，

设抛物线解析式为y=a(x—5尸+/把(0，：)代入得25a+4=(解得a=一言，

，抛物线解析式为y=—言(x-5尸+4.

.M为抛物线与x轴的交点，令y=—磊(x-57+4=0,解得/=率&=一|•(不合题意，舍去),•OM

35

=­m.

3

11.能

解析:.CD=4m,B(6268)"-.6-4=2,

在y=—0.02*2,|_o3x+1.6中,

当x=2时，y=-0.02x22+0.3x2+1,6=

2.12,

•.212>1.8,.•.货车能完全停到车棚内.

12.解：设该果商定价为每吨x万元时，每天的利润为w万元，销售收入为t万元，

贝Uw=(x_2)[100+50(5-x)]

=-50(x-4.5)2+312.5,

t=x[100+50(5-x)]

=-50(X-3.5)2+612.5,

•.-50<0,

二当x=4.5时，w取最大值，最大值为312.5,

当x=3.5时,t取最大值，最大值为612.5.

答：该果商定价为每吨4.5万元或3.5万元时才能使每天的"利润"或"销售收入"最大，其最大值分别为3

12.5万元,612.5万元.

13.D解析:令y=0,贝!I：x2+x-2=0,解得/=—2,%2=1,

，抛物线与x轴的交点为(-2,0),(1,0),

设M(jn>m2+m—2)(—2<m<0),贝!]MQ=—m,MP=—(m2+m-2)=—m2—m+2,

设四边形OPMQ的周长为L,

贝！］L=2(—m2—m+2—m)——2(m2+2m-2)=-2(m+l)2+6,

•.-2<0,.-.m=-l时,L取最大值，为6.

14.C解析：设二次函数的解析式为y=a/+bx+c,

a+b+c=2,a=1,

贝U(4a+2b+c=6,解得｛b=1,

9a+3b+c—12,c=0,

二二次函数的解析式为y=x2+x,

，y=240时，240=x2+x,

解得x=15或x=-16(不符合题意,舍去)..•.需要的时间大约是15秒.

15.D解析：由图象可知，弹簧被压缩2cm后小球开始减速，

故选项A不符合题意；

由图象可知，当弹簧被压缩至最短时，小球的速度为0,

故选项B不符合题意；

由图象可知小球速度最大时，弹簧被压缩2cm,

此时弹簧的长度为12-2=10(cm),故选项C不符合题意；

由图象可知，当小球下落至最低点时，

弹簧被压缩的长度为6cm,

此时弹簧的长度为12-6=6(cm),

故选项D符合题意.故选D.

16.A解析:连接BG,/P为AG的中点,D为AB的中点」PD是^ABG的中位线,二DP=\BG,.当BG的值最

大时，DP的值最大.

由圆的性质可知，当G,C,B三点共线时，BG的值最大.

由题意可知C(5,3),B(9,0),

•••BG的最大值为：2+5=7,

.■DP的最大值为!

17.D解析:①1•二次函数y=-号/+法与丫=科久2—法的图象均过点A(4,0)和坐标原点O,P为线段OA

的中点，

.•.P(2,0),两个函数图象的对称轴均为直线x=2,=2,.-.b=2,故①正确；

2x(9

②如图，过点B作BD±x轴于点D,过点C作CE，x轴于点E,

.•ZCEP=NBDP=90°,由函数图象的对称，性可知PE=DP,

.“CEP9BDP(ASA),

，PB=PC,故②正确；

③如图，当点B,C分别为两个函数图象的顶点时，BC^OA,点B,C的横坐标均为2,

由②知PB=PC,又加是OA的中点,.•.四边形OBAC为平行四边形，

由①可知两个函数的解析式分别为y=-jx2+2%,y=1x2-2x,

.-.B(2,2),C(2,-2),

，BC=2-(-2)=4,

•.点A(4,0),，OA=4,r.BC=OA,.•.平行四边形OBAC是矩形,

又.BJOA,

二四边形OBAC为正方形，故③正确；

④如图，作点B关于y轴的对称点B1,连接BC交y轴于点Q,此时3CQ的周长最小，最小值=8(+8(：,

•.点B的横坐标为1,

.­•B(1，|)点C的横坐标为3,

■■■BC=J(3-l)2+(-|-|)2=V13,

B'C=J(T-33+(|+|)2=5,

.“BCQ周长的最小值为：5+g,故④正确.故选D.

18.1.89<a<2.16

解析：根据题意得，当x=9时，

y=-0.02x92+0.24x9+a=0.54+a>2.43,解得a>1.89；

当x=18时,

y=-0.02x182+0.24x18+a=-2.16+a40,

解得a<2.16.

/.a的取值范围是1.89<a<2.16.

19.(1)@3；6②(代)

⑵①8(填"TT)=亦可)②4V10

解析:⑴①略.

②设y=a[x-4)2+8,

将(2,6)代入得(a(2—4尸+8=6,

解得a=.

得=—|x2+4x,

解得Xi=0(舍)

将尤=当代入y=:与得y=p

二点A的坐标是怎用.

⑵①略.

②—5t2+优=—5(­

—=8,

20

解得V1=4V10,v2=-4V10.

y=-st2+vt=-5(t-总2+2图象的对称轴为t=已由题意可知卷>0,

v>(),>,-v=4V10.

2O.(l)b=-l;c=2

(2)(-3,-4)或(2,-4)

2

解析:⑴把A(-2,0),BQ,0)代入y=-%+bx+cf

传i-1+b+c=0,蝌守1c=2.

(2)由⑴知，二次函数解析式为y=-%2-%+2,

设点P坐标为((加一加？一Hl+2),

2

,「△PAB的面积为6,AB=l-(-2)=3,・•.SAPAB=^AB-|yP|=1x3x|-m-m+2|=6z

•••I—m2—m+2|=4,

即—m2—m+2=4或—m2—m+2=—4,

「.m=-3:或m=2,

」.P(-3,-4)或P(2,-4).

21.(l)y=1x2—|x—3

(2)W

解析：(1)把(-L0)和。-3)代入解析式得｛A°+°=°，解得»=一5,

c=—3,c=—3,

二该二次函数的解析式为y-|x2-|x-3.

⑵令y=0厕。="2一|万一3,解得X1--l,x2=6,

.•点B的坐标为(6,0),

BC=VOB2+OC2=府”=3遥股直线BC的解析式为y=mx+n,将点B.C的坐标代入得

{6，；］；’0解得{加=5

0771十九一U,九二—3

.•直线BC的解析式为y=i%-3,过点P作PDJ_x轴交BC于点D,设点P的坐标为为(久，步-1久-3).

则点D的坐标为

•••^=1X-3-(|X2-|X-3)=-|X2+3X,

22

•••SLPBC=10B-PD=|x6-(-|%+3x)=-|(x-3)+y,

.•.SAPBC的最大值为y

PN=2S=BC=21=辿

BC3V55'

22.(1)

(2)20m/s

(3)小明的说法不正确；理由见解析

解析：1)"=—5/+%t=—5(t—劫2+J

，当t=工时，小球离地面的高度最大.

⑵根据题意，得当"齐寸，，h=20.

-5x偿7+%*羽=20.

解得v0=20(负值舍去).

二小球被发射时的速度为20m/s.

(3)由(2),得h.=-5Z2+20t.

当h=15时，15=—5t2+20t.

解方程，得h=l,t2=3.

•.3-1=2⑸，

，小明的说法不正确.

23.(1方=京(x-50)2+2

(2)40m

解析:(D；A0=17m,

.•点A(0,17),

又OC=100m,AO=BC=17m,PD=2m,

P(50,2).

故可设缆索Li所在抛物线的解析式为y=a(久-50尸+2.

将(0,17)代入抛物线解析式，得17=a(0—50尸+2)

，2500a+2=17.

3

...Cl=-----

500

,缆索Li所在抛物线的函数表达式为y=^(%-50)2+2.

(2)1•缆索L】所在抛物线与缆索1_2所在抛物线关于y轴对称，

二缆索L2所在抛物线为V=京(久+50/+2.

令y=2.6,!则2.6=京(久+50)2+2,.,.x=-40或x=-60.

又EF，FF',FO<OD=50m,;.FO的长为40m.

24.(1)②;①⑵①不能；理由见解析(2)2<0D<2V3-1

解析：Q)由题意知,C(2,2),故设上边缘抛物线的表达式为y=a(x-2)2+2.

又上边缘抛物线过点(6,0),

0=a(6—2尸+2.

1

CL=-----.

8

二上边缘抛物线的表达式为y=-太久-2)2+2.

O

•.•下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，

,设下边缘抛物线的表达式为y=-其％+m)2+2.

又下边缘抛物线过点(2,0),

0=—^(2+m)2+2.

，m=2或m=-6,

由题意知m=-6不合题意，

，m=2.

二下边缘抛物线的表达式为y=+2)2+2.

O

⑵①由题意可得OE=2.6+3=5.6.

把x=5.6代入上边缘抛物线表达式，得y=——5.6-2)2+2=0.38<0.5,

所以矩形DEFG不全在喷水区域内.

所以洒水车不能浇灌到整个绿化带.

②「EF二DG=0.5,

.•点F的纵坐标为0.5.

令一久久一2)2+2=0.5,

得x=2±2V3

•.x>0,

x=2+2V3,

对于y=-久％-2尸+2,

当x>2时，y随x的增大而减小，，当2<x<6时，要使y25,则%<2+2V3,

1•当0<x<2时,y随x的增大而增大，且x=0时,y=1.5>0.5,

.,.当0<x<6时，要使y20.5厕0<x<slant2+2V3.

•.DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，

■OD的最大值为2+2百-3=2百-1,对于下边缘抛物线，当点B和点D重合时，OD有最小值，为2,

综上所述，OD的取值范围是24OD42V3-1.

25.⑴直线x=3

⑵1或-1

⑶①15②k的最大值为2&;y=%2-6x+2

解析：(1)二,抛物线G\y=ax2—6ax—a3+2a2+l(a〉O),

••・抛物线的对称轴为直线x=—等=3.(2)如图，

2a

二点A在点B的左边,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2.

由(1)知抛物线的对称轴为直线x=3,

二点C在抛物线的对称轴上，

.■,CA=CB,/.AD=BD+2.

设D(p,2),

■■p—xr—x2—p+2,

又X1+%2=2x3,

..p=4,

.■.D(4,2),

把C(3,1),D(4,2)代入y=m2x+4得｛色:”“

47nz+九=2,

m2=1,解得m=l或m=-l.

(3)①如图,

由(2^Dm=±l,

，直线l:y=x+n,

.•.zDCF=45°,

.•3t=45,解得t=15.

@S=^EF-(yA-y£)=

当y=l时.ax2—6ax—a3+2a2+1=1,

•••%2—6%—a2+2a=0,

%】+打=6,%I%2=—a2+2a,

.・.EF=\Xr—X21=d(X、+%2)2_4%］第2

—,36—4(—a。+2a)=A/4a2—8a+36

=不4(a-+32,

「4>0,

.•.当a=l时,EF取最小值，为4/此时S=|x4V2=2V2.

1•对于任意的a>0，均有S”成立，

.■.k的最大值为2/此时抛物线G的解析式为y=%2-6%+2

26.⑴y=/+2久一2(2)见解析

(3)①9②m«-3或-lWm<0或0<m<4-V13

解析：(1),.抛物线y=/+2%+c经过点(-2,-2),.，4-4+c=-2,c=-2,y=x2+2x-2.

222

(2)证明:由题知A(m^m+2m-2),B(-m/m-2m-2)zC(-5m/m+2m-2),

过点B作BH±AC于点H,则H(-m,m2+2m-2),

BH=|yB-y