北京市东城区2024-2025学年高三年级下册综合练（一）数学试卷（解析版）

北京市东城区2024-2025学年度第二学期高三综合练习(一)

数学试卷

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合4={也-一6>0},则”=()

A.{x\-2<x<3}B.{x|-3<%<2}

C.1x|-2<x<31D.|x|-3<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式求得集合A,进而可求\A.

【详解】由三—尤—6>0,可得(x—3)(尤+2)>0,解得％<—2或%>3,

所以A={x|x<—2或%>3},所以"A={x|-2WxW3}.

故选：C.

2.下列函数中，值域为(0,+8)的函数是

A./(x)=4xB./(x)=ln.rC./(x)=2xD./(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：确定函数的值域，应首先关注函数的定义域.根据指数函数的性质可知〃x)=2,的值域

为(0,+℃),故选C.

考点：函数的定义域、值域，常见函数的性质.

3.在(ax-«)5的展开式中，/的系数为io,则。的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解.

,k

【详解】因为3—4)5的通项为2[=u3)5、_&)=(—l)%5-y无一5优=0,123,4,5)，

k

令5——=3,解得左=4,

2

则(—l)4xC；a=5a=10,解方程得：a=2.

故选：D.

4.中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯80c的热红茶置于20℃的房间里，茶水的温

度T(单位：C)与时间，(单位：min)的函数T=/«)的图象如图所示.下列说法正确的是()

A.若G+J=2%则/⑷+/&)>2/缶)

B.若则/⑷+/&)>2/&)

C.若/(%)+〃/3)=2/(/2),则：+，3<2/2

D.若/⑹+/图>2〃/2),则4+4>2,2

【答案】A

【解析】

【分析】对于A,由结合函数的单调性可得/〉/(列),可判断A；结合A,以及

BCD的条件逐项计算判断即可.

【详解】因为:+4=2%,所以号I=/2，

因为图象是上凹函数，所以:&）；/（4）〉/⑺,即/（。）+/03）＞2/&）故A正确；

由A知使4+/3=2。，则"“）；/仅）〉〃外,即

由乙+73〉2t2,则t2＜tA,f（?2）＞f（?4）,故无法判断/年）+/&），2/&）的大小关系，故B错误；

由A知%，使％+%=2%可得/（。）+/&）＞2/（/4），结合/（。）+/（才3）=2/（/2）*可得

/（幻＞/化）,

由“力的单调递减可得马，故：+6立明故c错误；

由A知，存在%，使0+6=2/4，可得/（。）+/（/3）＞2/（乙），

故存在，0«钎4），使2/（幻=/&）+/&）,

由函数的单调性可知方2e&4）时,2/（r0）＞2/（z2）,

当^^（/（，儿）时，彳+%＞2,2，

当［2=。时，%+/=2t2,

当^武。，。时，4+4＜2%故D错误.

故选：A.

5.在平面直角坐标系xOy中，角。以。尤为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零

的是（）

A.sin（7i+a）B.cos（7i-cz）C.sin2czD.cos2a

【答案】C

【解析】

【分析】先得到sin。＞0,cos。＞0,利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错

误.

【详解】由题意得sina＞0,cosa＞0,

A选项，sin（兀+1）=一sine＜0,A错误；

B选项，cos（7i-«）=-coscr＜0,B错误；

C选项，sin2cr=2sincrcosa>0,C正确;

JI

D选项，cos2cr=cos2（z-sin2a>若a=—,此时cos2o:=0,D错误.

4

故选：C

6.已知｛4｝是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为41,25,13,则｛4｝的公差可以为（）

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得｛4｝只能是常数数列或单调递增数列，结合｛%｝中的三项为41,25,13,可求得公差

的可能值.

【详解】因为｛4｝是各项均为正整数的无穷等差数列，所以｛4｝只能是常数数列或单调递增数列，

若｛4｝中三项为41,25,13,则它们在数列中的位置只能是13排在前，41排在后，

由25-13=12,41—25=16,由12,16同时是公差的倍数，

所以公差可以为L2,4.

故选：C.

7.长度为2的线段A3的两个端点分别在x轴及〉轴上运动，则线段的中点到直线3x+4y+10=0距

离的最小值为（）

A.1B.72C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.

【详解】设A（x,0）,5（0,y）,

由题意可得：X2+/=4,

X

m--

设AB的中点坐标为贝叫，

所以疗+“2=1，即线段A3的中点的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆,

圆心（0,0）到3x+4y+10=0的距离为：-^===2，

所以线段A3的中点到直线3x+4y+10=0距离的最小值为2—1=1,

故选：A

8.已知x>Ly>l，贝卜4、>2?”是“1。82%>1084（丁一1）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据4*>2>、log2%>log4（yT）分别有2x>>、y<x7+l,结合基本不等式有f+i>2%,再

根据推出关系判断条件间的关系.

【详解】由4*=22*>2〉，则必有2x>y,

由Iog2x>log4（y—1）,则log2<>log2（y—l）,可得ycY+l,

又x>l,根据基本不等式有炉+1>2%,

若4、>2、且、>1，贝!1有X?+l>2x〉y>1,即4*>2>是log2》>1。84（丁一。的充分条件，

若x=3,y=7,则2%<丁<一+1,此时满足1082]>1。84（y一1）,但4工>2》不成立，

所以4工>2,是log2x>log4（y-l）的非必要条件，

综上，“4'>2>”是“1。82%>1。84（y—1）”的充分不必要条件―

故选：A

9.祈年殿（图1）是北京市标志性建筑之一、距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，

分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代

表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱AA和两根金柱3耳,CG

形成的几何体ABC—4用£（图2）中，=米，^BAC-144，则平面44G与平面ABC

所成角的正切值约为（

------D.

3cosl8----------------4cosl8

【分析】若平面ABC//平面。耳£,E是4G的中点，连接DE，4E,从而得到/片石。是平面44cl

与平面D4cl所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值.

【详解】若平面A5。//平面。则平面431G与平面ABC所成角，即为平面44cl与平面。与C

所成角，

由题意有，ABC三DBG，即是等腰三角形，腰长约为8米，ZB.DC,«144,易知

/DBCi=/DC[B产18,

若E是4G的中点，连接。E，4E,则。ELBQ],且4。，平面。与G，

由与Gu平面D5|G,则4。，与G,DE都在平面A。石内，

所以gG，平面ADE,则/4即是平面A^G与平面。用G所成角的平面角，

其中4。=19—13=6,OE=8sinl8，则tan幺E。=坐=---.

DE4sinl8

C

故选：B

10.已知集合A={(x,y)|1卜B=1(x,y)|y=a\x+a^,如果Ac5有且只有两个元素，则

实数。的取值范围为()

A.(TO/)B.(1,+8)C.[0,1]D,[0,1)L(1,+°0)

【答案】D

【解析】

【分析】先分析出曲线丁=疗力表示的是双曲线V-9=1在x轴上及上方的所有点，再分情况讨论当

。取不同值时，y=a|x+a|表示的不同曲线，及与曲线丁=在二！的交点个数情况即可得到结果.

【详解】因为Ac5有且只有两个元素，

所以曲线y=J义工与y=a|x+a|有且只有两个交点.

对于曲线y=J7二i变形可得f—丁2=1(丁20)，

表示的是双曲线炉-y2=i在X轴上及上方的所有点，

对于曲线y=a|x+a|,

(1)当a=0时，如图所示，y=a|x+a|表示的是一条直线y=。，

与三―丁=1(/0)交于(1,0),(—1,0)两点，符合题意；

(2)当a<0时，y=a\x+a\<0,与f―丁=1(”。)至多有一个交点，不符合题意;

(3)当。>0时，y=a|x+a|表示的是两条射线，

a(x+a)(x2-a)

了-a(x+a)(x<-a)，

①当a=l时，y=a|x+a|表示的是y=x+l(x»—l)

和y=—(x+l)(x<-l)两条射线，

与*—丁=l(y20)仅有(—1,0)一个交点，

如下图所示，所以。=1不符合题意;

②当0<a<l时，y=a|x+a|与x轴的交点为(一。,0),-ae(-l,O),

且y=a(x+a)的斜率tze(0,l),y=-a(x+a)的斜率—ae(-1,0),

而双曲线V—V=1的两条渐近线为丫=±刈斜率分别为1和—1，

所以y=a|x+a|与Y—丁=1(y二。)的左右两支各有一个交点,

如下图所示，所以0<。<1符合题意；

③当a>l时，y=a|x+a|与无轴的交点为(一。,0),-a<-l,

且y=a(x+a)的斜率a〉l,y=-a[x+a)的斜率一。<一1,

而双曲线V—V=i的两条渐近线为，二土左，斜率分别为1和—i，

所以y=a|x+a|与Y-丁=l(y>0)的右支没有交点，与左支有两个交点,

如下图所示，所以。〉1符合题意；

综上，实数。的取值范围为[0,1)U(L+8).

故选：D

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若复数z满足(l+i)-z=i,则|z|=.

【答案】—##-A/2

22

【解析】

【分析】应用复数除法的几何意义及模长求法求结果.

【详解】由题设z=Jr，贝I]|Z|=」L=」=也

l+i|l+i|V22

故答案为：f

12.已知向量a,仇。在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,贝i|cos＜Z?,c〉=

；\a-b\c=.

【答案】©.—②.0

2

【解析】

【分析】根据网格写出向量的模，再平移向量C求出与4。的夹角的余弦值，应用向量的数量积

公式求解即可.

【详解】平移向量c与b共起点，易看出瓦。的夹角为45，

cos<6,c〉=cos45=—

2

同二石，W=后，|c|=1,

d(:的夹角的余弦值85＜。,。＞=3=1b,c的夹角为45，

A/55

a-byc=a-c-bc=|^||c|cos^a.c^-|/?||c|cos

=X1X

^f-夜xlxcos45=0-

故答案为:；0.

2

13.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为歹，点M为C上任意一点，且总有则P的一个

值可以为.

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据抛物线性质有|加刊之T，结合己知得P22,即可得.

【详解】由抛物线的性质知|儿牛.々，又1MH21,即日》l=p»2.

所以尸的一个值可以为2.

故答案为：2(答案不唯一)

14.己知函数/(x)=sinaa(tw>0),若/(九)的最小正周期为兀，则①=；若存在

%,马e[7i,2TI],使得V(%)—/仁)|=2，则0的最小值为.

【答案】©.2-

4

【解析】

【分析】由正弦型函数的最小正周期公式可求。，由题意可得/(%),/(%)为函数的最大值或最小值，由

/713兀

CDTl<—(V71<——

2或<2

题意可得,可求G的最小值.

2am>—2^71>—

22

【详解】因为函数/(x)=sinox(o>0)的最小正周期为兀，所以——=兀，解得0=2,

CO

因为/(x)=sinft»x(ty>0)G[_l,l],又石=2,

所以/(%)，/(%)为函数的最大值或最小值，

要使。最小，则最大值与最小值应在同一个周期内,

由xe[兀,2兀],贝!|e[am,2am],

兀3兀

(D7l<—。兀«——

2—253

则或，解得:

3兀5兀42

2师2——2CDTI>—

2I2

所以0的最小值为3.

4

故答案为：①2；②一.

4

15.己知数列｛4｝满足a,.=a“+i+2%(八=1,2,3,),且4=1.给出下列四个结论：

①若a2G(0,+8),当“23时，an+l>an-

②若见«-2,0),当〃N3时，all+1<an-

③若出«T0),对任意正数"，存在正整数No，当“〉No时，an>M-

④若a2G1),对任意负数存在正整数No，当〃>时，an<M.

其中正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】先根据%+2=%+2%(〃=1,2,3,•)构造新数列｛%+i+an｝是首相为4+1，公比为2的等比数

列，得出an+l+an=(a2+1)2,，再构造新数列\an-与口x2"｝是首相为2子，公比为—1的等比数列,

从而求出数列｛4｝的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取。2=-1即可判断错误；对于③，

求解不等式%>对，利用放缩法找到正整数或即可；对于④，求解不等式&<〃，利用放缩法找到正

整数No即可.

【详解】因为a,.=4+1+24,(〃=1,2,3,)且4=1,所以a“+2+4+i=2a“+i+2%=2(4+]+4),

所以｛4+1+4｝是首相为出+1，公比为2的等比数列，所以a,田+%=(g+1)21,

即―+@+上所以％-亨4」［一胃山，又囚一叩』丁,

所以一义3义2"|是首相为公比为_i的等比数列，所以夕&±1X2'=2Z&(T〃T,

L6J363

即4=喑x2〃+U(T)i，

对于①，若02G(0,+8),当〃23时，

当“23且为奇数时，«„+1-«„-^x2--^x2=^+|k+^-1>0;

oJoJJo3

当“23且为偶数数时，4+「q,=4x2"+Tx2=［工-卷+9>0；

o3163/o3

综上>0,即。“+1>an,故①正确；

对于②，若02G(—2,0),取出=一1，贝此“=也F><2"+马产(一1户=(一1户，故②错误;

对于③，若生£(-1,0),则。2+1>。，2-〃2>。，

对任意正数M,由%〉/得/=箓止义2"+刍『(—1)小,

所以2〃〉号彳(一1)"］,又号］〃_?(一1广］三号

%+1(3)%+113J%+1<3)

当2">—^—(M+^—^］时上式一定成立，即

%+M3)2也+i(3))

'(6(9-/7AY

故存在正整数乂=log2-------M+——2,当"〉乂时，an>M,故③正确；

对于④，若生£(—8，-1)，则。2+1<°，2-。2>。，

对任意负数由〈“得名=义『义『(—-1X■

M,42"+21)'<M,

所以2"〉：［“-丁(-1)"］，又:［〃一一

%+113)%+113

当2〉(M2］时4<〃成立，即〃>iog"-F，

3)2+1(3))

■(6(2-、丫

故存在正整数No=log-------M-----"，当">

2N()时，an<M,故④正确；

_1w+M3〃

故答案为：①③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在VABC中a=6,6—c=l,sinC=.

(1)求。的值及7ABC的面积；

(2)求证：A=2C.

【答案】（1）b=5,/\/lOVy|

（2）证明见解析.

【解析】

3

【分析】（1）由正弦值得cosC=±—,再应用余弦定理列方程求得b=5,最后应用三角形面积公式求面

4

积；

（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2C=工，再应用余弦定理求得cosA=工，结合三角形内角的性质即

88

可证.

【小问1详解】

由sinC=^^,可得cosC=±°,而c?=储+6?-2a6cosC,

44

所以。2=36+（c+iy±9（c+l）,即37+2C±9（C+1）=0,显然46+llc=0不成立，

所以37+2c—9（c+l）=0,可得°=4,则b=5,

痂c'卜.「'一币15近

故=—cibsine=-x6x5x——=-----；

△ABC2244

【小问2详解】

31

由（1）易知cosC=—，贝!Jcos2c=2cos9C—1——，

48

由（1）及余弦定理有cos4=.+°2一片=25+16—36;工,

2bc2x5x48

所以cosA=cos2C,又A,Ce（0,兀）,4+。＜兀，则A=2C.

17.如图，在几何体ABCDEE中，四边形ABCD为平行四边形，平面平面

CDE,AD工DE,AD=DE=DC=1,BF//DE.

(1)证明：EC//平面ADE；

(2)已知点E到平面A/C的距离为二L,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求跖

2

的长.

条件①：AELCD-,

条件②：AC=CE.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析；

(2)所选条件见解析，BF=-.

2

【解析】

【分析】(1)由题设得A。/ABC,BF//DE,应用线面平行的判定证明BC//平面ADE,BE〃平面

ADE,再由面面平行的判定及性质证明结论；

(2)根据已知证明A£>J_DE,AD±CD,CD，DE,构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面

距，列方程求所的长.

【小问1详解】

由四边形ABCD为平行四边形，则AD//5C,又BFIIDE,

ADu平面ADE,BCa平面ADE,则BC//平面ADE,同理BF〃平面ADE,

由3CBF=B,5cB尸都在平面内，则平面5CE//平面ADE,

FCu平面BCF,则EC//平面ADE；

【小问2详解】

平面平面平面A£)E门平面CDE=DE,ADu平面ADE，

所以平面COE,DE,CDu平面C0E,则ADLOE,AD±CD,

选条件①：AE1CD,ADcAE=A都在平面ADE内，则CD，平面ADE,

DEu平面ADE，则CDLDE；

选条件②：由ADLOE,ADLCD,AD=DE=DC=1,

则VADEMVADC,又AC=CE,故AC=AE=CE,

所以ADE=ADC三EDC,则CDLDE,

综上，ADYDE,AD±CD,CD工DE,

以。为原点，。4,。。,。£为乂丁"的正方向建立空间直角坐标系。一呼,

所以A(1,O,O),C(O,1,O),E(0,0,1),令BF=x>0,则"Um),

故4R=(0,1,x),CF=(1,0,x),AE=(-1,0,1)，

m-AF=b-^-xc=0

令加=是平面AFC的一个法向量，则｛,

m-CF=a+xc=0

取。=%,则m=(x,%一1),

由题设I些生|=X+1=先，可得4x2—4X+1=02X=L,

\m\J2-+122

所以3歹=』.

2

18.据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下

表：

水稻小麦

播种面积(千公产量(万播种面积(千公产量(万

顷)吨)顷)吨)

江苏省2221.02003.22389.51373.5

浙江省649.0485.3152.666.4

安徽省2500.71609.82862.71740.7

华东

地区

福建省601.1394.60.100

江西省3383.92070.711.33.5

山东省101.086.14008.92673.8

辽宁省500.5412.92.00.8

东北

吉林省828.8682.15.01.7

地区

黑龙江省3268.52110.019.37.5

(1)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；

(2)从表1的9个省份中随机抽取2个，设X为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求

X的分布列与数学期望；

(3)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作

物总播种面积的比值(简称新技术占比率)数据见下表：

粮食播种面积新技术粮食播种面积新技术

作物(千公顷)占比率作物(千公顷)占比率

华东地区水稻9456.70.70小麦9425.10.60

东北地区水稻4597.80.55玉米13800.00.65

华北地区.小麦3184.50.65玉米9564.70.60

记华东地区和东北地区水稻播种总面积新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占

比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为a,b,c.依据表2中的数据比较ahc的

大小.(结论不要求证明)

【答案】(1)—；

3

4

(2)分布列见解析，E(X)=—；

9

(3)a>c>b.

【解析】

【分析】(1)应用古典概型的概率求法求华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；

(2)由题意X可能值为0』,2,应用超几何分布的概率求法求概率，即得分布列，进而求期望；

(3)根据表格分别求出各地区作物新技术占比率，比较大小即可.

【小问1详解】

由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少，

所以华东地区随机抽取i个省份，水稻产量比小麦产量少的概率2=,；

63

【小问2详解】

由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林,

其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个，

水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数X可能值为0,1,2,

C27C'C17C21

P(X=°)=^=不，。吠=1)=卡=笈，P(X=2)=-^=-

C912C91KC9Jo

分布列如下,

X012

771

P

121836

7714

所以E(X)=0x—+lx—+2x—=—；

1218369

【小问3详解】

9456.7x0.7+4597.8x0.55^9425.1x0.6,3184.5x0.65

由表格知a=-0.651,b0.6126,

9456.7+4597.89425.1+3184.5

13800x0.65+9564.7x0.6

«0.6295,

13800+9564.7

所以

22离心率为半，E上的点4(加,〃)(〃/0)关于了轴

19.已知椭圆E：二+4=1(〃>/?>0)过点(。,1),

crb2

的对称点为8.设。为原点,OH=20X(0<2<1),过点"与x轴平行的直线交E于点RQ.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若点8在以PQ为直径的圆上，求力的值.

2

【答案】(1)—+/=1

3-

⑵I

【解析】

【分析】（1）由椭圆二+与=1过点（0,1）可求出）=1,由离心率为亚及椭圆中a2=》2+c2,可求得

ab~3

1=3,即可得到椭圆方程;

（2）先由条件得到8,4的坐标，再得到过”的直线方程，代入双曲线得到「，。的坐标，进而得到以PQ为

直径的圆的方程，再利用点8既在圆上，又在椭圆上，化简整理即可求出2的值.

【小问1详解】

y2

因为椭圆E:「+=l（a〉6〉0）过点（0,1）,

a

所以5=1,即上=1.

因为椭圆的离心率为如，所以e=£=Y5，c=—a，

3a33

又因为椭圆中/=〃+°2,代入可得/=1+

解得1=3,所以椭圆的方程为上+丁=1；

3-

【小问2详解】

如图所示，因为A关于x轴的对称点为B,A（m,n）,所以B（m,一〃），

因为的=2。4，所以0/7=（力徨,/L"）,所以H（力耳/1〃），

所以过点H与x轴平行的直线为y=九也

将直线y=An代入椭圆方程—+/=1,

3-

2

可得5+（加）2=1,即V=3（1—%"）,

所以个小3（1-万“2）"4e^3（l-22n2）,2nj,

所以以PQ为直径的圆的圆心为（0,An）,半径为网—42n2）,

所以圆的方程为/+（y—X〃）2=3（l—万川），

因为点8在圆上，所以W+（f-沏『=3（1-方层），

即M+"2（1+为2=3-322n2（*）,

2

又因为点8在椭圆上，所以1_+〃2=1,即4=3（1—川），

代入（*）可得3（l-n2）+H2（l+2）2=3-322712,

化简后可得2彳2+九一1=。，解得/二,或九二―1（舍），

2

所以x=L

2

20.设函数〃x）=（x—2）e*+«x+6,曲线y=/（x）在A（0,〃0））处的切线方程为y=0.

（1）求6的值；

（2）求不等式/（方"0的解集；

（3）已知以%/⑺），其中/>2,直线AB的方程为y=g（无）.若«°/），且/（七）=8（%2），求

证：X]>马.

。=1

【答案】⑴^C；

b=2

（2）[0,+oo）；

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值；

（2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集；

（3）问题化为xe（01）且，〉2上勇〉』区恒成立，即判定证明/（尤）、%（%）=/'。）在（0,+8）上单

tX

调递增即可证.

【小问1详解】

由题设广(x)=(x—l)e'+a,贝U/'(O)=a—1,而/■(0)=6—2,

所以曲线y=/(x)在A(0,/⑼)处切线方程为y—g—2)=(a—1)(%-0),

a—1—062—1

所以y=(〃-l)x+(b—2),即为y=。，贝弘△；

b-2=Q\b-2

【小问2详解】

由⑴得〃x)=(x—2)e*+x+2,则/'(x)=(x—l)e，+l,

令h(x)=f'(x),贝!Jh'(x)=xer,

当x<0,〃(x)<0,〃(x)=/'(x)在(—8,0)上单调递减，

当尤>0,〃(x)>0,〃0)=/'(幻在(0,+8)上单调递增，

所以/'(x)»/'(0)=0,故/(%)在R上单调递增，且"0)=0,

所以“X)20的解集为［0,+00)；

【小问3详解】

由(2)知/(%)在R上单调递增，要证%>尤2，即证/(石)>/(%)，

由石e(0/)且=,即证g(w)>/(w)，

由A(0,0),/(r)),则g(x)=/^x且/>2,

所以xe(Oj)且/〉2上，证明")x>(x—2)e*+x+2,即'，)>以)恒成立,

所以，只需证/(%)在(0,+8)上单调递增，且增长速度逐渐变快，

由(2)/(0)=0,/(尤)、〃(x)=/'(%)在(0,+8)上均单调递增，

所以尤e(0,1)且/>2上，―-恒成立，故%>%。，得证.

tx

21.已知有限数列人:卬,％,.'g"-""eN*,3)满足a,e{l,2,，矶z'=l,2,..an—l)对于给定的

左(左=2,3,.•,〃)，若A中存在左项满足力<%<,<aik(1<Zj<z2<<ik<2w-l),则称A有％项递

增子列；若A中存在左项满足4>%>>ajl<z；<z2<<4<2;7-1),则称A有七项递减子列.当

A既有〃项递增子列又有n项递减子列时，称A具有性质P.

(1)判断下列数列是否具有性质P;

①4,1,3,2,1,3,4；

②12,5,4,3,4,5,3,1.

(2)若数列A中有勾=4[/〃)，证明：数列A不具有性质产；

(3)当数列A具有性质尸时，若A中任意连续的〃项中都包含％项递增子列，求人的最大值.

【答案】(1)数列①具有性质P,数列②不具有性质尸

叫/为奇数

2

(2)证明见解析(3)储ax=

为偶数

12

【解析】

【分析】(1)根据性质P判断即可；

(2)利用反证法，假设数列A具有性质P,则数列A中存在，项递增的数列｛4｝和〃项递减数列｛cj,

分析可知，存在/W｛1,2,3,…㈤在A中恰出现一次，不妨记为%

记%=外,则必有。，1+1=为，再根据数列｛4｝递增，｛c,J递减，推导出左=”,推出矛盾，从而说明结

论成立；

(3)由⑵知，数列A中恰有一项4既是也｝的项，也是｛c,｝的项，记“=。“，所以，c„_J+l=an,

对数列A