抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】（原卷版）-2025届高考数学重难点突破（新高考专用）

重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

(1)熟悉常见函数的抽象

赋值法判断抽象函数的奇偶性，

2023年新高考1卷，第11题表达式

周期性

(2)用赋值法判断抽象函

数性质

2022年新高考2卷，第8题

模块一热点题型解读(目录)

【题型1］抽象函数的赋值计算求值【题型9】指数型函数的抽象表达式

【题型2］抽象函数的奇偶性【题型10］幕函数的抽象表达式

【题型3】抽象函数的单调性【题型11］正弦函数的抽象表达式

【题型4】抽象函数的最值与值域【题型12］余弦函数的抽象表达式

【题型5］抽象函数的对称性【题型13］正切函数的抽象表达式

【题型6】抽象函数的周期性【题型14］二次函数的抽象表达式

【题型7】一次函数的抽象表达式【题型15］其它函数的抽象表达式

【题型8】对数型函数的抽象表达式

模块二核心题型•举一反三(讲与练)

【题型1]抽象函数的赋值计算求值

核心•技巧

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种:

1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解

2024•长沙市第一中适应性训练

1.已知定义域为R的函数〃x),满足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且“0)/0,

/(—2)=0,贝4⑵=.

2.(2024•福建龙岩•一模)已知函数/■(工)的定义域为R,且/(%+y)+/(x-y)-/(x)/(y)=0,

八-1)=1，贝4(0)=

【巩固练习1】定义在R上的函数/(无)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+2斗(x,yGR),/(1)=2,贝|

/(3)=,/(-3)=.

【巩固练习2】已知对所有的非负整数x,y(xNy)均有

/(x+^)+/(x-^)-%+y-l=1[/(2x)+/(2y)],若/⑴=3,则〃5)=.

【巩固练习31(2024-安徽合肥•一模)已知函数/(x)的定义域为(0,+e),且

(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(l)=e,记a=/1卜=/(2),c="3),则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【题型2】抽象函数的奇偶性

核心•技巧

证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到/(-%)与/(%)的关系

2024•福建莆田•二模

3.已知定义在R上的函数满足：f(x+y)=f(x)+f[y]-3xy(x+y),证明：y=/(x)是奇函

数

2024•长沙市第一中适应性训练

4.已知定义域为R的函数“力，满足/(x+y)=〃x)/(加〃2-x))(2-y),且/⑼w0,

/(-2)=0,证明：是偶函数

【巩固练习1】(多选)定义在R上的函数满足：对任意的羽yeR"(x+y)=〃x)+〃y),则

下列结论一定正确的有()

A./(0)=0B./(%-j)=f(x)-/(j)

C.〃x)为R上的增函数D./(x)为奇函数

【巩固练习2](多选)已知定义在R上的函数/(x)满足

/(xy)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(O)<2,/(O)^/(l),且〃力>0,则()

A./(0)=1B./(-1)=2

C./(-%)=2/(x)D./(-x)=/(x)

【巩固练习3】(2024•全国•模拟预测)(多选)已知函数/(X)的定义域为R,满足

f(x)f(y)-f(x)=xy-y,则()

A.f(O)=lB./(-1)=1

C./(x+1)为偶函数D./(%+1)为奇函数

【巩固练习4】(2024届韶关市一模)己知/(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a涉

满足了(")=/0)+/(。)，若/(e)=e,贝！+()

A.—B.——C.1—D.1H■■-

eeee

【题型3】抽象函数的单调性

/核心•技巧/

判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论;

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型''抽象函数/(x+y)=…，判断符号时要变形为：

/(%)-fM=/((%-占)+占)-fM或/(%)=/(%)-/(0-&)+%)；

②若给出的是“积型抽象函数/(孙)=…，判断符号时要变形为：

/(^2)-/(^1)=/%或/(%)一/(石)=/(尤2)一/^2—

7

5.函数/(X)的定义域为(0,+8),对于X/x,ye(O,"),/(到)n/(x)+/(y),且当x>l时,f(x)<o,

证明：〃尤)为减函数.

6.已知函数〃x)是定义在R上的函数.对任意”,6eR,总有〃a+b)=〃a)+/S),/(-1)=|,

且无<0时，〃x)>0恒成立.

⑴求八2)

(2)判断了(X)的奇偶性并证明

(3)证明〃x)在(0,+向上单调递减

【答案】(1)/(2)=-1,(2)奇函数;(3)在(0,+8)上单调递减

【详解】(1)由对任意”,6eR,总有〃a+b)=/(a)+/(b),

令。=6=0,贝”/(0+。)=〃。)+，(。)，则"0)=0,

79

又由〃一1)=(,可得/⑴=一§,

贝|/(2)=/(1+1)=7(1)+/(1)=-|+(一3=T,故选项A判断正确；

(2)^a=x,b=-x,则/(x_%)=/(无)+/(_x),

则有〃力+/(-尤)=〃。)=0,故f(f)=-f(x),则/(x)是奇函数

【巩固练习I】(多选)定义在(-s,o)u(o,+®)上的函数“X),对于任意的x，y都有

/(xy)=/(x)+/(y)-l;且〃2)=3；当x>l时，则下列结论正确的是()

A./⑴=1B.了⑺是奇函数

C."X)在(0,+s)上单调递增D./(无一1)>7的解集为{x|x<-7或x>9}

【巩固练习2】若定义在R上的函数对任意如期^氏都有八xi+x2)=y(Xi)+y(M)—1成立，且当x

>0时，fl.x)>l.

(1)求证:y=*x)—1为奇函数；

(2)求证:兀0是E上的增函数；

(3)若人4)=5,解不等式五3机一2)<3.

【巩固练习3】(2023•湖南师大附中校考)已知连续函数f(x)满足：①V元,yeR,则有

/(x+y)=/(x)+/(y)T，②当x>0时，/3<1,③/(1)=一2,则以下说法中正确的是()

A./(0)=1

B./(4x)=4/(x)-4

C.f(x)在［-3,3］上的最大值是10

D.不等式/(3d)-2〃x)>+4的解集为卜［<x<11

【题型4】抽象函数的最值与值域

/核心•技巧/

结合奇偶性与单调性来判断最值或值域

7.已知函数/(x)对任意的x,yeR,总有/(x+y)=/(x)+/(y),若xe(-co,0)时，f(x)>0,且

/(1)=-1,则当xe［—3,l］时，/(x)的最大值为()

A.0B.-C.1D.2

3

【巩固练习1】已知连续函数Ax)满足：①Vx,yeR,则有〃了+丫户/⑺+“日一匕②当彳会时，

fM<l,(3)/(1)=-2,则Ax)在［—3,3］上的最大值是

【巩固练习2】已知连续函数,⑴对任意实数X恒有J)=/(X)+/(J)，当x>0时，/(x)<0,

/(1)=-2,则ZU)在［―3,3］上的最大值是

【题型5】抽象函数的对称性

核心•技巧

抽象函数的对称性常有以下结论

(1)=关于_¥=巴音轴对称，

(2)/(%+4)+/(。一力=2°=>/("关于［区|^,。)中心对称，

2024•江苏南通•二模

8.(多选)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,的图象关于点(2,0)对称，g(0)=g(2)=l,

g(尤+y)+g(x-y)=g(X)y(y),贝！|()

A./⑺为偶函数B.g(x)为偶函数

C.g(-l-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

【巩固练习1】已知对任意实数x,y,函数满足〃个+l)=〃x+l)+〃y+l),则“力()

A.有对称中心B.有对称轴

C.是增函数D.是减函数

【巩固练习2X2024•重庆八中校考)(多选)已知函数7'(x)的定义域为R,且〃x+y)=/(x)+〃y),

当x>0时，/(%)>0,且满足/(2)=1,则下列说法正确的是()

A./(x)为奇函数

B./(-2)=-1

C.不等式〃2力-"*-3)>-2的解集为(-5,y)

D./（-2023）+/（-2022）+L+/（0）+Lf（2022）+f（2023）=2023

【巩固练习3】(多选)已知定义域为R的函数“X)对任意实数x，y都有

/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),且H=°，则以下结论一定正确的有()

A./(O)=-lB./(尤)是偶函数

C.7(力关于0)中心对称D./(1)+/(2)+-+/(2023)=0

【题型6】抽象函数的周期性

/核心•技巧/

抽象函数周期问题一般先求对称性

2024山东青岛•统考三模

9.设/(x)为定义在整数集上的函数，"1)=1,/(2)=0,/(-1)<0,对任意的整数均有

/(x+y)=/(x)/(l-j)+/(l-x)/(y).则〃55)=.

10.函数函⑺的定义域为R,且/(x+2)=-/(x+1)-7⑺,/(x)=/(2-x),/(365)=-1,则

2。023㈤=•

k=l

11.(2024届厦门一中校考)若定义域为R的奇函数/(x)满足f(x)=/(x+l)+/(尤-1),且/(1)=2,

则/(2024)=.

【巩固练习1】2024•山东青岛•一模

VxeR,/(%)+/(x+3)=1-/(%)/(%+3),/(-1)=0,则〃2024)的值为()

A.2B.1C.0D.-1

【巩固练习2】(2024•福建龙岩•一模)已知函数/(X)的定义域为R,且

J(x+y)+〃x-y)-〃x)〃y)=o,/(-i)=i,则()

A.f(o)=oB./(X)为奇函数

c./(8)=-1D./'(X)的周期为3

【巩固练习3】(2024•福建厦门•一模)已知函数了。)的定义域为R,Vx,"R,

/(x+1)/(y+1)=/(x+y)-/(x-y),若/(O-O,则”2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

【巩固练习4】函数的定义域为R,对任意…R,恒有仆)+小)=2//『卜|三斗

12022

若"1)=5,贝1」了(一1)=，!/(«)=—.

/n=l

【巩固练习5]深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题

(多选)己知函数“X)的定义域为R,且〃x+y)〃x—h=产(力—产⑴，"1)=6,/^2x+1

为偶函数，则()

A.〃*)为偶函数B./(2)=73

2023

c./(3+%)=-/(3-x)D.£〃笈)=右

k=\

【题型7】一次函数的抽象表达式

/核心•技巧/

一■次函数的抽象表达式

(1)对于正比例函数/(%)=丘，与其对应的抽象函数为/(x±y)=/(尤)±/(y).

(2)对于一次函数/(尤)=丘+匕,与其对应的抽象函数为/(x±y)=/(x)±/(j)+b.

(3)对于一次函数/(%)=左(大一6),与其对应的抽象函数为/(x+y-b)=/(%)+/(j).

12.已知函数的定义域为R,且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条

件的一个的解析式为〃"=.

①f[m+n)=f[in)+f(n)-②〃尤)为奇函数；③/(%)在R上单调递减.

13.(2023-2024学年重庆一中高一期中)(多选)已知定义在区间[-4,6]上的函数/(x)满足：对任

意m,均有〃祖-〃+1)+"")=〃根)；当x>l时，/(x)>0.则下列说法正确的是

A./(1)=0B./(x)在定义域上单调递减

C./(x+1)是奇函数D.若/(2)=1,则不等式/(2x)>/(x)+2的解集为(2,3]

【巩固练习1】(2024•安徽安庆•二模)(多选)已知定义在R上的函数/⑺，满足对任意的实数x,

»均有/(x+y)=/(x)+/(y)T，且当尤>o时，/(无)<1,则()

A./(0)=lB./(l)+/(-l)=l

C.函数/(x)为减函数D.函数y=的图象关于点(0,1)对称

【巩固练习2】(2024•山东泰安•一模)(多选)已知函数〃X)的定义域为R,且"1)=。，若

/(x+y)=/(x)+/(y)+2,则下列说法正确的是()

A.7(-1)=^B.〃力有最大值

C.7(2024)=4046D.函数/(力+2是奇函数

【题型8】对数型函数的抽象表达式

核心•技巧

对数函数的抽象表应受濠要)

对数函数/(x)=log.x,

/、

Y

其对应的抽象函数为/(盯)=/(x)+/(y)或/二=/(%)-/(y)

补充：对于对数函数/(x)=log。X,其抽象函数还可以是/(x")=4(x)

奇偶性证明：只需构造了(々)一/(%)=/(三-/)-/(可)=/(三)即可

再X]

14.己知函数/(x)满足：①对Vm,n>0,/(m)+/(W)=f(mn);②/仁卜一：!•请写出一个符

合上述条件的函数/(x)=.

15.(2024.安徽.二模)已知函数y=〃取xwO)满足〃孙)=〃力+/3-1,当》>1时，/(%)<!,

贝U()

A.7(尤)为奇函数B.若/(2x+l)>l,则—l<x<0

C.若"2)=9贝1|〃1024)=-4D.若=则焉］=1°

【巩固练习1］已知定义在(0,+⑹上的函数“X),满足/3)+l=/(x)+/(江且U=°，则

/(2")=()

A.1B.11C.12D.-1

【巩固练习2】已知函数/'(x)的定义域是(0,+8),对定义域内的任意4泡都有

/(^x2)=/(x1)+/(x2),且当0<x<l时，/(x)>0.

(1)证明：当x>l时，/(%)<0；

⑵判断的单调性并加以证明；

【题型9】指数型函数的抽象表达式

核心•技巧

对于指数函数/(%)=ax,与其对应的抽象函数为/(x+y)=/(x)/(y)或/(x—=.

于(y)

奇偶性证明：由f(x+y)=/(*)•/(y)得与?=/(y),判断等=一西)和1的大小关系

/(x)/⑷

16.已知函数外力的定义域为R,且/(力的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条

件的一个〃X)的解析式为“X)=.

@Vm,neR,/(m+w)=/(m)/(ra)；②/(x)在R上单调递减.

<1Y

【答案】-(答案不唯一)

【分析】根据函数的性质直接得解.

【详解】由题意/(x)为指数型函数，且/(X)在R上单调递减，

17.(2023上•浙江•高一校联考)(多选)已知定义在R上的函数y=/(x)满足：①y=/(x)是偶函

数;②当x>0时,/(%)>1；当xNO,”0时,/(x+y)=〃”(y),则()

A."0)=1B.〃力在［0,+8)上单调递增

C.不等式〃司<"*的解集为(-6,2)D.〃x+y)=〃x)+〃y)

【巩固练习1］如果〃。+外=〃。)/仅)且/。)=2,则景+瑞+耦=()

1237

A.B.C.6D.8

55

【巩固练习2】已知函数“X)满足，〃P+q)=〃P)・/(q)J(l)=3,则

/⑴+“2)/⑵+〃4)/⑶+〃6)r(4)+〃8)/"(IO)

的值为()

/(I)”3)/(5)/(7)/(9)

A.15B.30C.60D.75

【巩固练习3】已知定义在R上的函数/(x)满足：对任意的实数x,y均有=且

/(-l)=-h当0<x<l且

⑴判断“⑼的奇偶性；

⑵判断“X)在(0,+8)上的单调性，并证明；

【题型10］幕函数的抽象表达式

核心•技巧

对于森函数/(x)=x",与其对应的抽象函数为/(盯)=/(x)/(y)或/-=23

VyJ/(y)

18.(2024•河北•模拟预测)已知定义在(-e,0)U(0,y)上的函数满足

〃移)=止i止则()

yxxy

A./(x)是奇函数且在(0,+。)上单调递减

B./(“是奇函数且在(-双0)上单调递增

C./(x)是偶函数且在(0,+")上单调递减

D.y(x)是偶函数且在(-e,0)上单调递增

【巩固练习】已知函数〃尤)的定义域为(-8,0)U(0,+o)),lV(x)=(y+l)/(y+l),则()

A./W>0B./(1)=1C.〃尤)是偶函数D.7(x)没有极值点

【题型11]正弦函数的抽象表达式

/核心•技巧/

三角函数注意系数的配凑，/(x)=asincox,f(x)=acosa)x,以下均以。=。=1为例

对于正弦函数/(x)=sinx,与其对应的抽象函数为/(x+y)/(x-y)=/2(x)-/2(y)

注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2tz-sin2=sin(«+/3)sin(tz-P)

2024•广东江门•一模

19.函数〃x)的定义域为R,对任意的x,y,恒有/■(x+y)=/(x)/'5-“+成立.

请写出满足上述条件的函数f(x)的一个解析式.

【巩固练习1](多选题)(2024•辽宁•模拟预测)已知函数Ax)的定义域为R,且

f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),/(I)=2,/(2)=0,则下列说法中正确的是()

2024

A./(x)为偶函数B./⑶=-2C./(-l)=f(5)D.27伏)=一2

&=2

【巩固练习2】(多选题)(2024.全国•模拟预测)已知函数的定义域为R,且

f(x+y)f(x-y)=f2(x)-/2(y),/(I)=1,/(2)=0,则下列说法中正确的是()

2023

A./(x)为偶函数B.〃3)=-1C.='⑸D.£f(k)=l

k=\

【题型12]余弦函数的抽象表达式

/核心•技巧/

三角函数注意系数的配凑，f{x}=asma)x,f(x)=acosa)x,以下均以。=0=1为例

(1)对于余弦函数/(x)=cosx,与其对应的抽象函数为/(x)+/(y)=2/

oc+f3ct,

注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cosa+cos[3=2cos一^-cos—?

(2)对于余弦/(x)=cosx函数，其抽象函数还可以是/(x)/(y)=g"(x+y)+/(x-y)]

注：余弦积化和差公式：

cosacos尸=c0s(a+')+c°s(a-'),2Q22新高考2卷用的就是这个模型

2024•吉林白山•一模

20.己知函数“X)的定义域为R,且〃x+y)+/(x-y)=/(x)〃y),/(1)=1,请写出满足条件

的一个〃x)=(答案不唯一)，/(2024)=.

2024•重庆一中3月月考

21.(多选)函数的定义域为R,且满足〃龙+y)+〃x-y)=2〃x)〃y),/(4)=-1,则下

列结论正确的有()

A./(0)=0B./⑵=0

C.为偶函数D.“X)的图象关于(1,0)对称

【巩固练习1】已知函数"X)满足：/(I)=7,4/(%)/(y)=f{x+y)+f(x-y)(x,yeR),则

4

7(2023)=.

【巩固练习2】(2022新高考2卷T8)已知函数f(x)的定义域为R,且

22

f(x+y)+/(x-J)=/(x)/(y),/(I)=1,则2/伏)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【巩固练习3】(2024•河北•模拟预测)(多选)已知定义在R上的连续函数满足Vx,yeR,

〃x+y)+〃x-y)=/(x)〃y),/(i)=o,当xe[o,i)时，〃力＞。恒成立，则下列说法正确的是

A.40)=1B.是偶函数

C.U=8D.〃x)的图象关于x=2对称

【题型13]正切函数的抽象表达式

/核心•技巧/

对于正切函数/(x)=tan无，与其对应的抽象函数为/(x±y)=士:

i+/W/(y)

,,,一/,八、tan。土tan£

注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan(cr±/?)=-------------

1+tancrtan/?

22.已知函数“X)满足/⑴=1,/(x+y)=,则()

A./(O)=OB./(-%)=-/(%)

C.〃尤)的定义域为RD.的周期为4

【巩固练习1】(2024・广西贺州•一模)(多选)已知函数"X)的定义域为(T,1)J(x)+/(y)=/

U+孙

且当xe(0,l)时，/(x)>0,则下列说法正确的是()

A.〃尤)是奇函数

B./(x)为增函数

C.若实数。满足不等式/(2«)+/(a-l)>0,则。的取值范围为+8

D.

【巩固练习2】定义在上的函数/(x)满足：对任意的…1(都有

+且当°<尤<,时，/(x)>0.

1-2

(1)判断”x)在(0,；］上的单调性并证明；

(2)求实数f的取值集合，使得关于x的不等式小尤)>0在上恒成立.

【题型14］二次函数的抽象表达式

核心•技巧

二次函数

对于二次函数/(%)=〃%2+"+c,与其对应的抽象函数为/(x+y)=/(x)+/(y)+2g-c

23.(2024•浙江杭州•模拟预测)对于每一对实数x,九函数/满足函数方程

/(x)+/(y)=/(x+y)-xy-l,如果=那么满足/'(m)=根(根*1,〃2€2)的加的个数是

()

A.1个B.2个C.3个D.无数多个

24.(2024・高三・河北保定•期末)已知函数f(x)满足：Vx,yeZ,八尤+y)=f(尤)+/(y)+2孙+1

成立，且/(-2)=1,则〃2”)(〃eN*)=()

A.4〃+6B.8n-lC.W+2n-lD.8H2+2??-5

【巩固练习1】(2024•陕西西安・模拟预测)已知函数Ax)的定义域为R,且满足

〃尤)+/(y)=F(x+y)-2盯+2］⑴=2,则下列结论正确的是()

A.八4)=12B.方程/(x)=x有解

C.+是偶函数D.了］》一；)是偶函数

【答案】C

【解析】对于A,因为函数Ax)的定义域为R,且满足/(x)+f(y)=/(x+y)-2q+2，Al)=2,

取尤=y=l,得/⑴+〃1)=/(2)-2+2,则/(2)=4,

取x=y=2,得〃2)+/⑵=/(4)-8+2,则"4)=14,故A错误；

对于B,取y=l,得/•(*)+/(1)=/(尤+1)—2彳+2,贝|/(彳+1)-/(无)=2尤，

所以/(%)-f(x-1)=2(x-1)-f(x-2)=2(x-2),：；f(2)-/(