北京市某中学2024-2025学年高二年级下册4月月考数学试题（解析）

2025北京陈经纶中学高二4月月考

数学

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1.（尤+2）”的展开式共有11项，则”等于（）

A.9B.10C.11D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项式定理的知识即可求解.

【详解】因为（x+2）"的展开式共有〃+1项，而（x+2）"的展开式共有11项，所以〃=10.

故选:B.

2.某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座8和C必须相邻，则不同的

安排方法共有（）种

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分析】首先排昆C，共有A；种，视为一个整体与。全排，共有A；种，再排A,共有A；种，即可得

到答案.

【详解】设四场讲座为A,BCD,

首先排共有A；种，视为一个整体与。全排，共有A；种，再排A,共有A；种，

综上共有A；A；A；=8种.

故选：C

3.在（龙-2）5的展开式中，炉的系数为（）

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，求得N的系数.

【详解】在(X-2)5的展开式中，含尤2的项为仁(—2)3.%2=—80尤2,

故■的系数为：-80.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题.

4.函数/1")="+2-X〈。的零点的个数为()

')[eA-2,x>0

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出尤<0和x>0时，/(%)的零点个数即可得出答案.

【详解】当时，令/(x)=d+2x—3=0,

则(x—l)(x+3)=0,解得：x=l(舍去)或x=—3,

当%>0时，令e"—2=0，解得：x=ln2,

所以了(%)的零点个数为2.

故选：C.

5.若直线丁=履为曲线y=lnx的一条切线，则实数上的值是()

,,11

A.eB.e~C.—D.—-

ee

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的几何意义得出实数％的值.

【详解】设直线丁=区与曲线y=山工相切于点(%,111%0)，函数y=lnx的导函数为y=!，

k=-/_1

则玉)，解得k=—.

lnx0=fcr0©

故选：C

6.对于函数/(x)=o?+cosx—1,外力在(0,+8)上单调递增的必要不充分条件是()

B.ae，1

A.ae[0,+co)C.ae—,+ooD.ae(l,+co)

122

【答案】A

【解析】

【分析】对函数〃X)=G：2+COSX—1求导得/'(X)=2G;—sinx,对。进行分类讨论可知aWO不符合题

意；a>0时，/,'(x)=2a-cosx,研究了"(x)的符号可得/'(x)=2ar—sinx的单调性及符号，进而可

求得/(%)在(0,+“)上单调递增的充要条件，即可求解.

【详解】/(x)=ar2+cos%-l,(x)=2ax-sinx.

当aWO时，若xe(0,兀)，贝！|sinx〉0,此时/'(x)=2at-sinx<0,

・・・/(x)在(0,兀)上单调递减，不符合题意；

当a>0时，/f(x)=2a-cosx,

当axg时，/"(%)=2。一85%20在(0,+8)上恒成立，

二./'(%)=2妆一5泣》在(0,+8)上单调递增，且/(0)=0,

=2cuc一sinx>0在(0,+“)上恒成立,

.,./(x)=ar2+cosx-1在(0,+s)上单调递增，符合题意.

当0<a<g时，令/"(*)=2。一85%=0的解为5.

当％«0,尤0)时，f(x)=2a-cosx<0,

二./'(%)=20^-5吊刀在(0,尤0)上单调递减，且/10)=0,

/f(x)=2ax—sinx<0在(0,%)上恒成立，

.•./(%)在(0,%)上单调递减，不符合题意.

综上，f(x)在(0,+“)上单调递增的充要条件为

・••/(%)在(0,+“)上单调递增的一个必要不充分条件是ae[0,+8).

故选：A.

7.某高中举办2023年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”、“好书推荐语展示”和“演讲”三

个项目.某班级有4名同学报名参加,要求每人限报一项,每个项目至少1人参加,则报名的不同方案有()

A.12种B.36种C.48种D.72种

【答案】B

【解析】

【分析】由题得必有两人成一组，则总数为CjA：种.

【详解】由题4名同学分为3组，每组分别有1,1,2人，共有C：=6种，

再排列有CjA：=36种，

故选：B.

,,1

8.己知羽y为正实数，lnx+lny=-—x,贝i]()

y

A.x>yB.C.x+y>lD.x+y<l

【答案】C

【解析】

【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.

,,1,,1,11

[详解]由lnx+lny=——x得：lnx+x=_Iny+—=此一+一,

y.yyy

构造函数/(x)=lnx+x,则/(同=工+1>0,

X

可知/(%)=111%+%在(0,+00)上递增，

,,111,

结合lnx+x=ln_+—,得x=—,即刈=]

yyy

由基本不等式可知：x+y>2yjxy=2,

当且仅当x=y=l时等号成立，所以x+y>L

故选：C.

9.如图，直线，=履+小与曲线y=/(x)相切于两点，则函数g(x)=/(x)-Ax在(0,+8)上的极大值点

【答案】D

【解析】

【分析】作出与直线y=平行函数/(x)的所有的切线，即可观察得到了'(X)与左的大小关系的不

同区间，进而得出g'(x)=/'(x)—左的正负区间，得出g(x)的单调性，进而得到g(x)的极值情况，从

而判定各个选项的正确与否.

【详解】由题,g(x)=/(x)-近，贝=/'(%)-左，

作出与直线y=丘+根平行的函数/(X)的所有切线，如图，

各切线与函数/(尤)的切点的横坐标依次为a,b,c,d,e,

则/(x)在a,仇c,d,e,处的导数都等于3

所以在(0,a),0,c),(d,e)上，f'(x)>k,g'(%)>0,g(x)单调递增，

在-+w)上，f\x)<k,g'(x)<0,g(x)单调递减,

因此函数g(x)=/(x)-丘有三个极大值点，有两个极小值点.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：利用每一个的切线斜率作为该点的导数值，利用图形中任意点的切线斜率与左比较,

就能结合图象得出g'(X)=/'(£)-左的正负取值情况，从而可得极值点的情况.

10.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨

辉三角”，下列叙述正确的是()

杨辉三角

第

0行

1

行

第1

11

行

第2

3121

行

第

41331

行

第514641

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第18285670562881

A砥卜C：+C；++C'=120

B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等

?+!

C.记第〃行的第i个数为%,则Z2'T%=4"

i=\

D.第20行中第8个数与第9个数之比为8:13

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.

【详解】由图知，第〃行的第，个数为生，则q=C/，

对于A,由C；T+C：=C；+1，得c；+c；+c；++C=(c：+c；)+C+c；++c；—I

=©+G)+C；++C：-l=C：o-1=119,故A错误；

对于B,第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为C版,《黑，所以

C昵＞C黑,故B错误;

尸+1

对于C,第〃行的第，个数为小,则£214=2%1+2%+22/++2&+1，

«=1

n+1

il1l2

^'ai=C^2°+Cn2+C；2++C：2〃=(1+2)"=3",故C错误；

i=l

201201

对于D,第20行中，第8个数与第9个数的比为C：o：C；°=---=8:13,故D正确.

-0207!13!8!12!

故选：D.

二、填空题(共5小题，每小题5分，满分25分)

11.已知函数/⑺=e*-ln(2x),/'(X)为/(%)的导函数，则/'(1)的值为一.

【答案】e(l+ln2)

【解析】

【分析】直接根据导数的运算法则求解即可.

【详解】因为/(x)=eFn(2x),

所以/'(x)=e*.ln(2x)+e*'=eXln(2x)+—,

所以/''(l)=e(l+ln2),

故答案为：e(l+ln2).

12.已知(无+2)4=ao+a］X+a2；c2+a3x3+a4x4,则％+出+%+%=.

【答案】65

【解析】

【分析】根据二项展开式，利用赋值法求解.

【详解】令x=0,贝I有为=24=16,

再令X=l,则有许+。］+。2+。3+。4=3，=81,

所以q+a2+/+%=81-16=65,

故答案为:65.

13.己知函数=$3_^办2+b,若"％)在区间［0,1］上单增且最大值为0,写出一组符合要求a,b,

a=,b=.

【答案】①.0(答案不唯一)②.-g(答案不唯一)

【解析】

【分析】f'(x)^x2-ax,求出当/'(x)=0时，x=0或"，根据题意可知aWO,取a=0,而/(1)=0,

即可求出方值.

详解】f'(x)=x2-ax,令/'(x)=0,解得尤=0或a,

若/(x)在区间［0』上单调递增，则aWO,最大值为/(l)=g—ga+)=O,

则。='a-工，不妨取〃=0,则人=一,，

233

故答案为：0；-1.(答案不唯一)

14.根据“援疆支教”工作的要求，某学校决定派出五位骨干教师对新疆三个地区进行教学指导，每个地区

至少派遣一位骨干教师，其中甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为

(用数字作答).

【答案】36

【解析】

【分析】先分类：三个地区派遣的人数可以为2,2,1或3,1,1两类，再逐一讨论两类情况的派遣方案的种数,

相加即可.

【详解】第一类：派遣到三个地区的人数分别为2,2,1,因为甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，所以从

其余3位老师中选2位，有C；种选法，这样就把5名教师分成了3组，再派遣到3个不同地区有A；种方

法.所以派遣人数为2,2,1的方案有C；•A；=3x6=18种；

第二类：派遣到三个地区的人数分别为3,1,1,因为甲、乙两位教师需要派遣至同一地区，所以从其余3位

老师中选1位，与甲、乙一组，有C；种选法，这样就把5名教师分成了3组，再派遣到3个不同地区有

A；种方法.所以派遣人数为3,1,1的方案有A；=3x6=18种.

所以满足条件的派遣方案种数为：18+18=36种.

故答案为：36

15.若存在实数k和机使得函数/(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：

恒成立，则称此直线、=履+加为和g(x)的“分离直线”.当和

8(%)=。111丫之间存在唯一的“分离直线”>=2，嬴一6时,。=；若/(九)=*2和8(%)=:(%<0)之

间存在“分离直线”，切的最小值为.

【答案】①.2e②.-4

【解析】

【分析】由函数〃x)=%2和g(x)=2elnx图象在》=血处有公共点，设“分离直线”的方程为

y-e=k(x-4)，根据题意，转化为X?-日+左加'-e20,x〉0恒成立，利用二次函数的性质，分

左<0次=0和左>0,三种情况分类讨论，求得直线为丁=2五%—e；再由g(x)<2血无一e,令

G(%)=2^x-e-2eln%,%>0,求得G(x)二生业二品，利用导数求得函数的单调性与极小值，

X

得到G(x)2G(C)=0,证得g(x)<2品—e,得到a=2e；设函数“x”一和g(x)=J(x<0)之

、.X1-kx+m>Q

间存在“分禺直线”为>=丘+机，转化为〈?对任意％<0恒成立，结合二次函数的性质，即

kx+mx-l<0

可求解.

【详解】解：因为函数/(%)=炉和g(x)=2elnx的图象在彳=五处有公共点，

若在〃龙)和g(%)的“分离直线”，则该直线过公共点(点e),

设“分离直线''的方程为y-e=k(x一&')，即丁=依一kyfe,+e，

由—女走+。%>0恒成立，即一.+左血—e20,x〉0恒成立，

(1)当上=0时，则％2-e>0在％>0上不恒成立，不符合题意;

i-k

(2)当左<0时，令〃(x)=%2一日+左Je—e,x>0,对称轴为元=5<0,

所以“(X)在(0,加)上单调递增，且"(粕)=0,故不符合题意；

.—k

(3)当左>0时，令〃(%)=%2—丘+左Je—e,x>0,对称轴为x=］〉0,

则M(X)1mli=M§)=-J+左直-e=-里|应20，

当且仅当上=2正时，符合题意，即直线为y=26x-e；

下面证明：g(x)=2elnx<2Vex-e,

令G(x)=2册x—e—2eln%,尤>0,可得G'(x)=2m(x—捉),

令G'(x)=0,解得x=人,

当xe(0,五)时，G(x)<0,函数G(x)单调递减;

当尤e(血,+oo)时，G'(x)>0,函数G(x)单调递增，

所以当％=正时，函数G(x)取得极小值，也时最小值，可得G(x)NG(五)=0,

即g(x)<2y/ex-e,

所以函数/(%)=f和g(x)=2elnx之间存在唯一的“分离直线"y=2而-e,

止匕时〃=2e.

设函数/(x)=—和g(尤)=((尤<0)之间存在“分离直线”为y^kx+m,

1

x>kx+m2

则|1x-kx+m>Q

对任意x<0恒成立，即《对任意％<0恒成立,

—<kx+mkx2+mx-l<0

J

由kx1+mx—1K0恒成立，可得上工。，

①当上=0时，则根=0,符合题意；

②当上〈0时，则f—丘+加20对任意％<0恒成立,

令/1(工)=%2一次+相,％vo,对称轴为元="<o,

只需△二左2+4m<0，即左2K—4相，所以加<0,

再令d(x)=小+府一1,%<0,对称轴为%=----<0,

2k

则需八=m2+4%«0，即〃/<TA;，所以左4K16m2K—64左，解得一4W左<0,

同理可得：m4<\6k1<-64m,解得-4Wm<0,所以加的最小值为T.

故答案为：2e；-4.

三、解答题(共3小题，满分45分)

ny

16已知函数/(元)==-----1,awO.

e+a

(1)当a=1时，

①求曲线y=/(x)在无=0处的切线方程；

②求证：/(X)在(0,+8)上有唯一极大值点；

(2)若/(%)没有零点，求。的取值范围.

【答案】(1)①y=gx—1；②证明见解析

(2){-l}o(0,e2)

【解析】

【分析】(1)①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；

②令g(x)=eA+l-xex,利用导数判断出gO)在(0,+8)上有唯一零点%,利用列表法证明出f(x)在

(0,+co)上有唯一极大值点；

(2)令/z(x)=e*+a—ac对。分类讨论：①a<0,得到当a=—l时，/(%)无零点；@a>0,/(%)

无零点，符合题意.

【小问1详解】

若a=l,则=—1，尸(x)=e；1,.

C十JLyC।ly

①在x=0处，/'(°)=7^^=4，/(0)=-l.

(1+1)2

所以曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为y=gx—1.

②令g(x)=e，+l—%e"g，(x)=-xe”,

在区间(0,+8)上，g'(x)<o,则g(x)在区间(0,+8)上是减函数.

又g(l)=l>0,g(2)=-e2+l<0,,

所以g(x)在(0,+oo)上有唯一零点后.

列表得：

X

(O,xo)%(%0，+8)

/'(x)+0-

/(%)极大值、

所以/(%)在(0,+8)上有唯一极大值点%0.

【小问2详解】

ax-e-a

〃x)=

ex+a

令/1(%)=/+a—dx,则=

①若avO,则〃(x)>0,在R上是增函数.

(1^(-)

因为川一二e"—l+a<0/z(l)=e>0,

⑺I)

所以力(%)恰有一个零点%.

令1。+〃=0，得%=ln(一〃).

代入飘入o)=O,得一Q+Q-”ln(-Q)=O,

解得〃=—1.

所以当〃=-1时，丸(％)的唯一零点为0,此时了(%)无零点，符合题意.

②若〃>0,此时/(%)的定义域为R.

当xvlna时，h\x)<0,力(兄)在区间(—8,lna)上是减函数;

当x>lna时，h\x)>0,〃(%)在区间。口氏+⑹上是增函数.

所以打(%)而n=h(lna)=2a-a\na.

又/?(O)=I+Q>O，

由题意，当2a-Qlna>0,即Ovave?时，/(%)无零点，符合题意.

综上，a的取值范围是{—l}u(0,e2).

【点睛】导数的应用主要有：

(1)利用导函数几何意义求切线方程；

(2)利用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；

(3)利用导数求参数的取值范围.

17.设函数/(x)=alnx+x?-(a+2)x,其中awR.

(1)当a<0时，求函数/(%)的单调区间；

(2)在(1)的条件下，证明曲线/(x)在曲线g(x)=———2x—2的上方；

(3)已知导函数/'(%)在区间(l,e)上存在零点,证明：当xw(l,e)时，/(x)>-e2.

【答案】(1)增区间为(1,+8),减区间为(0,1)

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；

(2)根据条件，将问题转化成求证2*+2>a(x—Inx),构造函数t(x)=x—Inx,利用导数与函数单

调性间的关系，求得x-lnx>0恒成立，结合条件，即可证明结果；

⑶根据导函数在(l,e)上存在零点，则/'(x)=0在(l,e)上有解，则有l<T<e,即2<a<2e,得到

函数了(%)的最小值，构造函数/z(x)=xlnx—\—(l+ln2)x,2<x<2e,利用导数判断出其单调性，

结合不等式传递性可证.

【小问1详解】

函数/(%)的定义域是(0,+8),r(x)=-+2x-(a+2)=(2x-a)(x-l),

又a<0,则2x—a>0,令/'(x)>0,解得：x>l,令/'(%)<0,解得：0<x<l，

所以/(幻在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+。)上单调递增.

【小问2详解】

因为/(x)-g(x)=ainx+x2-(a+2)x—^-x2—2x—2^=^lnx+2x2-or+2,

要证曲线了(%)在曲线g(%)=一/一2九一2的上方，即证Mnx+2%2—依+2>0恒成立，

1Y-]

即证212+2>a(x-lnx),令(x)=x-lnx,贝1]，(犬)=1——=-----,

JCX

当xe(0,l)时，<0,当xe(l,+oo),«x)>0,

所以=x—InX在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+。)上单调递增，

则/(X)型⑴=l—lnl=l>0,所以《x)=x—lnx>0恒成立，又2n+2>0恒成立,a<0,

所以2*+2>a-Inx)恒成立,即曲线/(%)在曲线g(x)=一2x-2的上方.

【小问3详解】

因为r(X)=乌+2x_(a+2)=(2x—幻。一D,

XX

又因为导函数/'(x)在(l,e)上存在零点，所以尸(x)=o在(l,e)上有解，

则有l<@<e,即2<a<2e,

2

又当时，/'(力<0,则/(%)在区间上单调递减，

当■|<x<e时，f(x)>0,则/(x)在区间上单调递增,

所以f(x)>/—=aln—+-———(a+2)=aIn<7--——(1+ln2)a

12)2424,

2

设/z(x)=%ln%———(1+ln2)%,2<x<2e,则//(元)=111%+1—5—(1+1112)=111%—3—1112,

1]]

令m(%)=1口%一5—1112,2Vx<2e,则m'(x)=———<0,

所以〃(力在区间(2,2e)上单调递减,又“(2)=ln2—1—ln2=—1<0,则"(%)<0在区间(2,2e)恒成

立,

所以/z(x)在区间(2,2e)上单调递减,

又/z(2e)=2eln2e—c2—2e(l+ln2)=—e2,所以>—e?,

则根据不等式的传递性可得，当xe(l,e)时，/(%)>-e2.

18.对于一个递增正整数数列｛4｝,如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列.规

定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集合｛1,2,.,八｝的所有交错数列的个数记为

4-例如，当〃=1时，取自集合｛1｝的交错数列只有1一种情况，则4=1；当“=2时，取自集合

｛1,2｝的交错数列有1和1,2两种情况，则4=2.

（1）求4和人4的值；

⑵证明:取自集合｛12…㈤（〃23）的首项不为1