2025年中考数学考点过关练：一元二次方程

第7关一元二次方程

基础练

考点1一元二次方程及其解法

1.[2024四川凉山州1若关于x的一元二次方程（a+2）x23+x+a2-4=。的一/根是x=0、则a的值为

（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

2.[2024贵州'一元二次方程%2-2%=0的解是（）

—31%2=1B.X]—2,汽2=0

C.xr=3,x2=—2D.xr=­2,X2=—1

3.2024内蒙古赤峰]等腰三角形的两边长分别是方程%2-10%+21=0的两个根，则这个三角形的周长为

（）

A.17或13B.13或21

C.17D.13

考点2根的判别式、根与系数的关系

4.2024北京若关于x的一元二次方程%2-4%+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.-16B.-4C.4D.16

5.[2024四川自贡]关于x的方程/—2=。根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

6.[2024四川乐山]若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1改，且工+工=3,则p的值为（）

X1X2

22

A.--B.-C.-6D.6

33

7.[2024北京西城区二模]已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=。有两个不相等的实数根.

（1）求实数k的取值范围；

（2）若k为满足条件的最大整数，求此时方程的根.

考点3一元二次方程的实际应用

8.[2024云南]两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成

本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是()

4.80(1-%2)=60F.80(1-%)2=60

C.80(l-x)=60D.80(l-2x)=60

9.[2024甘肃武威一模]如图，某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩

余的空地上铺设草坪，使草坪的面积为570.设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是()

A.(32-X)(20-X)=32X20-570

B.32x+2x20x=32x20-570

C.(32-2x)(20-x)=570

D.32x+2x2Ox-2x2=570

10.[2024内蒙古通辽]如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍，其

面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为()

A.5m或6mB.2.5m或3m

C.5mD.3m

ll.[2024重庆二模]芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人心灵得到放松，感受生活的美好.某花店抓住市场需

求，计划第一次购进玫瑰和向日葵共300枝，每枝玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每枝向日葵的进价为4元,

售价定为10元.

(1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完，要求总获利不低于1200元，求花店最多购进玫瑰多少

枝.

(2)花店在第二次购进玫瑰和向日葵时，两种花的进价不变.由于销售火爆，花店决定购进玫瑰和向日葵共360

枝，其中玫瑰的进货量在

⑴的最多进货量的基础上增加10m枝，售价比第一次提高m元，向日葵售价不变，但向日葵在运输过程中有

10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值.

提升练

12J2024辽宁丹东校级模拟]下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.CLX^+bx+c=0B.—H——2

X

C.x2+2%=x2—1D.3（%+l）2=2（%+1）

13.[2024黑龙江绥化]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因

而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5,则原来

的方程是（）

A/+6%+5=0B.%2—7%+10=0

C.%2—5%+2=0D.x2—6%—10=0

14,[2024广东深圳三模「指尖上的非遗-----麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态.在一幅长80cm,宽5

0cm的刺绣风景画的四周镶一圈金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,

设金色纸边的宽度为xcm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（）

A.(50+x)(80+x)=5400

B.(50-x)(80-x)=5400

C.(50+2x)(80+2x)=5400

D.(50-2x)(80-2x)=5400

22

15.[2024四川南充一模]关于x的方程x-2mx+m-4=0的两个根x1，x?满足xr=2x2+3,且Xi>x2,

则m的值为（）

A.-3B.l

C.3D.9

16,[2024江苏扬州校级模拟]根据下表可知，方程%2+3%-1=。的一个解x的范围为（）

X0.280.290.300.310.32

y=x2+-0.0816-0.0459-0.010.02610.0624

3x-l

A.0.28<x<0.29B.0.29<x<0.30

C.0.30<x<0.31D.0.31<x<0.32

17.[2024云南]若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根，则实数c的取值范围为.

2

18.[2024四川南充旧知m是方程x+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-l)的值为L

19.[2024江苏靖江二模]若M=x2-4xy+4y2+2x-4y.+3、则M的最小值为.

20.[2024重庆B卷]重庆在低空经济领域实现了新的突破、今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，

预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据

题意，可列方程为.

21.2024重庆A卷]随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税

48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是________.

22.2024青海(1)解一元二次方程：

%2—4x+3=0;

(2)若直角三角形的两边长分别是⑴中方程的根，求第三边的长.

23.[2024浙江舟山二模]小敏与小霞两位同学解方程3(%-3)=0-3尸的过程如下：

小敏：

两边同除以(x-3)狷3=x-3,

则x=6.

小霞：

移项，得：3(x-3)-(x-3)2=0,

提取公因式彳导(x-3)(3-x-3)=0,

贝!]x-3=0或3-x-3=0,

解得Xi=3,X2=0.

你认为她们的解法是否正确?若正确，请在框内打；若错误，请在框内打“x”，并写出你的解答过程.

24.[2024广东广州]关于x的方程/-2乂+4-m=。有两个不等的实数根.

⑴求m的取值范围；

1-m2m-1m-3

⑵化简:

\m-3\2m+1

2

25,[2024四川内江旧知关于x的一元二次方程x-px+l=0(p为常数)有两个不相等的实数根X1和x2.

(1)填空：%1+%2=1%2=一;

(2)求*++5；

(3)已知+%2=2P+1，求P的值.

26.[2024辽宁一模]某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都比赛一场，每场比赛都要分出

胜负，每一场比赛结束后依据胜负获得相应积分，本次比赛一共进行了210场，用时两天完成，下面是第一天比赛

结束后部分队员的积分表：

队员号码比赛场次胜场负场积分

1108218

21010020

387115

486214

57077

⑴在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少?

(2)如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负场.

27.[2024甘肃兰州校级模拟]如图.A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P,Q分别从点A,C同时

出发点P以3cm/s的速度向点B移动，到达B点时停止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达

B点时点Q随之停止运动.设运动时间为ts.

(DAP=,BP=,CQ=,DQ=(用含t的代数式表示)；

(2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2?

(3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm?

第7关一元二次方程

1.A解析：1,关于x的一元二次方程(a+2)/+久+&2-4=o的一个根是x=0,a?-4=0且a+2ro，解

得(a=2.

2.B解析：/—2x=0,x(x-2)=0,x-2=0或x=0,

解得%i=2,x2=0.

3C解析：x2—10x+21=0,

(x-3)(x-7)=0,

解得%i=3,%2=7,

当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3<7、不符合三角形的三边关系，舍去；

当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3=17.

4.C解析；,方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，

(-4产-4X1-c=0,

，4c=16,解得c-4.

5.A解析:关于x的方程./+mx—2=。中,*.a=l/b=m,c=-2,

•••△=m2+8>0,

.••方程有两个不相等的实数根.

6.A解析：二•关于x的一元二次方程./+2x+p=0两根为xlrx2/

・••x1+x2=—2,xrx2—p,

7.(l)k<^(2)X1=-1,X2=-2

解析：Q)由题意可知△=32-4(k—2)=17-4k>0,解得k<?.

4

⑵由Q)可知k=4,

，此时方程为x2+3x+2=0,

.,.(x+l)(x+2)=0,

X]——1,%2=—2.

8.B

9.C解析：•道路的宽为xm,

..铺设草坪的部分可合成长为(32-2x)m,宽为(20-x)m的矩形.

根据题意得(32-2x)(20-x)=570.

10.C解析:设BC长为xm,则AB的长为|(10+l-x)m,

根据题意得•|(10+1-x)x=15,

解得x=5或x=6(舍去).

故BC长为5m.

11.(1)200枝⑵m=2

解析：(1)设花店购进玫瑰x枝，则购进向日葵(300-x)枝，

根据题意得(5-2)x+(10-4)(300-x)

>1200,

解得X4200,

■.X的最大值为200.

答：花店最多购进玫瑰200枝.

(2)根据题意得((5+m)(200+10m)-2(200+10m)+10[360-(200+10m)]x(l-10%)-4[360-(200+10m)]=180

整理得m2+18m-40=0,

解得不符合题意,舍去).

m-L=2,m2=-20(

答：m的值为2.

12.D解析:A.当a=0Btax2+bx+c=0不是一元二次方程，故A不符合题意；

5点+：=2不是整式方程,故B不符合题意；

C.x2+2x-x2-1是一元一次方程，故C不符合题意；

D.3(x+I)2=2(%+1)是一元二次方程，故D符合题意.

故选D.

13.B解析：设原来的方程为ax2+bx+c=0(a/0),

贝(j-£=6+1=7,5=-2x(-5)=10,

所以b=-7a,c=10a,

所以原来的方程为ax2-lax+10a=。，即x2-7x+10=0.

14.C解析：由题意得挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm根据题意得(50+2x)(80+2x)=5400.

15.C解析:-x2—2mx+m2—4=0,

，(x-m+2)(x-m-2)=0,

，x-m+2=0或x-m-2=0,

>x2>

••・=TH+2,%2=租—2,

xr=2X2+3,

，m+2=2(m-2)+3,

解得m=3.

故选C.

16.C解析:•.•当x=0.30时,X2+3X-1=-0.01<0,

当x=0.3"时，x2+3x-l=0.0261>0,

，方程x2+3x—1—。的一个解x的范围为0.30<x<0.31.

17.c>l

解析：因为一元二次方程/_2*+c=。无实数根,所以.△=(-2)2-4c<0,解得O1.

18.-4

解析：.m是方程.X2+4X-1=。的一个根,•••m2+4m=1,

(m+5)(m-1)=m2+4m—5=1—5=—4.19.2

解析:/M=(x—2y尸+2(x—2y)+3—(x—2y+1)2+2>slant2,故答案为2.

20.200(1+x)2=401

21.10%

解析：设年平均增长率是x,

则有40(1+久尸=48.4,

解得x=0.1=10%或x=-2.1(舍).

22.(1)X1=1,X2=3(2)2鱼或“U

解析:(I)%2-4%+3=0,

.-.(x-l)(x-3)=0.

.■.x-l=0或x-3=0,

x-y-3.

(2)当3是直角三角形的斜边长时，第三边的长==2V2,

当1和3是直角三角形的两直角边长时，第三边的长：="不孕=V10,

..第三边的长为2夜或V10

23.都错误，两框内均打"x",解答过程见解析

解析：移项，得3(x-3)-(%-3)2=0,

提取公因式，得((x-3)(3-x+3)=0,

则x-3=0或:3-x+3=0,

解得久】=3,%2=6.

24.(l)m>3⑵-2

解析：(1)1•关于x的方程/-2x+4-m=0有两个不等的实数根，

(一2)2-4xlx(4-m)>0,解得m>3.

(2)/m>3,

...一二.二

|m-3|2m+1

--(-m-+-l-)(-?-n-l)---2-•-m--3

m-3m-1m+1

=2

25.(l)p;l

(26m=P；/+3=P

⑶P=3

解析：(1)由根与系数的关系得+%2=P>X1X2~1.

(2)%i+%2=P，=L

1,1X+XlP

----1----=---2----=-=。

X1x2xrx21

••・关于x的一元二次方程X2-P%+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根X^n亚，・・・好-P%1+1=0,

•••—p+止=