反比例函数中的平行四边形（解析版）

专题06反比例函数中的平行四边形

1.如图，在第一象限内，A是反比例函数》=^（匕＞0）图象上的任意一点，平行于y轴交反比

例函数y=F化＜。）的图象于点8,作以为边的平行四边形A8CD,其顶点C,。在y轴上，

若5.8=7,则这两个反比例函数可能是（）

34

B.y=一和y=—

%X

_5力6

C.y=—^Dy=~-D.y=—和y=—

XXxx

【答案】B

【分析】设A（。，&），B（a,豆）,然后求出AB的长，进而求得C。的长，然后根据求

aa

得。的值，进而确定作-依=7,最后结合选项即可解答.

【详解】解：设A（〃，―）,B（〃，—）,ki＞。、k2V0,

aa

:AB」'&=

aaa

•・•平行四边形ABCD,

：.CD=AB=-l~k2-,

a

••Q—7

•^ABCD_'，

CDa=7,即———-cz=7,

a

k「kz=7,

结合选项可得B选项符合题意.

故选B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、平行四边形的性质等知识点，求出《-&=7是解答本

题的关键.

2.如图，反比例函数y=（的图像经过平行四边形ABC。的顶点C,D,若点A、点8、点C的坐

X

标分别为（3,0）,（0,4）,（a,b）,且a+6=7.5,则%的值是—.

【分析】根据平移和平行四边形的性质将点。也用b表示，再根据反比例函数图象上的点的横

纵坐标的乘积相等列式算出“、b,再由点坐标求出左的值.

【详解】解：：A（3,0）,3（0,4）,

可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，

根据平行四边形的性质，。也可以看作由C向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，

C（a,6）,Z）（a+3,b—4）,

Va+b=1.5,

C（a,7.5-a）,£）（a+3,3.5-a）,

・・・c、。都在反比例函数图象上，

它们横纵坐标的乘积相等，即a（7.5-a）=（a+3）（3.5_a）,解得a=1.5,

左=1.5x（7.5-1.5）=9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设

出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=±（x<0）的图像上一点，点B是y轴正半

X

4

轴上一点，以。4、A3为邻边作平行四边形ABCO,若点。和5C的中点。都在反比例函数y=—（%

x

>0）的图像上，则上的值是.

【答案】-8

【分析】作轴，Cx轴，OG，龙轴，证AAOE=AW（A4S）,设。（利，

,则2m,—

Im

A\-2m,-^].,因为OGLx轴，。是BC的中点，由OE=3/=2Gb即可求解；

1-2m）

【详解】解：•・•作AELx轴，CFLx轴，Z）G，x轴，

・・•四边形ABCO是平行四边形,

・•.AO//BC,

：.ZAOE=ZCBF,

*.*AE_Lx轴，CF_Lx轴，

・・・ZAEO=ZCFB,

在AAO石和ACS厂中，

NAEO=/CFB

・；］/AOE=/CBF,

AO=BC

：.AAOE=ACBF(A4S),

AAE=FC,OE=BF,

设则C(2加,21,A\-2m,^-\,G|0,-|,F\0,—

VmJImJI-2m)\mJym

•・・OG，无轴，。是的中点，

AFC=IDG,OE=BF=2GF,

422

VGF=------=-,

mmm

，上=2.2

-2mm

「♦k=-8,

都答案为：-8.

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌

握相关知识并灵活应用是解题的关键.

4.如图，已知反比例函数y=£(x>0)与正比例函数y=x(x.O)的图象，点4(1,4),点4(4㈤与点？

X

均在反比例函数的图象上，点8在直线V=龙上，四边形A4E8是平行四边形，则8点的坐标为

【答案】(而，713)

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出4点坐标，再利用平行四边形的性质假设出8点

坐标，进而表示出B'点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案.

【详解】解：•.•反比例函数y」(x>0)过点A(l,4),

X

：.左=1x4=4,

4

二反比例函数解析式为：y=—,

X

•・•点4(48)在反比例函数的图象上，

.-.4/2=4,

解得：b=l,

.■,A,(4,l),

,点s在直线y=x上，

，设8点坐标为：(a,a),

•.•点A(l,4),4(4,1),

，A点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到A点，

四边形4V泓3是平行四边形，

3点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到9点(。+3,〃-3),

•点8'在反比例函数的图象上，

/.(a+3)(a-3)=4,

解得：a=士岳（负数不合题意），

故3点坐标为：（而，耳）.

【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出3,

点坐标是解题的关键.

5.如图，分别过反比例函数y='图像上的点尸/（1,刃）,P2（1+2,”）,P3（1+2+3,

X

Pw（1+2+3+...+〃，/）作x轴的垂线，垂足分别为4,A2,A3,,An,连接4P2,A2P3,A3P4,

An.iPn,再以A/P/,A/P2为一组邻边画一个平行四边形A/P/HP2,以A2P2,A2P3为一组邻边画一个

平行四边形A?尸282P3,以此类推，则人的纵坐标是；点、Bl,B2,...,8〃的纵坐标之和

为.

13n2+5n

【答案】

2n2+3w+2

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点凸、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相

等的性质求得点8/的纵坐标是"+〃、&的纵坐标是y3+y2、83的纵坐标是/+”，据此可以推知点

114

Bn的纵坐标是%+y=--------------1---------------------,再求和整理即可.

n+l1+2+3H--\-n1+2+3H----F〃+(〃+l)n(n+2)

【详解】:点尸1（1,M，尸2（1+2,券）在反比例函数y」的图象上,

X

11

..%=1，

**•4A=M=1.

又•・•四边形4尸由/尸2，是平行四边形,

14

•二点8,的纵坐标是：%+%=§+1=耳.

;点尸3（1+2+3,”）在反比例函数的图象上,

X

1

%=

1+2+3

・••点比的纵坐标是：%+为=;+]+；+3=;*

•・•点匕(1+2+3+4,y4)在反比例函数y=’的图象上,

x

1

1+2+3+4'

11

点B3的纵坐标是：％+”------------1-----------------

1+2+31+2+3+4

点Bn的纵坐标是：y+yi=[。公■H~~77

nn+1+2+3+…+〃1+o2+3Q+…+〃+(〃+1)

22

=------------1-------------------

〃(〃+l)(〃+l)(〃+2)

4

n(n+2)

点、Bi,5〃的纵坐标之和为

(1+')+('+—-—)+(--—+---------------)+•••+--—

1+21+21+2+31+2+31+2+3+4川(〃+2)

=4x(—+^—+—1+...+1

)

1x32x43x5〃x(〃+2)

xlx(l-ll-ll-l...l-1

=4++++)

232435nn+2

“11]

=2(1H----------------)

2n+1n+2

3«2+5〃

"2+3〃+2

故答案为;,3n2+5n

+3〃+2

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象.解

答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标为yn+1+yn.

三、解答题(共0分)

Q

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数产依:+人的图象与双曲线产--交于点M(-4,机)、N(n,

-4),与x轴交于A.

(1)求公b的值；

(2)①将直线了=日+8向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点8、C,画出这条直线；

②尸是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、尸为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标.

【答案]⑴I,b=-2；

(2)①作图见解析；②点P坐标为(0,-2)或(-4,2)或(4,2).

【分析】(1)先求出点M和点N的坐标，再待定系数法求解析式即可；

(2)①根据平移的性质可得平移后的直线解析式，进一步求出点8和点C坐标，即可画出平移后

的直线；

②分情况讨论：当CA,为边时，当2C,胡为边时，当AC,AB为边时，分别根据平行四边形

的性质即可求出点尸坐标.

(1)

QQ

解：把x=-4,产加代入产--中，得加=--；=2,

x-4

・,•点M(-4,2),

88

把y=-4代入产--中，得r=2,

x-4

・,•点N(2,-4),

・•・将点M(-4,2),点N(2,-4)代入尸质+/?中，

[-4k+b=2

得鼠+6=3

/.k=-1,b=-2；

(2)

解：①由(1)知直线MN的解析式为y=-x-2,

将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2,

当x=0时,y=2,

.•.点C坐标为(0,2),

当y=-x+2=0时,x=2,

.•.点8坐标为(2,0),

平移后的直线如图所示：

②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，

直线MN与无轴的交点A的坐标为(-2,0),

分情况讨论：

当CA,为边时，AP//CB^.AP=CB,

•..点C(0,2)向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A(-2,0),

.•.点2(2,0)向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点尸(0,-2),

点尸坐标为(0,-2)；

当BC,为边时，AP〃CB且AP=CB,

同理可得点P坐标为(-4,2)；

当AC,AB为边，AC//BP^.AC=BP,

同理可得点尸坐标为(4,2),

综上，满足条件的点尸坐标为(0,-2)或(-4,2)或(4,2).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质,

平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强.

7.综合与探究

如图，已知，A(0,4),8(-3,0),C(2,0),。为8点关于AC的对称点，反比例函数y=f的图象

经过。点.

(1)证明四边形A5CD为菱形；

(2)求此反比例函数的解析式；

(3)己知在y=>的图象(x>0)上有一点N,y轴正半轴上有一点V,且四边形是平行四

x

边形，求"点的坐标.

【答案】(1)见详解

⑵>=型

X

Q

(3)(0,-)

【分析】(1)由A(0,4),B(-3,0),C(2,0),利用勾股定理可求得AB=5=BC,又由。为8点关

于AC的对称点，可得BC=DC,即可证得AB=A£)=C£)=CB,继而证得四边形A2CD为菱

形；

(2)由四边形ABC。为菱形，可求得点Z)的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数

的解析式；

(3)由四边形A8MN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解

析式，即可求得点N的坐标，继而求得”点的坐标.

(1)证明：♦4(0,4),5(-3,0),C(2,0),：.OA=4,03=3,OC=2,：.

AB=yJOA?+OB2=742+32=5-BC=3O+OC=2+3=5，；.AB=BC，：。为B点关于AC的对

称点，，AB=AD,CB=CE>,，AB=AO=CD=CB,.,.四边形ABC。为菱形；

(2)丁四边形42。。为菱形，，。点的坐标为(5,4),反比例函数丫=(的图象经过。点，，4=§,

x5

20

...;20,.♦.反比例函数的解析式为：y=—；

x

(3):四边形ABACV是平行四边形，；.4V〃诩/,4V=3M,；.AN是8M经过平移得到的，

•••将2点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点，.•.将M先向右平移3

个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点，点在y轴正半轴，点的横坐标为0,

•♦•即根据平移可知N点的横坐标为3,代入>='20,得了=2多0，即N点坐标为(3,2岑0)，.•.根据平移

x33

onoo

的路径可知M点的纵坐标为：可-4=§,点的坐标为(0.§).

【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及

平行四边形的性质.注意掌握坐标与图形的关系是关键.

8.如图，一次函数〉="工+2的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=—(左力。)的图象的一个交

2x

点为A(2,m).

(1)直接写出反比例函数的解析式；

(2)过点A作ACLx轴，垂足为点C,设点尸在反比例函数图象上，且APBC的面积等于6,请

求出点尸的坐标；

(3)设M是直线AB上一动点，过点M作MN//X轴，交反比例函数y=幺的图象于点N,若以B、

X

0、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标.

【答案】(1)反比例函数的表达式为y=~;(2)P(3,2)或P(-3,-2)；(3)点M点坐标

X

为：M](2不,2+6)；M?卜2",2-6卜M3(273-4,73)；M4(-273-4,-73)

【分析】(1)先将点A(2,m)代入反比例函数>=彳》+2求得A的坐标，然后代入>=勺，求得

2x

k的值即可;

(2)可求得点B的坐标，设P(x,y),由SAPBC=6,即可求得X,y的值；

(3)设M(2y-4,y),N(1,y),根据平行四边形的性质可得(2y-4)-：=4,解出y即可求解.

【详解】⑴•••一次函数>=白+2的图象经过点A(2,m),

/.m=3.

.♦.点A的坐标为(2,3).

k

・・,反比例函数y=—(左。0)的图象经过点A(2,3),

x

.•.k=6,

反比例函数的表达式为丫=色.

X

(2)令gx+2=0,解得x=—4,即B(—4,0).

•；AC_Lx轴,

AC(2,0).

・・・BC=6.

设P(x,y),

SAPBC=g・BC・|y|=6,

；・yi=2或丫2=-2.

分别代入y=9中，

X

得xi=3或X2=-3.

：.P(3,2)或P(-3,-2).

(3)：MN〃OB,故M,N的纵坐标相同，

1〃

：M是直线ABy=：；x+2上一动点，N在反比例函数y=—的图象上，

2x

设M(2y-4,y),N(1,y),

依题意可得(2〉-4)-：=4

当(2y-4)-；=4时，

解得yi=2+V7,y2=2-V7,

・・.M](2/2+V7)；M2(-2^,2-A/7)

当(2y_4)_(=_4时，

解得yi=6，丫2=-百，

/.M3(2^-4,A/3)；M4(-273-41-73)

综上，点M点坐标为：M|(2A/7,2+S)；M2(-277,2-77)；M3(273-4,^)；-2百一4,-6).

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质及待定系数法求解

析式是解此题的关键.

9.如图，一次函数〉=依+》与反比例函数〉=生的图像交于点4(1,6),8(3,")两点.

X

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)连接。4、0B,求的面积；

⑶直线a经过点(0,1)且平行于x轴，点M在直线。上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的

四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由.

【答案】(1)反比例函数解析为广色,一次函数解析式为产-2x+8

X

(2)8

⑶M(4,1),N(0,7)或M(2,1),N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3)

【分析】(1)由4点坐标可求得加的值，可求得反比例函数解析式，则可求得8点坐标，由A、B

两点坐标，利用待定系数法可求得直线A2的解析式；

(2)设直线与x轴交于点。，求出。点的坐标，分别求出AAOD和ABOD的面积，即可确定AAOB

的面积；

(3)设1),N(0,"),分三种情况讨论，AB,AM,AN分别为平行四边形的对角线，列

出相应方程式解得即可.

(1)

vyi

解：・・,反比例函数产一的图像过A(1,6),

x

m=1x6=6,

反比例函数解析为y=2,

X

把43代入可得行2,

：.B(3,2),

设直线AB解析式为y=kx+b(k丰0),

fk+b=6

把42坐标代入可得，。,

\3k+b=2

(k=-2

y=kx+b(k^Q)解得j,

...一次函数解析式为y=-2尤+8；

(2)

解：设直线A8与无轴的交点为。，

令y=0,得-2x+8=0,

解得尸4,

：.D(4,0),

；•S^AD。=gx4x6=12,5iSD0=-x4x2=4,

•,S〃AOB=S«A»O_S"BOO=8：

(3)

解：点/在直线。上，点N在y轴上,

设A/(m,1),N(0,"),

①当AB为平行四边形对角线时，

1+3=m+0

6+2=1+〃

m=4

解得

：.M(4,1),N(0,7)；

②当AM为为平行四边形对角线时,

fl+m=3+0

|6+l=2+n，

：.M(2,1),N(0,5)；

③当AN为为平行四边形对角线时,

Jl+0=3+m

I6+〃=2+1'

：.M(-2,1),N(0,-3)；

综上所述，以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，M(4,1),N(0,7)或M(2,1),

N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3).

【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x轴交点、平行

四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中注

意数形结合，在(3)中确定出M、N的位置是解题的关键.

k

10.如图，一次函数y=x+l与反比例函数＞=—的图象相交于A(加,2),8两点，分别连接。4,OB.

(1)求这个反比例函数的表达式；

⑵求AAOB的面积；

(3)在平面内是否存在一点P,使以点。，B,A,尸为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接

写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴1

x

W

(3)P(-覃)或尸(-3,-3)或尸(3,3)

【分析】(1)先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；

(2)先求出2、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；

(3)分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案.

(1)

解：把A(〃?,2)代入一次函数y=x+l,得2=〃z+l,

解得机=1,

A(l,2),

把A(l,2)代入反比例函数y得2=§,

X1

:.k=2,

・••反比例函数的表达式为y=42；

X

(2)

2

解：令一=%+1,解得了=1或%=—2,

当％=-2时，y=—l,即3(—2,-1),

当％=0时，y=i,

.\OC=1,

S&AOB=SQCA+S©CB=1-OC-|XB|+1-OC-XA=1-OC-(|xB|+xA)=1xlx(2+l)=|；

(3)

解：存在，理由如下：

当与为邻边时,点0(0,0)先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点B(-2,-l),则点A(l,2)

也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点P,即P(-1,D；

当AB与AO为邻边时,点4(1,2)先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点B(-2,-l),则点0(0,0)

也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点P,即^(-3,-3)；

当氏4与2。为邻边时,点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点AQ2),则点0(0,0)

也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点P,即尸(3,3)；

综上，P点坐标为尸(-U)或「(-3,-3)或尸(3,3).

【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面

积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想

是解题的关键.

11.如图，已知一次函数＞=何+＞与反比例函数y=2的图象交于第一象限内的点A(l,6)和

X

2(6,m),与无轴交于点C,交，轴于点O.

(1)分别求出这两个函数的表达式；

(2)连接Q4、0B,求AAOB的面积；

(3)点尸为坐标平面内的点，若点。，A,C,P组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐

标.

【答案】(l)y=9,y=-元+7

35

⑵万

(3)点尸的坐标为：(8,6),(-6,6),(6,-6)

【分析】(1)直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；

(2)利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；

(3)利用平行四边形的性质结合当A尸〃0c且AP=OC时，当AP〃0C且AP'=OC时，当A。〃P"C,

且AO=P"C时，分别得出答案.

(1)

•..点A(l,6)在反比例函数y=冬的图象上，

X

,64,解得：自=6,

反比例函数的表达式是：y=~；

X

5(6,m)在反比例函数y=9的图象上，

X

5(6,1),

「6二人+Z?

将点41，6),3(6,1)代入y=kx+b,可得：

[1=6勺+b

解得"[-k,=7—1，

一次函数表达式是：>=-尤+7；

(2)

由(1)知，直线A3的解析式为y=T+7,则0(0,7),C(7,0),

1135

=SACOD-(SMOD+S.c)=-OCOD-fe=-x7x7-7=^

(3)

A(l,6),

，尸点坐标为(8,6)；

当AP'〃OC且AP'=OC时，则AP'=OC=7,

4L6),

二P点坐标为：(-6,6)；

当AO〃P"C,且AO=P"C时，则点A与产到x轴距离相等，且产点横坐标为7-1=6,

二.〃点坐标为：(6,-6)

综上所述：点尸的坐标为：(&6),(-6,6),(6,-6).

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质

等知识，正确数形结合分析是解题关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y/=2x-4(原0)的图象与反比例函数y2=9的图象交

X

于A、B两点.

(1)求A、8的坐标.

(2)当尤为何值时，2x-4>-?

X

(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y=9的图象交于点C、D,顺次连接点A、B、C、D,

X

若四边形A3C。是平行四边形，求S廖绣ABC。的值.

【答案】(1)点A、8的坐标分别为(7,-6)、(3,2)

(2)尤>3或-l<x<0

(3)32

【分析】(1)联立y/=2x-4(厚0)和即可求解；

x

(2)观察函数图象即可求解；

(3)当四边形ABC。是平行四边形，则(M-xB)2=(xC-xD)2,求出直线AB平移的距离为8,由

S四边形ABCD=AB*EH,即可求解.

(1)

解：联立y/=2x-4（原0）和得

x

y=2x-4

<6,

y=一

lX

故点A、8的坐标分别为(-1,-6)、(3,2)；

(2)

解：由图象得，当x>3或-1<%<0时，2x-4>—；

x

(3)

设直线A3向上平移了加个单位得到直线CD,

则直线CD的表达式为y=2x-4+m②，

联立①②并整理得：2f+(m-4)x-6=0,

.\xi+x2=~(4-m),xiX2~~3,

贝(.XI-X2)2=(无/+尤2)2-4x；X2=+12,

4

•..四边形ABCD是平行四边形，

故（xA-xB）2=（3+1）2=（xC-xD）2=（无/-X2）2=__"）,+12,

4

解得力=0(舍去)或8,

即直线AB平移的距离为8,

设直线交y轴于点E,过点E作即，C。于点直线CO交y轴于点R

则FE=m=8,

由直线CD的表达式知，tan//W7E=1,则sin/HFE=5,

18

在RtAEHF中，EH=EFsinZHFE=石乂8=而，

x

•­S四边形ABCD=AB・EH=J(3+1)~+(2+6y=32.

【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形、

图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中.

13.如图，一次函数y=x+l与反比例函数＞的图象交于点A和2(-2,”)，与y轴交于点C.

X

(1)求反比例函数解析式；

(2)点尸为第三象限内反比例函数图象上一点，过点尸作尸O〃y轴，交线段48于点。，是否存在点

尸使得四边形。尸0c为平行四边形？若存在求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴12

x

(2)存在，(_0,一0)

【分析】(1)将点B(-2,〃)代入y=x+l得点8的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式

即可；

2

(2)由四边形。P0C为平行四边形，得尸。=OC,设PGw,—),表示出点。的坐标，求出PO

m

的长度，即可解决问题.

(1)

解：由题意知，点B在一次函数y=x+i的图象上，

n—-2+1——1,

.•.点2坐标为(-2,-1),

代入反比例函数解析式可得“=(-2)x(-1)=2,

2

反比例函数解析式为y=—；

X

(2)

解：存在,

理由如下：由丁=尤+1可知，点C坐标为(0,1),

2

设点尸坐标为(加，一)，

m

・・・PD〃y轴，且

。在线段A3上，

二点。坐标为(加，m+1),

2

•*.PD—Z7Z+1,

m

•.•四边形。POC为平行四边形，

2

；.PD=OC=1,即加+1——=1,

m

解得m=±5/2>

•..点P在第三象限，

m=~\/2，

，点P的坐标为(-亚，-V2).

【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标特征，平行四边形

的性质等知识，用m的代数式表示PD的长度是解题的关键.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=gx+l的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,

与反比例函数(厚0)的图象交于8,£>两点，且AC=BC.

x

(1)写出点A,8的坐标为：A(,),B(,)

(2)求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；

(3)若尸是x轴上一点，轴交一次函数于点交反比例函数于点N,当O,C,M,N为

顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点尸的坐标.

【答案】(1)-2,0；2,2；(2)0cx<2或尤<-4；(3)(20,0),(-20,0),(-2+2Q,0),

(-2-2-J3,0).

【分析】(1)首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出2点坐标，

进而得出答案；

(2)首先求出反比例函数解析式，进而得出。点坐标，再利用函数图象得出无的取值范围；

(3)利用平行四边形的性质，进而表示出的长，再解方程得出。的值，即可得出P点坐标.

【详解】解：(1)如图1,过点8作轴于点E,

.一次函数y=gx+l的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,

.,.当x=0时，j=l；当y=0时，x=-2,

故A(-2,0),C(0,1),

轴于点。，BE,尤轴于点E,

J.CO//BE,

：.AAOC^AAEB,

'：AC=BC,

：.AO=OE=2,

即2点横坐标为：2,

贝Uy=：x2+1=2,

故2(2,2)；

故答案为：—2,0；2,2；

(2)VB(2,2),

k

・••把5点代入y=—(厚0),

x

解得：孙=4,

即y="，

X

i4i4

将＞=尸+1与尸-联立可得：-x+l=-

2X2X

解得制=2,X2=-4,则y/=2,y2=-l，

故D点坐标为：（-4,-1）,

如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应尤的取值范围为：0〈尤V2或尤＜-4；

（3）如图2,由题意可得：CO//MN,只有CO=MN时，。，C,M,N为顶点的四边形为平行四

边形，

41

当尸点在5点右侧或。点右侧时，设尸（〃，0）,则N（〃，-）,M（〃，ga+l）,

a2

i4

故MN=—a+l--—CO=\,

2a

解得：〃=±20,

41

当尸点在5点左侧或。点左侧时，设尸（〃，0）,则N（〃，-）,M（a,-a+l\

a2

4i

故MN=-—（7〃+1）=CO=\,

解得：〃=-2+20或-2-2有，

综上所述：尸点坐标为：（26\0）,（—2＜^/2»0）,（-2+2石，0）,（―2—26，0）.

图2

【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等

知识，正确表示MN的长是解题关键.

15.如图1,菱形ABCD顶点A在y轴上，顶点。在反比例函数y,（x＞。）上，边8C交V轴于点E,

X

AD〃x轴，AE=2EC,AD=5.

⑴求女.

(2)如图2,延长班交无轴于点尸，问是否在该反比例函数上存在的点P,坐标轴上的点。，使得

以A、尸、P,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点。的坐标,

若不存在请说明理由.

40

【答案】(1)z=—■—;

28

(2)。点坐标为(-3,0),(7,0),(0,4)或(0,-y).

【分析】(1)设EC=JC,则AE=2EC=2x,根据菱形的性质，得AB=5,BE=5-x,在放AABE中

用勾股定理求出EC=2,AE=4,表示出点C、。的坐标，列方程|g=4即可求出公

40

(2)先求出直线的解析式，得尸点坐标，设P点坐标(m,分情况讨论：①。在x轴

3m

上，设为("，0),②。在y轴上，设为(0,")，根据平行四边形对角线互相平分列式求出"，即

可得到点。坐标.

(1)

解：设EC=x,则AE=2EC=2x,

在菱形ABCQ中，AO〃BC,AB=BC=AD=5,则8E=5—x,

•：AD//x^A,

...BC〃x轴，

：.AE.LBC,

在R/AABE中，根据勾股定理，#（5-X）2+（2X）2=52,

解得：x=2或％=0（舍去），

:,EC=2,AE=4,

kk

C（2,—）,0（5,—）,

25

kk

----=4,A

52

40

解得：k=-~—

(2)

..__40

•zK,

3

2QQ

**.C(2,),D(5,—),

33

Q2Q

A(0,—),B(—3,---),

33

设直线A3的解析式：y=kx+b,

代入A,8点坐标，得

[8

b1=——

3

工』型’

I3

解得：

k=-

3

"8,

b=——

13

48

・・・直线A3的解析式：

33

48

当y=二=。时，％=2,

33

：.F(2,0),

40

设尸(m,存在以A、F、P、。为顶点的四边形是平行四边形,

3m

丁。在坐标轴上，

①。在x轴上，设。(九，0),

当AR尸。为对角线时，2=m+n,一?=一步,

33m

m=5

解得:

n=—3"

：.Q(-3,0),

当AP,方。为对角线时，得根="十2,-当=。，

3m3

m=-5

解得:〃=_7(舍)，

当AQ,尸尸为对角线，得〃=根+2,-,

33m

[m=5

解得：「，

\n=i

：.Q（7,0）；

②当。在y轴上，设。（0,n）,

当A尸，P。为对角线时，m=2,~=n-^~,

33m

m=2

解得:

〃=4

：.Q(0,4),

当AP,歹。为对角线时，得m=2,-学一■1=小

3m3

m=2

解得：,28,

n=-----

13

当A。，尸尸为对角线，得根+2=0,-手=〃一。，

3m3

m=-2

解得：\28（舍），

n=一

[3

28

综上，。点坐标为（—3,0）,（7,0）,（0,4）或（0,—~—）.

【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合,熟练掌握待定系数法求解析式、平行四边形

的性质以及解一元二次方程的方法是解决本题的关键.

k

16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数％=尤-2的图像与反比例函数%=—（左片0）的图像交

x

于4（-2,°）、3（加,2）两点，与,轴交于点C,与无轴交于点。，连接。4、OB.

备用图

k

⑴求反比例函数%=—（左。。）的表达式;

X

(2)求AAOB的面积；

(3)点N