福建省龙岩市2025届高三年级下册5月教学质量检测数学试题（解析版）

福建省龙岩市2025届高三下学期5月教学质量检测

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量乙=(一3,0),B=(m,后,且向量口与B的夹角为4,则[6|=()

3

A1B.2C.3D.2-73

【答案】B

【解析】因为向量々=(-3,0),B=市),且向量a与B的夹角为三，

JIAb—3m1

所以8s丁丽二八KT5,化简4疗的2+3

所以m2=1，则W=,)2+3=2.

故选：B.

2.已知集合4={%|%22},集合3=卜|丁=亚口,%64，则4口3=()

A.[0,+oo)B.[V3,+oo)C.[2,+CO)D.[3,+oo)

【答案】C

【解析】因为A={x|x22},

由xN2,所以2工一122?—1=3，所以y=JF=1之外，

所以3=卜|y='2工_1,X6.={y|y2g,

所以AcB=[2,y).

故选：C

3.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品.三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙

三家公司产品的次品率分别为2%、1%和加％.若市场上该产品的次品率为2%,则

m=()

D.4

【答案】C

【解析】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件A,

贝”（A）=50%x2%+25%xl%+25%xm%=2%,

解得m=3.

故选：C

4.若函数y=cos[0x+gJ（0〉O）的图像向左平移g后得到一个奇函数的图像，则。

的最小值为（）

13

A.—B.1C.—D.3

42

【答案】A

【解析】函数y=cos[s+3的图像向左平移g后得

/（X）=cos10[x+g）+m=cos（cox+g0+m），为奇函数，

二匚2兀兀7717r13k,

rn以——G+—=EH——>k=（o=—〜-----,keZ，

33242

又69>0,所以69=—,

4

故选：A.

5.己知正四棱台ABCD-ABiG，的上，下底面边长分别为及和2后.若该棱台的体

积为此叵，则该棱台的外接球表面积为（

3

32

A.7兀B.—71C.16兀D.16兀

【答案】C

【解析】在正四棱台ABCO—A4GQ中，AB=2皿，44=应，体积为当1,高为

h,

故肛

-(2+8+，2义8)〃=>丸=y/3，

33、

连接3D、AC相交于点E，BR、AG相交于点尸，

设外接球的球心为。，若。在台体外,

设0到底面ABCD的距离为d，

则半径为R=S/EB^+OE2=JB尸+(//+0E『,

即/=Jl+(G+d)2，

解得d=0,所以球心。与点E重合,

若。在台体内，。到底面A3CD的距离为d,

则半径为R=[EB?+OE。={BF+（h—0E）2，

即“+/=+—，解得d=0,所以球心。与点£重合,

综上所述，h=EF=OF=6故R=2，所以4成2=16兀.

故选：C.

6.已知/（%）=|2*-1|,当a<Z?<c时，有，则必有（）

〃<。/<。,

A.c<0B.a<0,b>0fc>0

C.2Ta<2CD.l<2a+2c<2

【答案】D

【解析】画出的/(x)=|2-l|图象：

对于A,。<08<0,。<0不能同时成立，因为。<03<0,c<0时，函数单调递减，得

不到/(。)>/(。)>/伍)，故A错误；

对于B,如图，当a<匕<c时，有/(a)>/(c)>/0),则b可能小于零，也可能大于

零，故B错误；

对于C,如图，当—a>c>0时，2-“>20，故C错误；

对于D,由图象可知，«<0,c>0,所以0<2"<l,2c>l,

又/(a)>/(c)，所以1一2">2°-1，

所以1<2"+2c<2，故D正确

故选：D.

22

7.己知椭圆C:工+3=1(。〉人〉0)的左，右焦点分别为片，F],。为坐标原点.若

ab

椭圆C上的点〃满足闺鸟|=|叫|,则椭圆C的离心率为()

A.2-72B.73-72C.2-百D.73-1

【答案】A

【解析】如图，过点M作肱V，。与，垂足为N,

^\MF\=\OM\,知|N制=|ON|=,所以|N用=》，而出闾=眼闾=2c,

所以阿N|=闾2—|N闾2=半,则阿耳|=yj\MNf+\NFxf=0c，

由椭圆定义知，I"胤+|也"|=2a,即J5c+2c=2°,

所以椭圆的离心率为e=亍=尚+2=2-0.

故选：A

8.己知函数/(x)=2优—e/(。>0且awl),e=2.71828…是自然对数的底数，函数

/(x)的导函数为/"(X).实数m,，满足/'(M=/'5)=0,/(m)>/(n),当m>n

时，实数。的取值范围为()

A.B.［：/］C.(l,e)D.(e,+co)

【答案】B

［解析1由f'(m)=/'(〃)=0,/(m)>f(n),m>n,

知加，〃分别为/(x)的极大值点和极小值点，

所以/(%)在(Y,")、(见”)上单调递减，在(n,m)上单调递增.

f(x)-2ax—ex2,f'(x)-2axIna-2ex,

则当尤w(-00,")时，f\x)<0,

若a>l且］<0时，/(x)=2a1na—2ex〉0,与/''(x)<0矛盾，不符合题意，

故0<a<l.

令r(x)=0n优Ina=ex,该方程有两个不同的解,

则函数y=a*lna,y=ex图象在R上有两个不同的交点,

作出函数丁=a*lna,y=ex图象，如图,

设过原点且与曲线y=相切的直线为/,切点为（%,优。Ina）,

In/7Q1

则）/=々％]112々，所以〃M]n2q=--------,解得/=----,

x0-0In〃

此时切线I的斜率为左“土命a=eh?a,

要使函数y=a*Ina,y=ex图象在R上有两个不同的交点，

需e>eln2a,由0<a<l,解得1>。>—.

e

故选：B.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有

选错的得0分.

9.已知复数z=l—gi，则（）

A.复数2的模长为2

B.复数z在复平面内对应的点在第二象限

C.复数z是方程%2一2%+4=0在复数集内的解

D.若复数。满足|/一Z|=l,则|0|max=3

【答案】ACD

【解析】对于A,同=|z|=J+（_&j=2,故A正确；

对于B,复数z在复平面内对应的点坐标为（1,-石），在第四象限，故B错误;

对于C,将Z=1-曲代入方程，得

（1—Gi『—2（1—6i）+4=—2—2"—2+2百i+4=0,故C正确；

对于D,设复数0对应向量为丽=（%»）,复数z对应的向量为无=（1,-百卜

由|0—z|=l得，|方可=1,0对应点在圆心为[,—十）半径为1的圆上，

uuiruimIuuir

所以OW=OZ\+ZW=2+1=3,即|0』=3,故D正确；

maxI

故选：ACD.

10.已知数列｛4｝的前，项和为S“，则（）

A.若｛a.｝是等差数列，则52,S4-S2,S6-S4成等差数列

B.若｛4,｝是等比数列，则S2，S4-S2,S6-S4成等比数列

C.若|。”+]且%=1,则存在数列｛4｝,使得$102=1

D.若|%+1—%|=1，且％=1,则存在左eN*，使得5如=100

【答案】AC

【解析】对于选项A：｛4｝是等差数列，设其公差为d,

因为5(2=〃]+a2，一S?=/+%=Q]+%+4d,-5*4=/+6=[+/+8d

则2(84—82)=82+(56—84)

所以邑，S4-S2,$6-S4,…成等差数列，故A正确；

对于选项B：例如an=（―1）”,则S2=q+〃2=-1+1=。，

可得邑,S4-S2,$6-S4不成等比数列，故B错误；

对于选项C：例如周期数列1,0,-1,0,1,0,—1,0,……，满足I4+1—a,J=l,且%=1,

此时Hu=25x（1+。—1+0）+1+0=1,故C正确；

对于选项D：因为|%+1-%|=1，且％=1,所以该数列的项奇偶交替，且为整数，

而前4k+1项包含2左+1个奇数，2左个偶数，这些项的和为奇数，而Sm+i=1°0为偶数，

矛盾,

故D错误;

故选：AC

22

11.已知双曲线c：二—斗=1（。〉0力〉0）的左，右焦点分别为K，歹2,左、右顶点分

ab

别为A,B.P（%,%）为双曲线。在第一象限上的点，设上4，的斜率分别为匕，

3

左2,且4•&过点尸作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于〃，N两点，则

（）

\PA\B.双曲线C的离心率为五

A.茜的值随着/的增大而减小

2

C./+左2W\/3D.\PM\=\PN\

【答案】ABD

【解析】对于A,双曲线乌―1=1（。〉〉0）的左顶点为A（—a,0），右顶点为8（。,0）,

b

渐近线为y=±—x,在AP4R中,

a

\PA\sinNPBAsin（7i—NPBA）

由正弦定理可知

\PB\sinZPAB~sinZPAB

显然兀-NPR4,/上旬均为锐角且随着飞的增大分别减小与增大,

即sin（兀-NPBA）,sinZPAB随着/的增大分别减小与增大且均为正数,

二的值随着玉的增大而减小，故A正确；

对于B,由P（的%），则为2=廿一T，因为左顶点为4—。,0）,右顶点为

ka7

8（。,0）,

（尤2、

2

2b乌7,

k卜一%_%_va）_b

收一。仁—热丁

即乙=2,所以2=且，e=叵,故B正确；

a24a22

对于C,显然％i，左2>。且女产女2，.二（+左2>2dhik?=g，故C错误;

22

对于D,可设双曲线C：^乙=1（左〉0）,

4k3k

在点尸处的切线方程为讶匹-9=1,

4k3k

[6

丁=亏工12k

联立《可得X“二^—不行—，

xoxy（）y34_2,3%

Ak^k~

[6

y=_f-x12k

联立《可得乐=Q°A，

空—%z=]3%+2,3%

Ak^k~

_12k12k_72kx°_72Ax0_

一%+赤—3%-26%+3%+26%―9%2―12%2—36k—%（

二点尸为线段MV的中点，即|PM|=|PN|,故D正确；

故选：ABD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在（2x+l）"的展开式中，各二项式系数的和与含靖t的项系数之比为1:16,则〃的值

为.

【答案】32

【解析】由题可知各二项式系数的和为2"，

由（2x+炉的展开式中的7；=C：（2x）J=C：2"T,

2”12

根据它们的比为1:16可得:->--=—=>H=32

C；2T--16----n16

故答案为：32

13.在“BC中，BC=2屈,。为A8边上的点，且满足45=AC，

BD=CD=3,贝!JcosA=

7

【答案】-

【解析】在△BDC中，BC=2y[6,BD=DC=3,

9+9-241

由余弦定理得出cos/CDB=--------=——=-cosZCDA,

2x3x33

在八40。中，AD=AC,

所以NADC=NACE>,则

cosA=-cos2ZADC=-(2cos2ZADC=2cos2ZCDB-1)=-I2x-1-lU|

7

故答案为：—

14.棱长均为正的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上.若相邻两平行平面的距离

都为d,则d的值为

【答案】也

2

【解析】在正方体中作出正四面体O-A3C,

作其中过C,。，A三个顶点的互相平行的平面，如图:

由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面AESK与平面OMNQ间的距离,

其中M，N,E，S为正方体棱上的中点，

过E作历，。暇于尸，则EF即为两平行平面间的距离,

因为tanZFOE=tan|-ZLOF

tan/LOF

2_275

所以sinNFOE=45=~r

所以EE=OEsinNFOE=^x^=—,

2V252

即相邻平行平面间的距离为变.

2

故答案为：—.

2

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：

特征量第1次第2次第3次第4次第次

X258911

y1210887

（1）根据表中的数据，计算相关系数厂；

（2）求特征量）关于X的线性回归方程，并预测当特征量X为12时特征量y的值.

参考公式：相关系数一=/.I,

'J------------=号----------，a=y-bx.

i=\i=l

参考数据：肩—)2=50，JE(X-y)2=4.V2-1.414.

5

]535145

解：(1)由题意得亍=£三七=彳=7,9=工£%=彳=9,

3i=i33z=i3

55

£(七一元)(%—9)=—5回=2x12+5x10+8x8+9x8+11x7-5x7x9=-28,

Z=1J=1

55

£(图-可2=50,X(x-y)=16,

Z=1Z=1

5

Z&-元)(%-歹)

i=l-28二a-0.99

•.・相关系数厂=

750x165V2

应—)2但5H

Vi=lVi=l

5

,2(%-丁)(％-可_28

(2)由(1)知，b――一；-------------==—0.56,

2a一叶50

；=1

，a=y—g元=9—(—0.56)x7=12.92,

所求的线性回归方程是y=-0.56x+12.92.

当特征量了为12时，可预测特征量y=-0.56x12+12.92=6.2.

16.已知数列｛4｝的前几项和为S"，且满足"S"+i—5+l)S“="5+1),〃eN*，

Q]=1.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

2a+2

(2)若4=(T)",—,求数列也｝的前〃项和

anan+l

解：(1)由〃S〃+]—S+l)S〃=〃5+l),〃£N*，得——」=1,又。]=1,

n+1n

数列是首项为1=6=1,公差d=1的等差数列，

s

...」=〃，即，=后9,

n

当2时，4=S〃—Ei="2_(〃_1)2=2“—1,且4=1也满足，

=2”—1,则数列｛%,｝的通项公式为=2”-1；

(2)由(1)得=2H-1,

4〃11

•M=(T)'--------------------1------

(2〃-1)(272+1)2几一12〃+1

11]

-----------F=-1+(-1)"

2n-l2n+l2,n+1

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，R4J_平面ABCD,BC±CD,AB//DC,

BC=CD=2,A8=4，M，N分别为PB,PC的中点.

P

（1）设两=44,且A,M.N四点共面,求实数X的值;

（2）若平面和平面尸支所成角的余弦值为巫，求三棱锥C-的体积.

5

解：（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）

在平面43。内作人5,43,以A为原点，AB，AS,"所在直线分别为％轴，丁

轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设Q4=2a,-.AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCLCD,

.•.5(4,0,0),C(4,2,0),尸(0,0,2a),£>(2,2,0),而=(2,2,—2a),

又•••M，N分别为PB,PC的中点，，丽7=(2,0,a),AN=(2,1,a),

-,-AH=AP+APb=(0,0,2a)+2(2,2,—2a)=(22,22,2(1-2)a),

AH-AM>前共面，，存在实数x,y,使得由=+y丽

即(22,22,2(1-A)a)=x(2,0,a)+y(2,1,a)=(2x+2y,y,ax+ay),

22-2x+2y

2

24=y，解得力=—；

3

2(1-A)a=ax+ay

方法二：坐标法（利用法向量）

在平面ABC。内作AS，A3,以A为原点，AB，AS,"所在直线分别为％轴，V

轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设B4=2a,-.-AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BC上CD,

.•.8(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),£>(2,2,0),而=(2,2,—2a),

\-AH=AP+APD=(0,0,2a)+2(2,2-Id)=(22,22,2(1—4)a),

又•；M，N分别为PB,PC的中点,

AM=(2,0,a),丽=(2,1,a),

设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),

n-AM-2x+az-0

：•<_.,y=。，令z=2得x=-a,

n-AN=2%+y+az=0

n=(-a,0,2),

又,：&i，AM版共面，

—.2

n-AH=-2aA+4(1—X)a=0,解得A=—；

方法三：几何法：延长NH交CD于s,连接S4,

VM，N分别为PB,PC的中点，AMN//BC,

MN/平面ABCD,BCu平面ABC。，

儿W〃平面ABCD,

又,:AS=平面AMNHP|平面ABCD,

：.MN//SA,BC//SA,又

二四边形ABCS是平行四边形，

AB=CS,:.CD=DS,

过.N作NT〃CD交PD于T,PT=TD，

HTNTNT_1.PH2

---------,••/L------

HDDSCD2PD3

(2)方法一：由(1)得行=(一。,0,2),

又•凯=(2,0,0),DP=(-2,-2,2a),

设平面CDP的法向量为m=(x,y,z),

m-DC=2x=Q

\,解得x=o,令z=i得

m-DP=—2x—2y+2az=0

/.m=(0,(2,1),

设平面AMN和平面CDP所成的角为凡

八\n-m\2JIU

・.•cos£=--------==-----,

r2

\n\\m\y/a~+4yla+l5

整理得/+/—6=0,

,二。>0,.,.a=l>BPPA=2；

方法一：利用向量法求三棱锥C-AMN的高，

•••平面AMN的法向量为为=(—L0,2),AC=(4,2,0),

设点C到平面AMN的距离为d,:.d=|AC'/?I=述,

I利5

QA，平面ABCD,又5Cu平面ABCD,..1%_LBC,

又；BCLCD,BAr>PA=A，BA>Q4u平面ABP，

■••3。，平面45尸，

又〈M，N分别为PB,PC的中点，

MN//BC,MN=-BC=\,

2

MN,平面ABP，又,•,AMu平面APB，二上WLAM,

又・•,JR4，AB,AB=4，PA=2:.AM=BM=-BP=45,

2

则%"N=gAM.“N=¥,

所以、/-1c»一14石石一2

所以LAMN=2S\AMN.d=].Y=J；

方法二：几何法：••・M，N分别为PB,PC的中点，」.BC〃1W,

••,MNu平面AAW,3。,平面4^,，3。〃平面41加，

YSMBC='x2x4=4，出,平面ABC，PA=2,

T,11,C2

•'-^C-AMN

18.己知曲线£：x2=2py（p〉0）,点尸为曲线Cj的焦点，点A为曲线C1上一点，且

（1）求曲线Cl的方程;

⑵设曲线。2：/+/—2y=o,若过点尸的直线4与曲线。1，从左到右依次相交

于点C,M，N,D.

（i）证明：|QW|・|ND|为定值；

（，i）若直线。。，co（。为坐标原点）分别交直线，2：y=x—8于点G,H,求IGH|

的最小值.

解：（1）因尸（0,“），设A&,则FA=(X],在一4)=(后一,),

22p24

3

1化简得：2P2_p_6=0,解得。=2或“=一一（舍）,

“2

，抛物线C］的方程为f=4y.

(2)(i)由/+y2—2y=0得。2：/+(>_1)2=1,圆心(0,1),半径为1,

抛物线C1的焦点与C2的圆心重合，即为F（0,l）,

显然，直线斜率存在，设直线4方程为y=Ax+l,设点。（%,%）、D（W，%），

v=kx+1

联立方程12“，消去y并整理得必―4区—4=0，

/=16（左2+1）>0,由韦达定理得%+%=4左，=-4.

由抛物线的定义可知|CF|=%+1,\DF\=y2+l,%1<0,x2>0.

(

：.\CM\-\ND\=(\CF\-\)-(\DF\-V)=yiy0=^=^=\,

lolo

即|CM|・|ND|为定值1；

(ii)由⑴可知：|%1二j(再+%2)2=4,女2+1.

再2

1_弘_工_玉，则直线CO的方程为y=五♦x,

cco--—~~r4

xx4

y=--x32

由＜-4可得//=;----

Ux-84|f

y---x32

同理直线DO的方程为y=2•%，由＜4可得%=；------

|y=x—8…1

3232须-x3272-V^+l

.-.|G/7|=V1+12-|X-X|=V2=3252

HG一玉

44—x?xxx2-4(^+X2)+16|4^-3|

设4左一3=，，/wO,k=,

4

32万J(丁『+18万户

4.'+3_3”

4

=8A/2•J^+1+l=8A/2-,25(；+福-£

19.已知函数/(x)=e*-x+lna*-久，k=L2,…，n.

n

(1)若4(x)2。，k=l,2,…，〃，求£%的值;

k=l

(2)若以>1(keN*),集合/={x，(x)=O,左=1,2,…,集合A,8为M的子

集，它们各有〃个元素，且4口3=0.设玉eA,y,eB,z=l,2,…，〃，且

n

xt<x2<...<xn,证明：2(%+1)(%+1)<”-

i=l

⑴解：：

当龙<0时，力'(九)=/—1<0，当x>o时/'(x)=e“—1>0，

•••力(X)在(-8,0)上单调递减，在(0