2025年中考数学考点过关练：分式方程

第6关分式方程

基础练

考点1分式方程及其解法

“2024广西贺州三模］下列式子中，是分式方程的是（）

A—=-B.—+—

233x-l3X+1

C.----------=17）,—+2=—

2.x—12x+143

2.［2024山东济宁］解分式方程1-白=-2时，去分母变形正确的是（）

3%—12-bX

A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5

C.2-6x-l=5D.6x-2+l=5

3.［2024黑龙江龙东地区］已知关于x的分式方程生-2=生无解，则k的值为（）

A.2或-1B.-2

C.2或1D.-1

4.［2024四J11遂宁］分式方程2=1-弋的解为正数，则m的取值范围为（）

X—1x—±

A.m>-3B.m>-3且m^-2

C.m<3D.m<3且m#-2

5.［2024广东广州］解方程：义=三.

2%—5x

考点2分式方程的实际应用

6.［2024新疆］某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘

乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkm/h，根据题意可列方程为

)

.2020「

A.----------=5B,--—=5

1.2xxx1.2x

C20_20_1八20201

U.-------=一

'1.2xx12x1.2x12

7.［2024内蒙古呼伦贝尔］A,B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运3

0千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等.A,B两种机器人每小时分别

搬运多少千克化工原料?)

A.60,30B.90,120

C.60,90D.90,60

8.［2024山东威海］某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦时.后购进一批相同数量

的B型节能灯，一年用电9600千瓦时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32

千瓦时.求一盏A型节能灯每年的用电量.

9.[2024内蒙古赤峰]一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比

甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的

时间相等.

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

⑵为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工

期，两队最多能修复公路多少千米？

提升练

10.[2024山东烟台二模]对于实数a、b,定义一种新运算“8，：a®b=2,等式右边是实数运算.例如：1国3

a-b£

=2=一点则方程x®-2）=2-1的解是（）

1—3Z8x—4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

11.[2024河北邯郸模拟]对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数，如:max{2,4}=4.

max{x,—x}=^X-^

按照这个规定，方程2的根为（）

X.l-V2B.2-&

C.1-a或1+&D.1+/或-1

12.[2024四川广元]我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违

建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买A,B两种绿植，已知A种绿植单价是B

种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元，则

可列方程是（）

.6750厂八3000n3000LC6750

A.--------50=——D.---------50=-------

3xx3xx

c6750,LC3000n3000,「八6750

6,--------1-50=------D.--------1-50=------

3xx3xx

13.［2024江苏宜兴一模］若关于x的分式方程弋+1=占有增根，则m的值为______.

x-11-x

14.［2024湖北武汉］分式方程2=*的解是_______

X—JX-1

15.［2024黑龙江牡丹江］若分式方程2=3-户的解为正整数，则整数m的值为______

x—±±—x:

16.［2024上海杨浦三模］已知方程号-y=2,如果设y=&，那么原方程转化为关于y的整式方程为一

4x-l.

17.［2024重庆A卷］若关于x的不等式组｛丁〈”十/至少有2个整数解，且关于y的分式方程

2(%+1)>slant—x+a

氏=2-卷的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为.

18.［2024陕西］解方程：福+三=1.

19J2024江西赣州校级模拟］小丁和小迪分别解方程当=1,过程如下：

X~ZZ.—X

小丁：

解：去分母，得：x-(x-3)=x-2,

去括号彳导x-x+3=x-2,

合并同类项，得3=x-2,

解得x=5,

原方程的解是x=5.

小迪：

解:去分法得x+(x-3)=l,

去括号彳导x+x-3=l,

合并同类项彳导2x-3=l,

解得x=2、

经检验、x=2是方程的增根，原方程无解、

你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确，请在框内打；若错误，请在框内打“x”，并写出你的解答过程.

20.[2024浙江杭州二模]小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚：卷+3=

x—22—x

(1)她把数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程.

⑵小华的妈妈说：“我看到的标准答案是方程的增根是x=2,原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“?”代表

的数是多少.

21.[2024安徽二模]观察下列等式：

1_1_'

2X3--23'

1_111

3X4-34'

1_11.

4X5-45',…

⑴由此可推断：-^―=_

n(n+l)

(2)根据上述规律，解方程：

1,11

----.

x(x+l)--(x+l)(x+2)-----x+2

22.[2024湖南常德校级模拟]某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美

化绿色城市”活动.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变，.……设原计划每天绿化的面积为x

万平方米，可列方程为弓-君加=8.

(1)根据方程题干中省略的部分是()

A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前8天完成了这一任务

B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果延误8天完成了这一任务

C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了25%,结果延误8天完成了这一任务

D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了25%，结果提前8天完成了这一任务

(2)在⑴的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题：

E.实际每天绿化的面积是多少万平方米？

F.原计划完成这项绿化工程需要多少天?

我选的问题是(填字母).

根据选择的问题，写出完整的解题过程.

23.[2024重庆A卷]为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设

备进行更新换代.

(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设

备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企

业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？

(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购

买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补

贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？

24.[2024江苏无锡二模]在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满

足R=%+/?2；如图②，在并联电路中，总电阻R满足§=去+9

⑴如图③，已知%=12优&=4。,总电阻为12。,求R2的值

(2)如图④，已知Ro为定值电阻，现有两个电阻R1和a(%</?2)，请问如何摆放R1和R2的位置，能够使

得总电阻最小?(在图中填写并证明)

(3)如图⑤，现有三个电阻Rx,R2和/?3(&</?2<R3),请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?(在图

中填写，无需证明)

(4)R

如图⑥，已知o为定值电阻，现有四个电阻Ri,Rz,R3和R4(RI<R2<R3<RJ请问如何摆放这四个电

阻，能够使得总电阻最小?(在图中填写,无需证明)

需

点「

1~~<r—|'----1—<r—1>——-

①②③

*

防科r

—―|i-----------_p------"―I1------

④⑤⑥

第6关分式方程

1.C解析：A.方程中各式的分母均不含未知数，故不是分式方程;

B.不是方程；

C.方程中各式的分母中含有未知数，故是分式方程；

D.方程中各式的分母均不含未知数，故不是分式方程.

故选C.

2A解析：方程两边同乘2-6x得2-6x-lx(-2)=-5,

即2-6x+2=-5.

3.A解析：公一2=曰

kx-2(x-3)=-3,

kx-2x+6=-3,

(k-2)x=-9,

1•关于x的分式方程与-2=言无解，

■■x-3或k=2,

.■.3k-6=-9或k=2,

.'1<=-1或2.

4.B解析：去分母得2=x-l-m,

解得x=m+3,

由方程的解为正数得m+3>0,

又m+3/l,

则m的取值范围为m>-3且mw-2.

5.解:去分母得x=3(2x-5),

去括号得x=6x-15,

移项得x-6x--15,

合并同类项得-5x=-15,

解得x=3,

检验:当x=3时,x(2x-5)，0,

二原分式方程的解为x=3.

6.D解析：由题意得乙车的速度为1.2xkm/h,

贝U竺—生=g

x1.2x60

即空一迫=工.

x1.2X12

7.D解析：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)千克化工原料，

根据题意得黑=亭，

解得x=60,

经检验,x=60是所列方程的解，且符合题意,

，x+30=60+30=90,

■■.A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料.

8.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时，根据

题意，

任9600_16000

八’X-2X-32,

解得X=96.

经检验，x=96是原方程的解，且符合题意.

2x-32=160.

答：一盏A型灯每年的用电量为160千瓦时.

9.解：(1)由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路(x+3)千米，

贝竺=色

人」xx+3,

解得：x=6.

经检验，x=6是原方程的解.

，x+3=9.

答：甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米.

(2)设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为(15-m)天，15天的工期，两队能修复公路w千米,

由题意得,亚=6|71+9(15-171)=-3|71+：135又m>2(15-m),

•--3<0,

随m的增大而减小.

.•.当m=10时,w取最大值，最大值为-3x10+135=105.

答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米.

10.B解析:根据题意彳导a=三-1,去分母得l=2-(x-4),解得.x=5羟检验，x=5是分式方程的解.

11.D解析:当x<-x,即x<0时，所求方程为r=等，

整理得+2%+1=0,即(x+1)2=0,

解得第L=%2=T，

经检验，x=-l是分式方程的解；

当x>-x,即x>0时，所求方程为X=等，

整理得/一2%-1=0,

解得刀3=1+V2,x4=1—企舍去).

经检验，x=l+a是分式方程的解.

综上,所求方程的根为1+a或-1.

12.C解析:rA种绿植单价是B种绿植单价的3倍,B种绿植单价是x元，

■­•A种绿植单价是3x元.

6750,lc3000

根据题意得-------F5U=-----

3%X

13.-1

解析：士+“占

x+x-l=-m,

l-m

x二F

.・关于x的分式方程喜+1=洋增根，

1-771y

=1,

•••X=---2---，

14.x=-3

解析:等号两边同时乘(x-3)(x-l),

得(x-l)x=(x-3)(x+l),

去括号，得x2—x—x2—2x—3,

移项、合并同类项，得x=-3,

经检验,x=-3是该分式方程的解，

所以，该分式方程的解为x=-3.

15.-1

解析：匕=3一署，

去分母得x=3(x-l)+mx,

解得人肃

由方程的解是正整数，得x为正整数，即2+m=l或2+m=3,

解得m=-l或m=1(会使原方程无意义，舍去).

16.y2—2y—1=0

解析：由题意得原方程化为y-2=2,去分母，得必—1=2%即y2—2y—1=0.

17.16

把二(久+ix<4,0?

解析：解不等式组｛3(尤+L得｛2关于X的不等式组至少有2个整数解.二彳<2,解得a<8.

2(%+1)>-X+Gtx---3

解分式方程E=2-Awy=?,

y-11-y2

•••分式方程的解为非负整数，・•••等NO,二322,

•••等H1,aH4,.•符合条件的a的值为2,6,8,•-2+6+8=16.

解题思路.

先通过解不等式组确定a<8，再解分式方程求出y=等才爪住y=等为非负整数.日等丰1就可确定a的值.

18.解:方程两边都乘(x+l)(x-D得2+x(x+l)=(x+l)(x-l),解得x=-3,

检验:当x=-3时,(x+l)(x-l)/O,.•原分式方程的解是x=-3.

19.小丁和小迪的解法都错误，两框内均打"x",解答过程见解析

解析去分母得x+(x-3)=x-2,

整理彳导2x-3=x-2,

解得x=l,

经检验，x=l是分式方程的解.

20.⑴x=0(2)-1

解析：Q)方程两边同时乘(x-2),

得5+3(x-2)=-l,

解得x=0,

经检验，x=0是原分式方程的解.

⑵设代表的数为m,方程两边同时乘(x-2)得m+3(x-2)=-l,

由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2-2)=-l,所以m=-l.

所以原分式方程中"?”代表的数是-L

2L(1”-W⑵一

解析:⑴略.

⑵一----1------=—

7x(x+l)(x+l)(x+2)x+2r

11+11_1

xx+1x+1x+2%+2'

11_1

xx+2%+2'

1_2

xx+2r

x+2=2x,

x=2,

经检验，x=2是原方程的解，

，原方程的解为x=2.

22.⑴A⑵见解析

解析：(1)1.所列方程为弓-谒蕨=8，且x表示原计划每天绿化的面积」(l+25%)x表示实际每天绿化的面

积，

,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前8天完成了这一任务.

故选A.

(2)选择E,由题意知日-君氏=8,

解得x=1.5,

经检验,x=1.5是所列方程的解，且符合题意，

.-.(1+25%)X=(1+25%)X1.5=1.875.

答：实际每天绿化的面积是1.875万平方米.

选择F,设原计划完成这项绿化工程需要y天，则实际完成这项绿化工程用了(y-8)天，

根据题意得—=(1+25%)x—,

y-8y

解得y=40,

经检验，y=40是所列方程的解，且符合题意.

答：原计划完成这项绿化工程需要40天.

23.解：(1)设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有(30-x)条.根据题意，得3x+2(30-x)=70,

解方程得x=10,

30-x=30-10=20.

答：该企业甲类生产线有10条,乙类生产线有20条.

(2)设更新1条甲类生产线的设备需投入m万元，则更新1条乙类生产线的设备需投入(m-5)万元.

根据题意，得出=