2025年中考数学考前复习：图形的相似（含解析）

2025年中考数学考前复习专题14：图形的相似

一、单选题

1.已知△ABCs/XAB'C',相似比为1:4,那么VABC和一AB'C'的周长比为（）

A.1:4B.3:4C.1:8D.1:16

2.如图，VABC与‘A'B'C'位似，位似中心为点。，OC':CC'=2:1,AB'C'的面积为12,则VABC

面积为（）

9

A.54B.32C.27D.一

16

3.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，尸为A3的黄金分割

^（AP>PB）,如果A3的长度为10cm,那么尸3的长度为（）cm.

B

A.5y/5-5B.10A/5-10C.15-5A/5D.15+5班

4.如图，在VABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分/ABC.与AC交于点O.若BC=2,贝l|CQ

的长度为（）

A.1B.3C.75+1D.非-1

5.如图，在正方形ABC。中，M为BC的三等分点，MC=2BM,对角线AC与MD相交于点凡过

点/作CD的垂线，垂足为G,过点尸作的垂线，垂足为E,已知AD=4,则FG的长度为（）

6.如图，VABC与。即是以点。为位似中心的图形（点A,B,C的对应点分别为点。，E,F）.若

r）A

VABC与」死尸的周长之比为1:2,则笑的值为（）

7.矩形ABC。中，AB=4,3C=3,点Af在线段CD上，CM=1,连接过点A作

垂足为E,与对角线3D交于点则的长是（）

204^0/—

A.—B.C.V10D.3

135

8.如图，在正五边形MCDE中，连结BE,BD,过点。作CD的垂线，与边AE交于点/，与对角

线BE交于点P,下列结论中错误的是（）

A.NEED=54°B.AB+AF=BE

AF75-1

D.点产是AE的黄金分割点

BD~2

二、填空题

9.如图，在，ABC中，ZACB=90°,BC=5,AC=12,AZ)=33。，点E是AC的中点，BE、CD

相交于尸，则四边形的面积为

10.如图，矩形ABC。中，点E为边的中点，连接AE,点尸为A3边上一点，连接CF交AE于

2

点G,若CO=CG=3jim,tanZEGC=1,则线段2C的长度为.

11.如图，在VABC中，£>E〃3C分别交A3、AC于点。、E,DF〃AC交BC千点、F,—=-,

所=10,则CF的长为.

12.如图，在平面直角坐标系中，VABC的顶点A在第二象限，点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为

(-1,0).以点C为位似中心.在x轴的下方作VABC的位似图形△A'3'C.若点A的对应点4的坐标

为(2,-3),点B的对应点夕的坐标为(1,0),则点A的坐标为.

13.如图，小孔成像实验如图1,抽象为数学问题如图2,AC与8。交于点0,AB//CD,若点。到

的距离为10cm,点。到CD的距离为15cm,蜡烛火焰倒立的像CO的高度是6cm,则蜡烛火焰A3

的高度是cm.

图1图2

一3

14.如图，在平面直角坐标系中，直线y=1X-6分别与x轴、y轴相交于点A、B,点、E、尸分别是

正方形。4CD的边OD、AC上的动点，且=过原点。作0/7,跖，垂足为H,连接HA、HB,

则一面积的最大值为

三、解答题

15.如图，在uABCD中，AC为对角线，过点B作BELAC交AC于点E,交AD于点尸，交C。的

延长线于点G.

⑵如果筋2=3£3尸，求证：四边形ABCD是矩形.

16.如图，ABC是一张锐角三角形纸片.

(1)按下面的步骤完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)

①作N54C的角平分线，交3c于点。；

②在A3、AC上分别取两点E和歹，连接DE、DF,使四边形乃是菱形.

⑵若AB=3,AC=4,求DE的长.

17.如图，点E在正方形ABC。边上，点尸是线段AB上的动点(不与点A重合)，。尸交AC于

点G,GH_LAD于点X,AB=3,DE=1.

DK-------------------^C

⑴求tanNACE的值;

(2)设AP=x,G"=y,试探究y与尤的函数关系式(写出x的取值范围);

(3)当NAW=NACE时，判断CGE与△ZMF是否相似并说明理由.

18.【问题情境】在矩形ABCZ)中，点E为边3c上一个动点，连接AE.将沿AE翻折，使点

8恰好落在对角线上点尸处，AE交BD于点G.

【探究发现】

(1)如图1,若BC<AB,求NATO的度数;

(2)如图2,当AB=4,且EF=EC时，求2C的长.

【拓展延伸】

(3)若矩形ABC。满足AS:3c=2:3,点E为边上一个动点，将矩形ABC。沿AE进行翻折，点

C的对应点为C',当点E,C,。三点共线时，求/瓦场的正切值.

19.如图①，在菱形ABC。中，7W=10cm,BD=16cm.动点尸从点B出发，沿8C方向匀速运动，

速度为lcm/s；同时，线段MN(点M,N分别与点A,。重合)从点。出发，沿。3方向匀速平移，

速度为2cm/s；线段MN停止运动时，点P也随之停止运动.MN交AB于点E,连接PN,MB.设

(2)是否存在某一时刻,,使点E在/ADB的平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由;

⑶设四边形的面积为S(cm2),求S与/的函数关系式；

(4)如图②，点N'是点N关于直线2C的对称点，连接3N',NN',当r为何值时，点、M,B,N'在同

一条直线上？请说明理由.

20.如图，边长为4的正方形ABCD内部有一点E,点尸在边AD的上方，AE=AF,ZEAF90°,

连接BE、DF.

备川佟I

⑴求证：AABE学△ADF；

(2)延长BE交DF所在直线于点G；

①若AE=啦,/54£=45。时，求EFG的面积；

②若AE=2,当2546从0。到60。的变化过程中，求点G经过的路径长.

《2025年中考数学考前复习专题14：图形的相似》参考答案

题号12345678

答案ACCDBAAC

1.A

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比，是解题的

关键.根据相似三角形的性质，进行求解即可.

【详解】解：•••△ABCS/'AEC,相似比为1:4,

...VABC和A'3'C'的周长比为1:4.

故选：A.

2.C

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，

根据为=：可得失=5,即可得出优"=G，再结合S.c，=12可得答案.

CC10c3»ABC"

OC2

【详解】解：...仁7=：，

.OC2

••一，

OC3

,S_4

,•二7万

•*SAEC=]2,

S/XABC~27.

故选：C.

3.C

【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个

线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点.根据AP=避二即可求出BP.

2

【详解】解：・・,尸为A3的黄金分割点（AP＞总）

AP=^-1-AB=^^xlO=（5A/5-5）cm

P8=A8-A尸=10-（54-5）=（15-5司cm

故答案为：C.

4.D

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以

上知识点是解题的关键.先利用等腰三角形以及三角形内角和，求得/ABC=/C,再利用角平分线，

求得ZDBC=ZABD=-ZABC,然后计算出NBDC,推出AD=5。=5C,最后证明Z\BCD^Z\ACB，

2

然后利用对应边成比例求得答案.

【详解】解：AB=AC,ZA=36。，

平分/ABC,

ZDBC=ZABD=-ZABC=36°,

ZDBC=ZA=ZABD,ZBDC=180。—ZDBC—NC=180。—36°-72°=72°

:.BD=AD,BD=BC

NC=NC,ZDBC=ZA

:ABCDSAACB,

BCCD

ACCB

BC=2,

.2CD

'AD+CD~~2

.2CD

'2+CD~~T

..28+0)2=4

:.CD=45-1(舍去负值)

故选：D.

5.B

【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由正方形得到AD=3C=4,AD//BC,

ZADC=90°,贝|丝=竺，结合三等分点得到名=：,再由垂直证明-ADCS.FGC,得到

CMCFAC5

±CF二F黑G=：2，即可求出尸G的长度.

ACAD5

【详解】解：•・•在正方形ABCD中，AD=4,

：.AD=BC=4fAD〃BC,ZA£)C=90。，

.ADAF

••CM—CF，

・・・M为BC的三等分点，MC=2BM,

22

：.CM=-BC=-AD

33f

.AD_AF_3

CMCF2

・CF2

••一,

AC5

・・,过点/作CO的垂线，垂足为G,

：.ZADC=ZFGC=90°,

:•一ADCs^FGC,

.CFFG2ntlFG2

ACAD545

Q

解得/G=],

故选：B.

6.A

【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到

4D1

AABCs八DEF,根据相似三角形的性质求出一=G，再根据相似三角形的性质计算，得到答案.

DE2

【详解】解：TVA5c与是以点。为位似中心的位似图形，

：・AABCs^DEF,AB//DE,

•「VABC的周长与。砂的周长比是1:2,

.AB1

••__=~f

DE2

'：AB//DE,

_AOBsDOE,

.OAAB_1

…OD~^E~2，

故选：A.

7.A

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.根据矩形的性质证明

CBMs,BAN和AADFsANBF,根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可.

【详解】解：如图所示，延长AE交于点N

・・•四边形ABCD是矩形,

AZC=ZABC=90°,AB//CD,BC=AD=3,CD=AB=4,

：.ZBAN-^-ZANB=90°,

•:AEJ.BM,

ZBEN=90。,

ZCBM-^ZANB=90°,

Z.CBM=/BAN,

一CBMs_BAN,

BCCM

法一而，

3_1

4-

：AD//BC,

•・/\ADFsANBF,

DFAD39

1.BFBN44，

3

设Db=9x,则5尸=4%,

：.BD=13x,

在Rt.ABD中，由勾股定理得=132+42=5,

A13x=5,

故选：A.

8.C

【分析】连接4）交班于点G,连接GF,由正五边的性质求出NE4B=108。，由等腰三角形的性质

及三角形内角和定理可得乙钻£=/石4。=36。，然后证明-EZ加9GD厂（SAS）,得出

AFGF

ZDEF=ZDGF=108°,证出AG=AF,则可得出AB+AF=鹿；再证明一ABG"一E4G,则一二—，

ABAG

整理得A产=皿2_4^4尸，解得二I.（负值己舍去），贝|丝=避二1,所以点尸是AE

2AE2

的黄金分割点，再得出孕乙=避上14/=的，算出BO=AE+AF=@±2AF,即可作答.

A/5-I

【详解】证明：如图，连接AD交班于点G,连接G尸,

A

F

正五边形ABCDE的内角和是（5-2）x180。=540。,

・•・/FED=ZCDE=ZEAB=540。+5=108°,

・・•过点。作CO的垂线，

・•・ZCDF=90°,

・•・ZroE=108°-90o=18°

在Rt.EFD中，ZEFD=180°-18°-108°=54°,

故A选项是正确的，不符合题意;

QAE=ABf

:.ZAEB=ZABE,

ZABE=|x(180°-108°)=36°,

：.ZABE=ZEAD=36°,

:.ZBAD=1Q8°-36O=12°,

/.ZBGA=180°-72°-36°=72°,

又ZEAD=ZAEG=36°,

,\GA=GEf

:.BA+GA=BG+GE=BE,

又ZEDF=180°-90°-72°=18°,ZGDF=36°-18°=18°,

..ZCGB=ZCBG=72°,

:.DG=DE,

在〃区)尸和一GOb中，

ED=DG

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF

[EC昭冬GOb(SAS),

NDEF=NDGF=108。，GF=EF

ZAGF=ZAFG=72°,

.\AG=AF,

:.AE+AF=BE.

JAB+AF=BE,

故B选项是正确的，不符合题意；

VAB=BG,AG=AF,

.AB_BG

**AF-AG-

,/ZABG=ZGAF=36°,

：...ABG^FAG,

AFGF

即Rn——=——,

ABAG

VAG=AF,GF=EF,

AFEFAE-AFAB-AF

即Rn——=——=--------=--------,

ABAFAFAF

**-AF2=AB2-ABXAF9

解得（负值已舍去），

2

AF=^^-AE,

2

即生=旻1,

AE2

工点尸是AE的黄金分割点，

故D选项是正确的，不符合题意；

则ZBDE=ZCDE-ZCDB=108°-36°=72°,

・•・ZBDE=ZBED,

:.BE=BD,

则班=6G+G石=AB+AG=AE+AF,

•••弟T”招钻

BD=AE+AF=^^-AF+AF=^^-AF,

22

故C选项不是正确的，符合题意；

故选：c.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三

角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题

的关键.

c27

9.—

2

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，三角形中线的性质，，作

SAD〜45

EG〃F。交A3于点G,则黄A丝nr=亍而=3,得出$仞°=＜，证明AEG。ACD得出

JADB2

14543

S--S=—,证明二BEDSBEG得出S由=ASGEB=J，进而即可求解•

AEG4ADCoJy2

■:EG//FD

：.BFDsBEG

q

•-DFB

-q

uGEB

==

••SS/TD=X

DFB92582

327

・・・四边形WE的面积为SOF8=15—5=w

7

故答案为：四边形尸石的面积为7.

2

10.4岳

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，延长AE交。C的延

长线于点H,过点C作CM1.于点M,可证_ECHs,ADH,可得CH=CD=3屈，即得CG=CH,

CM2

得至UNH=NEGC,进而得到大=彳，利用勾股定理得。0=6,又由余角性质可得NEW=NH,

MH3

由三角函数得上M=4,进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，延长AE交。。的延长线于点H,过点C作CMLAH于点则

NCMH=/CME=90。,

H

・・•四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC,AD〃BC,/BCD=90。,

:.ECHsdADH,/ECH=90。,

.CH_EC

••=,

DHAD

・・•点E为5c边的中点，

•・•E一J1，

BC2

・EC1

••一,

AD2

.CH1

•・加一万，

CH=CD=3屈,

;CG=3岳,

:・CG=CH,

：.ZH=ZEGCf

：.tanNH=tanZEGC=-,

3

.CM_2

设CM=2a,则MH=3a,

在RtCMW中，CM2+MH2=CH2,

A（2^）2+（3«）2=（3A/B（2,

解得。=3,

：.CM=6,

9：ZH^-ZMCH=90°,NECM+NMCH=90°,

・•・/ECM=/H,

tanZECM=tanNH=—,

3

.EM_2

日nEM2

即~~T=彳，

63

・•・EM=4,

CE=4EM1+CM-=742+62=2房>

BC=2CE=4g,

故答案为：4^/13.

11.4

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，由。石〃2（7,DF//AC,

AE2

得四边形DEC/是平行四边形，DE=CF,^DE=CF=x,由—=—可得

EC5

Y2

即可解得答案.

10+x7

【详解】解：・・・。石〃5C,DF//AC,

••四边形OECb是平行四边形，

：.DE=CF,

设。£=CF=x,

VBF=10,

・•・BC=BF+CF=10+x,

'：DE//BC,

：.AADE^AABCf

.AEDE

•・花一茄’

..AE_2

•一,

EC5

.AE_2

"AC-7"

解得x=4,

CF=4,

故答案为：4.

【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，作轴于E,作

轴于尸，由题意可得03=2,OC=OB'=1,OF=2,AF=3,BC=l,CB'=2,CF=3,AABC^AAB'C,

3—35

由相似三角形的性质得出AE=],再证明AEC^.AFC,求出CE=5,再求出OE=EC+OC=5,

即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，作AEJ-X轴于E,作A'F_L无轴于/，

:点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,0),点A的坐标为(2,-3)，点？的坐标为(1,0),

.*.03=2,OC=OB'=1,OF=2,AN=3,BC=\,CB'=2,CF=3,

由题意可得：

,AE_BC_1

*"CF-2?

/ZACE=ZACFfZAEC=ZA;FC=90°f

\AECsAFC,

.EC_AE_1

9~CF~^F~2f

\OE=EC+OC=~,

2

13.4

【分析】本题考查了相似三角形的应用，由A3〃8可得2Ao冰-_COD,即得喘=微，据此解答

即可求解，掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解题的关键.

【详解】解：,•,AB〃cr>,

?.AOB^COD,

.AB10

••一，

CD15

CD=6cm,

・.JO

••一，

615

解得AB=4cm,

故答案为：4.

14.26+100/10拒+26

【分析】连接AD,交EF于N,连接OC,取ON的中点连接MX,过点/作MQ_LAB于Q,

交40于点K,作MPLQ4于点P,如图所示，先证明ON=OV,再证点//在以ON直径的圆上运动,

则当点H在的延长线上时，点//到A3的距离最大，由相似三角形的性质可求MK,K。的长，

由三角形的面积公式代值求解即可得到答案.

【详解】解：连接AD,交EF于N,连接OC,取ON的中点连接过点M作MQ_LAB于Q,

交A。于点K,作MPLCM于点尸，如图所示：

.•.点A（8,0）,点8（0,-6）,

OB=6,OA=8,

：.AB=^OA"+OB2=10>

四边形ACDO是正方形，

OD//CA,AO=AC=OD=8,OC=872,ZCOA=45°,

:.ZEDN=ZNAF,ZDEN=ZAFN,

又，DE=AF,

DEV^..ARV（ASA）,

:.DN=AN,EN=NF,

，点N是AO的中点，即点N是OC的中点，

ON=NC=472,

OHLEF,

:.ZOHN=90°,

点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在Q"的延长线上时，点”到AB的距离最大,

点”是QV的中点，

:.OM=MN=2-j2,

MPLOP,ZCOA=45°,

：.OP=MP=1,

则AP=6,

ZOAB+NOBA=90°=NOAB+ZAKQ,

ZAKQ=ZABO=ZMKP,

又*ZAOB=ZMPK=90°,

:./\MPK^/\AOB,

.MPPKMK

,OA~OB~AB'

则W=F=哈，解得MK=J,PK=1,

oo1U22

..AK——•

2

ZAKQ=ZABO,ZOAB=ZKAQ,

:./\AKQ^/\ABO,

9

AKKQ

即区=当,

~AB~~OB

10~6

27

:.KQ=—

10

52726

:.QM=KQ+MK=-+—=

y

点H到AB的最大距禺为,+20,

面积的最大值=gxlOx[g+20)=26+10夜,

故答案为：26+10匹.

【点睛】本题是四边形综合题，涉及正方形的性质、勾股定理、一次函数图象与性质、全等三角形的

判定和性质、相似三角形的判定和性质、动点最值-辅助圆问题等知识，求出MQ的长是解题的关键.

15.(1)见解析;

(2)见解析.

【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质、

矩形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

(1)由平行四边形性质，结合相似三角形的判定得到.GEDS_GBC,由相似比变形即可得证;

(2)由题中条件，结合相似三角形的判定得到一ABEs二.，再由相似三角形的性质得到

ZAEB=ZFAB,根据四边形ABCD是平行四边形，由矩形的判定即可得证.

【详解】(1)证明：•..四边形ABC。是平行四边形，

DF//BC,

：.Z.GDF=NGCB,

,/NG=NG,

:.-GFDs=GBC,

.GFDG

"~GB~~CG'

：.GFCG=DGBG；

（2）•・•AB?=BEBF，

.AB_BE

••—~,

BFAB

又：ABE^ZABF,

/.ABE^FBA,

：.ZAEB^ZFAB,

•/BEYAC,

：.ZAEB=90°,

：.NBAF=90。,

:四边形ABC。是平行四边形，

四边形ABCD是矩形.

16.（1）①图见解析；②图见解析

⑵即若

【分析】（1）①作已知/BAC的角平分线即可；

②先作线段AO的垂直平分线，交A3于点E,交AC于点/，连接DE、DF,根据线段的垂直平分

线的作图和性质及平分/BAC,可得AE=ED=DF=AF,即四边形AEZ"是菱形.

CFFD4-FDFD

（2）利用菱形的性质证得△CFDs^c钻，可得了二即一解方程，即可求解.

CAAB43

【详解】（1）解：①如图所示,

s.AEHDF,AF=AE=ED=FD,

CFD^CAB,

CFFD

AB=3,AC=4,

4-EDED

••一，

43

I?

解得：ED=—.

【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，相似三角形的判定

与性质，解一元一次方程，熟练掌握相关尺规作图是解题关键.

17.(1)tanNACE=；

qx

(2)J=^^(0<x<3)；

(3)当NAT>^=NACE时，ACGESADAF,理由见解析

【分析】(1)过点E作㈤"LAC于点由正方形的性质求出A£=2,由直角三角形的性质求出

和CM的长，则可得出答案；

(2)证明DHS.DAF，由相似三角形的性质得出生=誓，则可得出答案；

AFDA

Ap13

(3)由锐角三角函数的定义得出启=wr=；,求出左=彳，y=l,证明EWG和；AHG都是等腰直角

/XL)3，2

三角形，则可得出答案.

【详解】(1)解：过点E作EMLAC于点

:.ZCAD=45°,AE=AD-DE=3-1=2,

EM=AM=AE-sinZCAD=2x—=y/2,AC=3-j2,

2

:.CM=AC-AM=3贬-母=2四,

42_1

tan4CE=需

20-2

(2)解：四边形ABC£>是边长为3的正方形,

:.ZCAD=45°,

GHLAD,

「.△AHG是等腰直角三角形，

：.AH=GH=y,

GHLAD,ABLAD,

..GH//AB,

DHG^DAF,

.HGPH

一~AF~^A9

.1_3-y

一犬_3，

:.y=x—xy,

'=^^(。＜兀43)；

(3)解：当NADF=NACE时，ACGEs&DAF,

理由：tanZADF=tan/ACE=；,

.AF_x_1

,,AD-3-2，

2

,-.HA=GH=l,

:.EH=AD-DE-AH=lf

.•.一EHG是等腰直角三角形，

.•.ZHGE=45。,

AHG是等腰直角三角形，

NAG"=45。，

ZAGE=ZAGH+ZHGE=90°,

ZCGE=ZDAF=90°.

9

：ZADF=ZACEf

：.ACGESADAF.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理,

锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

18.(1)120°；(2)472;(3)或g.

【分析】(1)由矩形的性质和锐角三角函数定义，得NABD=60。,再由折叠性质得：AF=AB，故

是等边三角形，即可得结论；

(2)由折叠性质得：BF1AE,EF=EB,则BC=2EB,再证./皿不^及刀，根据相似的性质可

得2C的长；

(3)分类讨论且结合作图，当点E在8、C之间时，得DE=A9=3C=3w,运用勾股定理得

CE=dDE_CZ）2=,BE=（3-石）〃，故tanNBAE='；当E与C重合时，BE=BC=3n,

tanZBA£=—,即可作答.

AB2

【详解】解：（1）四边形ABC。是矩形，

AD=BC,ZR4D=90°,

BC=gAB,

AD=s/3AB,

AD

••tan----=J3i—,

AB

ZAB。=60。，

由折叠的性质得：AF=AB,

二•A4防是等边三角形，

ZAFB=60°,

.ZAFD=1800-ZAFB=120°；

（2）由折叠的性质得：BF±AE,EF=EB,

.NBGE=90。,

EF=EC,

.EF=EC=EB,

.BC=2EB,

四边形A3C。是矩形，

.ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=4,

ZBAE+ZAEB=9009NCBD+ZAEB=90。,

.NCBD=NBAE,

ZBCD=ZABE,

.ABEs,BCD,

•.BC=4舱(负值已舍去),

即5c的长为4&;

(3)设AB=2〃，BC=3n,

分两种情况：当点E在5、。之间时,

由折叠的性质得：ZAEC=ZAEC,

•:ZBEC=/DEC,

；・ZAEB=ZAED,

'：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE,

ZDAE=ZAED,

：・DE=AD=BC=3n,

在RtzXCD石中，CE7DE2-3=岛，3E=（3-石）九，

tanZBA£=——；

2

当E与。重合时，BE=BC=3n,

tan/BAE==—；

AB2

综上所述，-BAE的正切值为或1■.

22

【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，相似三角形的判定与性质,

折叠性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

40

19.(1”=——s

9

小、40

⑵

(3)S=-|产-++48(0<r<8)

39

⑷r

【分析】（1）根据菱形ABC。中，AB=10cm,BD=16cm.动点P从点8出发，速度为lcm/s；同

时，线段肋V速度为2cm/s,设运动时间为t,则BP=rcm,DN=2tcm,BN=BD-DN=(16-2t)cm,

RNFN

根据EN旬得到BEM,.BAD,列出比例式而=而，当成=硒时，四边形ENPB是平行四边

形，即可证PN〃防；

(2)根据ENAD,得ZADE=NNED,根据点E在4DB的平分线上，得到NADE=NA©E,于

是得到ZNED=NNDE即EN=DN,建立方程2/=10-3,解答即可；

4

(3)连接AC与交于点。，求得OA=OC=‘AB?-OB?=6(cm),过点N作GH_LBC于点G,交

AD于点、H,则GH为菱形的高，根据8C.G"=《AC.B。，就可以得到^12x1648,根据

2GH=-----------=—

105

BGNsDHN,得至B!N)把G=N"，求得GN="48-*6t,后根据

DNHN5

S=：M7V.GN+g2PGN=；x史丁^(10+。=-*2-2+48解答即可.

(4)连接AC与03交于点。，设MV'与BC交于点。，求得cos/O2C=M=。，得到

BC5

464—"

BQ=BNcosZOBC=-(16-2f)=,证明NQ=N'Q,得MB=BN，,根据三角形中位线定理，

得BQ=；1MN=5,故5=方64-耳St，解得39

【详解】(1)解：•・•菱形A5CD中，AB=10cm,BD=16cm.动点尸从点3出发，速度为lcm/s；

同时，线段速度为2cm/s,

设运动时间为则的=/cm,DN=2tcm,BN=BD-DN=(16-2t)cmf

AB=BC=CD=DA=10cmf

・.・ENAD,

I.BENBAD,

.BNEN

••~一—,

BDAD

.16-2tEN

••=，

1610

解得EN=10-3,

4

当3P=£7V时，四边形EAPB是平行四边形，即可证PN〃EF,

于是，t=10——Z,

4

解得好4黑0

40

故当t=3s时，PN//EB.

(2)解：AD,

：.ZADE=ZNED,

:点E在/ADB的平分线上,

・•・ZADE=ZNDE,

：.ZNED=ZNDE,

：.EN=DN,

2t=10——f,

4

解得"二40，

故当时，点后在川必的平分线上.

(3)解：连接AC与。5交于点0,

*.*菱形ABCD中，AB=10cm,BD=16cm.

AZAOB=9Q°,OB=OD=-BD=8cm,

2

：.OA=OC=YIAB2-OB2=6(cm),

过点N作于点G,交AD于点、H,

则为菱形的高，

BC・GH=LAC・BD,

2

丁BC//AD,

BGNs；,DHN,

,BNGN

•・DN~HN'

16-2r_GN

：.2t~

48-6r

解得GN=

5

：.S=-MNGN+-BPGN=x(10+r)

2225

=--?--Z+48.

55

(4)解：连接AC与。5交于点0,设NN'与BC交于点、Q,

Y菱形ABCZ)中，A5=10cm,B£)=16cm.

AZAOB=90°,OB=OD=-BD=Scm,

2

OA=OC=4AB1-OB-=6(cm),

：.cosZOBC=—=~,

BC5

BQ=BNcosZOBC=1(16-2?)=64J8r,

根据题意，得NQ=N'Q,

-：BCADMN,

.QNMP

••函—前’

：.MP=PN',

：.BQ