2025年中考数学考点过关练：与圆有关的位置关系

第22关与圆有关的位置关系

基础练

考点1与圆有关的位置关系

1.[2024湖南衡阳一模]已知点A是。0外一点，且。0的半径为6、则0A的长可能为（）

A.2B.4C.6D.8

2.[2024上海杨浦区三模]已知点A在半径为3的圆。上，如果点A到直线a的距离是6,那么圆0与直线a

的位置关系是（）

A相交B相离

C.相切D.无法确定

3.[2024青海西宁二模]已知0O的半径为8cm,圆心O到直线1上某点的距离为8cm，则直线1与。O的公共点

的个数为（）

A.OB.1或。

C.0或2D.1或2

4.[2024上海]在4ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在仆ABC内,分别以A,B,P为圆心画圆，圆A半径为1,圆B半

径为2,圆P半径为3,圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

考点2切线的性质与判定

5.[2024福建]如图,已知点A,B在。O上,NAOB=72。,直线MN与。O相切,切点为C,且C为AB的中点，则

ZACM等于（）

6.[2024山西]如图，已知△ABC以AB为直径的。O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若/AOD=80。,

则NC的度数为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

7.［2024江苏扬州］如图，已知两条平行线I］、I?，点A是-上的定点,ABL2于点B,点C、D分别是》、卜上

的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH，CD于点H,则当NBAH最大时,sin/BAH的值为.

第7题图第8题图

8.［2024重庆A卷］如图，以AB为直径的OO与AC相切于点A,以AC为边作平行四边形ACDE,点D,E均在

OO上,DE与AB交于点F,连接CE,与。O交于点G,连接DG.若AB=10,DE=8,则AF=,DG=L

9.［2024四川南充］如图，在。O中,AB是直径,AE是弦，点F是AE上一点，通=麻,AE,BF交于点C,点D为

BF延长线上一点，且/CAD=/CDA.

(1)求证:AD是。O的切线；

⑵若BE=4,AD=2V5,求。0的半径长.

10.［2024陕西］如图，直线1与。O相切于点A,AB是。O的直径，点C,D在1上，且位于点A两侧，连接BC,BD,

分别与OO交于点E,F,连接EF.AF.

(1)求证:NBAF=ZCDB;

(2)若。O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长

B

CAD

考点3三角形的内切圆

11.[2024山东滨州]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉

为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的

推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,RtAABC中,/C=9(F,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,则可以用

含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是)

A.d=a+b-c

C.d=J2(c-a)(c—b)D.d=|(a-b)(c-b)|

12.[2024四川自贡]在RtAABC中,NC=90。,。。是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.

⑴图1中三组相等的线段分别是CE=CF,AF=,BD=；若AC=3,BC=4厕。。半径长为,

(2)如图2,延长AC到点M,使AM=AB,过点M作MN±AB于点N.求证:MN是。O的切线.

13.[2024四川泸州]如图,EA,ED是的切线，切点为A,D,点B,C在。O上，若/BAE+NBCD=236。,则/E=

()

A.56°B.60°C.68°D.70°

14.[2024上海闵行区二模]在RtAABC中,NCAB=9(T,AB=5,AC=12以点A,点B点C为圆心的。A,OB,(DC

的半径分别为5,10,8、那么下列结论错误的是()

A.点B在。A上

B.©A与。B内切

C.OA与。C有两个公共点

D.直线BC与。A相切

15.[2024山东日照二模]如图,AB是OO的直径，半径OC，AB、P为。O上一动点,M为AP的中点，连接CM.

若0O的半径为2,则CM的最大值为()

X.2V5+1B.V5+1

C.4D.—+1

2

第15题图第16题图

16.[2024陕西西安校级模拟]在△ABC中,/©=90。,/人=60。,：^=4,若0€：与人8相离,则半径r满足

()

A.r>2B.r<2

C.0<r<2D,0<r<2A/3

17.[2024四川泸州校级模拟]如图，在平面直角坐标系中,人(-1,0)取0,1)](-3,2),若点C是以点P为圆心，1为

半径的圆上一点，则△ABC面积的最大值为()

42+乎B.2T

18.[2024四川内江]如图，在△ABC中,NABC=6(rBC=8,E是BC边上一点且BE=2,点1是△ABC的内心,BI

的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值为.

19.[2024重庆B卷]如图,AB是。O的直径,BC是。O的切线，点B为切点.连接AC交。。于点D,点E是。

O上一点，连接BE,DE,过点A作AF〃BE交BD的延长线于点F.若BC=5,CD=3,/F=NADE,则AB的长度是

—；DF的长度是.

c

20J2024四川凉山州］如图,。M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作。M

的切线，切点为Q,则PQ的最小值为.

21.［2024湖北武汉］如图,△ABC为等腰三角形,0是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D,底边BC

与半圆O交于E,F两点.

(1)求证:AB与半圆O相切.

(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sinZOAC的值.

22.［2024内蒙古通辽］如图,△ABC中,/ACB=90。,点O为AC边上一点，以点O为圆心,OC为半径作圆与AB

相切于点D,连接CD.

⑴求证:ZABC=2ZACD;

(2)若AC=8,BC=6,求。O的半径.

23.［2024湖北］如图，在RtAABC中,NACB=90。,点E在AC上以CE为直径的。O经过AB上的点D,与

OB交于点F,且BD=BC.

⑴求证:AB是。O的切线;

(2)若AD=V3,AE=1,求CF的长.

24J2024山东临沂］如图，在四边形ABCD^,AD/7BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.UZ*A为圆心，以AD为半

径作证交AB于点E,以点B为圆心，以BE为半径作EF交BC于点F,连接FD交EF于另一点G,连接CG.

(1)求证:CG为EF月所在圆的切线；

(2)求图中阴影部分的面积.(结果保留兀)

25.［2024山东烟台］如图,AB是。O的直径,△ABC内接于。O,点I为△ABC的内心，连接CI并延长交0O于

点D.E是BC一上任意一点，连接AD,BD,BE,CE.

(1)若/ABC=25。,求/CEB的度数；

⑵找出图中所有与DI相等的线段，并证明；

⑶若CI=2V2,D/=葭鱼,求4ABC的周长.

D

26.［2024黑龙江齐齐哈尔］如图,△ABC内接于0O,AB为。O的直径,CDLAB于点D、将△CDB沿BC所在

的直线翻折、得到ACEB,点D的对应点为E、延长EC交BA的延长线于点F.

⑴求证:CF是。O的切线；

⑵若sinzCFfi=与,AB=8,求图中阴影部分的面积.

c

27、［2024广东广州］如图,在菱形ABCD中,/C=120。.点E在射线BC上运动（不与点B,点C重合）,AAEB

关于AE的轴对称图形为^AEF.

⑴当NBAF=30。时试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由.

⑵若AB=6+673,00为4AEF的外接圆股。0的半径为r.

①求r的取值范围.

②连接FD,直线FD能否与。O相切?如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.

第22关与圆有关的位置关系

1.D2.D

3.D解析:「。。的半径为8cm,圆心0到直线I上某点的距离为8cm,

，圆心0到直线I的距离小于或等于圆的半径，

二直线I和。。相切或相交，

・•・直线I与。0公共点的个数为I或2.

4.B解析:1•圆A半径为L圆P半径为3,圆A与圆P内切，

，PA=3-1=2,

••.P在以A为圆心、2为半径的圆（在SBC内的部分）上运动.如图所示.

•••当点P运动到P'位置时，圆P与圆B圆心的距离最大，最大值为用不孕=V17,

旧<3+2=5,.圆P与圆B相交..

5.A解析:〔C为AB的中点,

AC=BC,

i

・•.ZAOC=NBOC=-ZAOB=36°,

2

OA=OC,

•.直线MN与。。相切于点C,

.•.zOCM=90°,

.-.zACM=zOCM-zOCA=180.

解题关键.

能根据C为AB的中点彳导到NAOC=NBOC=|/4。8是解题的关键.

6.D解析:•.zAOD=80°,

1

.・./8=±4。。=40°.

2

VOO与AC相切于点A,

/.zBAC=90°/

..zC+zB=90°z

・•・NC=90°-40°=50°.

7.-

3

解析:」/l2,

，NACE=NBDE,NCAE=NDBE,

•.AC=BD,

AACE学BDE、

AE=BE=^AB,

•.BH±CD,

.-.zBHE=90o,

..点H在以BE为直径的圆上运动，如图，取线段BE的中点O,以点。为圆心，OB的长为半径画圆，

则点H在。。上运动,

，当AH与。0相切时NBAH最大,

连接OH,

.'.OH±AHS

易得AO=AE+OE=3OE、

-,OH=OE,

._.,,OHOE1

sm^BAH=——=——=

4030E3

方法技巧.

解答本题的关键是发现点E是定点，点H在以BE为直径的圆上运动，当AH与该圆相切时,zBAH最大.

解析如图，连接OD,；AC与。0相切/.AB^CA,又•.四边形ACDE是平行四边形,，DEllCA,「.AB，DE,

/AB是直径，

・•.F为DE的中点,二DF=4,

0D=-AB=5,

2，

OF=<0D2-DF2=V52-42=3,

.〔AF=5+3=8.

如图所示，过点D作DH^CE于H,过C作CP^ED交ED的延长线于P,易知CP=AF=8,FP=CA=8,二.EP=12,

CE=7cp2+PE2=V82+122=4VH，由等面积法可知S^CDE=\CP-DE=-CE,

DH=誓易知NDGE=2NBAE/DOB=2NBAE,

„不

5X1^9

.•.ZDGE=ZDOB,XZDHG=ZDFO=90°,.-.ADGH-ADOF,.-.DCH=DPF,DG==誓.

难点突破..

求线段的长度有两个思路：一是构造直角三角形，利用勾股定理求解；二是利用两个三角形相似建立等式再求

解，本题的突破口是构造直角三角形DGH与直角三角形DOF,而后证明二者相似，解题关键是发现NDGE=ND

0B.

:⑴见解析(2)2V5

解析：(1)证明：•••AF=BE,

.-.zABF=zBAE.

zCAD=zCDA,zADC+zABF+zBAE+zCAD=180°,

.•.zBAE+zCAD=90°,BPzBAD=90°,

.-.AD±AB.

■•OA是。。的半径，

.•.AD是。0的切线.

(2)如图，连接AF.

AF=BE,AF=BE=4.

••AB是直径，

.•.zAFB=90°,/.zAFD=90°.

在RbADF中，DF=y/AD2-AF2=2.

,cABAFAB4

tan。=———,--p=―,

ADDF2752

AB=4V5.

又AB是直径，二。。的半径长为2V5

10.(1)见解析⑵学

解析:⑴证明:••直线I与。O相切于点A,

.-.AB±CD,

.-.zBAC=zBAD=90o,

.•.zCDB+zABD=90°,

.AB是。0的直径，

.-.zAFB=90°,

..NBAF+NABD=90°,

zBAF=zCDB.

⑵在RfABD中,

•.AB=2r=12,AD=9,

BD=V92+122=15,

在Rt^ABC中，

•.AB=12,AC=12,

BC=V122+122=12V2,

.NABF=NDBA/AFB=NBAD,

.".△BAF'-ABDA,

.-.BF:BA=BA:BD,

即BF:12=12:15,

48

BDFL=y,

.NBEF=NBAF,NBAF=NCDB,

.-.zBEF=zCDB,

•.zEBF=zDBC,

.".△BEF1-ABDC,

.-.EF:CD=BF:BC,

即EF-.21=£:12迎，

・•・E口F厂=-4-2-鱼-.

5

11.D解析如图，设。O分别切AABC的边AC,AB,BC于点U,2连接0人,08,0匚。口,0£,(^,则

AE=AF,BD=BF,OE±AC,OF±AB,OD±BC,

易证四边形OECD是正方形，设OE=OD=OF=r,

贝EC=CD=r,

.,.AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,

•.AF+BF=AB,

.•.b-r+a-r=c,

a+b-c

.・.r=----,

2

：d=a+b-c.故选项A正确.

^^i^AHC=S^BOC+S^AOC+S^AOB，

-ab=-ar+-brcr,

2222

/.ab=r(a+b+c)z

2ab

；"=氤，即d=:.故选项B正确.

a+b+c

•••d=a+b—c,M+力2=乙

•••d=+J—c)2

=JQ2+炉+”+2a2—2c(a+b)

=J2c2+2a2—2cm+b)

=%/2[c2-c(a+6)+a6]

==2(c-a)(c-b),

故选项C正确.

故选D.

一题多解..

本题作为选择题，用特殊值法可快速确定答案.

1•三角形ABC为直角三角形，

...令a=3,b=4,c=5.

选项A,d=a+b-c=2,

选项Bd=笺=2,

a+b+c

选项C,d=72(c_-=2,

选项D,d=l(a-b)(c-b)l=l,

很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项.

12.(1)AD;BE;1(2)见解析

解析：(1)由切线长定理可知,AF=AD,BD=BE,连接OE,OF,

•.zC=90°,oO是AABC的内切圆,

..NC=NOEC=NOFC=90°,OE=OF,

二•四边形OECF是正方形，

设OE=OF=CF=CE=x/BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD,

BD+AD=ABy/AC2+BC2=暂不值=5,；.4-x+3-x=5,解得x=l,

「QE=L即。。半径长为1.

(2)证明:过。作OH^MN于H,连接0D,

o

vzANM=90=zACBzzA=zAzAM=ABz

.“AMN¥ABC(AAS),

.-.AN=AC,

•.AD=AF,

.-.AN-AD=AC-AF,gpDN=CF、

由⑴可知,CF=OE、

..DN=OE、

.NANM=90°=NODN=NOHN,

，四边形OHND是矩形，

.QH=DN,

.QH=OE,即OH是。0的半径，

-.OH±MN,

，MN是。。的切线.

13.C解析:连接AD,

•••四边形ABCD是。0的内接四边形，

.-.zBAD+zBCD=180o,

•.zBAE+zBCD=236°,

zEAD+ZBAD+zBCD=zEAD+180°=236°,

.•.zEAD=56°,

•.EA,ED是G)0的切线，切点为A,D,

，EA=ED,

..NEDA=NEAD=56°,

zE=180°-zEDA-zEAD=180°-56°-56°=68°.

14.D解析:A.。A的圆心A到点B的距离AB=5,而。A的半径是5,因此点B在。A上，所以选项A不符合

题意；

B.OA的半径为5,0B的半径为10,两个圆心之间的距离AB=5=10-5,所以。A与OB内切，因此选项B

不符合题意；

C.OA的半径为5,OC的半径为8,两个圆心之间的距离AC=12,满足8-5<AC<8+5,所以OA与。C相交

即。A与。C有两个公共点，因此选项C不符合题意；

D.OA的圆心A到BC的距离小于5,所以直线BC与。A相交，因此选项D符合题意.

故选D.

15.B解析如图，设0A的中点为0',当点P在。。上移动时,AP的中点M的运动轨迹是以0A为直径的

©01,因此当点M为CO'的延长线与。0'的交点时,CM最大，

由题意得,OA=OB=OC=2,OO'=O'A=l=0'M,

在Rt^O'OC中QC=2,00'=L

0C=722+1.2=逐,

•.CM的最大值为、V5+1.

16.C解析:过C作CDLAB于D,在RfABC中/C=9(T/A=60。，

..NB=30。，

•••CD=-BC=2,

2

•••OC与AB相离,

，半径r满足0<r<2.

17.A解析:连接PA,延长AP交。P于K,连接BK,过P作PH^x轴于H,如图，

.■.OH=3,PH=2,OA=1,

.-.AH=0H-0A=2,

..AH=PH,

.“PAH是等腰直角三角形，

.•.zPAH=45°,

.B(0,l),

.-.OB=1,

■.OA=OB,

.“OAB是等腰直角三角形,

.•.zBAO=45°,

NBAK=180--45°-45。=90。,又.AK过圆心P,

二当C与K重合时,△ABC的面积最大,

•••AAPH,AABO是等腰直角三角形，

•••PA=V2AH=2V2,AB=V2OA=VX

•••OP的半径是L

..PK=L

AK=2V2+1,

."ABC面积的最大值为^AB-AK=2+y.

18.2V13

解析:在AB上取点F,使BF=BE=2,连接PF,CF,过点F作FH^BC于H,

•.点I是AABC的内心,

.-.BI平分NABC,

，NABD=NCBD,

又BP=BP,

.“BFP学BEP(SAS),

..PF=PE,

，PE+PC=PF+PC“F,当C,P,F三点共线时,PE+PC最小，最小值为CF的长，

-.-FH±BC,zABC=60°,

.-.zBFH=30°,

・•・BH=[BF=I,

•••FH=7BF2-BH2=V3,CW=BC-BH=7,

•••CF=y/CH2+FH2=2V13,

二PE+PC的最小值为:2〃3.

19.-；-

33

解析:「AB是。O的直径，

.-.zADB=90o,

.-.zBDC=90o,

.BC=5,CD=3,

•••BD=VBC2-CD2=4,

BC与。O相切于B,

，直径AB^BC,

.•.zABC=90°,

zBCD=NACB/CDB=zABC=90°,

.'.ACDB'"ACBA,

.-.DB:BA=CD:CB,

.■.4:AB=3:5,

An20

•*.AB=—,

3

•「AFllBE,

/.zBAF=zABEz

••/ABE=NADE/F=NADE,

/.zF=zBAFz

20

.・.BF=AB=—

3f

ono

；.DF=BF-BD=丝一4=二

33

故答案为y；|.

20.2V7

解析：连接MP,MQ,设直线y=x+4与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,

；PQ是。M的切线，

.■.MQ±PQ,

PQ=y/PM2-MQ2=7PMz一4

二当PM最小时,PQ最小，当MP±AB时,MP最小，易知A(-4,0),B(0,4),

...OA=OB=4,

，NBAO=45；，M(4,0),，AM=8,当MP±AB时,MP=AM-sin/BAO=8x亨=4近,

■■PQ的最小值为J(4‘_4=V28=2-/7.

21.⑴见解析⑵：

解析：(1)证明:连接OA、0D,作ON±AB交AB于N,如图.

A

・"ABC为等腰三角形,0是底边BC的中点，

..A0平分NBAC.

.AC与半圆O相切于点D,

.■.OD±AC.

-.ON±AB,

.-.ON=OD.

■ON是半圆O的半径,

.-AB与半圆O相切.

⑵由⑴可知OD±AC,

・"ABC为等腰三角形,0是BC的中点,.•.AOLBC.

.•.zAOC=90°,zODC=90°.

.•.zOAC+zOCA=90°,zCOD+zOCA=90°,

.,.zOAC=zCOD.

CD

sin/。"=sin/COD=

又•.OF=OD,CF=2,CD=4,

.-.0C=0F+FC=0D+2,

在Rt^ODC中,(OC2=CD2+OD2,

：.(OD+2尸=42+OD2,

解得0D=3.

•Yin皿。喂=康=贵/

2.(1)见解析(2)3

解析：(1)证明:连接OD,

,「AB为。O的切线,

.-.OD±AB,

.•.zODA=zODB=90°,

•.zACB=90°,

..NABC+NCOD=180。,

•.zAOD+zCOD=180°,

.,.zABC=zAOD,

•.NA0D=2NACD,

.-.zABC=2zACD.

(2)设。0的半径为r,

则0D=0C=r,

0A=8-r,

在Rt^ACB中，

•.zACB=90°,AC=8,BC=6,

•••AB=V62+82=10,

•.zOAD=zBAC,zADO=zACB,

.,.△AOD1-AABC,

.OD_AOo[-|r_8-r

**BC.AB^6—10，

解得r=3,

即。。的半径为3.

23.⑴见解析(2)n/3

解析:⑴证明:连接OD,

BD=BC,

在AOBD和AOBC中(OB=0B,

0D=0C,

.•.AOBD^AOBC(SSS),

..NODB=NOCB=90°,

•••OD为。。的半径，

•.AB是。。的切线.

(2)由⑴知NODB=/ODA=90。.

设。。的半径为X,

2

在RfAOD中，A02=。标+402,即仅+i)2=刀2+(73),

解得x=l,

.QD=L0A=2,

cosZAOD=—OA=-2

..NAOD=60°.

,.△OBD^^OBC,

ANBOD=NCOF=|X(180°-60°)=60°,

，CF的长为曙=泉

24.(1)见解析⑵呼-9

4D

解析:⑴证明:如图，连接BG,

.AB=BC=2AD=2,

..AE=AD=L

BE=AB-AE=1.

，BF=BG=BE=1.

.-.BF=AD.

'.ADllBC,

，四边形ABFD是平行四边形.

..NDFB=NDAB=60°.

."BFG是等边三角形.

.•.zBGF=60°,FG=l.

又.FC=BC-BF=L

.-.FC=FG.

1

NCGF=ZFCG=~ZBFG=30°.

2

zCGB=zBGF+zCGF=90°.

.•.BG是EF所在圆的半径，

.■.CG为EF所在圆的切线.

(2)如图，过D作DH_LAB于H,

在Rt-AHD中，DH=AD-sinA=y.

由⑴易知NGBF=60°.

•・四边形ABFD为平行四边形，

，DF=AB=2,NABF=120。，

，DG=DF-GF=1,NGBE=60。.

s_=s—s—s

..丽区稀后ABCD甲用^DAE魁肺E

_37371

~43,

25.(1)115。(2)DI=AD=BD;证明见解析(3)30

解析:⑴■「AB是（DO的直径,

..NACB=90°,又NABC=25°,

ANCAB=90°-25°=65°.

•.•四边形ABEC是。。的内接四边形，

.•.zCEB+zCAB=180°,

..NCEB=180°-NCAB=115°.

(3)证明:如图，连接AI,

•.点I为AABC的内心,

-1

zCAI=zBAI,zACI=zBCI=-N4cB=45°,

2

AD=BD,

.-.zDAB=zDCB=zACI,AD=BD,

•.zDAI=zDAB+zBAI,zDIA=zACI+zCAI,

.,.zDAI=zDIA,

.-.DI=AD=BD.

⑶如图，过I分别作IQ，AB,IF_LAC,IPJ_BC,垂足分别为Q,F,P,

••点■△ABC的内心，即为SBC的内切圆的圆心，

.■.Q,F,P分别为该内切圆与SBC三边的切点，

..AQ=AF,CF=CP、BQ=BP.

•.Cl=2&、zIFC=90°,zACI=45°,

.-.CF=CI-cos45°=2=CP.

•，-DI=AD=BD,DI=yV2,zADB=90°,

AB=s/AD2+BD2=13,

.“ABC的周长为AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+2CF+BQ

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

疑难突破..

问题(2)是本题难点，且对问题(3)起到铺垫作用.在解题中，要善于进行合理的猜想，从图中观察AD和BD

的长度与DI的长度可能相等，进而观察AD与DI的位置关系，根据AD与DI有公共端点这一位置关系尝试通

过"等角对等边"对猜想进行推理证明.

因此，在解决问题的过程中，"观察一猜想一证明"是一种有效的探究策略，在日常学习中要尝试体会和运用.