等式与不等式综合（含基本不等式）教师卷

4<04号K与系等K候合（金基洋系等W）

十年考情•探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

考点1不等式2019•全国卷、2018•全国卷、2017•山东卷、1.梳理等式的性质，理解不

的性质2016•浙江卷、2016•北京卷、2016•全国卷、等式的概念，掌握不等式的

（10年5考）2015•浙江卷性质，能够利用不等式的性

2024•全国新I卷、2024•上海卷、2023•全国质比较不等式的大小关系

考点2解不等新I卷、2.理解、掌握基本不等式及

式2020•全国卷、2019•全国卷、2019•天津卷、其推论，会使用应用条件：

（10年10考）2018•全国卷、2017•天津卷、2015•江苏卷、“一正，二定，三相等”，能

2015•广东卷正确处理常数“1”求最值，能

用拼凑等思想合理使用基

本不等式求最值，能熟练掌

2024•北京卷、2021•全国乙卷、2021•全国新握基本不等式的应用，应用

考点3基本不

I卷于函数和解析几何的求解

等式

2020.全国卷、2015•四川卷、2015•陕西卷过程中求最值

（10年4考）

2015•湖南卷、2015•福建卷3.本节内容是新高考卷的

常考内容，一般会结合条件

等式考查拼凑思想来使用

基本不等式求最值，或者和

其他版块关联，难度中等偏

上。

分考小精准练)

考点01不等式的性质

1.(2019•全国•高考真题)若a>b,则

A.ln(t/-Z?)>0B.3a<36

C.a3-b3>0D.|tz|>|Z?|

【答案】C

【分析】本题也可用直接法，因为。>>，所以°-6>0,当。-6=1时，ln(a-6)=0,知A错，因

为尸3,是增函数，所以3。>3〃，故B错；因为募函数y=V是增函数，…所以/>>3,知c

正确；取。=1力=-2,满足a>b,1=网<同=2,知D错.

【详解】取。=28=1,满足。>。，ln(a->)=0,知A错，排除A；因为9=3">3〃=3,知B错，

排除B；取"1]=-2,满足1=时<网=2,知D错，排除D,因为累函数y=苫3是增函数，

a>b,所以〃3>53,故选C.

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、累函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑

推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断.

2.(2018•全国•高考真题)设6=log?0.3,则

A.a+b<ab<GB.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【详解】分析：求出工=陛0.3。2,：=00.32,得到；的范围，进而可得结果.

abab

详解：.•.F=log0.2°3,b=/og2°3

.•.-=log0.302,-=Zog0.32

ab

11…

•一+工=/z叫30,4

ab

八111目口八a+b1

..0<—i—<1,即0<----<1

abab

又a>0,b<0

/.ab<0BPab<a+b<0

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.

3.（2017•山东•高考真题）若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是

A17

bz、-bA1

A.<2+—<—<log2{a+b）B.-<log2（4Z+/7）<«+—

-1i/1、br1/,、1

C.log（（7+/?）<—<a+<b

a+—<2D.log2（tz+/?）^^a

【答案】B

【详解】因为a>8>0,且历=1,所以a>l,0<6<l,.q〈l,k）g2（a+b）〉log22«^=L

设=X-x,（x>1）,则/\x）=2'ln2-l>0,所以f（x）=2~（尤>1）单调递增,

1>a+4+6nJ

所以2曾>log（（7+b）,所以选B.

bb2

【名师点睛】比较易或对数值的大小，若塞的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或

对数函数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点

较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.

4.(2016•浙江,高考真题)已知a,b>0,且awl,bwl.若log06>l,则

A.(a-W-l)<0

B.(a—l)(a—Z?)>0

C.(i)-lXi-a)<0

D.(b-l)(b-a)>0

【答案】D

【详解】试题分析：loga>log“a=l,

当a>l时，b>a>\,.".a-l>0,b-a>0,b-l>0,a-b<0,

/.(a-1)(Z?—1)>0,(a—1)(〃-3(0,(b-1)(Z?-a))0.

当Ovavl时，:.0<b<a<l,.\a-l<0,b-a<0,b-l(0,a-b^0,

.1(a—1)。一D>O,(a-l)(。一3(0,。一DS—a)〉0.观察各选项可矢口选D.

【考点】对数函数的性质.

【易错点睛】在解不等式1。&匕>1时，一定要注意对。分为。>1和。<”1两种情况进行讨论，否

则很容易出现错误.

5.(2016・北京•高考真题)已知且x>y>0,则

11c

A.---->0

xy

B.sinx-siny>0

c.(1r-(|)?<o

D.lnx+lny>0

【答案】C

1111

【详解】试题分析：A：由x>y>0,得一〈一，即土一二《蒯，A不正确；

xy犷解

B：由x>J>0及正弦函数的单调性，可知sinx-sin卜>0不一定成立;

C：由x>>'>0,得故。）'一4）'<0，C正确；

D：由X>N>0,得q>0,但xy的值不一定大于1,故lnx+lny=ln孙>。不一定成立，故选C.

【考点】函数性质

【名师点睛】函数单调性的判断：⑴常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.

⑵两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；

⑶奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上

有相反的单调性.

6.（2016,全国•高考真题）若》>1,0<c<l,则

cccc

A.a<bB.ab<baC.a\ogbc<b\ogacD.log“c<log〃c

【答案】C

【详解】试题分析：用特殊值法，令“=3,b=2,c=g得（>2]选项A错误，3X2；>2X3；，

选项B错误，logs：>log2g,选项D错误，

因为alogQblogaCTgc•（2-3）=恒°（^7T;.1<芹</<废

lgbIgaIgblga

...1g：,Jg1>0...o<°<i...坨°<0。c<blog”c选项C正确，故选C.

Ig^lga

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幕或对数值的大小，若幕的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或

对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

7.（2015•浙江•高考真题）设6是实数，则”a+）>0"是"而>0"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】本题采用特殊值法：当。=3,6=-1时,a+b>0,但就<0,故是不充分条件；当°=-3,6=-1

时，曲>0,但a+6<0,故是不必要条件.所以"a+6>0”是"而>0"的既不充分也不必要条件.故

选D.

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

考点02解不等式

1.（2024•全国新I卷•高考真题）已知集合4=伸-5<丁<5},8={-3,-1,0,2,3},则4口8=（）

A.{-1,。}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2）

【答案】A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|-指<将},3={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈为<2,

从而人9={-1，。}.

故选：A.

2.（2024•上海•高考真题）已知尤eR，则不等式*2一2》-3<0的解集为.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/一2了-3=0的解后可求不等式的解集.

【详解】方程d-2x-3=0的解为》=-1或x=3,

故不等式/-2彳-3<0的解集为{x|-l<x<3},

故答案为：{x|-l<%<3}.

3.(2023,全国新I卷•高考真题)已知集合"={-2,-1,0,1,2},N=„-》-6叫，则McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合”中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N={#2r_620}=(-8,-2]33，+8),而注={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为/={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式£_>620,只有-2使不等式成立，

所以McN={-2}.

故选：C.

4.(2020•全国•高考真题)已知集合4={阑/一3工一4<0},3=1』,3,5},则4门3=()

A.UB.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4之后利用交集中元素的特征求得AcB,得到结

果.

【详解】由f-3尤-4<0解得-l<x<4,

所以A={x[—l<x<4},

又因为8={T,1,3,5},所以标={1,3},

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,

集合的交运算，属于基础题目.

5.(2019•全国•高考真题)设集合A={x|国-5x+6>0},B={x|x-l<0},则AnB=

A.(-00,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【详解】由题意得，&={小{2或尤)3},2={小<1},则Ac3={x|x<l}.故选A.

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目.

6.(2019•天津•高考真题)设xeR,使不等式3/+尸2<0成立的x的取值范围为.

【答案】

【分析】通过因式分解，解不等式.

【详解】+x-2<0,

BP(x+l)(3x-2)<0,

2

即-1<x<—,

故1的取值范围是(T：).

【点睛】解一元二次不等式的步骤：⑴将二次项系数化为正数；⑵解相应的一元二次方程；⑶

根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；⑷写出不等式的解集.容易出现的错误有:

①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合.

7.(2018・全国•高考真题)已知集合人={由2-尤-2>0},则”=

A.{x|-l<x<2}B.(x|-l<x<2}

C.{x|x<-l}u|x|x)2}D.1x|x<-1}u{xI%22}

【答案】B

【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出二7-2>0的解集，从而求得集合A,

之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.

详解：解不等式V-x-2>0得彳<-由>2,

所以A={x[x<-1或x>2},

所以可以求得CRA={X|T〈XW2},故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中,

需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

f-x+3,无W1,

8.（2017•天津•高考真题）已知函数/（尤）=721设。€尺，若关于x的不等式“x）2|[+a|

XH—,X>1.2

在R上恒成立，则。的取值范围是

474739r~39

A.[---,2]B.C.[一26,2]D.[—2^r3,—]

16161616

【答案】A

【详解】不等式小注为-+⑴（*）,

yyQ

当工《1时，（*）式即为一炉+x-3<—+tz<x2-x+3,-x2+--3<a<x2--x+3,

又一小+彳-3=一（％—；）2_2（_¥（%=；时取等号），

24161b4

V—务+骂桀（X=1时取等号），

2416164

4739

所以---<a<—,

〃1616

9Y?3?r9

当x〉l时，（*）式为一％«—\-a<x-\—,—x<a<—I—,

x2x2x2x

又一|■兀一2=-（1%+2"-26（当x=3叵时取等号），

2x2x3

^+->2AEI=2（当％=2时取等号），

2xV2x

所以-2a。42,

47

综上—故选A.

16

【考点】不等式、恒成立问题

【名师点睛】首先满足“%）之>。转化为-/⑴-白江/⑺V去解决，由于涉及分段函数问题

乙乙乙

要遵循分段处理原则，分别对尤的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据X的范围，利用

极端原理，求出对应的。的范围.

9.（2015•江苏,高考真题）不等式2，」<4的解集为.

【答案】（-t2）.

【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的

形式，即底数化为2,根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围.

...2厂-工<4，

<2，

=是一个递增函数；

二/一工<2=-1<%<2

故答案为卜-1<x<2）.

考点：指数函数的单调性和特殊性

10.（2015,广东,高考真题）不等式--_3*+4>0的解集为.（用区间表示）

【答案】（T,l）

【详解】由-/-3犬+4<0得：T<x<l,所以不等式*_3x+4>0的解集为（Tl）,所以答案应

填：（T1）.

考点：一元二次不等式.

考点03基本不等式

1.（2024•北京•高考真题）已知（/%）,（%,%）是函数'=2'的图象上两个不同的点，则（）

A.logB.

2222

C.log?%；%D.log.%>&+%

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设占<々，因为函数y=2,是增函数，所以0<2为<2*,即。<%<%,

对于选项AB：可得至土生>万尹2=手，即21±&>2*>0,

22

X+%2.

根据函数y=log2X是增函数，所以咋2号直>1吗2{'=号，故B正确，A错误；

对于选项D：例如％=。,%2=例则M=l，%=2,

可得logz^^logz^.O，】），即1。々咤&<1=&+々，故D错误；

对于选项C：例如再=-1,%=-2,则%=：,%=；,

可得bg224及=1°82：=陛23-3€（-2,-1）,即log?>-3=再+%2,故C错误，

ZoZ

故选：B.

2.（2021,全国乙卷・高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.=lsinxl+|^|

4

C.y=2"+2D.y=]nx+

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等",

即可得出不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=f+2x+4=（x+l）2+323,当且仅当尸-1时取等号，所以其最小值为3,A

不符合题意；

对于B,因为0＜而小1,y=binx|+高224=4,当且仅当卜inR=2时取等号，等号取不到，

Sill

所以其最小值不为4,B不符合题意；

4L

对于C,因为函数定义域为R,而2工＞0,y=2，+22T=2'+/224=4,当且仅当2-2,即x=l

时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnx+-^-,函数定义域为（O,l）U（l，+00）,而In尤eR且In尤片0,如当In尤=-1,y=-5,

Inx

D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等"的意义，再结合

有关函数的性质即可解出.

3.（2021•全国新I卷,高考真题）已知％B是椭圆C：三+口=1的两个焦点，点加在C上，

94

则闾的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到阿耳|+|〃囚=2。=6,借助基本不等式

即可得到答案.

|MFI|.|MF2|<^M±K^|

【详解】由题，〃=9万=4,则|町|+幽闾=2a=6,

所以阿7讣|班|4网呼阳）=9（当且仅当|吗|=M用=3时，等号成立）.

故选：C.

【点睛】

22

4.（2020•全国•高考真题）设。为坐标原点，直线彳=。与双曲线C：,W=l（a>0,6>0）的两条渐近

线分别交于。I两点，若AO国的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【分析】因为U1-1=l（“>0力>。），可得双曲线的渐近线方程是y=±2x,与直线x=a联立方

aba

程求得O,E两点坐标，即可求得IE0,根据△ODE的面积为8,可得H值，根据2c=242+6，

结合均值不等式，即可求得答案.

22

【详解】•••勺-^=l（a>0,b>0）

二双曲线的渐近线方程是y=土巳》

a

22

,••直线x=。与双曲线C:十分=1（°>0乃>0）的两条渐近线分别交于。，E两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

X-ar_

联立b,解得“u

y=—x[y=b

Ia

故。（。,6）

x=a

x=a

联立b,解得

y=——%y=-b

、a

故

:.\ED\=2b

「.△ODE面积为：SAODE=；a义2b=ab=8

22

・••双曲线C撩_齐=1（〃>08>0）

­,•其焦是巨为2c=2荷+/>2y/2^b=2A/16=8

当且仅当a=6=20取等号

••.C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均

值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和

计算能力，属于中档题.

5.（2015•四川,高考真题）如果函数=（伽-2）尤2+（〃-8"+1（7让0,〃20）在区间；,2上单调

递减，则mn的最大值为

A.16B.18C.25D.—

2

【答案】B

【详解】加/2时，抛物线的对称轴为尤=-丫.据题意，当加>2时，-空122即2〃?+〃412.

m-2m-2

i----2m+H

,/yllm-n<——-—W6,「.加〃«18.由2根=〃且2m+〃=12得根=3,〃=6,当机<2时,抛物线开口向下,

据题意得,-——<—BP"z+2〃W18.:>i2nm<+m<9,/.mn<—.由2"=加且加+2/=18得力=9>2,