第十八章 平行四边形 选填题压轴突破-2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十八章平行四边形选填题压轴突破

压轴突破1构中位线或作高求边长

1.如图在4ABC中,乙4cB=60°,AC=1„D是边AB的中点,E是边BC上一点若DE平分△ABC的周长,

则DE的长是___________.

2.在△ABC中，AB=AC,ABAC=120°„D为△4BC内一点，以AD为腰作等腰△DAE,使

接分别是DE,BC的中点,MNMN=1,则CD的长为.

3.如图在△ABC中,AD平分NC4B交BC于点E.若NBD4=90。,E是AD的中点,AB=7厕AC的长为（

3

D.-

23

4.如图.在矩形ABCD中，BD=24B,将ABCD绕D点旋转，使得点C的对应点「落在线段BD上，得到

ABCD,在边9C，上取点M，使得（CM=4B,若AB=VX则△MCD的面积是_____________.

BC

D

B'

5.如图,PA=PB=PC=2/BPC=120。,P川|BC..以AB,PB为边作平行四边形ABPD,连接CD,则CD的长

为()

A.242B.2V3C.V3+1O.V6-1

6.如图，在AABC,AADE中，/.BCA=乙DEA=90=A,C,E在一条直线上，且BC=DE,,连接BD,M,N分别为

AB,CE的中点，连接MN.

(1)求证：AD=2MN;

(2)若/.ABC=45°,ZXDE=60°,BD=2,,求MN的长.

压轴突破2平行四边形与分类讨论

L如图，在回力BCD中,AC与BD交于点M,点F在边AD上，AF=6cm,BF=12cm/FBM=乙CBM,,点E

是BC的中点若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动;点Q同时以2cm/s的速度从点C出发,

沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动.当点P运动s时，以P,Q,

E,F为顶点的四边形是平行四边形.

2.在面积为36的回4BCD中,M,F分别为AB,AD的中点,EF为BC边上的高，若2D=6,CE=1,,则EM的

长为.

3在口ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=则口ABCD的面积为

压轴突破3平行四边形中的路径与最值（一）三边关系求最值

L如图,四边形ABCD中，2。回CD于点D,BC=2,AD=8,CD=6,8、是AB的中点，连接DE,则DE的最大

值是（）

A.6B.7C.8D,9

2.如图，四边形ABCD中点E,F分别是边AB,CD的中点，且.4。=6,BC=10,则线段EF的长可能为（）

A.7B.8.5C.9D.10

压轴突破4平行四边形中的路径与最值（二）垂线段最短求最值

1.如图，在团4BCD中，点M,N分别是AC和BC上的动点,AB=3,BC=6/D=60。，，在点M,N运动的过

程中，BM+MN的最小值为.

2.如图是一张面积为10的△4BC纸片，其中BC=5,乙4BC=45°,DE是三角形的中位线，M,N分别是线段

DE,BC上的动点.沿着虚线MN将纸片裁开，并将MN两侧的纸片按箭头所示的方向分别绕点D,E旋转180。在

同一平面内拼图，使得BD与AD重合，CE与AE重合，则拼成的四边形纸片周长的最大值与最小值之差为一

3.如图，回A8CD中，乙4=60。,48=6,AD=2„P为边CD上一点很V3PD+2PB的最小值为

压轴突破5平行四边形中的路径与最值（三）瓜豆原理求路径长

L如图，在AABC中,乙B=90°,AC=600,AB=1„E为BC上一动点，以AE为边在AE右侧作等边△

4前,,连接CF,G为线段CF的中点.若点E从点B出发沿着BC方向运动到点C,则在此过程中，点G运动的路

径长为1

压轴突破6矩形中的计算

1.如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=2,,点E从D向C以每秒1个单位长度的速度运动，以AE为一边在A

E的左上方作正方形AEFG,同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位长度的速度运动，设运动

的时间为t秒，当点F落在直线MN上时,t的值为（）

14

A.1B.4D.—

3

2.如图，在△ABC中，AC=8C,乙4c8=90。,,CD为边AB上的中线,E是线段CA上任意一点,DF,DE,交直线

BC于点F,G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H.若AE=6,CH=10厕AC的长为（）

C.14D.13

3.如图，在△ABC中,NA=60o,BD为AC边上的高,E为BC边的中点点F在AB边上，且NEDF=60。若AF

=2,BF=?则BC的长为（）

c.|g

压轴突破7矩形中的路径与最值

1.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=3V3„P为BC上一点，以AP为边构造等边△APQ（A,P,Q按逆时针方

向排列），连接CQ,DQ①（］（CQ+DQ的最小值为.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4„E为AD的中点,F为线段EC上一动点,P为BF中点连接PD,则

线段PD长的取值范围是.

3.如图，在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E为AB上一点，连接DE,将△ADE沿DE折叠点A落在A处，连接A，

C,若F,G分别为A'C,BC的中点，则FG的最小值为（）

Vs—1

A.2B.立cr.-----D.l

22

4.如图，在△ABC中,NBAC=9(T,AB=6,AC=8,点P为边BC上一动点,PELAB于点E,PF，AC于点F,点M

为EF的中点，则PM的最小值为（）

D.2.4

5.如图，在矩形ABCD中，AD=6,4B=4,,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点，则.的最小值是（

)

X.2V10-2B.6C.2V13-2D.4

6.如图，在矩形ABCD中,AB=7,AD=5,E为对角线BD上的一动点，以E为直角顶点,AE为直角边做等腰RtA

AEF（A,E,F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（）

A.12B.2V37C.18D.2V35

7.如图在菱形ABCD中,/BAD=6（T,AB=8,对角线AC,BD交于点0,E是线段OC上一动点,F是射线AD上一

动点，若/BEF=120。,则在点E运动的过程中，EF长度为整数的个数有（)

A.6个B.5个C.4个D.3个

8.如图，在矩形ABCD中,AB=1,BC=旧，E为AD边上的动点，连接BE,AF，BE于点F,G为BC的中点，连

接FG,以FG为边向右上方作等边△FGH,连接CH,则CH长度的最小值为（）

压轴突破8矩形多结论

1.如图，在矩形ABCD中，2。=&48/员4。的平分线交BC于点E,过点D作AE的垂线，垂足为H,连接BH

并延长，交CD于点F,连接DE交BF于点O.下列结论①4ABE名△AHD;②NAED=/CED;③BH=FH;④CD=FH;

⑤BC-CF=HE.其中结论正确的是___________（填序号）.

2.如图,MB为IRt△AMN^A=90。）的角平分线，BC团AN交MN于点C,CDEUM于点D,BEI2CN于点E,

则下列结论:①BE=CD;②CE=MD;③BC=BN;④若当=/,则CE=NE..其中结论正确的有__________（填序号）.

3如图，将矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合,E,F分别在AB,CD上,下列结论:①4ECF为等腰

三角形;②若AB=2BC,则AE-.BE=5:3;③若△ECF为等边三角形，贝U=相C;④延长GF，则GF必经过点

A.其中正确的结论有（填序号）.

压轴突破9菱形中的计算

1.如图，矩形AEFG的顶点E,F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG,CF若EG=5厕CF的长

为（）

A.4B.5C.V5D.V7

2.如图，在菱形ABCD中,AB=5,AC=6过点D作DELBA,交BA的延长线于点E,则线段DE的长为（

)

.12

A—C.4

5BT

24

5

3.如图,△ABC为等边三角形.菱形ADFE的边AE在线段AC上，且AD〃BC.若AD=4,AC=6,连接BF并取中

点G,则AG的长为（)

A2何B.V21C.3V2D.5

4.如图，四边形ABCD为菱形,E为BC的中点，点F在CD上，若NDAB=6（）o,NDFA=2NEAB,AD=4,则CF的

长为（）

A4

A-5B.2C-|

5如图在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在BC,CD边上，且CE=DF,BF与DE交于点G.若BG=3,DG=5,则

CD的长为.

压轴突破10菱形中的路径与最值

1如图,在菱形ABCD中，AB=2,乙4=120。，,点Q,K分别为线段CD,BD上的动点，则CK+QK的最小值为（

)

A.1B.V3+1C.2D.V3

2.如图.菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=12,BD=16,点P在BC上，且点P不与点B,C重合，过点P

分别作PEXAC于点E,PF回BD于点F,连接EF,则EF的最小值为.

3.如图，在边长为2的菱形ABCD中,AABC=60°>△4BD沿射线BD的方向平移得到△EFG,连接EC,ED,F

C厕EC+FC的最小值为.

压轴突破11菱形多结论

1如图，在口ABCD中，2。=2AB,CE回48于点E,F,G分别是AD.BC的中点，连接CF,EF,FG,下列结论:①CE

J_FG;②四边形ABGF是菱形;③EF=CF;④/EFC=2NCFD.其中结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

压轴突破12正方形的有关计算

1如图.在正方形ABCD的边BC上取一点F,连接AF,线段AF的垂直平分线交对角线BD于点Q,连接

FQ,若正方形ABCD的边长为4,.BF=1,,则FQ的长是_________

2.如图在边长为4的正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点，DF=1,,连接AE,BF,P,Q分别为A

E和BF的中点，则PQ的长为.

3.如图，在正方形ABCD中Q为对角线BD的中点,E为边AB上一点，”团DE于点F,OF=&,AF=1,则

正方形的边长为（）

A.3B.V10C.2+V2D.V2+1

4.如图，在RtA4BC中，^ACB=90。，，以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连

接OC，已知AC=|,OC=2Vx则边BC的长为.

5.如图，分别以△?!回的边AB,AC为边向外作正方形ABEF与正方形ACGD,连接BD,CF,DF,若AB=1,AC

=2,则BC2+OF?的值为.

6.如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线。&为边作第二个正方形OAiA2B2，连接AA2彳导到.

△44遇2；；再以对角线（。4为边作第三个正方形OA2A3B3，连接AIA3彳导到.△4出&；；再以对角线。/为

边作第四个正方形（连接A2A4，得到△々AAV….设△4442心442431424344,…的面积分别为

Si.S2,S3，.…依此下去厕S2o22的值为（）

A22020—1B,22020+-C,220200.22021

22

B,

压轴突破13正方形多结论

1.如图，在正方形ABCD中.对角线AC,BD交于点O,/ADB的平分线交AB于点E,交AC于点G过点E

作EFLBD于点F,/EDM交AC于点M.下列结论：（①2D=（或+1）4E;;②四边形AEFG是菱形;③BE=20G;

④若/EDM=45。,则GF=CM.其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PEMC,PF回CD,垂足分别为E,F,连接AP,EF给出下列四个

结论:①AP=EF;②NPFE=NBAP;③PD=V2EF；@AAPD一定是等腰三角形.其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，正方形ABCD和正方形DEFG中,A,D,E在同一条直线上，AD=2DE,M为BC的中点，延长FG交AB

于点N,连接MN,CN,CF,连接FM分别交CN,CD于点P,Q,下列说法:①△FQG四△MQC;②NBCN=NMFG;③S

ACFQ:S四边形BMPN=3:7;④FQ=2PQ,其中结论正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

B

MC

压轴突破14正方形中的路径与最值

1.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM

于点F,连接CF,若正方形的边长为2,则线段CF的最小值是（）

C.V5-10.V5-2

2.如图，正方形ABCD的边长为6,P为BC边上一动点以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE.M

为斜边AE的中点，当点P从点B运动到点C时，点M运动的路径长为t

3.如图，正方形ABCD的边长为8,M为边BC的中点，线段EF在边AD上滑动，GE=GF=鱼，且乙EGF=

90。,则MG+MF的最小值是.

G

[E\[F

第十八章平行四边形

压轴突破1构中位线或作高求边长

1.&解:延长BC至点M,使CM=CA,连接AM,过点C作CN_LAM于点N,

VDE平分△ABC的周长,，ME=EB,又AD=DB,

1

・•・DE=-AM,VZACB=60°,ZACM=120°,

2

VCM=CA,JZACN=60°,AN=MN,ZCAN=30°,

・•・CN=-AC=-,AN=V3/VC=

222

•••AM=V3,.-.DE=—,

2

2.2解:连接BD,取BD的中点F,连接FM,FN,

"?ZBAC=ZEAD,

ZBAC-ZBAD=ZEAD-ZBAD,

即/BAE=/CAD,在△AEB和△ADC中,AE=AD,/BAE=/CAD,AB=AC,

△AEB^AADC(SAS),BE=CD,

是ED的中点,F是BD的中点，

；.FM>ABED的中位线，•••FM=^BE,FM\\BE,

：./DFM=/EBD,同理得FN=^CD,FN\\CD,

：.FM=FN,NFNB=/DCB,

*.•ZDFN=ZDBC+ZFNB=ZDBC+ZDCB,

ZMFN=ZDFM+ZDFN=ZEBD+ZDBC+乙DCB=180°-120°=60°,

AFMN是等边三角形,；.MN=FN=1,；.CD=2.

3.D解:延长AC,BD交于点F,取BC的中点M,连接DM.易证△ADB0AADF,

；.DF=DB,AF=AB=7.

为BC的中点,；.CF〃DM,CF=2DM.

易证△ACE丝△DME,；.AC=DM,.\CF=2AC,

7

AF=AC+CF=3AC=7,AC=-

3

4.等解:连接CC:过点C作CHLBC,交BC的延长线于点H，:将△BCD绕D点旋转，使得点C的

对应点C落在线段BD上，

•••CD=CD=y/2,^B'C'D=90°,

BD=2AB=2CD=2V2

BD=2CD,BC=CD=V2,

•••乙BCD=90°,BC=CD=CC,

.CD=DC=CC,.-.ACDC，是等边三角形，

•••S&C'DC=曰X(V2)2=今乙CCD=60。，

•••C'M=AB=y[2,乙MC'D=90°,

*t•SD=3XV2XV2=1,

•••乙CC'H=90°-60°=30°,.-.CH=-CC=—

22

•••AMCD的面积=S1DCC+SIMDC-SIMCC=y+l-|xV2x^=^l.

5.A解:过点D作DEJ_BC于点E,交AP于点G,过点P作PF±BC于点F,

ZPBC=ZPCB=ZAPB=30°,

DE=DG+GE=1+1=2,PG=2-V3

CE=CF+EF=VI+2-百=2,

.\DE=CE,.\ACDE为等腰直角三角形，

CD=V2D£=2V2.

6.解:⑴延长AE至点G.使NG=AN,连接BG,

,/AM=MB,AN=NG,MN=扣G,MN〃BG,

VN为CE的中点,.•.CN=NE,；.AE=GC,

,/ZAED=ZGCB=90°,DE=BC,

ADAE^ABGC(SAS),

.\AD=BG,.'.AD=2MN;

(2)设BC=DE=x，在RtAACB中,/ABC=45。，

/.AC=BC=x,VBC=DE,BC//DE,

；•四边形BCED为矩形，

；.CE=BD=2,；.AE=x+2,

在RtAADE中,/ADE=60。，

/.ZDAE=30°,AD=2DE=2x,

由勾股定理，得AE=7AD?-DE2=V3x,

贝UV3x=x+2,解得x=V3+1,

•••AD=2x=2^3+2,：.MN=|X£>=V3+1

压轴突破2平行四边形与分类讨论

1.3或5解:易证AD〃BC,AD=BC,；.ZADB=ZCBD,

ZFBM=ZCBM,.\ZFBD=ZFDB,

FB=FD=12cm,VAF=6cm,.\AD=18cm,

VE是BC的中点，CE=1BC=^AD=9cm,

要使以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可,设当点P运动ts时以P,Q,E,F为顶

点的四边形是平行四边形，根据题意，得6-t=9-2t或6-t=2t-9,解得t=3或t=5.

2.5或V34解:：EF-AD=36,，6EF=36,；.EF=6.

⑴当点E在BC上时，如图1,延长EM,DA交于点N厕AEBM也ANAM,

・•・MN=EM,AN=BE=6-1=5,

ANF=NA+AF=5+3=8,

・•.NE=VEF2+NF2=10,・•.EM=-NE=5;

2

⑵当点E在BC的延长线上时，如图2,由△EBM0△NAM,；.MN=EM,AN=BE=6+1=7,

.,.NF=NA+AF=7+3=10,

NE=VFF2+NF2=2V34,

EM=^NE=闻;故EM=5或V34.

3.20或4解:分两种情况：

①如图1所示:：在口ABCD中,BC边上的高AE为4,AB=5,AC=2V5

EC=ylAC2-AE2=2,BE=<AB2-AE2=3,

；.BC=2+3=5,

aABCD的面积=BCAE=5X4=20;

图2

②如图2所示，同①得:EC=2,BE=3,BC=3-2=1,.\°ABCD的面积=BCAE=lx4=4,

综上所述，口ABCD的面积为20或4.故答案为20或4.

压轴突破3平行四边形中的路径与

最值（一）三边关系求最值

1.A解:连接AC.取AC的中点为M,连接DM,EM,

•.*AD±CD,JZADC=90°.VAD=8,CD=6,

AC=yjAD2+CD2—V82+62=10,

：M是AC的中点,.DM=|XC=5,

是AC的中点,E是AB的中点，

•'EM是AABC的中位线，

BC=2,.-.EM=抑。=1,•；DE<slantDM+EM（当且仅当点M在线段DE上时,等号成立）,DEg6,DE

的最大值为6.故选A.

2.A解:连接BD.取BD的中点H,连接HF,HE「.•点E,H分别是边AB,BD的中点，

AEH是仆ABD的中位线,.;EH=^AD=3,同理可得FH=1BC=5,，EFWFH+EH=8,故选A.

压轴突破4平行四边形中的路径与最值（二）垂线段最短求最值

1.3遍解：延长BA到点E,使EA=AB过点E作EHJ_BC于点H,连接EM,EC在nABCD中,/D=60。,

ZABC=ZD=60°,

AABC中,AB=3,EA

=AB=3,.-.BE=BC=6,；.AEBC是等边三角形,

EC=BC=6.•?EA=AB,CA±AB,

/.EM=BM,BM+MN=EM+MN>EH.

ABM+MN的最小值即为EH的长,RtAEBH中,/BHE=90o,/ABC=6(F,BE=6,

.­.乙BEH=30°,BH=池=3,EH=3翼.

ABM+MN的最小值为3V3

2.V97-4解:由旋转的性质可知,BC=NN",M，M”=2DE,：AD=DB,AE=EC,；.DE〃BC,BC=2DE,

=N'N",

:.四边形MM"N“N是平行四边形，

，四边形MMNN的周长=2MN+10,如图，连接BE过点A作AHLBC于点H,取HC的中点J,连接EJ,则EJ\\

11

AH,E]=^AH,乙EJB=乙AHB=90°,VSAABC=i-BCAH=10,BC=5,AAH=4,

ZABC=45°,JAH=BH=4,

二•CH二CB-BH=5-4=1,・'.JH=JC=-

2

1Q

...E]=^AH=2,BJ=BH+JH=条

■■■BE=y/Ep+Bp=J22+(J=亨

当MNXBC时，MN的值最小，此时拼成的四边形纸片周长的值最小，最小值为14,当MN与线段BE重

合时，MN的值最大，此时拼成的四边形纸片周长的值最大，最大值为回+10,..•拼成的四边形纸片周长的最大

值与最小值的差为V97+10-14=797-4.

3.6V3解:过点P作PHLAD,交AD的延长线于点H,：四边形ABCD是平行四边形,

AB〃CD,；.ZA=ZCDH=60°,

VHP±AD,.\ZDPH=30°,

DH=|DP,HP=WDH=

•••WPD+2PB=2(^-DP+PB)=2(HP+PB),

.,・当点H,P,B三点共线时,HP+PB有最小值，

即V3PD+2PB有最小值，此时BH±AH,ZA=60°,

.­-4ABp=30°,•••AH=^AB=3,BH=曲AH=3百贝|Jy/3PD+2PB最小值为6V3

压轴突破5平行四边形中的路径与最值(三)瓜豆原理求路径长

压轴突破6矩形中的计算

1.C解:过点F作FHLCD,交直线CD于点H厕/EHF=90。,：四边形ABCD为矩形,二/ADE=90。,，NA

DE=/EHF,在正方形AEFG4q,ZAEF=90°,AE=EF,ZAED+ZHEF=90°,

,/ZHEF+ZEFH=90°,.\ZAED=ZEFH,

AADE^AEHF(AAS),；.EH=AD=2,

：AB=CD=8根据题意狷t-2+2t=8,

2.C解:连接DG,：DF_LDE,；.NEDF=90o,；NACB=90o,G是EF的中点,

1

・•.CG=DG=-EF.

2

VAC=BC,ZACB=90°,fiCD为边AB上的中线，

ACD±AB,CD=AD,

ZCDG+ZHDG=90°,ZDCH+ZDHC=90°,

VCG=DG,ANHCD=NCDG,・・・NCHD=NHDG,

・•.GH=GD,GH=CG=-CH.

2

ICH=10,JCG=5,JEF=10,

VAC=BC,ZACB=90°,

・•・ZA=45°,ZACD=45°,ZDCF=45°,

，ZA=ZDCF,VZEDF=ZADC=90°,

ZADE=ZCDF,△ADE△CDF(ASA),

/.CF=AE=6,^AECF中，根据勾股定理彳导CE=8,

AC=AE+CE=6+8=14,故选C.

3.D解:过点D作DM,AB,垂足为M,取AB的中点H,连接EH,DH,

•••AF=2,BF=—AB=AF+BF=

33

VBD±AC,AZADB=ZCDB=90°,

ZA=60°,AZABD=90°-ZA=30°,

-1o

・•・AD=-AB=-

23f

,•,点H是AB的中点，AH=BH=\AB=

/.AD=AH,.,.AADH是等边三角形，

AD=DH,ZADH=ZAHD=60。，

AM=MH=-AH=DM=43AM=-yfi,

23，3

42

•・.AF=2,：.MF=AF-AM=2--=-

，33，f

DF=yjDM2+MF2=|V13,

••.点H是AB的中点点E是BC的中点，

.,.EH是4ABC的中位线，

；.EH〃AC,，ZDHE=ZADH=60°.

,/ZEDF=ZADH=60°,

/.ZADH-ZFDH=ZEDF-ZFDH,

ZADF=ZHDE,Z.△ADF^AHDE(ASA),

DE=DF|V13,

•••Z.CDB=90°,BC=2DE=(VH,故选D.

压轴突破7矩形中的路径与最值

1.3V3解连接AC,取AC的中点O,连接BOQQ在矩形ABCD中,/ABC=9(F,AD=BC=38,AB=3,

AC=7AB2+BC?=79+27=6,

:点。是AC的中点,NABC=90。，

AO=BO=CO=3,AB=AO=BO=3,

.♦.△ABO是等边三角形,.../BAO=60。，

VAAPQ是等边三角形，

AP=AQ,ZPAQ=ZBAO=60°,

/BAP=NQAC,

,/AB=AO,AP=AQ,△ABP0AAOQ(SAS),

/ABP=/AOQ=90。，

AOQ是AC的垂直平分线，

AQ=CQ,CQ+DQ=AQ+QD,

当A,Q,D三点共线时,CQ+DQ的最小值为AD的长，

/.CQ+DQ的最小值为3V3

2.2应<PD<710解:取BE的中点M,BC的中点N,连接MN,则MN必过点P,

-1______

MNI2〃5c民.•.点p在线段MN上运动.当点F与点C重合时，点P与点N重合，此时DP的最小值为

DN=2V2;；同理DP最大值为DM=2V2<PD<V10.

3.D解:连接AB,则FG=(48,连接8口,在4A'BD中，482slantBD-4。=5-3=2,；.FG的最小值为

1.

4.D解:连接AP,：四边形AEPF为矩彩则AP必过点M,AP=EF=2PM,当AP_LBC时,AP最小为詈=4.8,

•••PM的最小值为2.4.

5.A解：DE=y/AD2+AE2=V62+22=2V10,•••EB'=EB=EA=2,B'D>slantDE-EB'=2V10-2.

6.B解:当点E与点D重合时，点Fi在CD的延长线上，DF1=5,当点E与点B重合时，点F2在BC

的延长线上，CF2=2,.•.当点E从点D运动到点B时点F从Fi运动到点.F?，；♦3=V122+22=2历.

7.B解:过点E作EMJ_AB于点M,EN_LAD于点N厕EM=NE,可证△EMBgZkENF,

；.EF=EB;当点E在线段OC上运动时,EB的最小值为OB=4,EB的最大值为BC=8,

.••4WEFW8,故EF长度为整数是4,5,6,7,8,共5个.

8.A解:取AB的中点M,AD的中点N,连接MF,NH,MG,NG,可求MG=NG=1,ZMGN=60°,

/.ZMGF=ZNGH,XFG=HG,AMFG^ANHG,

NH=MF=/连接(CN,则CN=Jp+

CH>slantCN-NH=《i/CH的最小值为弯二.

压轴突破8矩形多结论

1.①②③解:：四边形ABCD是次巨形,；.NBAD=/ABC=/C=NADC=90o,AB=DC,AD〃BC,；./ADE=NCE

D,

VZBAD的平分线交BC于点E,

ZBAE=ZDAH=45°,

AE=正AB,AD=

'：AD=V2AB,AD=AE,AB=AH=DH=DC,

ZADE=ZAED,.,.ZAED=ZCED,

/.②正确:可证△ABEgZkAHD(AAS),故①正确：

BE=DH,VAB=AH,：ZAHB=|(180o-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB=67.5°,

ZDHO=90。-67.5°=22.5°,

•••乙EBH=90°-67.5°=22.5°,•••乙EBH=乙OHD,

：.可证△BEH^AHDF(ASA),.\BH=HF故③正确：

,/ZAHB=67.5°,ZBAE=45°,AZBAE^ZAHB,

.•小8用11,；(历11R故@错误过点H作HK，BC于点K,可知KC=^BC,HK=KE,由上知HE=EC,：.\BC

=KE+EC,又KE=HK=^FC,HE=EC,故TBC=HK+HE,；.BC=2HK+2HE=FC+2HE,故⑤不正确；故答案为①②

③.

2.①②④解：：/AMB=/EMB,BA_LAM,BE_LMN,；.BE=AB=CD,①正确；

可证△MDCg/^CEB,，CE=MD,②正确：

设AB=BE=a，贝!j.AD=BC=V2cz,CE=a=BE,

故4BCN为等腰直角三角形,，CE=NE,④正确；

③不一定正确，故选①②④.

3.①②④解:由折叠知,AE=EC,NAEF=/CEF=/CFE,；.CF=CE,①正确；

设AB=2a,则BC=a，设AE=CE=x,

•••x2=a2+(2a—x)2,x=|a,

即AE=-a,BE=?a,AE:BE=5:3,②正确；

44一

当^ECF为等边三角形时,/CEB=60。,设BE=t,

贝！］CE=AE=2t,BC=V3t,

；.AB=3t,故AB=百BC,,③错误；

连接AF,可证四边形AECF为平行四边形，

；.AF〃CEJiFG〃CF,

•••GF必过点A,④正确.故答案为①②④.

压轴突破9菱形中的计算

1.B解:连接AF,：四边形ABCD是菱彩，NABF=/CBF,AB=BC,

又BF=BF,△ABFgACBF(SAS),AF=CF,

四边形AEFG为矩形,EG=AF,EG=CF,

,.•EG=5,.\CF=5,S^B.

2.D解:设AC交BD于点O,则OA_LOB,；.OB=y/AB2-OA2=4,.-.BD=20B=8,.•.5_^^-AC-BD

麦形ABCD2

24

=AB-DE,DE=y.

3.B解:连接AF,DE交于点O,

AABC为等边三角形.NC=4CAB=60°,

VAD/7BC,?.ZBCA=ZDAE=60°,

四边形AEFD是菱形，

AO=OF,EO=DO,AF_LDE,ZDAF=30°=ZEAF,

DO=1AD=2,AO=2V3,AFAB=90",

/.AF=2AO=4V3

BF=VXF2+AB2=V48+36=2V21,

,/ZFAB=90°,G是BF的中点，

AG=^BF=E故选B.

4.D解:延长AE交DC的延长线于点G,

可证△ABE^AGCE,

/.CG=AB=4,ZG=ZEAB,

又/DFA=2NEAB=NG+NFAG,；.ZG=ZFAG,

；.FG=FA,设CF=x，贝[|DF=4-x,AF=x+4,过点A作AHLCD交其延长线于点H,

；.DH=2,AH=2V3

在RtAAHF中，(久+4)2=(2hy+(6-x)2,x=，，即CF=

5.7M：VCE=DF,ZECD=ZFDB=60°,CD=DB,

ACED^ADFB,.\ZBFD=ZDEC,

/DGF=60。,过点D作DHLBF于点H,

GH-DG=-,DH=-A/3,

222，

•••BD=y/DH2+BH2=7=CD.

压轴突破10菱形中的路径与最值

1.D解作CQ'XAD于点Q：交BD于点K：当K与K重合时,CK+QK最小，其值为百g

2.4.8解:连接OP,：四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,/

1i'c

/.AC^\BD,BO=-BD=8t0C=-AC=6f

22第i题图

•••BC=Vos2+0C2=V82+62=10,

PE±AC,PF±BD,AC±BD,

四边形OEPF是矩形,/.FE=OP,

。.•当OPLBC时,OP有最小值，此时SAOBC=[OB•OC=1BC-OP,

OP=黑=4.8,.,.EF的最小值为4.8.

3.2V3解：：EF〃DC,.•.四边形FCDE为平行四边形,FC=ED,FC+EC=EC+DE,D,C为定点,E为动点，作点D

22

关于AE的对称点.D',EC+ED'>slantCD',D'C=y/D'H+CH=V9T3=2次,(FC+EC)min=25

压轴突破11菱形多结论

D解:：AF〃BG,AF=BG,

四边形AFGB为平行四边形,；.FG〃AB,

VCEXAB,CEXFG,①正确;：AD=2AB,.\AF=AB,

.,•四边形AFGB为菱形，②正确;•：FG±CE,FG平分CE,

；.EF=CF,③正确;；ZEFC=2ZCFG,

四边形CDFG为菱形,ZCFG=ZCFD,

；.NEFC=2NCFD,④正确，故选D.

压轴突破12正方形的有关计算

1号解:连接AQ,CQ,过点Q作QEMF于点E,

VBD为正方形ABCD的对角线，

ZADQ=ZCDQ=45°,AD=CD,

DQ=DQ,；.△ADQ注△CDQ(SAS),AQ=CQ,

点Q在AF的垂直平分线上,；.AQ=FQ,FQ=CQ,

：QE，CF,正方形ABCD的边长为4,BF=1,

1

・•.FE=CE=-CF=1.5,

2

BE=2.5=QE,QF=yjEQ2+EF2=苧

2.V52解:连接BP并延长交AD于点G,连接GF,

：AD〃BC,；.ZDAE=ZAEB,

VP为AE的中点,，AP=PE,

AAPG^AEPB(ASA),BP=PG,AG=BE,

为BF的中点，,PQ=为产，

VE是BC的中点.AG=BE=^BC=2,：.DG=2,

GF=y/GD12+DF2=V5,.-.PQ="F=隹.

3.B解:连接AC交ED于点M,则AC过点O,过点O作ONLOF交FD于点N,

四边形ABCD是正方形,，AC±BD,OD=OA,

AC±BD,OF±ON,；.ZFON=ZAOD=90°,

ZAOF=ZDON=90°-ZAON,

VAFXDE,.*.ZAFM=90°,Z.ZFAO+ZAMF=90°,

ZAOD=90°,.\ZNDO+ZDMO=90°,

ZAMF=ZDMO,.\ZFAO=ZNDO,

△AFOADNO,DN=AF=1,ON=OF=鱼，在RtAFON中，由勾月殳定理彳导FN=VOF2+ON2=2,.\DF=F

N+DN=2+1=3,在RtAAFD中,由勾股定理得AD=y/AF2+DF2=同,即正方形ABCD的边长是何,选B.

4.1解过点。作OF_LBC于点F,过点A作AM_LOF于点M,：NACB=90。,；.NAMO=NOFB=NACB=NCF

M=ZAMF=90°,.\四边形ACFM是矩形，

；.AM=CF,AC=MF=］易证△AOM^AOBF,

AM=OF,OM=FB,