操作探究问题常考考点 预测练-2025年中考数学三轮复习

操作探究问题常考考点预测练

2025年中考数学三轮复习备考

一、单选题

1.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值X”到“结果是否>94”为一次程序操作，如果程序操作进

行了三次才停止，则x的取值范围是（）

A.4Vx<11B.3<x<10C.3<x<10D.4<x<ll

2.如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿跖折叠成图（2）,再第二次沿历折叠成图（3）,

继续第三次沿所折叠成图（4）,按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住ZEFB,整个过程共折叠

了11次，问图（1）中ZDE尸的度数是（）

AEr>AE

“71—

D

FC

(1)

“EDA

C

5.已知代数式士,第一次操作将士作为新的x代入含中化简后得到新的式子记为片=心,

第二次操作将已作为新的x代入月中化简后得到新的式子记为名=葭,第三次操作将看作

为新的无代入尸2中化简后得到新的式子K…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（）

①玛=—p

OX+1

②若!<X<1,贝!]87<]+[+[<9（）；

2F2F4F6

③不存在整数尤使得去的值为负整数.

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了

如下操作:

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABE尸，然后把纸片展平;

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点/处，得到折痕MN,如图②.

根据以上的操作，若AB=4,AD=6,则线段的长是（）

D.1

7.如图，等边三角形O4B中，点。为原点,点A的坐标为。，0）,点8在第一象限，进行以下操作:

①第一次，以A为旋转中心，将△OAB顺时针旋转30。得到△QA4;第二次，以A为旋转中心，将

△QA4顺时针旋转30。得到&&B2……②当点8落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；

③当点。落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点/的反比例

函数的表达式为（）

%%xx

8.如图，点尸是。外一定点，连接线段OP,与。交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操

作：①分别以尸，。为圆心，以大于;尸。长为半径画弧，两弧交于点M,N,作直线MV,交尸。于

点、B；②以点8为圆心，以8。为半径作一B,与C。交于点。，R两点；③连接P。，PR,OQ,OR,

QR,线段。R与尸。相交于点c.则下列说法中不一定正确的是（）

A.PQ,PR均为与。的切线B.ZQPR+ZQOR=180°

C.ZQPR=60°D.OPQC=PQOQ

9.给定VA5C,现进行如下操作：

①如图（1）所示，分别以点A、C为圆心，大于;AC的长。为半径作弧，连接两弧两个交点的线段

交AC于点Q,连接B。；

②如图（2）所示，取BC上一点P,连接AP交BQ于G,并使得AP能平分SMe；

③过点G作A3的平行线《交BC于点T,作4〃AC交于点R.则下列说法不正确的是（）

A.G为VA3C重心B.4与4均可平分SABC

q1

PuGTR_±_

D.CR=BT=TB

■

10.如图，甲同学将RtABC（ZC=90°,AC=BC）按照下面方式操作:

第一步，将Rt^ABC绕点A逆时针旋转45。，得到VADE；第二步，过E作EFLCB,交CB的延长

线于点歹；第三步，作直线CO,CD交EB,跖分别于点G,H.

甲同学根据操作，写出了四个结论：

®ZFBE=ZDBE；②EH=BD；③DG是aDBE的中线；@AB-EG=BE.其中正确的结论是（）

A.①②B,③④C.①②③D.②④

11.在活动课上，同学们用4张图1所示的纸片拼出了两个不同的六边形（图2,图3中的空白部分），

将两个六边形分割，图形I,II均为正方形.已知BC=2岔，AC=2,则CD等于（）

03

图1图2图3

A.2710B.屈C.5A/2D.2而'

12.如图，在正方形ABC£＞中，点。为AB边上一动点（不与A、8重合），进行下列操作：

①在C0上取一点£,以C为圆心，CE为半径作弧交CO于尸，连接族；

②分别以E、尸为圆心，大于长为半径作弧交于点G,连接CG并延长交45于点H,过H作

印，Q2于/（点/在线段CQ上）；

③分别以C、。为圆心，大于1c。长为半径作弧交于J,K两点，连接JK,设JK交CH于点L.

2

下列说法正确的是（）

A.随着。点的运动，点/不能一直存在于CQ上

B.点L为△/C。的外心

C.AH/Q四点不一定同时在一个圆上

D.当点。为AB中点时，点H为AD上靠近A的三等分点

二、填空题

13.如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大

小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相

同.作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小

孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字）,

完成第一次操作.再重复以上操作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10

分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是（从“甲槽”、“乙

槽，，、“丙槽，，中选填）.

14.在综合实践课上，小聪用一张长为4,宽为x（2<x<4）的长方形纸片进行操作探究，先从它的

一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个

以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形.则

（1）第一次操作后，剩余长方形的两边长分别为,.（用含尤的代数式表示）

（2）宽x的值为

X

4

2

15.已知一个分式幺（。为正整数），对该分式的分母与分子分别减1,成为一次操作，以此类推,

a

2

Z7-1a2-7/72-3

若干次操作后可以得到一个A数串…，通过实际操作，某同学得到了以下四

〃一1a-2a-3

个结论:

①第3次操作后得到的分式可化为9+6=止£+£=。+3+_1_.

a—3a—3a—3CL—3

12

②第4次操作后的分式可化为。+4+—.

③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个.

④若经过"次操作后得到的分式值为10,则满足这个条件的a的值有1个，且a+〃=10.

以上四个结论中正确的有.（只填写序号）

16.在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点E为的中点，将

VADE沿直线DE折叠得到△GDE,点G在矩形的内部，延长DG交2c于点厂.请完成下列探究:

⑵若点「恰好为BC的中点“则而的值为

三、解答题

17.图1是一张三角形纸片ABC,ABC=90,AB=6,BC=8,沿垂直于斜边AC的方向裁剪一

刀（裁剪线为,会分得两个图形.

情境：（1）当裁剪线MV恰好经过顶点8时，如图2,直接写出的长；

操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片A3C,分得的其中一个图形为轴对称图形，

①嘉嘉想出了如下作法：先作出了NC的平分线CN交A3于N,如图3,再过点N沿垂直于AC的方

向裁剪，得到的四边形3cMN一定是轴对称图形.在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出AC

的垂线MN,垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）；

②试对CB与CM相等进行说理，并直接写出裁剪线MN的长.

探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值.”请直接写出淇淇所说

的MN的长.

18.【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳

等气体的排放，从而达到保护环境的目的.

【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综

合实践小组设计两组实验.

实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间分钟)的关系，数据记

录如表1：

实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里程s(千米)

的关系,

数据记录如表2：

表1

电池充电状态

时间f(分钟)0103060

增加的电量y(%)0103060

表2

汽车行驶过程

已行驶里程S(千米)0160200280

显示电量e(%)100605030

(1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于f的

函数表达式及e关于s的函数表达式；

(2)【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车

仪表盘显示电量为多少？

(3)在(2)的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充

电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%,则电

动汽车在服务区充电多长时间？

19.根据以下素材，完成三个任务：

以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形.

素某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中

GAa

材A型卡片是边长为“的正方形，B型卡片是长为。分

a3

bb

宽为6的长方形，且

素将1张3型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角

Bfa

材形卡片.

b

二

素小组操作发现，将2张A型卡片，3张B型卡片（所

B

AB

材拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）.得到了一

A

BC

个代数恒等式：（。+与（2。+6）=2/+3仍+廿.

【问题解决】

【任务1】用1张A型和2张8型卡片拼成一个长方形，用含°,6的代数式表示这个长方形的周长；

【任务2】现共有10张A型卡片，25张8型卡片和18张C型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的

这些卡片拼成一个正方形.请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形

的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；

【任务3】将2张8型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从AB,C型卡片中挑选若干张（长方形除

外）.请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式.（用含《6的数学等式表

示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；AB,C型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最

小才能得满分.

20.折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法.深入探究折纸，可以

用数学的眼光发现，用数学的思维思考、用数学的语言描述，提升同学们的综合素养.

【操作发现】

（1）如图（1）,在矩形ABCD中，把矩形A3CQ折叠，使8与A重合，C与。重合，展平纸片得到

折痕E尸，再第二次折叠，点8落在跖上&点，展平纸片得到折痕AM,连接A9,BB',则NB'BC

等于

A.20°B.30°C.45°D.60°

【深入探究】

（2）如图（2）,尸是矩形ABCD边上一点，把矩形折叠，使尸与8重合，展平纸片得到折痕跖；

第二次折叠，点8落在族上的点B',P落在点P',展平纸片得到折痕MN,连接BP,B'P,BB'，

写出NP8B'与/B'BC的数量关系，并给出证明；

【拓展应用】

（3）如图（3）,正方形ABCZ）中，P是射线上一点，点尸与点8是对称点，族是对称轴.点8

与点F是对称点，是对称轴，点尸关于政V的对称点为点P',连接BP',FP',BF,AB=y/3+l,

当NFBC=15。时，直接写出AP的长.

N

AD

21.【动手操作】

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2),在x轴上任取一点完成以下作图步骤:

①连接AM,作A"的垂直平分线6，过点M作为轴的垂线4，记4，的交点为产；

②在无轴上多次改变”点的位置，用①的方法得到相应的点P.

线段24与尸”的数量关系为,其理由为：;

【问题探究】

通过上述方法得到一系列的点P,把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线L.对于曲线L上的任

意一点尸(x,y),试求出x,y满足的函数关系式；

【拓展延伸】

若点。卜4,-屈+4)为任意实数)，点尸为曲线L上任意一点，当△APD的周长最小时，求点尸

的坐标.

22.综合与探究

问题情境：

在数学活动课上，老师组织同学们探究直角三角形旋转前后特殊线段之间的数量关系.如图1,在

白△ABC中，NACB=90。，ZC4fi=30°,尸为A3的中点，以点尸为旋转中心，将Rt^ABC逆时针

旋转a(O。<«<360°)到aAEC'的位置，点AB,C的对应点分别为A,B',C.连接AB',CC,M,N分别

为AB',CC'的中点，连接尸河，尸N,AC.

(1)创新小组将VA3c旋转至点C与点B重合的位置，如图2.

①判断四边形ACBP的形状，并说明理由；

②用等式表示PM与PN之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸：

(2)智慧小组继续探索，当B'C'，3c时，若BC=2,请直接写出4c2的值.

23.数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

图I图2茶用图

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片使与重合，得到折痕跖，把纸片展平;

操作二:在AD边上选一点P,沿5尸折叠，使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接尸”、BM.

TMAG,AT=TD

根据以上操作，如图1,当点M在族上时，连接40,判断的形状并证明.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片ABCD，且边长为8cm,继续探究，过程如下：

①将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长交C。于点Q,连接BQ.如图2,当点

M在EF上时，求FQ的长；

②点P在边AD上，将,沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接DM并延长交

正方形ABCD一边于点G.当3G=£＞尸时，OP的长为.

参考答案

题号12345678910

答案CDDCCDDCBC

题号1112

答案DB

1.C

【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组

是解题的关键.

根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于X的一元一次不等式组，解之即可求出X的取值范围.

【详解】解：依题意得一f3取(33x+l)+l<-94>94,

解得：3<x<10,

的取值范围是3<xV10.

故选：C.

2.D

【分析】设=则NEFG=a,根据题意可知，折叠11次后恰好完全盖住ZEFG,可得CF

与GF重合，再依据平行线的性质，即可得到"E尸的度数.

【详解】解：没ZDEF=a,则/EFG=tz,

折叠11次后C尸与GF重合，

NCFE=11ZEFG=lla,

如图(2),CF//DE,

:.ZDEF+ZCFE=180°,

.,.«+lla=180°,

.,.a=15°,

即ZDEF=15°.

故选：D.

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质找出相等的边角关系是解题关键.

3.D

【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，根据题意，得到数轴上圆的半径为石，再根据

两点间的距离公式进行求解即可.

【详解】解：由题意，可知，数轴上圆的半径为万万=6，

.•.点C到-1的距离为6,

；.c点表示的数为V5-1；

故选D.

4.C

【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，先由折叠的

性质得到=CE=HE,再由等边对等角和三角形内角和定理得到乙BHC=90。，利用勾股定

理求出再利用等面积法求解即可.

【详解】解：由折叠可得，BE=CE,CE=HE,

BE=CE=HE,

ZEBH=ZEHB,NECH=ZEHC,

ZEBH+ZEHB+ZECH+ZEHC=180°,

Z.EHB+AEHC=90°

:.一BCH中,ZBHC=90°,

CH±BD,

'矩形纸片ABC。，AB=6,BC=8,

-RtBCD中，BD=782+62=10>

,.0BCD=gcHBD=*CD,

.“BCCD24

BD5

故选：C.

5.C

【分析】本题主要考查了分式的加减法，除法运算，依据题意,根据所给信息逐个求出居，工，区，片，

然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解.

X

【详解】解：由题意，:耳一

4x+l

4%+1,故①错误.

4%।]8x+l

4x+l

p-p-

16x+l532%+1'664x+l

4x+l16x+l64x+l84x+33

-------+---------+----------=----------=84+—

3111

87<84+-<90,即87<方+高+*<90，故②正确.

X

•.竭=4尤+1=32X+1=8(4x+l)-7_g7

‘F5尤4尤+14尤+14x+i'

32x+l

又若整数x使得5为整数，

4X+1=—7.

F,

；•此时，工为15.

F5

F,三

•••不存在整数X使得京的值为负整数，故③正确.

五5

综上，正确的有②③共2个.

故选：C.

6.D

【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理，设EW=x，由矩形的性质得出3C=AD=6,

根据正方形的性质和折叠性质可得近=4-尤，MF=CM=6-x,利用勾股定理列方程求出x的值即

可得答案.根据折叠性质表示出M尸的长是解题关键.

【详解】解：设外f=

•••四边形ABCD是矩形，

BC=AD=6,

:四边形ABEF是正方形，

AAB=BE=EF=4,ME=4-x,

:将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点尸处，得到折痕MN,

：.MF=CM=6—x,

在RtAEKW中，MF2=ME2+EF2,

：.(6-X)2=(4-X)2+42,

解得：x=l,即BM=1.

故选：D.

7.D

【分析】本题考查的是旋转的性质、等边三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式，先根据旋转

及等边三角形性质求出4"6,1),用待定系数法求出反比例函数表达式即可.

【详解】解：等边三角形Q4B中，Zft4B=60°,将△OAB顺时针旋转30。,

二.旋转（180。—60。）+30。=4次后，点8落在x轴上，且可（2,。）,

第8次后点。落在无轴上，且Q（3,0）,

依此类推，

第12次后点A落在x轴上，且4（4,0）,

第16次后点B落在x轴上，且46（欠。），

第20次后点。落在x轴上，且Q°（6,0）,

再以。2。为旋转中心，将顺时针旋转30。时，

此时Qo4i轴，

・・。2%1—1，

・•.41（6,1）,

设经过4（6,1）的反比例函数表达式为y=：,

贝。左=1x6=6,

6

•.•y=一，

X

故选：D.

8.C

【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识

点，解题的关键是理解题意；

根据作图得出尸。为B的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断A,根据。、。、R、尸在，3上，

运用圆内接四边形可判断B,根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断D,根据圆周角定理可判断C；

【详解】解：根据作图可得：为「方的直径，Q、。、R、P在匚B上,

:.ZPQO=ZPRO=90°

Q。。、OR是（。的半径，

PQ,PR均为。的切线，故A正确；

。、0、R、尸在（8上，

Q、0、R、P四点共圆，QORP是，：8的内接四边形，

NQPR+NQOR=180。，故B正确；

由作图可知，B0为B与。的圆心连线，QR为B与。的公共弦，

QR±PO,

.-.SNPOQ^OPQC^PQOQ

.-.OPQC=PQOQ,故D正确；

,/B的半径不一定等于。的半径，

/.-QPO不一定等于30。，

.•.NQPR不一定等于60。，故C不一定正确；

故选：C.

9.B

【分析】本题主要考查了尺规作图、平行线等分线段定理、重心、相似三角形的判定与性质等知识点，

弄清各线段、面积间的关系成为解题的关键.

①由作法可知：所作的是线段AC的垂直平分线，8。为中线；②由AP能平分SABC，则点尸为BC的

中点，即AP为中线；然后再根据重心、平行线等分线段定理、三角形的面积等知识逐步分析即可解

答.

【详解】解：.①由作法可知：所作的是线段AC的垂直平分线，BQ为中线；

②由AP能平分SMC，则点尸为BC的中点，即AP为中线；

则中线和中线AP的交点G为VABC重心，即A正确，不符合题意；

由重心的性质可得PG:AG=1:2,

'：GT//AB,

.PTPG_1

**BT-AG-2?

：.TP=-BP；

3

同理：PR=-PC；

3

.*BP=CP,

•・TP=PR,

*.BT=2TP=2PR,

・・TP+PR=；（BP+PC）=gBC,

•・CR=RT=TB,即D选项正确;

.・GT//AB.RG//AC,

*.GTKsABC,

22

.SGTRTR1L即s

GTR=-SABC

SABCBC399

-RCh

sARC21

S3

ABC-BCh

2

：.SARC=-SABC，

3

：.S

ABR3ABC'

qnuABC1

工匝=^-----即c选项正确，不符合题意;

3ABR—S6

3°ABC

只有B不能推出，得不到乙与4均可平分$即八

故选B.

10.C

【分析】本题综合考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点.利用

旋转的性质结合三角形的性质求得==67.5。，即可判断①和③；证明四边形AEFC是矩

形，推出二班F均班D和丝△OCB,即可判断②；利用勾股定理计算出和巫和EG,即

可判断④.

【详解】VZC=90°,AC=BC,

：.ZBAC=ZABC=45°,

由旋转的性质得AC=3C=OE=4）,NDEA=NDAE=45。,ZADE=ZACB^90°,AB=AE,

・・・ZACD=ZADC=；（180。—45。）=67.5°,ZABE=ZAEB=；（180。—45。）=67.5°,

・・・NFBE=180。—ZABE—NCBA=5。,

:.ZFBE=ZDBE,结论①正确；

,:ZGDB=ZADC=67.5°=ZGBD,

：.GB=GD,

9：ZEDB=9Q°,

：.ZBED=90°-67.5°=22.5°=ZGDE,

:,GE=GD,

：.GE=GB,结论③正确；

ZCBA=ZBAE=45°,

：.BC//AE,

'：EFLCB,

：.ZF=ZBDE=90°,

：.ZF=ZFEA=ZACB=90°,

・・・四边形A£FC是矩形，

■:ZFBE=ZDBE=67.5°,

:.ZBEF=ABED=22.5°,

又BE=BE,

；・_BEF2BED,

ABF=BD,EF=ED,

ZHDE=Z.DCB=22.5°,ZHED=ZDBC=45°,DE=BC,

:.小HDE沿ADCB,

：・HE=BD=BF,结论②正确；

设AC=a,则====M=

AB=AE=CF=yjla，

.・・FB=BD=（e-°a,

BE=-JBF2+EF2=V2-1）+a2=54一2加〃,

・・・EG=-BE耳,

22

・・・BE+EG=/"2耳w42a=AB,

：.AB-EG^BE,结论④错误,

故选：c.

11.D

【分析】过点。作。G，跖于G,交C尸的延长线于由勾股定理可得AB=4,由图2

可知：DF=AB=4,AC=DE=2,BC=CF=EF=2y/5,由面积法可得。6=半，从而得到

GF=—,由矩形的判定可得四边形DG切是矩形，从而得到£>G=FW=述，DH=GF=—,

555

最后由勾股定理进行计算即可.

【详解】解：如图，过点。作OGL跖于G,D"，CF交C尸的延长线于H,

图3

BC=2后,AC=2,ZA=90°,

AB=VBC2-AC2=J（2A/5）2-22=4,

由图2可知：DF=AB=4,AC=DE=2,BC=CF=EF=245,

S_DEF=^EFDG=^DEDF,

2A/5XDG=2X4,

DG普

GF=y/DF2-DG28亚

r

DGYEF,DHYFH,GFYFH,

二四边形DG/W是矩形,

•八厂_户口_正一口非

..DG=FH=-4----,DnHu=_GF-_.8.......

55

CH=HF+CF=^-+2y/5

55

DC=y/DH2+CH

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，熟练掌握正方

形的性质，矩形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键.

12.B

【分析】根据题意得：直线JK是CD的垂直平分线，CH是族的垂直平分线，CH是NOCQ的角平

分线，当。点分别与8点、A点重合时，点/都存在于CQ上，通过证明C£>=C/,即可判断C0>C/,

从而判断A选项；通过证明C”垂直平分口/,根据直线JK是CD的垂直平分线，乙点是直线JK和

直线C”的交点，从而判断B选项；根据对角互补的四边形四点共圆即可判断C选项；当点Q为AB

中点时，延长CQ并交的延长线于点p,设AQ=BQ=1,则AB=BC=2,求出AP=2,CP=2y[5,

设DH=HI=x,则P"=4-x,用两种方式表示的面积，利用等面积法，即可求出尤的值，

判断D选项.

【详解】解：根据题意得：CE=CF,GE=GF,直线JK是C£>的垂直平分线，

.■.C,G在线段取的垂直平分线上，

即是族的垂直平分线，

考虑两个极端情况，当。点与8点重合时，示意图如下：

此时。、B、/三点重合，点/存在于CQ上,

当。点与A点重合时，示意图如下：

此时点/存在于CQ上，

连接ZD,设C"和EF相交于。点,

•••等腰三角形CEF中AOCE=ZOCF,

HI±CQ,四边形ABCD是正方形,

ZHIC=ZD=90°,

:在一mC和△HOC中,

ZHIC=ND

<ZOCE=ZOCF,

CH=CH

.二mC冬//DC(AAS),

:.HD=HI,CD=CI,

CQ>CD,

CQ>CI

,随着。点的运动，点/一直存在于C。上，故A选项错误，不符合题意;

由HD=HI,CD=CI,

.•.点C、H在W的垂直平分线上，

即CH垂直平分DI,

又，.直线JK是CD的垂直平分线，"点是直线JK和直线的交点，

・・•点L为△/C。的外心，故B选项正确，符合题意；

由上可知，/mC=90。，

ZHIQ=ZA=90°,

NH/Q+ZA=180°,

.•.A、H、I、。四点共圆，故C选项错误，不符合题意；

当点。为A3中点时，如图所示，延长CQ并交ZM的延长线于点尸，

设AQ=3Q=1,则AB=BC=2,

AP//BC,

.AQAP

:.AP=2,

:.CQ=PQ=5

:'CP=28

设DH=HI=x,则PH=4—x,

SMPH=—XPHxCD=—xCPxHI,

即gx(4-x)x2=gx2A/5x尤,

解得x=6-l,即£>"=君-1,AH=2-x=3-y/5,故D选项错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题是一道几何综合题，结合尺规作图，考查了角平分线和垂直平分线的判定和性质、三角

形的外心、对角互补四边形的四点共圆、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，

添加合适的辅助线是解题的关键.

13.乙槽

【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得x+y+z=10,

当y=z=l时，x最大，为8,根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小

的是乙槽.

本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键.

【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得x+y+z=10,

当y=z=l时，x最大，为8,根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分

最低的是乙槽.

故答案为：乙槽.

12

14.x4-x二或3

【分析】根据第一次操作是用较长边减去较短边可得;再表示出第二次操作后的两边，再分两种情况，

根据第三次操作后剩下的是正方形列出方程，解之即可.

【详解】解：第一次操作后，

剩余长方形的两边长分别为：x,4-x；

第二次操作后，

剩余长方形的两边长分别为：4-X,x-(4-x)=2x-4;

8

若4-x>2x-4,BPx<—,

则第三次操作后，

剩余长方形的两边长分别为：2x—4,4-x-(2x-4)=4-x-2x+4=8-3x,

则2x-4=8-3x,

12

解得：X=y;

8

若4-x<2x-4,BPx>—,

则第三次操作后，

剩余长方形的两边长分别为：4-X,(2x-4)-(4-x)=2.x-4-4+x=3x-8,

则4-x=3x-8,

解得：x-3；

综上：宽x的值为19或3,

12

故答案为：x,4—x；丁或3.

【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是注意分类讨论，列出方程.

15.①②④

【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键.根据新定义得到第3次操作后

得到的分式为心3,可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为可判断②；根

ci—3u—4

据新定义得到第5次操作后得到的分式为色三，再变形为。+5+々，由分式可以化为整数得出

a-5〃一5

(a-5)是20的因数,再结合a为正整数求出a的值,可判断③;经过n次操作后得到的分式为区口，

a—n

由题意得〃结合。和〃都是正整数，求出符合题意的。的值，可判断④，即可得出结论.

9

/一

【详解】解：第3次操作后得到的分式为幺二3，

CL—3

2

,a^-3=a-9+6=^-9+_6_=a+3+6)故①正确；

a—3a—3a—3a—3a—3

第4次操作后得到的分式为占，

〃一4

“2—4—16+12161212

-----=----------=------+----=。+4+-------,故②正确；

。一4a—4a-4a-4。-4

2

第5次操作后得到的分式7为7-㈠5,

a—5

a2-5iz2-25+20=20

二.-----=----------=。+5+-------,

〃一5〃一5a—5

又；第5次操作后得到的分式可以化为整数,

二（。-5）是20的因数，

/.a—5=±1,±2,±4,±5,+10,±20,

a=—15,—5,0,1,3,4,6,7,9,10,15,25,

又a为正整数，

.•.0=1,3,4,6,7,9,10,15,25,

.〔a的正整数值共有9个，故③不正确;

经过n次操作后得到的分式为心1,

a-n

由题意得，上^=10,

a-n

整理得：〃=皿;1且。工〃，

9

n>0,a>0,

.\0<a<10,

又'。为正整数，

/.a=1,2,3,4,5,6,7,8,9,

Q〃为正整数，

.•.硝0-4）是9的倍数，

a=1或a=9,

1x9

当a=l时，n=-^―=1,此时a=〃=l,舍去；

9x1

当a=9时，”=-^—=1,止匕时a+〃=10；

,满足这个条件的。的值有1个，且。+〃=10,故④正确；

综上所述，正确的有①②④.

故答案为：①②④.

16.y/0.5.y/2

【分析】（1）根据折叠可得NEDA=NEDG,由已知可得NCDG=NEDG,进而可得ZCDG=NEDG

=30°,证一EGV=DEZWDCF,根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

（2）连接收，证&EGF、EBF,可设=DC=y.进而可用x表示出BC、AD的长，根据

折叠的性质知AD=DG=2x,即可得到QG的表达式，由a£GP%EBb可知GV=族，那么Gb=x,

由此可求出。方的表达式，进而可在Rt。尸。中，根据勾股定理求出工、y的比例关系，即可得到F

AD

的值.

【详解】解：（1）连接所

CT---------------------

根据翻折变换的性质得，

NEGF=/B=90°,EG=AE=EB,EF=EF,

:.R—EGF/R—EBF,

/BEF=/GEF,

・・,折叠，

:.NEDA=NEDG

又NCDG=NEDG,

：.ZEDA=ZEDG=ZCDG=30°

：.ZAED=ZDEG=ZGEB=60°,

・・・ZBEF=ZGEF=30°

：.BF=-EF,ZDEF=NDEG+NFEG=90。=NC

2

在公DEFRDCF中,

ZCDF=ZEDF

<DF=DF

ZDEF=ZC

：・_DEF、DCF

：.FC=EF

：.FC=2BF

即挺，

CF2

1

故答案为:

2

(2)连接EF

B

根据翻折变换的性质得,

ZEGF=ZB=90°,EG=AE=EB,EF=EF,

:.R-EGF沿R_EBF,

:.GF=BF,

设5方=尤，DC=y,则有G/=x,AB^y

BC=2BF,

:.CF=x,BC=AD=DG=2x,

:.DF=DG+GF=3x,

在Rt.DCF中，DC2+C