2025年中考数学三轮冲刺复习：四边形综合常考热点 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学三轮冲刺：四边形综合常考热点提分刷题练习题

1.如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,点。是对角线AC的中点，动点尸、。分别从点

A、3同时出发，点尸以lcm/s的速度沿边A3向终点B匀速运动，点。以2cm/s的速度沿

边向终点C匀速运动，当一点到达终点时另一点也停止运动，连接尸。并延长交边CO于

点、M,连接QO并延长交边ZM于点N,连接尸。、QM,MN、NP,得到四边形尸QVW,

设点P的运动时间为x(s)(x>0),四边形PQMN的面积为j(cm2).

(1)3尸的长为cm,CM的长为cm.(用含x的代数式表示)

⑵求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

⑶当四边形PQMN是轴对称图形时，求出x的值.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,尸是射线2C上的一个动点，过点尸作尸E_LAP,

交射线DC于点E,射线AE交射线8C于点/，设=

(1)当a=3时，连接。尸，试判断四边形APRD的形状，并说明理由；

(2)当tan/PAE=g时，求。的值.

3.如图，在平行四边形ABCD中，NBA。的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点尸,

以EC,CF为邻边作平行四边形ECFG.

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GF

图2图3

(1)若—ABC=90°,如图(1),求证：平行四边形ECRS是正方形;

⑵若NA5C=120°,如图(2),连接8G,DG,求证：BG=DG；

⑶若NABC=90。，如图⑶，若A3=6,AD=8,M是的中点，求。0的长.

4.如图，在正方形ABC。中，AB=BC=CD=DA=4,ZA=ZB=ZC=ZD=9Q°.动点尸

以每秒1个单位长度的速度从点8山发，沿线段2C方向运动，动点。同时以每秒4个单位

长度的速度从点A出发，沿正方形的边AD-OC-CB运动，当点P与点。相遇时停止运动，

设点尸的运动时间为/秒.

A。

BP

备用图

⑴运动时间为_秒时，点尸与点。相遇;

⑵求f为何值时，AAB。是等腰三角形?

(3)用含/的式子表示△AQP的面积S,并写出相应/的取值范围;

(4)连接上4,当以点。及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和ARW全等时，直接写

出f的值(点尸与点。重合时除外).

5.如图1,在正方形ABCD中，点E、尸分别为边2C、0c上的动点，且ZE4F=45。，AE.

AF分别交对角线于点尸、Q.

图1图2图3

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(1)如图2,当EF〃加时，

①求证AME名人4£*；

②当AB=1时，求取的值;

⑵求质的值；

(3)如图3,连接QE,当E在3c上移动时NAEQ是否发生变化？如果不发生变化，求出

/AE。的值；如果发生变化请说明理由.

6.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的

兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

如图1,正方形ABC。中，点E为A3边上一点，连接DE,过点E作EF_LDE交3C边于

点、F,将VADE沿直线DE折叠后，点A落在点A处，当NBEF=25。,贝UNFE4'=

如图2,连接£)尸，当点A恰好落在。尸上时，求证：AE=2A'F.

如图3,若把正方形ABCD改成矩形ABCD,B.AD^mAB,其他条件不变，他们发现AE与

A尸之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与4尸之间的数量关系式.

图1图2图3

7.在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,点、E、F分别是AD、A3边上的动点，以EF为

边作平行四边形EPG/Z,点//落在边CO上，点G落在矩形ABCD内或其边上.

(1)如图1,当AE=4,AF^6,且NHEF=90。时，

①求证：四边形EFG”是正方形；

②连接CG,直接写出ACG"的面积；

(2)如图2,当4£=4且EF=£W时，若AF=无，连接CG,

①DH=；(用含尤的代数式表示)

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②求ACG"面积的取值范围；

(3汝口图3,当。E与AF的长度之比为1：2,且/HEF=90。时，在点E从点。运动到点A的

过程中，直接写出点G运动的路线长.

8.已知正方形ABCD边长为1,对角线AC,应)相交于点。，过点。作射线OEOF,分

(1)如图1,当OELAD时，求证：四边形AE。尸是正方形；

(2)如图2,将射线OE绕着点。进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段OE与OF的数量关系，并给出证明；

②四边形OE4F的面积为二

(3)如图3,在四边形PQWN中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=9Q°,连接PM.若PM=9,

请直接写出四边形PQWN的面积.

9.如图1,矩形ABCD中，AB=4,3c=3,点E在边上运动(不与点8和点C重合)，

将AE绕点A顺时针旋转得到"，旋转角等于连接C尸，过点尸作万MJLAC于点

M.

(1)求证：AABE当Z\AMF；

(2)当直线府恰好经过点E时，求CF的长；

(3)如图2连接DP.

RF

①当止=CF时，求的值；

CE

②探究D尸是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由.

10.如图1,在菱形ABCD中，点P是对角线3。上一点，连接”和CP,在射线AP上取

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点E,使得NAEC+/ABC=180。，射线CE交射线于点。，设NABC=2a.

图1图2图3

（1）如图2,若夕=45。，连接AC,交BD于点O,求证：AOPC-AOCg；

（2）【探究】如图3,若c=30。，BD=4DP,请画出图形，并求岩的值；

【归纳】若应＞=公。尸，箸的值为.（用含左、a的表达式表示）

11.已知，点尸是边长为。（。为常数）的正方形内部一动点，PELADE,PFVBC

于尸，连结尸£＞,EF,DE,DF,记Z\PDE,△尸£＞尸，！PEF的面积分别为&,S2,S3,

令PE=x,PF^y.

（1汝口图1,点P在对角线AC上.

①求》+邑（用含。、》的代数式表示）

②是否存在实数3使'+S?+茯3的值与尸点在AC上的位置无关.若存在，请求出左的值;

若不存在，请说明理由；

X1

（2）若-=当点尸在VABC内部（不含边界）时（如图2）.

①求x的取值范围；

②试说明：5+S2的值随着x的增大而增大.

4

12.平面内，在小钻CD中，AB=12,AD=10,sinB=g,点尸为AB边上任意一点，

连接PC,将尸C绕点尸逆时针旋转90。得到线段尸E,设8P=x.

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F、

⑴当CP恰与AB垂直时，如图1,求PC旋转到PE所扫过的面积；(结果保留兀)

(2)当点E落在对角线C4的延长线上时，分别过点C,E作直线的垂线，垂足分别为M,

N,如图2.

①求证：&CM沿AEPN；

②求x的值;

(3)连接尸£),在旋转PC的同时，将PZ)绕点尸逆时针旋转90。得到线段小，连接AE,AF,

如图3.当AAE尸是直角三角形时，直接写出x的值.

13.【问题探究】

课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：

如图1,在矩形ABCD中，点E,f分别是边。C,上的点，连接AE,DF,且

于点G,若的=6,BC=8,求正的值.

图1图2图3

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由.

【初步运用】

(2)如图2,在VA5C中，440=90。，­=:，点。为AC的中点，连接3。，过点A作

AC4

AF

AELBD于点、E,交BC于点、F,求就的值.

BD

【灵活运用】

4D3

(3)如图3,在四边形中，ZBAD=90°,—=一,AB=BC,AD^CD,点E,F

AD4

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CF

分别在边4B,AD上，且。ELCF,垂足为G,则而=_

14.【教材呈现】如图，在VABC中，点。、E分别与AC的中点.则DE与BC的关系

是OE||8C,DE=；BC；

图⑴

【感知】如图1,在矩形ABCD中，点。为AC的中点，点M为A3边上一动点，点N为BC

的中点，连结"N、OM,ON.MN//AC,NOMN与NOMW的数量关系是.

【应用】如图2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC^4,AD.CE是Rt^ABC的中

线，M.N分别是AD和CE的中点，求MN的长；

【拓展】如图3,在平行四边形ABCD中，点E为A3边上一点，连接CE,点尸在CE上，

BE=EP=CP=2,点G是EP的中点，连接AG交2C于点尸，若点F为2C的中点，

Ap

/尸GP=60。，连接AP,求力;的值.

BC

15.(1)如图①，四边形ABCD是矩形，点E是A3左侧一点，作点E关于AB的对称点「

作点厂关于AD的对称点G,连接AE、AF、AG,且/E4B<90。,请你判断点4点E、

点G是否共线？回答：_；(填：“共线”或“不共线”)

(2)如图②，四边形ABCD是矩形，AD=2AB,点E是A3左侧一点，作点£关于A8对

称的点F,作点F关于AD的对称点G,连接AE、AF.AG.EF、GF、DG,GF^AD

于点H,且ZEAB<90°,AE=AB,

①当㈤B的度数为多少时，EF=G尸？请说明理由；

②当㈤B的度数为多少时，△AGD是直角三角形？请说明理由；

(3)如图③，矩形AC是ABCD的对角线，AD=6A2直线MN经过点8,且NCBN=30。,

点、E是直线MN上一动点，作点E关于BC的对称点忆作点F关于的对称点G,

连接AE、AG.当AABG为等腰三角形时，请直接写出/E4C的度数.

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E

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参考答案

1.(l)(4-x),x

(2)y=4x2-12x+16(0<x<2)

3

【分析】(1)证AMCOZ△上40,得出CM=AP即可；

(2)证AQCO丝ANAO,分别列出SAAPN，SQCMQ,^^BPQ>S#MN，再用正方形面积减去即

可；

(3)先确定四边形尸QMN是平行四边形，其中能为轴对称的只有矩形和菱形，分别讨论即

可.

【详解】(1)解：(1)由题意得，AP^xcm,BQ=2xcm,

VAB=4cm,

BP=AB-AP=(4-x)cm,

:四边形ABC。是正方形，

AB//CD,

：.ZMCO=ZPAO,ZCMO=ZAPO,

:点。是对角线AC的中点，

：.CO=AO,

在AMCO和ABIO中，

ZMCO=ZPAO

<ZCMO=ZAPO,

CO=AO

：.AMCC^APAO(AAS),

CM=AP=xcm,

故答案为：(4-x),尤;

(2)根据题意，得：0<x42,

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・・•四边形ABC。是正方形，

：.AD//BC,

：.ZQCO=ZNAOfZCQO=ZANO,

丁点。是对角线AC的中点，

：.CO=AO,

在△QCO和VNAO中，

ZQCO=ZNAO

<ZCQO=ZANO,

CO=AO

：.△QCO^NAO（AAS）,

；.CQ=ANf

•・•四边形是正方形，

BC=AB=CD=AD=4cm,

*.*BQ=2九cm,

CQ=BC-BQ=（4-2x）cm,

AN=（4-2x）cm,

DM=CD-CM=（4一元）cm,DN=AD-AN=2xcm,

5AAp可=~^AP-AN=；无（4-2尤）=2无一X?；

2

S、CM2=；CM-CQ=Ix（4-2x）=2x-元2；SABPQ=^BP-=x）-2x=4x-x■

S^DMN=^DM-DN=^4-xy2x=4x-x2,

正方形=42—2（2尤一尤2）—2（4X—尤2）=4X?—12x+16,

y=S4sCD-S、APN—S&CMQ-SaBPQ~

综上，y=4x2-12x+16（0<A：<2）；

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(3),：AMCg^PAO,

：.MO=PO,

'：AQCO9ANAO,

QO=NO,

，四边形PQMN是平行四边形,

V四边形尸。的是轴对称图形,

①当四边形尸。脑V是矩形时，如图,

只需尸。=。。即可，

则此时只需尸8=Q3即可，

4-x=2x,

4

解得尤=葭

②当四边形PQMN是菱形时，PQ=MQ,

：.（4-域+（2x）2=x2+（4-2x）2,

解得x=0（舍去）；

4

综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，x的值是

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，动点问题，矩形和菱形的性

质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键.

2.（1）四边形APFD是平行四边形，理由见解析

（2）a=3或7

【分析】（1）把。=3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可

以求出C尸的值，进而判断即可.

（2）由条件可以证明可以得到/=坐=2,再分情况讨论，从而求出。的

CEPC

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值.

图1

/一32+5x33

当a=3时,---------——，

42

DE=-

2

四边形438是矩形,

.1AZ)平行于8户.

\AAED^AFEC,

,ADDE

"~CF~~CE'

5

.J_=l

"CF~l'

2

:.CF=3,

：.PF=AD=5,

二四边形APFD是平行四边形,

AP={AB2+BP2=5>

:.AP=PF,

，平行四边形APED是菱形;

(2)解:如图2,

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图2

1Ap

根据tan/PA石=5,可得：—=2,

ZAPB+ZBPE=90。,ZCEP+ZEPC=90°,

.•./CEP=ZAPB,

又・.・ZABP=NPCE,

/.AABP^APCE

.BPAB入

CEPC

解得：a=3,EC=1.5或。=7,EC=3.5.

二.a=3或7.

【点睛】本题为四边形综合问题，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边

形的判定与性在，菱形的判定，解直角三角形以及勾股定理的运用，利用数形结合得出是解

题关键.

3.（1）证明见详解；

⑵证明见详解；

⑶=50.

【分析】（1）结合平行四边形的性质及角平分线的定义推得/氏牙=90。和NGEE=45。，再

根据等角对等腰可得GE=Gb,综合NEGF=90。即可证明平行四边形ECPG是正方形；

（2）根据平行四边形的性质推得平行四边形EC/G是含有60。角的菱形，再结合菱形的性质

推得“BEGmQCG即可证明BG=DG；

（3）延长Z）暇交EG延长线于点。，延长GE交AO于点P,先根据平行四边形和矩形的性质

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推得。尸，A。，CE、DP的值，再证推得=再根据勾

股定理在&ADPQ中求得。。、DM.

【详解】(1)证：,••平行四边形ABCD中，ZABC=90°,

平行四边形ABCD是矩形，

:"BCD=/BAD=90°,AD\\BC,

NECF=90°,

平行四边形ECFG是矩形，

:.CE\\FG,ZEGF=90。,

又平分/BAD,

ZDAE=-ZBAD=45°,

2

:.NGFE=NCEF=ZAEB=NDAE=45。,

:.RMEGF中,GE=GF,

矩形ECFG是正方形.

(2)证：•.•四边形ABC。是平行四边形，四边形ECFG是平行四边形，

AD\\BC\\GF,AB\\DF,AB=CD

ZABC=nO0,

ZECF=120°,/BAD=60°=ZCEG,

AE平分/BAD,

NBAE=ZEFC=-/BAD=30°,

2

AB—BE=DC,

.•.△CEF中NCEF=30。,

:.CE=CF,

即平行四边形ECFG是含有60°角的菱形，

:.EG=CG,/CEG=/FCG=60°,

,\ZBEG=ZDCG=120°f

♦.•△BEG和△OCG中，

BE=DC

<ZBEG=ZDCG,

EG=CG

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.■.^BEG^DCG(SAS),

:.BG=DG.

(3)解：延长。欣交EG延长线于点Q,延长GE交4。于点P,

•••四边形ABCD是平行四边形，四边形ECRG是平行四边形,

AB\\PQ\\DF,EG=CF,

AB=PE=CD=6,BC=AD^8,

.•・四边形PECO是平行四边形，

:.DP=CE,

-.•ZABC=90°,

二平行四边形ABCD是矩形，

.•.ZBAD=90°,即54_LAD,

:.QPLAD,即/。尸。=90°,

AE平分/BAD,

:.ZBAE^45°,ZBEA=45°

:.BE=AB=6,CE=BC-BE=8-6=2=DP,

NCEF=NBAE=45°,

矩形ABCD中/BCD=90°,

：.CF=CE=2=EG,

•••PQ\\DF,

ZQEM=ZDFM,

•rM是政的中点，

:.EM=FM,

・.•AQEM和AOU/中，

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ZQEM=ZDFM

,EM=FM,

ZQME=NDMF

:.^QEM^DFM(ASA),

:.QM=DM=^DQ,EQ=FD=CD+CF=S

PQ=PE+EQ=14,

.•.R/ADPQ中，DQ=yjDP2+PQ2=10A/2,

:.DM=、DQ=5叵.

【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的性质与判定、等腰

三角形的判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊平行四边形

的性质与判定.

4.⑴葭

3

(2)t=l或万或2

12

⑶当0。41时，S=8r；当1042时，5=-2r+2r+8;当2<t<1时，S=-10r+24

(4”的值为|4■或4:或：8

【分析】(1)设f秒后P、Q相遇.列出方程即可解决问题；

(2)根据AB=AQ,AB=BQ,BQ=AQ分类讨论即可解决问题；

⑶分三种情形①如图2中，当0<tVl,点。在AD上时.②如图3中，当1</2,点。

17

在CD上时，S=S正方形一S&ADQ-S^ABP-S#QC•③如图4中，当2<*《，点。在2C上

时.分别求解即可；

(4)分四种情形求解①当时，ACDQI四AABP.②当。0?=BP时，

AADQ2^AABP.③当CQ=B尸时，ABCQB'ABP.④当=2尸时，,

此时尸与。重合.

【详解】(1)设/秒后尸、。相遇.

由题意(4+)=12,

12,,

.」=二秒，

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「•1秒后P、。相遇.

12

故答案为《；

(2),・•正方形ABCD

：.AB=AD=DC=BC=4,

AF)

当AB=AQ时，此时。与。重合，，=竽=1;

4

当=时，此时。与。重合，"AD-L-D-C二2；

4

当时=A。时，。在A3的垂直平分线上，即。为C。中点，此时，AD+lDC3；

42

3

综上所述，当f=l或1或2时，AA?。是等腰三角形；

(3)①如图2中，当0</41,点。在AD上时，S=；x〃x4=8r.

②如图3中，当1CW2,点。在CD上时，

S=S正方形-S4Ap°—凡何―=16—/x4x（4r—4）—]x4xr—/X（4T）（8—旬=—2/+2r+8

图3

121

③如图4中，当2<f<一,点。在8C上时，S=-x[4-f-（4r-8）]-4=-10?+24.

52

图4

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8f(0</<1)

综上所述，S=<-2d+2f+8(l<r<2)

-10/+2412<Z<—|

II5J

(4)如图5中，

D

2

2

C

①当£)Q=BP时，ACDQI乌AABP,此时4—4f=r,

4

②当DQ,=BP时,AADQ=^ABP,此时4r—4=t,t=—

23

Q

③当co,3=BP时,ABCQ3=AABP,此时8—4r=r,t—~<

12

④当幽=2尸时，^ABQ^ABP,此时尸与。重合，r=y；

44812

综上所述，f为二或孑或］或《时，当以点。及正方形的某两个顶点组成的三角形和AXAB

全等.

【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的

判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题.

5.(1)①见解析；②20-2

⑵及

⑶不发生变化，45°

【分析】(1)①由正方形ABC。可得AB=AD,BC=DC,ZABC=ZADC=ZDCB=90°,

Z.DBC=ZBDC=45°,再由EF〃的可得/FEC=/n?C=45。，ZEFC=ZBDC=45°,从

而得出AEFC为等腰直角三角形，可得EC=FC,最后可得结论；

②连接AC交所于点G,则AC230,证明AABE丝AAGE(AAS),最后进行计算即可；

(2)连接AC,证明AE4cs△QA。，即可解决问题；

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AEAC/—

(3)连接AC,由(2)知△EACSAQA。，可得==.2,再证△EA。为等腰直角

/iV/f\L)

三角形，即可得出结论.

【详解】(I)①证明：,・・正方形MC。，

:.AB=AD,BC=DC,ZABC=ZADC=ZDCB=90°,ZDBC=ZBDC=45°,

•:EF〃BD,

ZFEC=ZDBC=45°,ZEFC=ZBDC=45。,

.•.△£FC为等腰直角三角形，

:.EC=FC,

:.BE=DF.

在和△的)尸中，

AB=AD

<ZABE=ZADF

BE=DF

.•.△ABE^AAZ)F(SAS).

②如图，连接AC交所于点G,则AC/AD,

,EF〃BD,

:.AC±EF,

由①知，AE=AF,ZBAE=ZDAF,

又・.・NE4尸=45。，

ZBAE=ZGAE=22.5°f

在△△的和△AGE中，

ZBAE=ZGAE

<NABE=/AGE

AE=AE

「.△ABE名△AGE(AAS).

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AG=AB=1,

.*.CG=AC-AG=V2-b

:.EF=2CG=2^2-2-

(2)如图，连接AC,

/.ZEAC=ZQAD,

又・・♦ZADQ=ZACE=45°,

:./\EAC^Z^QAD,

，二=芷=也

DQAD

(3)不发生变化，理由如下:

如图，连接AC,

由(2)知AE4cs△QA。，

册,

AQAD

又♦.•NE4Q=45°,

.•.△胡。为等腰直角三角形，

;.ZAEQ=45。.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

6.25；见解析；AE=2mA'F

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【分析】图1:由余角的性质和折叠的性质可求解；

图2：由“AAS”可证△3EF/可得BE=AE=AE,AF=BF,由锐角三角函数可

求解；

图3：由“AAS”可证△BEF/ZkAEF,可得BE==AF=BF,由锐角三角函数

可求解；

【详解】解：如图1,-.EF^DE,ZBEF=25°,

:.ZAED=65°,

,•,将VADE沿直线£>E折叠后，点A落在点A处，

ZAED=ZAED=65°,

:.ZFEA:=25°；

如图2,证明：•.,将VADE沿直线DE折叠后，当点A恰好落在Db上时，

:.AE=AE,ZA=ZDAE=90°,ZAED=ZDEA!,

:.ZB=ZEA'F=90o,

-.-ZAED+ZBEF=90°=ZDEA+ZFEA!,

:.ZBEF=ZFE^,

又•：EF=EF,

；.BEF沿状EF(AAS),

:.BE=AE=AE,AF=BF,

AE=-AD,

2

ZAED+ZBEF=90°=ZAED+ZADE,

:.ZBEF=ZADE,

.河BF]

/.tanZADE=tanZBEF===—,

ADBE2

：.BE=2BF,

:.AE=2AF；

如图3,解：•将VADE沿直线OE折叠后，当点A恰好落在上时，

:.AE=AE,ZA=ZDAE=90°,ZAED=ZDEA',

:.ZB=ZEA!F=9Q°,

-.-ZAED+ZBEF=90°=/DE^+ZFEA：,

:.ZBEF=ZFE^,

第13页共47页

又；EF=EF,

:.ABEF^AAEF(AAS),

,-.BE=A'E=AE=-AB,A'F=BF,

2

AD=mAB,

:.AE=—AD,

2m

ZAED+ZBEF=90°=ZAED+ZADE,

:.ZBEF=ZADE,

AFBF1

/.tanZADE=tanZBEF===——,

ADBE2m

BE=2mBF,

AE=2mAF.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角

形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

7.(1)①详见解析;②32

⑵①在2_20；®0<SAOTG<40

(3)5A/1()

【分析】(1)①在口EFG8中，NHEF=90°,口EFGH为矩形,DE^AD-AE,ZA=ZD=90°,

ZDEH+ZAEF=90°=ZAFE+ZAEF,ZDEH=ZAFE,AAEF^DHE(ASA),EF=HE,矩形

EFGH为正方形,

②过G作GK_LCD于K,则4K0=4>=90。，NCHG=ZDEH,ADEH、KHG(AAS),DH=AE,

KG=DH,S/=gcH•KG=g(DC-DH).KG；

(2)①连接CG,过点G向CD作垂线交于点M,求出。E,EF=y/AE2+AF2=^42+x2,

EH=EF,DH=ylEH2-DE2=A/42+X2-62;

®CH=DC-DH=20-^/Z^20-EF=EH,口EFGH为菱形,连接gHG//EF,

ZEFH=ZFHG,XDC//AB,ZMHF=ZAFH,ZCHG=ZEFA,又EF=HG,^HMG^FAE

(AAS),MG=AE,S,CGH=；CH.MG,-2<0,当房而取最小值时，S^GH有最大值40,

当点。与点H重合时，点G在DC上，即&SG=0,ACG”面积的取值范围即可求得；

(3)解：当点E与点。重合时，点G位置如图，当点E与点A重合时，点G在点G'处，点

第14页共47页

4在点阻处，点G的运动路线为线段GG',由题意知：AG=BG'=^AD,BG=AB-AG,

GG'=y)GB2+G'B2-

【详解】(1)①证明：在nEFG/f中.NHEF=骄，

.•口EFGH为矩形，

若AE=4则DE=AD—AE=10-4=6,

在矩形ABCD中，

ZA=ZD=90°,

ZDEH+ZAEF=90°,

ZAFE+ZAEF=90°,

:.ZDEH=ZAFE,

X.-AF=DE=6,

.-.AAEF^DHE(ASA),

:.EF=HE,

矩形EFG”为正方形；

②解：过G作GK_LCD于K,则Zffi1G=ZD=90。，如图1,

DHKCPHMC

ZDHE+ZCHG=90°,

F

图2

ZDHE+ZDEH=90°,

:"CHG=NDEH,

又rHE=GH

:.^DEH^KHG(AAS),

又由^AEF^^DHE,

:.DH=AE=4,

:.KG=DH=4,

:.S.CGH=-CHKG=-(DC-DH)KG=-x(20-4)x4=32,

故答案为：32；

第15页共47页

(2)解：①连接CG,过点G向CO作垂线交于点如图2,

若AE=4,则。石=10-4=6,

•.­ZA=90°,

EF=ylAE2+AF2=,

EH=EF=742+x2，

又：？。90?,

DH=y]EH2-DE2=V42+x2-62=-Jx2-20，

故答案为：J%2-20；

®CH=DC-DH=20-7X2-20，

贝l]NHWG=NA=90。,

当EF=田时，口EFGH为菱形,连接HF,

■：HG//EF,

:.NEFH=NFHG,

又

.\ZMHF=ZAFH,

ZMHF-ZFHG=ZAFH-ZEFH,

NCHG=NEFA,

又・；EF=HG,

:.AHMG、FAE(AAS),

:.MG=AE=4,

2

S.CGH=；CH-MG="(20-A/X-20)X4=2(20-6-20)=-2&-20+40,

v-2<0,

二当Jx?-20取最小值时,S^CGH有最大值40,

当点。与点H重合时，点G在。C上，

即SACWG=。，

△CGH面积的取值范围为：0<SCHG<40;

(3)解：当点E与点。重合时，点G位置如图，根据瓜豆原理，主动点的轨迹是线段，则

从动点轨迹也是线段，则点G的运动路线为线段GG',

第16页共47页

由题意知：AG=BG'=|AD=1X10=5,

:.CG=5如，

所以点G的运动路线长为5M.

【点睛】本题考查动点，矩形，菱形，正方形的综合问题，解题的关键是对以上知识的熟练

掌握.

8.(1)见解析

⑵①OE=OF,证明见解析；②;

(3)T

【分析】(1)根据正方形的性质证明四边形AEO尸是矩形，再得=即可解决问题；

(2)①证明AAEO丝AS尸0(ASA),可得OE=O尸即可；

②先根据正方形的性质得。4=08=OC,ZAOB=ZSOC=90°,贝U/OBE=/Q4E=45。，

ZOCF=ZOBF=45°,所以NO3E=/OC尸，由OE_LOP得NEO尸=90。，贝U

Z.BOE=ACOF=90°-Z.BOF,即可证明△3OE乌△C,于是得BE=CF,根据四边形

OE4F的面积=A4O3的面积=J正方形A3。的面积，即可解决问题；

4

(3)延长MQ至点G,使GQ=MN,连接PG,证明APGQ学在MN(SAS),可得PG=PM,

NGPQ=NMPN,所以△PGM为等腰直角三角形，所以四边形?。儿处的面积=等腰直角三

角形PGM的面积，进而可以解决问题.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

AZDAB=90°,"AC=45。，

VOELOF,OE±AD,

：.NDAB=ZOEA=/EOF=90°,

，四边形AEO歹是矩形，

VZZMC=45°,

OE=AE,

四边形AE。尸是正方形；

(2)解：@OE=OF,

证明：：四边形ABC。是正方形，

/.OA=OB,NEAO=ZFBO=45°,

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ZEOF=ZAOB=90°,

：.ZEOA=ZFOBf

：.AAEO^^FCXASA),

OE=OF-

②：四边形ABC。是正方形，

AC=BD,AC±BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD

22f

OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=90°,

：.ZOBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°,

・•・ZOBE=ZOCF,

•:OELOF,

：.NEO尸=90。，

ZBOE=ZCOF=90°-Z.BOF,

・•・山OE沿江OFCASA),

ABOE的面积=△CO厂的面积，

**•四边形OK4F的面积的面积=；正方形ABCD的面积=Jxl=:；

(3)解：如图，延长至点G,使GQ=MN,连接PG,

P

CrQM

・.・ZQPN=ZQMN=90°,

...ZPQM+ZN=1SO°,

・.,ZPQM+ZPQG=180。，

・・.ZPQG=ZN,

・.・PQ=PN,

：.LPGQ会"MN(SAS),

・・.PG=PM,ZGPQ=/MPN,

：./GPM=ZGPQ+ZQPM=ZMPN+ZQPM=90°,

・・・ZXPGM为等腰直角三角形，

PM=9,

第18页共47页

1Q1

•••四边形PQMN的面积=等腰直角三角形PGM的面积：x92=当.

【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性

质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键.

9.⑴见解析

(2)-

3

⑶①%=2；②。尸存在最小值?

CE5

【分析】(1)由旋转的性质可得Zfi4C=ZE4F,AE=AF.从而得出

ZBAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE.即=又由N3=NWF=90。可得结论；

(2)设FM=EM=EB=x,贝！]EC=3-尤.在■中，由勾股定理列出方程

,4

12+X2=(3-X)\解得：%=-.最后在RSCFM中，求出CF的长即可；

553

(3)①连接3D交AC于点。，连接OF交CD于点G.贝|OC=OD=x，0M=一一1=-.先

222

证明AFOM/ACOG(ASA).得出RW=CG=2.从而得MF=BE=2.求出CE=1.最后可

得结果；

②过点D作DHLMF,交直线MF于点H,设FM交CD于点N,先证明ACMN^CDA.

列出比例式再代入数据得了1=[CN=—M4N.求得CN=51，MN=巳3从而得出

45344

53

4-一4

再证明△SAJJHN列出比例式再代入数据得」一=--从

DA^=4--=—,CMN.丽

n

44DH

4-

1133

而得出HN=五.最后求解即可.

【详解】(1)证明：由旋转知：ZBAC=ZEAF,AE=AF.

：.ABAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE.

即：ZBAE=ZMAF.

XZB=ZAA/F=90°,

/.AABE丝△AMF(AAS).

(2)V/\ABE^Z\AMF.

：.AE=AF,BE=MF,AB=AM=4.

在RtAABC中，AC3+42=5.

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CM=1.

如图，当直线FM恰好经过点E时，FM=EM=EB,

设FM=EM=EB=x,贝l|EC=3—x.

在RtZ\CEM中，EM2+CM2=EC2,

即：12+X2=(3-X)2,

4

解得：x=

在中，CF==

553

(3)①如图，连接3。交AC于点O,则0。=。。=；；,=--1=-.

2OM22

连接。尸交CO于点G.

•；OC=OD,DF=CF.

：.ZOGC=90°,DG=CG=2.

：.OM=OG.

又/FOM=/COG,ZOGC=ZOMF=90°.

：.△FOM^ACOG(ASA).

：.FM=CG=2.

：.MF=BE=2.

：.CE=1.

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.BE

CE

②。尸存在最小值日，理由如下：

过点。作。交直线M尸于点"，设月0交CO于点N,

VZNCM=ZACD,ACMN=ZCDA=9