2025中考数学二轮复习：圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）原卷版

专题6圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助

线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专

题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。

模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）

【模型解读】已知N8是。。的一条弦，连接CM,OB,则=

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径

构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个

端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题

例1.（2022・山东聊城•统考中考真题）如图，AB,CD是_O的弦，延长CC（相交于点P.已知4=30。，

ZAOC=80°,则BD的度数是（）

A.30°B.25°C.20°D.10°

例2.（2023•南召县中考模拟）如图，。。的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,ZAOC=84°,

则NE等于（）

A.42°B.28°C.21°D.20°

例3.（2023•江苏沐阳初三月考）如图，已知点C是。。的直径AB上的一点，过点C作弦DE,使CD=C。.若

AD的度数为35。，则BE的度数是

D

例4.（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，ABC是：,0的内接三角形，AB=AC,ZBAC=120°,

。是边上一点,连接AD并延长交；。于点E.若AD=2,DE=3,贝/。的半径为（）

A.V10B.-V10C.2A/10D.3V10

2

模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）

【模型解读】已知是。。的一条弦，过点OE_L48,则/O序士AE^OA2。

在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过

弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半

径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。

例1.（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽A8CD

是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点4。时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm.

例2.（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，,ABC内接于CO,圆的半径为7,Z&4C=60°,则弦BC

的长度为.

（）

B

例3.（2021・湖北中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》

中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,已知圆

心。在水面上方，且。被水面截得的弦A3长为6米，。半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，

则点C到弦所在直线的距离是（）

图1图2

A.1米B.（4-77）米C.2米D.（4+77）米

例4.（2023•广东广州•九年级校考自主招生）如图所示，圆。的直径A3与弦相交于点P.已知圆的直

径AB=4,ZAPN=45°,贝1J河产+桥2的值是（）

A

A.8A/2B.8C.473D.4

模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）

【模型解读】如图，已知/、B、尸是口。上的点，点C是圆上一动点，连接NC、BC,则口/。3=工口4。瓦

2

例1.（2023・四川巴中•统考中考真题）如图,。是ABC的外接圆，若/C=25。，则440=（)

C.60°D.65°

例2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，点P是O上一点，若ZAO3=70，则/APB的度数为

C.135D.160°

例3.（2023秋・重庆•九年级校考阶段练习）如图，一块直角三角板的30。角的顶点尸落在O上，两边分别

交（。于A、3两点，若（。的直径为8,则弦A3长为（）

A.8B.4C.2近D.2y/3

例4.（2023•辽宁鞍山,统考中考真题）如图，AC,BC为cO的两条弦，D,G分别为AC,3c的中点，O的

半径为2.若NC=45。，则DG的长为（）

G

B

3广

A.2B.GC.—D.

模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）

【模型解读】如图，已知是口。的直径，点C是圆上一点，连接NC、BC,则口4（78=90。。

如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90。的圆

周角的构造。

例L（2023•辽宁营口,统考中考真题）如图所示，AD是。的直径，弦3c交于点瓦连接A5,AC,

)

C.70°D.60°

例2.（2022•山东泰安,统考中考真题）如图，A3是团。的直径，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,则回。的

A.2A/3B.3A/2C.275D.#)

例3.（2022・四川巴中•统考中考真题）如图，AB为。的直径，弦8交A3于点E,BC=BD，/CDB=30°,

AC=25则OE=()

C.1D.2

模型5、遇90°的圆周角连直径

【模型解读】如图，已知圆周角口员4c=90。，连接8C,则2C是□。的直径。

遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。

例L（2022•辽宁营口•统考中考真题）如图，点4B,C,D在。上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,则

3c的长为（）

A.4百B.8C.4A/2D.4

例2.（2023・四川达州•统考二模）如图，半径为|■的A经过原点。和点C（0,l）,2是y轴左侧A优弧上

一点，则tan/OBC为（）

B.亨C.*D.0

例3.（2023•重庆•统考中考真题）如图,O是矩形A3。的外接圆，若A3=4,A£>=3,则图中阴影部分

的面积为.（结果保留万）

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）

【模型解读】如图，已知直线43连与圆。相切于点C,连接OC,则OC，/瓦

已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的

有关性质解题。

例1.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，如图，PA,依分别切。于点A、B,点C为优弧A3上

一点，若NACB=NAP3,则—ACB的度数为（）

例2.（2023年重庆市中考数学真题）如图，AC是：。的切线，3为切点，连接Q4,OC.若NA=30。，AB=2百,

BC=3,则OC的长度是（）

A.3B.2A/3C.V13D.6

例3.（2022春・湖北武汉•九年级统考自主招生）如图，是圆。的直径，BC是切线，8是切点，弦4）〃OC,

AE

CO与54的延长线交于点E,BC=AB,则==（）

模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）

【模型解读】证明直线是口。的切线.

遇到证明某一直线是圆的切线时：

（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证

明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线42,连接OC,证明。。口/5,则直线是口。的

切线.

（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线

的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点。作OCQ43,证明OC等于□。的半径，则直线

是口。的切线.

例L（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，AB为《。的直径，如果圆上的点。恰使NADC=/3,

求证：直线C。与:O相切.

D

c

B

例2.（2023秋•福建福州•九年级校考阶段练习）如图，OA=OB=5,AB=8,。的直径为6.求证：直

线A3是一。的切线.

例3.（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，ABC内接于。，AB为C。的直径，延长AC到点G,

使得CG=CB,连接G8,过点C作CD〃GB,交AB于点尸，交点（。于点。，过点。作。织〃AB.交GB

的延长线于点瓦（1）求证：DE与。相切.（2）若AC=4,BC=2,求8E的长.

例4.（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，四边形A5CD内接于C。，AB为，。的直径，过点。

作小，3C,交的延长线于点尸，交54的延长线于点E,连接若44£）+/①加=180。.

2

⑴求证：所为（。的切线.⑵若3£=10,sinZBDC=-f求二。的半径.

模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）

当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。

利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。

例L（2022・湖北恩施•统考中考真题）如图，在RtA/8C中，0C=9O°,NC=4,BC=3,回。为RtA/8C的内切

圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留万）.

例2.（2023秋・浙江•九年级专题练习）如图，在_ASC中，AB+AC=^BC,ADI3c于。，O为ABC

的内切圆，设的半径为R,A。的长为/?,则。的值为（）

例3.（2023•广东广州•统考中考真题）如图，ABC的内切圆/与BC,C4,A3分别相切于点。，E,尸,

若：/的半径为，，ZA=a,则（3尸+CE-BC）的值和/FDE的大小分别为（）

a(I

A.2r,90。一。B.0,90°-aC.2r,90°——D.0,90°——

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课后专项训练

1.（2023,重庆•统考中考真题）如图，AC是।。的切线，B为切点，连接OC.若NA=30。，AB=2后,

BC=3,则OC的长度是（）

A.3B.2-y/3C.V13D.6

2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，如图，PA.PB分别切。于点A、B,点C为优弧A3上

一点，若NACB=NAP3,则—ACS的度数为（）

B

A.67.5°B.62°C.60°D.58°

3.（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，已知点AB、C在I。上，C为AB的中点.若/54C=35。,

4.（2023年四川省凉山州数学中考真题）如图，在。中，OA_L8C,44。8=30。，水?=26，则OC=（）

5.（2023年重庆市中考数学真题）如图，AB为O的直径，直线。与。相切于点C,连接AC,若

ZACD=50°,则/54C的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.（2023•广东•一模）如图，A3是。。的直径，3c交。。于点。，DELAC于点E,下列说法不正确的

是（)

A.若DE=DO,则DE是。。的切线B.若AB=AC,则DE是。。的切线

C.若CD=DB,则DE是。。的切线D.若DE是。。的切线，贝1|AB=AC

7.（2023秋•山东聊城•九年级校考开学考试）如图，AB为。的直径，CD为'O的弦，连接AC、AD,

若的C=27?,则ZADC的度数为度.

D

8.（2023秋•福建福州・九年级校考阶段练习）如图，。的弦ABLCD,点£为垂足，AE=3,BE=1,

且AB=CD则1O的半径为.

9.（2023秋•江苏南京•九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD内接于。O,是O的直径，过点C作

。的切线交A2的延长线于点P,若NADC=115。，则/CBA和/尸的度数分别为.

10.（2022秋嘿龙江大庆•九年级统考期末）如图，ABC的内切。与A3,BC,C4分别相切于点。，E,

F,且A£>=2,_ABC的周长为14,则BC的长为

11.（2023•黑龙江哈尔滨•九年级校考开学考试）如图，内接于O,ZCAB=30°,/CBA=45。,

CDLAB于点£>,若。的半径为2,则CO的长为.

12.（2023秋•江苏宿迁•九年级校联考阶段练习）如图，BD是。的弦，点C在3D上，以8C为边作等边

三角形,ABC,点/在圆内，且AC恰好经过点。，其中3c=12,OA=8,则3。的长为.

13.（2023•江苏•中考真题）如图，A3是二。的直径，点C,。在。上.若/D4B=66。，则NACD=度.

C

14.（2023•山东泰安・统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示

放置于桌面上，并量出AB=4cm,则这张光盘的半径是cm.（精确到o.icm.参考数据：石。1.73）

o

B

15.（2021・四川宜宾•统考中考真题）如图，回。的直径4B=4,P为回。上的动点，连结4P,。为4P的中点,

若点尸在圆上运动一周，则点0经过的路径长是

16.（2023•安徽合肥•合肥寿春中学校考三模）如图，在：。中，弦=D是BC一点、,

ZBOD=60°,则劣弧BO的长为.

17.（2023•河南南阳•统考三模）如图，在2x3的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D

都在格点上，线段C。与弧AC交于点E,则图中弧AE的长度为

D

18.（2023•广东东莞•校考一模）如图，从一块半径为1米的圆形铁皮圆。上剪出一个圆心角为90度的扇形

ABC,且点4B、C都在圆上，则此时扇形的面积（保留兀）是・平方米.

A

1