北师大版八年级数学 第4章《因式分解》单元提升卷

第4章因式分解单元提升卷

【北师大版】

考试时间：60分钟；满分：100分

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

一.选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

(24-25八年级•湖南益阳・期末)

1.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.(a+l)(a-l)=a2-1B.a2-ab+a=-Z))

C.+2a+3="(a+2)+3D.+2a-3=(a+3)(a-1)

(24-25八年级•广西玉林•期末)

2.如果。-6=4,仍=2,那么2/6一4a2/+2加的值为()

A.16B.64C.32D.8

(24-25八年级•浙江宁波・期末)

3.下列各数中，不能整除803—80的是()

A.78B.79C.80D.81

(24-25八年级•四川宜宾•期末)

4.甲、乙两个同学分解因式/+蛆+"时，甲把加看错分解结果为(x+3)(x-4),乙把"看

错分解结果为(x+l)(x+3),那么多项式一+蛆+"分解的正确结果是()

A.(x+2)(x-6)B.(x+6)(x-2)C.(x+4)(x-3)D.(x-l)(x+5)

(24-25八年级•江西新余•期末)

5.小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式

a+b,a-b,a1-b1,c+d,c-d,c?-/依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，

现将多项式(/-/卜2-(/-/”2进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是()

试卷第1页，共6页

A.我爱美学B.我爱学C.我爱新余D.美学

（24-25八年级•福建福州•期中）

6.若△ABC三边a,b,c满足a?-/-4c+bc=O,判断ZUBC的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

（24-25八年级•浙江杭州•期中）

7.如图，有一张边长为6的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为。的正方形.然后将四

周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差，则M

可因式分解为（）

H----b-----H

A.(6-6a)(6-2a)B.(b-3a)(b-2a)C.(b-5a)(b-a)D.(Z)-2t?)2

（2024•安徽亳州•二模）

8.若(b-c>2=4(1-b)(c-1),贝Ub+c的值是()

A.-1B.0C.1D.2

（24-25八年级•福建厦门•期末）

9.下列四个多项式，可能是2x2+mx—3（m是整数）的因式的是

A.x—2B.2x+3C.x+4D.2x2—1

（24-25八年级•四川宜宾•期末）

10.对于二次三项式/+◎+/,6为常数），以下结论：

①当6=4,且/+亦+6=(x+加,则加=±2；

②当f+ax+b=（x-2）（x+〃）时，则2a+6=-4；

③当％2+办+6的值恒为正数时，则/<46；

④当6=12,且/+ax+6=（x+0）（x+q）,其中p、q为整数，则a的值有6种可能.

其中正确的是（）

A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

试卷第2页，共6页

(24-25八年级•全国•期中)

11.若关于x的二次三项式/-3x+%的因式是(x-2)和卜-1),则左的值是—.

(24-25八年级•天津红桥•课后作业)

12.多项式-公与多项式/-4x+4的公因式是.

(24-25八年级•全国•期末)

13.(1)因式分解：m2n+2mn2+n3=；(2)因式分解：xy2-4x=

(24-25八年级•江苏宿迁•期末)

14.如图，边长为2机+3的正方形纸片剪出一个边长为加+2的正方形之后，剩余部分可剪

拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为加+1,则另一边长为.

(24-25八年级•山东德州•期末)

15.设。、6是有理数，定义一种新运算：a*b=(a-bY,下面有四个推断：

@a2*b=b*a2;=a*(-b)；③(a*6'=t?*/；t^)a*(b-c)=a*b-a*c.

其中正确推断的序号是.

(24-25八年级•天津河西・期末)

16.已知。=2023次+2024〃+2022,b=2023m+2024«+2024,c=2023m+2024w+2025,

那么a2+b2+c2-ab-be-ca的值为.

三.解答题(共7小题，满分52分)

(24-25八年级•山东滨州•期末)

17.因式分解：

(1)X2-25

(2)3a2-6ab+3b2

(3)(3a+26)2-(2a+36『

(2025八年级•全国•专题练习)

18.简便计算：

(1)21x3.14+62x3.14+1.7x31.4；

试卷第3页，共6页

2O253-2O252-2O24

,20253+20252-2026•

(24-25八年级•安徽合肥・单元测试)

19.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：l+x+x(x+l)+x(x+l)2=

(1+x)[l+x+x(x+1)]=(1+x)2(l+x)=(1+x)3.

(1)上述分解因式的方法是;

(2)分解因式1+x+X(X+1)+X(X+I)2H---Fx(x+l)-025的结果是;

(3)利用(2)中结论计算：5+52+53+---+5202S.

(24-25八年级•福建厦门•期中)

“一thcb+cc

20.已矢口:3m+n=--,mn=—.

aa

⑴求证：(l+c)2>12ac；

AC

(2)若加，”为整数，且a-c=g,ac<0,求:的值.

2b

(24-25八年级•广东江门•期中)

21.阅读材料，解决问题

【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式/+2仍+/及/一/叫做完全平方式，，，

如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,

使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.例

如:分解因式x?+2x-3.

JM^；=X2+2X-3=X2+2X+1-1-3=(X+1)2-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1).

【材料2】因式分解：(x+7)2+2(x+j)+l

解：把x+V看成一个整体，令x+y=N,则

原式=/+2/+1=+,再将/=x+y重新代入，得：原式=(x+y+l)-

上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题：

⑴根据材料1,利用配方法进行因式分解：/一6X+8;

⑵根据材料2,利用“整体思想”进行因式分解：-4(工-月+4；

(3)当a,b,c分别为△NBC的三边时,且满足/+从+,2一%-66-4c+17=0时，判断MBC

的形状并说明理由.

试卷第4页，共6页

（24-25八年级•山西吕梁・期末）

22.有足够多的长方形和正方形卡片（如图1）,分别记为1号，2号，3号卡片.

W|-T|„|3~|

nm

m

图1图3

（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影

部分的面积（用含加，”的式子表示）.

方法1：____________________________________________________

方法2：____________________________________________________

(2)若|。+6-6|+-4|=0,求(a-村的值.

（3）如图3,选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙

不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：m2+3mn+2n2=.

（24-25八年级•江西上饶•阶段练习）

23.你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的

几种方法并练习！

（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式：

xy2-x3y=_；

（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加

等于一次项系数.其实就是运用乘法公式（x+a）（x+6）=x2+（a+6）x+ab的逆运算来进行因

式分解：

①分解因式X2+5X+6=_；

②解方程：x2-6x+12=x.

（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反

的项.

（X）+2x~+2x+1=_；

②--2x-l=_；

除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等.

［综合应用］分解因式：a2+2ab+b2-3a-3b-4=：_.

试卷第5页，共6页

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为

几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案.

【详解】解：A、(。+1)(。-=不是因式分解，不符合题意；

B、-6+1)选项因式分解错误，不符合题意；

C、/+2。+3=。(。+2)+3不是因式分解，不符合题意；

D、/+2a-3=(a+3)("l)是因式分解且分解正确，符合题意；

故选：D.

2.B

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为29(“-6)2,据此代值计

算即可.

【详解】解：,；a-b=4,ab-2,

2a3b-4a2b2+2ab3

=2ab(a1-2ab+6?)

=2ab(a-bj

=2x2x42

=64,

故选B.

3.A

【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案.

【详解】解：803-80

=80X(802-1)

=80X(80+1)X(80-1)

=80X81X79,

故不能整除803-80的是78,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是

答案第1页，共15页

解题关键.

4.B

【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解

题关键.先计算(x+3)(x-4),(x+lg+3),根据甲的结果可求出力的值，根据乙的结果可

求出机的值，再利用十字相乘法分解因式即可得.

【详解】解：(x+3)(x-4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12,

(X+1)(X+3)=X2+3X+X+3=X2+4X+3,

•・•甲把加看错分解结果为(％+3)(x-4),乙把〃看错分解结果为(％+1)(、+3),

・••n=-12,m=4,

x2+mx+n=x2+4x—12=(x+6)(x—2),

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法，先把多项式因式分解,

再根据密码信息确定即可.

【详解】解：(/一〃)9一(/一〃)/，

=("-/)(<?-屋),

=(a+6)(a-6)(c+d)(c-1),

a+b,a-6,c+d,c-d分别对应汉字我、爱、新、余，

呈现的密码信息可能是我爱新余，

故选：C.

6.C

【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由己知等式可

得(a-6)S+6-c)=0,根据三角形的三边关系可得a-6=0,据此即可判断求解，正确对

等式左边进行因式分解是解题的关键.

【详解】解：a2—b2-ac+bc=Q

(a+&)(«-Z>)c=0,

答案第2页，共15页

.•.(Q-b)(a+b-c)=O,

va,b,。为△45。三边，

：.a+b>c,

-'-a+b-c>0,

：.a-b=O,

••ci—b,

・・・△/HC为等腰三角形，

故选：C.

7.A

【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可.

【详解】解：底面积为(b-2a)2,

侧面积为(b-2a)・4=4a・(b-2a),

:.M=Qb-2Q2_公・(b-2Q,

提取公式(b-2a),

M—Qb-2a),(b-2a-4a),

=(b-6Q)(b-2Q)

故选：A.

【点睛】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键.

8.D

【分析】先将等式的右边展开并移项到左边，然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可

得到b+c的值.

【详解】解：・・・(b-c)2=4(1-b)(c-1),

•'•b2-2bc+c2=4c-4-4bc+4b,

:.^b2+lbc+c2)-4(b+c)+4=0,

:.(b+c)2-4(b+c)+4=0,

・•・(b+c-2)2=0,

•••b+c=2,

故选：D.

【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.

答案第3页，共15页

9.B

【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.

【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是・3,利用十字相乘法将2x2+mx-3分解.

2x2+mx-3(m是整数)的因式的是2x+3；

故选：B.

【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.

10.A

【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多

项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键.根据完全平方公式、因式分解以及

多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可.

【详确军】解：①当b=4,x2++4=(x+m)2=x2+2mx+m2,

则加2=4,

则加=±2,

故①正确，符合题意；

②当f+办+6=(%一2)(%+〃)，

则/+办+6=/,

fn-2=a

'[b=-2n

2Q+6=2〃-4+(-2〃)=-4,

故②正确，符合题意；

222

2,2QQ7a\4b-a

@X+CLX+/?=X+CLXH---------------------b=x+-।+-4~

44

L>o

则当+办+6的值恒为正数时，46-/>0即可,

a2<4b,

故③正确，符合题意；

答案第4页，共15页

④当6=12,且工2+办+6=(%+夕)(x+q),

则/+办+12=(x+7)(x+q)=/+(夕++,

:.a=p+q,0g=12,

,叩、夕为整数,

：.p、q的值可为1,12或-1,-12或2,6或-2,-6或3,4或-3,-4

.•.。二2+9=13或一13或8或一8或7或一7,

故④正确，

・•・正确的有①②③④，

故选：A.

11.2

【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出左的值即可.

【详解】解：由题意得：X2-3X+^=(X-2)(X-1)=X2-3X+2,

.,.左=2.

故答案为：2.

【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟

练掌握因式分解的意义是解本题的关键.

12.x-2.

【分析】分别将多项式axJ4a与多项式xJ4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式.

【详解】•■,ax2-4a=a(x2-4)=a(x+2)(x-2),

x2-4x+4=(x-2)2,

二多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4的公因式是x-2.

【点睛】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公

共因式.

13.〃(加+〃)-##"(〃+〃。〜x(y+2)(y-2)

【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键.

(1)先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；

(2)先提公因式，再用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：(1)m'n+lmn2+n3

答案第5页，共15页

=n（加2+2mn+n2j

=〃（机+；

故答案为:“加十几『；

（2）xy2-4x

=x（/_4）

=x（y+2）（y-2）.

故答案为:x（y+2）（y-2）.

14.3m+5

【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式.由于

边长为2加+3的正方形纸片剪出一个边长为机+2的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长

方形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而长方形一边长

为机+1,利用长方形的面积公式即可求出另一边长.

【详解】解：依题意得剩余部分为：

（2m+3）--（加+2）~=4机2+12m+9-m2-4m-4=3m2+8m+5,

•••拼成的长方形一边长为加+1,

;另一边长为：（3/+8加+5）+（加+1）

（机+1）（3加+5）=3m2+8m+5

（3〃/+8加+5）+（加+1）=3m+5

二若拼成的长方形一边长为％+1,则另一边长为：3/77+5,

故答案为：3/71+5.

15.①②##②①

【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可.

【详解】解：/*6=（/-6）2,6*Q2一叫2=（〃2一6）2,

q2*6=6*q2；故①正确；

（一〃）*6=（-Q-6『=（“+6）2,〃*（-6）=（〃+6）2；

答案第6页，共15页

・•.(—”)*6=a*(—6);故②正确；

=(a-b)2=^a2-b2^=(«+/j)2(tz-6)2,

.•.(4*6)2。〃*/,故③错误；

a*(6-c)=(a-b+c)2,Q*6-a*c=一(。一。)？=(Q-b+a-c)(a-b-a+c)=(2a-6-c)(-6+c)

.•.a*(b-c)wa*b-Q*c；故④错误；

故答案为：①②.

16.7

【分析】本题主要考查了因式分解的应用.设仍―根-仅，根据因式分解，

先求2x的值，再求工.

【详解】解：va=2023m+2024M+2022,b=2023加+2024〃+2024,

c=2023m+2024几+2025,

:.a—b=2023m+2024〃+2022-2023m-2024〃-2024=-2,

b-c=2023m+2024〃+2024-2023m-2024〃-2025=—1,

a-c=2023m+2024〃+2022-2023m-2024〃-2025=-3,

^x=a2+b2+c2-ab-bc-ca，

则2x=2a2+2b2+2c2-lab—2bc—lea

-(Q+(b-c)2+(Q一0)2

=(-2)2+(-l)2+(-3)2=4+1+9=14,

x-7•

t?2+Z?2+c2—ab—be—cu的值为7.

故答案为：7.

17.(l)(x+5)(x-5)

⑵3("4

(3)5(a+6)(a-6)

【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用因式分解的方法是解答本题的关键.

答案第7页，共15页

(1)运用平方差公式进行因式分解即可；

(2)先提取公因式3,再运用完全平方公式进行因式分解即可;

(3)原式运用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】(1)解：X2-25

=X2-52

=(x+5)(x-5)；

(2)解:3a2-6ab+3b2

=3(a2-2ab+b2)

=3(q_b)~；

(3)解：(3a+26)2-(2a+36)2

=(3a+2b+2a+3b)(3a+26-2a-36)

=(5a+5b)(a-b)

=5(o+/>)(«-/>)

18.(1)314

【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，

(1)先提出公因式数3.14,然后在进行计算即可；

(2)先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可;

利用提公因式法进行因式分解是解题的关键.

【详解】(1)解：21x3.14+62x3.14+1.7x31.4

=3.14x(21+62+17)

=3.14x100

=314：

⑵20253-20252-2024

20253+20252-2026

20252X(2025-1)-2024

-20252x(2025+1)-2026

答案第8页，共15页

2024X(20252-1)

一2026x(20252-1)

1012

"1013,

19.(1)提公因式法

⑵(1+x)

《2026c

4

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一

般的数学思想.

(1)根据其式子特点直接分析求解，即可解题；

(2)按照(1)中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；

(3)由(2)中得到的规律，变形求解，即可解题.

【详解】(1)解：上述分解因式的方法是提公因式法，

故答案为：提公因式法；

(2)角军：•,1+x+x(^x+1)++1)^

=(1+x)[l+X+x(x+1)]

=(l+x)2(l+x)

=(l+x)3,

1+X++1)+X(X+1)2+x(^X+1)3

=(l+x)[l+x+x(x+1)+x(x+1)2]

=(1+x)-[1+X++1)]

=(l+x)3(l+x)

=(l+x)4,

同理可得：

1+X+X(X+1)+X(X+1)2+…+x(x+I)2025=(1+X)2026,

故答案为：(1+工产6；

答案第9页，共15页

(3)解：原式二；x4x(5+52+53+…+52025)

1

=­x4X5+4X52+4X53+---+4X52025

4

1

=­x

4

2026

1X1)-1

=4(+44

_52026-5

―4-•

20.（1）证明见解析

⑵T

【分析】⑴根据已知得6+c=a（3加+"）,c=amn,a力0,再代入（6+c『-12ac,整理

得力（3加-"）2,根据平方的非负性质即可得证;

（2）根据已知推出6=。（3加+“）-c=a（3"z+”机〃），由ac<0得q加〃=〃.〃机<。，继而

A/、/、Im+1=1|m+l=-1

得到明"异号，根据一万推出（叱1）（〃+3）=5,继而得到〃+3=或〃+3=-5或

加+

77+31=15或|"m++13=一-51求解后得到符合题意的〃八”的值，再代入£=一计算即

b3m+n—mn

可.

【详解】(1)证明：加+〃,mn=—,

Qa

：.b+c=a(3m+n),c=amn,〃w0,

.•.(b+c)2-I2ac

=[a(3m+-12a-amn

2

=a2(9加2,|_6mn+n-12mnj

=a1(9m2—6mn+/)

="2(3加一〃『，

a2>0，(3加-〃『>o,

a2(3m-前>0,

答案第10页，共15页

.•.(b+c『-I2ac>0

.•.(b+c『>\2ac；

/c、左力cb+CC

(2)解：v3m+n=------,mn=—,

aa

：.b+c=a(3m+n),c=amn,QWO,

：.b=a^3m+n^-c=a(3m+n^-amn=a^3m+n-mn^,

ac<09

a•amn=a1•mn<0，

/>o,

••・mn<0,

:・m，〃异号，

b

•：a—c=—.

2

a(3m+n-mn)

••・a-amn---------------，

2

••・2-2mn=3m+n-mn,即mn+3/2=0,

.•.(加+1)(〃+3)=5,

・；m,”为整数，

fm+1=1fm+1=-1[加+1=5fm+1=-5

'♦〃+3=5或〃+3=-5或〃+3=1或〃+3=-1

m=0Im=-2\m=4

(不符号加、〃异号，舍去)或。(不符号〃?、"异号，舍去)或。或

[n=2[n=-8[〃=-2

m=-6

(不符号〃?、〃异号，舍去)，

〃=—4

c_amn_mn_4x(-2)_4

ba(3m+n—mn)3m+n-mn3x4+(-2)-4x(—2)9'

c4

的值为一%.

b9

【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解的应用，平方的非负性质，二元一次方程组的

应用，求代数式的值.利用因式分解和方程的思想解决问题是解题的关键.

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21.⑴(x-2)(x-4)；

⑵(x7-2；

(3)A/3C是等腰三角形，理由见解析.

【分析】(1)凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；

(2)利用完全平方进行因式分解；

(3)先因式分解，判断字母。、6、c三边的关系，再判定三角形的形状.

【详解】(1)解:X2-6x+8

=x2-6x+9-9+8

=-3)2-1

=(x-3+l)(x-3-l)

=(x-2)(x-4)；

(2)解：设/=x-y,

(x-^)2-4(x-y)+4

=A2-4A+4

ENT

­■(x-y)2-4(x-j^)+4=(x-j-2)2；

(3)解:是等腰三角形.理由如下：

a2+Z?2+c2—4。—6b—4c+17=0,

-4t7+4+Z?2-66+9+c2-4c+4=0,

.­.(a-2)2+(Zj-3)2+(c-2)2=0,

a—2=0,6-3=0,c—2=0,

得，a=2,6=3,c—2.

a=b,

・•・△/BC是等腰三角形.

【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌

握完全平方公式是解本题的关键.

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22.,(加+〃『一4加几

(2)20

(3)(加+2〃)(加+〃)

【分析】(1)从“整体”和“部分