等腰三角形与等边三角形篇（解析版）

专题20等腰三角形与等边三角形

考点一：三角形的中位线

知识回顾

1.中位线的定义：

三角形任意两边中点的连线段叫做这个三角形的中位线。

2.中位线的性质：

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

微专题

1.（2022•南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的48两点的距离，同学们在AB外选择

一点C,测得AC,8C两边中点的距离OE为10根（如图），则A,B两点的距离是m.

【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可.

【解答】解：CE=EB,

是△ABC的中位线，

：.AB=2DE,

\'DE=10m,

.\AB=20m,

故答案为：20.

2.（2022•福建）如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点.若8c=12,则的长为

【分析】直接利用三角形中位线定理求解.

【解答】解：VD,E分别是42,AC的中点,

.♦.OE为△ABC的中位线，

.•.£）E=ABC=—X12=6.

22

故答案为：6.

3.（2022•西藏）如图，如果要测量池塘两端A,B的距离，可以在池塘外取一点C,连接AC,BC,点D,

E分别是AC,BC的中点，测得。E的长为25米，则AB的长为米.

【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论.

【解答】解：£分别是AC,BC的中点，

.•.ZJE是△ABC的中位线.

：.AB=2DE=2X25=50（米）.

故答案为：50.

4.（2022•丽水）如图，在△ABC中，D,E,尸分别是8C,AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形

BOEP的周长是（）

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：E,尸分别是BC,AC,48的中点,

：.DE=BF=—AB=3,

2

■:E、尸分别为AC、A3中点，

:.EF=BD=LBC=4,

2

四边形8。所的周长为：2X（3+4）=14,

故选：B.

5.（2022•眉山）在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,点。，E,尸分别为边AB,AC,8C的中点，则^

DEE的周长为（）

A.9B.12C.14D.16

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长=2z\OEP

的周长.

【解答】解：如图，点Q,E,歹分别为各边的中点，

:.DE、EF、。厂是△ABC的中位线，

：.DE^—BC=3,EF=—AB^2,DF^—AC=4,

222

A£）EF的周长=3+2+4=9.

故选：A.

6.（2022•广东）如图，在△ABC中，BC=4,点。，E分别为A8,AC的中点，则。£=（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【分析】由题意可得。£是△ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出的长度.

【解答】解：：点。，E分别为AB,AC的中点，BC=4,

是△ABC的中位线，

：.DE=—BC=-X4=2,

22

故选：D.

7.（2022•沈阳）如图，在Rt^ABC中，/A=30°,点。、E分别是直角边AC、8c的中点，连接。E,

则/CEZ）的度数是（）

A.70°B.60°C.30°D.20°

【分析】根据直角三角形的性质求出/B,根据三角形中位线定理得到根据平行线的性质解答

即可.

【解答】解：在RtZVIBC中，ZA=30°,

则/8=90°-ZA=60°,

VD,E分别是边AC、BC的中点，

是△ABC的中位线，

.'.DE//AB,

AZCE£）=ZB=60°,

故选：B.

8.（2022•常州）如图，在△ABC中，D、E分别是A8、AC的中点.若。E=2,则BC的长是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：:D、E分别是A3、AC的中点，

.•.£）E是△ABC的中位线，

:.BC=2DE,

,:DE=2,

：.BC=4,

故选：B.

考点二：等腰三角形

知识回顾

3.等腰三角形的定义:

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。两腰构成的夹

角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。

4,等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）

③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）

5.等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

/--------------------------------------------------------------------------X

微专题

9.（2022•黑龙江）如图，ZkABC中，AB=AC,平分/BAC与8c相交于点。，点E是AB的中点，点

尸是。C的中点，连接所交于点P.若△ABC的面积是24,尸£>=1.5,则PE的长是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

【分析】如图,过点E作EG_LA。于G,证明得PG=PO=1.5,由三角形中位线定理

可得AD的长,由三角形ABC的面积是24,得3c的长，最后由勾股定理可得结论.

【解答】解：如图，过点E作EGLAQ于G,

A

,：AB=AC,A。平分/SAC,

J.ADLBC,BD=CD,

:.NPDF=NEGP=9Q°,EG//BC,

；点E是42的中点，

；.G是AD的中点，

：.EG^—BD,

2

•••尸是C£)的中点,

：.DF=^CD,

2

:.EG=DF,

'：NEPG=NDPF,

:.△EGP^AFDP(AAS),

：.PG=PD=1.5,

：.AD=2DG=6,

「△ABC的面积是24,

,-.A.BC«A£>=24,

2

.,.BC=484-6=8,

：.DF^—BC^2,

4

：.EG=DF=2,

由勾股定理得：PE=422+i.~^2=2.5.

故选：A.

10.（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示,道路A2〃CD,道路A3与AE的夹角50°.城

市规划部门想新修一条道路CE,要求则/E的度数为（）

【分析】先根据平行线的性质，由AB〃C£＞得到/OFE=NBAE=50°,根据等腰三角形的性质得出/C

=NE,再根据三角形外角性质计算NE的度数.

【解答】解:'JAB//CD,

；.NDFE=NBAE=5Q°,

,:CF=EF,

：.ZC=ZE,

■:NDFE=/C+NE,

：.ZC=—ZZ）FE=AX50°=25°,

22

故选：B.

11.（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB=AC,NA4c=24°,延长BC到点。，使C£）=AC,连接AD,

则/。的度数为（）

A.39°B.40°C.49°D.51°

【分析】利用等边对等角求得/B=NACB=78°,然后利用三角形外角的性质求得答案即可.

【解答】M：'：AB=AC,ZBAC=24a,

.•./B=NACB=78°.

VCD^AC,NACB=78°,NACB=ND+NCAD,

：.ZD=ZCAD=^ZACB^39°.

2

故选：A.

12.（2022•荆州）如图，直线/i〃/2,AB=AC,ZBAC=40°,则N1+N2的度数是（

B

【分析】过点。作CO〃/1,利用平行线的性质可得N1+N2=NACB再由等腰三角形的性质可得NAC5

=ZABC,从而可求解.

VZ1Z//2,

：.h//l2//CDf

：.Z1=ZBCD,Z2=ZACD,

：.Z1+Z2=ZBCD+ZACD=ZACB,

*：AB=AC,

：.ZACB=ZABC,

VZBAC=40°,

AZACB=A（180°-ZBAC）=70°，

2

・・・N1+N2=7O°.

故选：B.

13.（2022•台湾）如图，△ABC中，。点在AB上，E点在3。上，OE为A3的中垂线.若NB=NC,且

ZEA0900,则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）

A.N1=N2,Z1<Z3B.N1=N2,Z1>Z3

C.N1WN2,Z1<Z3D.N1WN2,Z1>Z3

【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可.

【解答】解：•・•为A3的中垂线,

：.ZBDE=ZADEfBE=AE,

:・/B=/BAE,

AZ1=Z2,

9：ZEAC>90°,

/.Z3+ZC<90°，

VZB+Z1=9O°,/B=/C,

AZ1>Z3,

・・・N1=N2,Z1>Z3,

故选：B.

14.（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB=AC=5,。是5C上的点，。匹〃A3交AC于点E,DF//AC3C

A3于点R那么四边形尸的周长是（)

B.10C.15D.20

【分析】由于OE〃AHDF//AC,则可以推出四边形AFOE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质

可以证明团AbOE的周长等于AB+AC.

【解答】解：-DE//AB,DF//AC,

・•・四边形AEDE是平行四边形，ZB=ZEDC,ZFDB=ZC

VAB=AC,

・•・/B=/C,

：.ZB=ZFDBf/C=/EDC,

:,BF=FD,DE=EC,

：.^\AFDE的周长=A3+AC=5+5=10.

故选：B.

15.（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3c机和5c处则这个等腰三角形的周长是（）

A.8cmB.13cmC.8cm或130nD.He加或13cm

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3c初和5cm,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨

论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：当3c机是腰长时，3,3,5能组成三角形，

当5cm是腰长时，5,5,3能够组成三角形.

则三角形的周长为11cm或13cm.故选：D.

16.（2022•天津）如图，△04B的顶点。（0,0）,顶点A,8分别在第一、四象限，且A3,无轴，若

=6,OA=OB=5,则点A的坐标是（）

A.（5,4）B.（3,4）C.（5,3）D.（4,3）

【分析】根据等腰三角形的性质求出AC,根据勾股定理求出OC,根据坐标与图形性质写出点A的坐标.

【解答】解：设与x轴交于点C,

"：OA=OB,OCLAB,AB=6,

.*.AC=LB=3,

2

由勾股定理得：OC=寸U/2={52_）2=4,

.•.点A的坐标为（4,3）,故选：D.

17.（2022•泰安）如图，A〃/2,点A在直线人上，点B在直线/2上，AB=BC,NC=25°,/1=60°.则

Z2的度数是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性质得到NC=/BAC=25°,禾理平行线的性质得到乙阳4=95°,再根据

三角形外角的性质即可求解.

【解答】解:如图，

•・・AB=3C,ZC=25°,

：.ZC=ZBAC=25°,

•・・/i〃/2,Nl=60°,

：.ZBEA=180°-60°-25°=95°,

,?NBEA=NC+N2,

・・・N2=95°-25°=70°.

故选:A.

18.（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】设底角的度数是式,则顶角的度数为（2/20）°,根据三角形内角和是180°列出方程，解

方程即可得出答案.

【解答】解：设底角的度数是,则顶角的度数为（2%+20）°,

根据题意得：x+x+2x+20=180,

解得：x=40,

故选：B.

19.（2022•广安）若（。-3）2+4^5=0,则以°、6为边长的等腰三角形的周长为.

【分析】先求。，b.再求第三边c即可.

【解答】解：：（"3）2+匹后=0,（a-3）220,匹石20,

•'•a-3=0,b-5=0,

••a=3,。=5,

设三角形的第三边为c,

当a=c=3时，三角形的周长=a+A+c=3+5+3=ll,

当。=。=5时，三角形的周长=3+5+5=13,

故答案为：n或13.

20.（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB=AC,AO_L8C于点。，若BC=6,贝!JCZ）=.

【分析】根据等腰三角形的性质可知。是BC的中点，即可求出CD的长.

【解答】解：'：AB=AC,AD±BC,

：.CD=BD,

VBC=6,

：.CD=3,

故答案为：3.

21.（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等

腰AABC是“倍长三角形"，底边8c的长为3,则腰AB的长为.

【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB=2BC或BC=2AB,若4B=2BC=6,可得AB的长

为6；若BC=3=24B,因1.5+1.5=3,故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案.

【解答】解：•••等腰AABC是“倍长三角形”，

：.AB^2BC或BC=2AB,

若AB=2BC=6,则△ABC三边分别是6,6,3,符合题意，

...腰的长为6；

若BC=3=2AB,贝!|AB=L5,△ABC三边分别是1.5,1.5,3,

V1.5+1.5=3,

...此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，腰A3的长是6,

故答案为：6.

22.（2022•云南）已知AABC是等腰三角形.若/A=40°,则△ABC的顶角度数是.

【分析】分/A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答.

【解答】解：当NA是顶角时，△ABC的顶角度数是40。；

当NA是底角时，则AABC的顶角度数为180°-2X40°=100°；

综上，ZVIBC的顶角度数是40°或100°.

故答案为：40°或100°.

23.（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中A8=AC,立柱且顶角/8AC=120°,

则/C的大小为.

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到N3=/C=30°.

【解答】解：且/BAC=120°,

；./8=NC=1（180°-NBAC）=1X60°=30°.

22

故答案为：30°.

考点三：等边三角形

知识回顾

1.等边三角形的概念：

三条边都相等的三角形是等边三角形。

2.等边三角形的性质：

①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”

③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于3/（。为等腰三角形的边长）。

4

3.等腰三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

微专题

24.（2022•鞍山）如图，直线等边三角形ABC的顶点C在直线。上，N2=40°,则N1的度数为

A

A.80°B.70°C.60°D.50°

【分析】先根据等边三角形的性质得到/A=60°,再根据三角形内角和定理计算出/3=80°,然后根

据平行线的性质得到/I的度数.

【解答】解：•••△ABC为等边三角形，

/.ZA=60°,

VZA+Z3+Z2=180°,

.*.Z3=180°-40°-60°=80°,

'：a//b,

.".Zl=Z3=80°.

故选：A.

A

25.（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）

A.是轴对称图形

B.对称轴的交点是其重心

C.是中心对称图形

D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合

【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可.

【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，

故A选项不符合题意；

三条高线的交点为等边三角形的重心，

对称轴的交点是其重心，

故B选项不符合题意；

等