北师大版七年级数学下册 第4章《 三角形》综合测试卷（含解析）

第4章《三角形》综合测试卷

-.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少

需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要

小木棍的根数是（）

A.12B.10C.9D.6

2.如图，已知P是SBC内任一点，AB=12,BC=10,AC=6,WlPA+PB+PC的值一定

A.14B.15C.16D.28

3.已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△4BC的边长可能是（）

A.10B.12C.14D.16

4.如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨ZB=2C,D,£分别是,2C的中

点、，DM,EM是连接弹簧〃和伞骨的支架，且DM=EM,在弹簧例向上滑动的过程中,若

加4。=30°,则=()

A.60°B.50°C.40°D.30°

5.如图，已知长方形ABC。的边长ZB=10cm,BC=8cm,点E在边ZB上，AE=4cm,如果

点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C以2cm/s

的速度向点。运动.则能够使^BPE与ACQP全等的时间为（）

A.IsB.2sC.3sD.4s

6.如图，△ABC的面积为18cm2,4。平分NBZC,CD14。于点。，连接BD，则的面积

为（）

A.7cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2

7.如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点4,6,。，。，£,尸，G都在格点上,

图中不与AaBC全等的三角形是（）

A.△AGEB.△GADC.△EFGD.△DFG

8.如图，在A/IGC中，4。是n片的外角平分线，尸是力。上异于力的任意一点，设PB=m,

尸/氏c,/Oh,则（行"）与（ZHC）的大小关系是（）

A.m+n>b^cB.m+n<队cC.m+n=b^cD.无法确定

9.如图，在RtAZBC中，zBAC=90°,CD是△ABC的角平分线，AE1CD于点E,连接BE,

ZB=6,AC=8,BC=10,则4ABE的面积是（）

A.-B.2C.-D.-

555

10.在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线，点F在巴4的延长线上,FH1BE交BD于点G,

交BC于点H，下列结论:①NDBE=NEFH,，②2NBEF=^BAF+NC；@2^£FH=NBAC-N；

④NBGH=z4BF+NT；其中正确的是（）

B

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.已知一个等腰三角形其中一边长为4,另一边长为8,则它的周长为.

12.在AaBC中=35°/1。是8。边上的高=75°8。,CO分别平分4BC和4CB,

则/BOC=°.

13.如图，/ABC=60。，ZB=2,动点尸从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC

运动，设点尸的运动时间为f秒（t〉0）,当AABP为锐角三角形时，/的取值范围是.

14.如图ABACP1f分别为AC/IB上的点BD与CE交于点。连接。4要三△2CE,

还须添加一个条件,如添加2。=4E,可运用SAS，证得△ABD=^ACE.请写出添加的其它

一个条件，仍能证得△ABD=AACE：.（说明：原图不再添加点和线，要求写出所

有可能）

15.如图，在△ZBC中MB>",初是中线，若血4c=2.BAD,CF14。于点F、则既

值是

16.将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如

图2所示的△2BC和△ZED，其中NBZC==90。，点B,C,E依次在同一条直线上，连

接CD.若BC=8,CE=4,则4DCE的面积是.

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）如图，线段ZB=CD,与CD相交于点。，且4=60：CE是由平移所得，试确

定2C+BD与的大小关系，并说明理由.

B

DE

18.(6分)如图，把△2BC沿EF折叠,使点A落在点。处，

(1)若。后||AC,试判断21与22的数量关系，并说明理由；

(2)若NB+/=130°,求21+/2的度数.

19.(8分)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点。在边48上(不与点4,6重合)，连接CD

交BE于点O.

(1)若CD是中线，BC=5,4C=3,则△BCD与△2CD的周长差为

(2)若CD1AB,^ABC=60°,求/BOC的度数.

20（8分）如图在△ABC中,AB=AC，点。，E分别是BC上两点，连接2。/E,S.AD=AE.求

证：BD=CE.

针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：

小明：“可以通过证明三AaCE得至IJ.”

小华：“可以通过证明AZBE三△47。得至！］.”

小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明.”

请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明.

21.(10分)如图1,AB^CD,要求用尺规在CD上取一点“，使得44平分NBZC,下面是两位

同学的做法.

小明：如图2,以点4为圆心，适当长度为半径画弧交AC,于点E,F,再分别以E,F为圆

心，大于的长度为半径画弧交于点G,连接并延长4G交CD于点”.

小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图3,以C为圆心为半径画弧，与CD的

交点就是点”.

(1)请证明小明的做法是正确的；

(2)小红的做法正确吗，请说明理由.

22.(10分)如图1，在△ABC中，。为BC上一点，且=60：4CB和44。的平分线CF、

4E交于点M,CF与交于点G.

图1图2

(1)求Z1MC的度数；

(2)连接BM,交2。于点”，若NBME=60°,如图2.求证：△AHM=△BCM.

23.(12分)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△2BC中,是BC边上

的中线，若=8,AD=5,求边AC的取值范围.小琪同学在组内经过合作交流,得到了如

下的解决方法：延长4。至点E,使DE=AD,连接BE,请根据小琪的方法思考：

(1)由已知和作图能得到AEDB三AADC，依据是^.

A.SSSB.SASC.AAS

(2)由“三角形的三边关系”可求得边AC的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.

【感悟方法】

(3)如图2,4。是△ABC的中线，BE交4C于点£,交4。于点F,AC=BF.试说明\AE=EF.

24.(12分)某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端4,6的距离，甲、乙、丙三位

同学分别设计出如图所示的三种方案.

甲：如图①，先在平地取一个可直接到达/,6的点C,再连接ZC,并分别延长2C至。，

BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为4,B的距离.

乙：如图②，先过点6作的垂线BF，再在BF上取两点，使，接着过点。作BD的

垂线DE,交2C的延长线于点£,则测出DE的长即为4,6的距离.

丙：如图③，过点8作BD1AB,再由点。观测，在的延长线上取一点C,使,这

时只要测出BC的长即为4,6的距离.

(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分.

乙：；丙：

(2)请你选择其中一种方案进行说明理由.

参考答案

一.选择题

1.D

【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图

形对比，选出最少需要小木棍的根数.

【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍，

图2有共用部分，可以减少小木棍根数，

仿照图2得到图3,要7根小木棍，

△AZVAZ

图1⑹艮）图2（5根）图3（7根）

同法搭建的图4,要9根小木棍，

如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形,要9根小木棍,

如按图6摆成三棱锥（西面体）就可以得到4个等边三角形，

..搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根.

AAZ；心

图4（9根）图5（9根）图6⑹艮）

故选：D

2.A

【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式,相加后根据不等式的性质即可得

到正确的结论.

【详解】解：如图所示，在AABP中，AP+BP>AB,

同理：BP+PC>BC,AP+PC>AC,

以上三式左右两边分别相加得到：

2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,

即PA+PB+PC>j(AB+BC+AC),

/.PA+PB+PC>|x(12+10+6)=14,

艮PA+PB+PC>14

故选A.

3.B

【分析】此题考查了三角形面积的求解方法.解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条

高的比是3：4：5,求得三条边的比，设三边为ZB,BC,AC三条对应的高为的，a2,，根

据42BC的面积的求解方法即可求得SMBC=|ZBai=^BCa2=^ACa3,由△ABC的三条高的

比是3：4：5，易得4B:BC:4C=20:15:12，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可

求得答案.

【详解】解：设三边为ZB,BC,AC三条对应的高为的，a2,，

可得：SAABC-5aBxa[=]BCxa.2—x,

已知的:a2：=3：4:5,

可得=20:15:12,

•••三边均为整数.

又•••4个答案分别是10,12,14,16.

・•.△4BC的边长可能是12.

故选：B.

4.A

【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到4。=2E，又MD=ME,AM=AM,

因此△ZDM三△ZEM(SSS),得到/WAD=^MAE,即可得出结论.

【详解】证明：:D,£分别是ZB,AC的中点，

11

：.AD=-AB,AE=-AC,

22

：AB—AC,

：.AD—AE,

：MDME,AMAM,

/.△ADM=△ZEM(SSS),

：.^MAD=^MAE=30：,

；.NDAE=2^MAD=60°.

故选：A.

5.A

【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三

角形的性质.设能够使^BPE与△CQP全等的时间为ts,则BP=2久cm,CP=BC—BP=

(8-2%)cm,CQ=2xcm，分两种情况分别讨论即可得解：①△BPE=△CQP；@ABPE=△CPQ.

【详解】解：vAB=10cm,AE=4cm,

・・.BE=AB-AE=6cm,

设能够使^BPE与ACQP全等的时间为ts,

则BP=2xcm,CP—BC—BP=(8—2%)cm,CQ-2xcm,

分两种情况考虑：

©△BPE=△CQP时，

CP=BE,

即8-2%=6,

解得久—1,

此时BP=CQ=2cm,

1s时能够使^BPE与△CQP全等；

BPE=△CPQ,

CQ=BE,

即2%=6,

解得尤=3,

此时BP—6cm,CP—8—2x—2,

即BPjCP,与4BPE=△CPQ矛盾(舍去)；

综上，能够使△BPE与△CQP全等的时间为1s.

故选：A.

6.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

延长CD交于点E，证明△ZDE三△ZDC(ASA),得出DE=DC,S^ADE=S^ADC,即可推出结

果.

【详解】解：如图，延长CD交于点E,

A

・••CD1AD,

：.^ADE=^ADC=90°,

又；40平分,

^EAD-^CAD,

又•••ADAD,

ADE=△ZDC(ASA),

,1•DE=DC,S^ADE=^LADC，

S&BDE­S^BCD，

S^ADE+S^BDE—S“DC+S^BDC，

SMDE+S^BDE—^AABD-]S&ABC=9cm2.

故选：C.

7.C

【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有:

SAS,AAS,ASA,SSS,HL,熟练掌握知识点是解题的关键.

根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可.

【详解】解：如图：

由网格可知△CM2三△EM4(SAS),

=N2,

由网格可知△CBM,△ENG均是等腰直角三角形，

二.N3=N4=45°,

'.'AB=AG=3,

：.^ABC三△AGE(ASA),故A可以证明全等,不符合题意；

如图：

同理可得NG=A：AB,AB=AG,^DAG=^CBA,

DAG=△CBZ(ASA),故B可以证明全等，不符合题意；

如图：

同理可得NB=NF,AB=DF,^CAB=^GDF,

CAB=△GDF(ASA),故D可以证明全等，不符合题意；

如图：

由上可得"GF=/FGT+/EGT=90°,而△ABC是钝角三角形，

故△4BC与△FEG不可能全等,故C符合题意，

故选：C.

8.A

【详解】延长用I至£点，使得AE=AC,连结ED、EP,

平分

:.zEAD=zCAD,

:AC=AE,AP=AP,

：4AP*APE〈SAS),

:.PC=PE=n,

在中，PB+PE>AB+AE=AB+AC,即m+n>b^c,

故选：A.

9.C

【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质.延长2E

交BC于点F，作AM1BC与点、M，利用角平分线的定义可证△4EC=△FEC(ASA)，可推出2E=

EF,FC=AC=8，再根据三角形面积可求得力M，从而得到S-BF，最后利用三角形中线的性

质可知S-BE=^SAABF，即可求得答案■

【详解】解：延长4E交BC于点F,作AM1BC与点M,如图所示，

BFMC-：AECD,CD是△ABC的角平分线，

^AEC=NFEC=90°,^ACE=NFCE,

在和△?£1(7中，

^AEC=NFEC

EC=EC

^ACE=NFCE

AEC=△FEC(ASA),

AE=EF,FC=AC,

•••NBAC=90°,ZB=6,AC=8,BC=10,

・•.BF=BC-FC=BC-AC=10-8=2,

11

-S^BC^-AB-AC^-BC-AM,

..ABAC6X824

・・.A4M=---------=—=—

BC105

1

-1xc2x—24=—24

S^ABF~2BF，力”=255

vAE=EF,

故选：c.

10.A

【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高线的定义，三角形外角的性

质.掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键.由同角的余角相等得出

zDBE=NEFH,故①正确；根据角平分线的定义得出“BC=zEBA=,再根据三角

形外角的性质得出NBZF=^ABC+N/EBC=NBEF-N，从而即可求出2/BEF=^BAF+

NC,故②正确；由三角形内角和定理可得出Z1BC=180-^BAC,结合角平分线的定

义可得出，BC=90。—+/B2C),又可知NCBD=90°-NC,结合“BD=NBD-

NEBC和NDBE=NEFH,即可求出=NBAC-N,故③正确；由题意易求得/FEB=

NABE+4,根据同角的余角相等得出NFGD=/FEB,由对顶角相等得出—GO=NBGH,从

而可求出NBG”=NABE+4,故④错误.

【详解】解:刀。是高线,

:zDBE+NDEB=90°.

：FH1BE,

:.NEFH+NDEB=90°,

:./DBE=NEFH，故①正确；

是角平分线,

1

.'EBC=NEBA=久ABC.

2

■:NBAF=^ABC+NC,

:.^BAF=2/EBC+NC,

:.^BAF=2NEBC+NC

；NBEF=NEBC+NC,即/BC=NBEF-NC,

：.^BAF=2(NBEF-㈤+4,即NB”=2/BEF-N,

：2/BEF=^BAF+”,故②正确；

：^ABC=180°-^C-^BAC,

:.NEBC=jNABC=j(180-NBAC)=90D-|(^C+NB2C).

：BD1AC,

:.NCBD=90°—4，

:.NEBD=NBD-NEBC=(904)-[90-NB4C)]=j^BAC-4).

；NDBE=NEFH,

：2/EFH=zBAC-NC,故③正确；

:/FEB=NEBC+NC,^ABE=NEBC,

,/FEB=^ABE+NC.

:BD1FC,FH1BE,

"NFGD=NFEB.

,.NFGD=NBGH,

:.NBGH=NFEB,

:zBGH=NABE+NC,故④错误.

综上可知正确的是①②③.

故选A.

二.填空题

11.20

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明

确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键.

【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8,

4、8、8可以构成三角形，

故周长为20;

②当4为腰时，

其它两边为4和8,

•••4+4=8,

•••不能构成三角形，故舍去，

故答案为：20.

12.110或125

【分析】分两种情形：当高4。在△2BC内部时，由+的度数，再由角平分线的性质

得出NOBC+^CB的度数,由三角形内角和定理即可得出结论,当高在△ABC外部时，同法

可得可求.

【详解】解：当高4。在AaBC内部时，如图所示：

■:4BC和Z1CB的平分线交于0点，

A)BC+^OCB=1+^4CB)=；1x110。=55。,

NBOC=1800-JOBC+0CB)=180。-55°=125°；

当高在△ABC外部时，如图所示：

DCB...^ABC=35°,^ACB=180^ACD=18075105°,

nABC+^ACB=35°+105°=140°,

•・•/4BC和z4CB的平分线交于0点，

A)BC+NOCB=jSBC+^ACB)=|x140°=70°,

NBOC=1800-JOBC+N)CB)=180。-70°=110°；

故答案为:110或125.

13.1<t<4

【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当4PB=90时，

当NBZP=90用寸，根据三角形内角和定理并结合直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：当Z1PB=90时，如图：

：^ABC=60°,

:.NBAP=180^APB-^ABP=30

1

：.BP=-AB=1；

2

当-BZP=90用寸，如图：

A

：^ABC=60°,

:zBPA=180nBAP-zABP=30°,

：.BP=2AB=4；

•.动点尸从点6出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点尸的运动时间为/秒

(t>0),ZkABP为锐角三角形时，

/.I<t<4,

故答案为：1<t<4.

14.NABD=^ACE,^AEC=/ADB,OB=OC,BE=CD,^BAO=^CAO,NBEC=NDB,

NOBC=^OCB

【分析】本题考查全等三角形的性质和判断,掌握判断定理是解题关键；要△ZB。=AACE,

已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，NABD=z4CE或Z1EC=

zADB、^BAO=NCAO，依据是ASA或AAS,也可以是间接条件，得出2。=AE,如BE=DC,

能间接证出△4BD和△4CE再有一组角相等或一组边相等即可

【详解】解：添加NIB。=^ACE，依据是ASA,

添加4EC=^ADB，依据是AAS,

添加NBZ。=^CAO,可先得出△ZB。=△T4CO(SAS),从而得出ZIBD=^ACE,然后依据ASA

可证△ABD=△ACE；

添加NBEC=NJDB可得/AEC=NADB,则依据AAS证明△ABD=△ACE；

添力口NOBC=RCB可得=^ACE,则依据ASA可证△ZB。三XACE；

添加OB=OC，先证△ZB。三△ZCO(SSS)，从而得出24BD=^ACE，进而得出△ABD三AACE,

依据是ASA,

添加BE=CD,可得出4。=AE,进而△ABD=△ACE，依据SAS,

故答案为2ABD=^ACE,^AEC=MB,0B=OCBE=CD/BAO=^CAO/BEC=NCDB,

NOBC=NOCB.

15.-

2

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关

键试点B作BH14。于〃延长ZM至£使ZE=AC连接CE利用AAS证明△BHD=△CFD,

△EFC=^AHB,根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可.

【详解】解：过点6作14。于〃，延长D4至E,使ZE=AC,连接CE,

•・•NDAC=NE+^ACE,NDAC=2/BAD,

・•・^BAD=NE,

••・a。是中线，

BD=CD,

在^BHD^\ACFD中，

"=NFD=90°

|/BDH=NCDF'

IBD=CD

BHD=△CF£)(AAS),

BH=CF,DH=FD,

在和中，

fNE=^BAD

|NEFC=NH=9。°'

ICF=BH

EFC=△2”B(AAS),

EFAH,

：.AE=FH=DH+FD=2FD,

AC=2FD,

DF1

・•,就=/

故答案为.

2

16.24

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS证明

AACD=AABE,由全等三角形的性质得出NIC。=NB,CD=BE,则可得出答案.

【详解】解：•・•△ABC、△ZDE是等腰直角三角形，

:./B=^ACB=45°,AB=AC,AD=AE,^BAC=^EAD=90°,

・••/BAC=^EAD=90°,

zBAC+^CAE=^EAD+^CAE,即NBZE=^CAD,

在AZBE和△ac。中，

(AB=AC

<zBAE=^CAD,

IAD=AE

ACD=△ABE(SAS),

^ACD=NB=45°,CD=BE,

NBCD=/ACB+^ACD=90°,

•••BC=8,CE=4,

BE=12,

CD=12,

11

SADCE=户•DC=ax4x12=24,

故答案为：24.

三.解答题

17.解：由平移的性质知，与CE平行且相等,AC=BE,

：AB=CD,

：.CE—CD,

当B、D、£不共线时，

:AB^CE,

:.NDCE==60°,

/.△CE。是等边三角形，

：.DE=AB,

根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD>DE=AB,

即AC+BD>AB.

当D、B、£共线时，AC+BD=ZB,

综上，ZC+BDNZB.

18.(1)解：21=/2,理由如下：

•.2。是由翻折得到，

:./D=,

:DE||AC,

=^A,2Z=ND,

=N2.

(2)解：+"=180°,NB+/C=130°,

：.^A=50°,

：DE||AC,

=N2=4=50°,

+N2=50°+50°=100°.

19.(1)解：；CD是A/BC的中线，

AD=BD,

•••BC=5,ZC=3,

BCD与△47。的周长差

=(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)

=BC-AC

=5-3

=2,

故答案为：2；

(2)解：•••C。，ZB,

NBDC=90°,

•••^5是^ABC的角平分线，^ABC=60°,

11

^ABE--/ABC=-x60°=30°,

22'

・•・/BOC=NBDC+^ABE=900+30°=120，

20.小明的方法证明：

\'AB=AC,

:.NB=H,

：AD=AE,

：.^ADE=NAED,

:.NADB=^AEC,

/.△ABD三△ZCE(AAS),

：.BD=CE;

小华的方法证明：

：AB=AC,

:.NB=NC,

：AD=AE,

:./AED=NADE,

即44EB=MC,

/.△ABE三△ABD(AAS),

：.BD=CE;

小聪的方法证明：

如图，过点a作a”iBC于H,

：AB^AC,AD^AE,

：.BH=CH,DH=EH,

：.BH-DHCH-EH,

即B。=CE.

21.(1)证明：如图2中,连接EG,FG,

由作图可知ZE=ZF,EG=FG,

在AZGE和AaGF中，

(AE=AF

lEG=FG,

14G=AG

/.△AGE三△ZGF(SSS),

"NEAG=^EAF,

./“平分”/。；

(2)解：正确，理由如下：

如图3中,连接2”,

由作图可知ca=CH,

：.^CAH=^AHC,

：AB^CD,

：.^BAH=^AHC,

：.^CAH=/BAH,

平分NBZC.

22.(1)解：•••ZE,CF分别是^CAD和^ACB的平分线，

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