第2章 常用逻辑用语 章末小结（解析版）

第2章常用逻辑用语章末小结

第2章《常用逻辑用语》章末小结...........................................................1

知识框架...............................................................................1

一、基础知识点........................................................................1

知识点1充分条件与必要条件的判断......................................3

知识点2充分、必要、充要条件的应用....................................6

知识点3全称量词命题与存在量词命题...................................10

二、活学活用培优训练.................................................................42

命题、定理、定义

无1笠）条彳牛

常

用必要条件

逻

辑充要条件

用

语全称量词命题

存在量词命题

全称（存在）量词命题的否定

基础知识点

知识点1充分条件与必要条件的判断：充分条件、必要条件是高考对逻辑部分的主要考查点,

有些题目比较简单，直接根据定义即可判断.有些题目与不等式集合等内容结合可借助数轴转

化为集合间的关系解决.采用数形结合的方法，可使问题直观化、形象化.

例1设p：l<x<2,q：|x-l|<l,则p是q成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

例2“a=0”是“二次函数y=N+G（xGR）的图象关于轴对称，，的（填"充分不必

要，，“必要不充分，，“充要，，或“既不充分也不必要，，)条件.

【解答】例1A例2充要［例1当1VXV2时，OVx—lVl,所以即pnq;但

由|x-1|V1,得0VxV2,所以qRp.

例2当a=O时，二次函数y=%2+ax(xGR)即为火%)=舄关于y轴对称；二次函数丫=乎

+ax(x£R)的对称轴为x=一当其关于y轴对称，则一A。，解得a=0.

综上可知，“a=0”是“二次函数y=x2+ox(xGR)的图象关于y轴对称”的充要条件.］

知识点2充分、必要、充要条件的应用：充分、必要及充要条件的应用主要体现在以下两类.一

类是已知两个命题的关系求参数的取值范围，另一类是与充要条件相关的证明题.这部分内容

也是考查的重点，常用不等式集合、方程交汇命题.对于第一类问题常转化为集合间的关系求

解，但要注意端点值能否取到，对于证明题要从充分性和必要性两方面说明.

例1已知非空集合A={x|2a—3Vx<3。+1},集合3={x|—5<x<4}.

⑴若是的充分条件，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a,使是的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说

明理由.

［解］⑴因为“无G4”是“无G3”的充分条件，

所以又A#0,

(2a—3>—5,

则，

36Z+1<4,解得一1%口，所以〃£［一1,1］.

[2〃一3<3a+1,

2a—3=-5,

(2)若存在实数〃，使是“％£5”的充要条件，即A=5,则必有彳

、3。+1=4,

a=-1,

即彳则方程组无解.

1,

故不存在实数见使匕£4’是“工£5”的充要条件.

例2求证：次〉"的一个充分不必要条件是〃

［证明］充分性：因为〃>|勿，所以〃>0,

^\a\>\b\>0,所以。2>兄

所以〃>族|是〃2>店的充分条件，

因为a=—2,8=1时於功2,但〃<|如

所以不是］2>。2的必要条件.

综上，。2>按的一个充分不必要条件是。>|回.

知识点3全称量词命题与存在量词命题：全称量词命题和存在量词命题主要包括这两类命题的

判定与否定.对于判定类的题目可直接根据定义判断，对于否定类的要否定量词和结论.本知

识点常用方程的解、不等式、集合等交汇命题，难度为基础题，主要考查逻辑推理能力和综合

应用能力.

例1命题2："VxGR,x2〉。“，则（）

A.”是假命题；「p：r<0

B.2是彳取命题；「p：BxER,^<0

C.p是真命题；「p：VxGR,/<0

D.2是真命题；rp：VxCR,x2<0

【解答】由于。2>0不成立，故"VxGR,无2>0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词

命题可知，“VxGR,N>0，，的否定是FXGR,Nwo"，故选B.

例2已知命题FxdR,使4x2+x+（（q—2）40”是假命题，求实数a的取值范围.

[解]•命题叼xGR,使4/+工+；（。一2）0”是假命题.

...命题“VxGR,使4r+工+（^一2）>0”是真命题.

2

即判别式/=l-4x4x1（a-2）<0.

9

即«>4.

活学活用培优训练

一、单选题

1.命题“任意xe[l,2],2x-q»0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a<lB.a<2C.a<3D.a<4

【答案】A

【分析】求出命题为真时等价条件（充要条件），然后根据定义判断.

【详解】任意,2x-a>0,即a«2x恒成立，所以。《2,

只有A是充分不必要条件.

故选：A.

2.已知b&R,则“五>扬”是>1”的()

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】。=1,方=。满足而>扬，但:无意义，/>1不成立，不充分,

b

反之，。=-2,6=1满足;>1,但扬无意义,即6>协不成立，因此不必要,

b

从而应为既不充分也不必要条件

故选：D.

3.设xeR,贝-凶>4”是“x>4”的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可求解.

【详解】解：因为xeR,故由国>4可得x>4或x<T,

由x>4,可得国>4,故“国>4”是“彳>4”必要不充分条件.

故选：B.

4.命题：“Vxe(l,+s),尤的否定是()

22

A.3XG(1,+OO),%-1>0B.3xe(l,-K»),x-l<0

22

C.V%e(l,+co),^-i<oD.Vxe(l,-H»),x-l<0

【答案】B

【分析】根据命题的否定的定义判断.

【详解】全称命题的否定是特称命题，

2

命题：了2_]>0"的否定是：3xe(l,+co),%-1<0.

故选:B

5.下列结论中正确的是（)

A.V〃eN*,2层+5〃+2能被2整除是真命题

B.V〃eN*,2层+5〃+2不能被2整除是真命题

C.BMEN*,2力2+5W+2不能被2整除是真命题

D.予zGN*,2/+5〃+2能被2整除是假命题

【答案】C

【分析】使用特值法可以解决，举例说明n=l时2n2+5n+2不能被2整除，〃=2时2n2+5n+2能被2整除,

从而得出结论.

【详解】当〃=1时,2n2+5n+2不能被2整除，

当〃=2时,2"+5M+2能被2整除,

所以A、B、D错误，C项正确.

故选：C.

6.命题“VlWxW2,40”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>4B.a>5C.G<4D.a<5

【答案】B

【分析】根据命题是真命题，由必4无42,a2公恒成立求解.

【详解】因为命题,必-々40”是真命题，

所以aN/恒成立，

所以。“，

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是

故选：B

二、多选题

7.下列说法中正确的有（）

A."a>b>0”是“标>加”成立的充分不必要条件

B.命题?：Vx>0,均有/>（）,则P的否定：3x0<0,使得片4。

C.设A,3是两个数集，贝广4口3=&"是=的充要条件

D.设是两个数集，若则*eA,x&B

【答案】ACD

【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合

间的关系可判断c选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.

【详解】解：对于A,当。>6>0时，能推出/>匕2,而由/>匕2不能推出。>6>0,如（-3）2>22,而

-3<2,

所以是“标>〃，，成立的充分不必要条件，故A正确；

对于B,命题P：Vx>0,均有Y>o,则命题P的否定：.>0,使得故B不正确；

对于C,A3是两个数集，则由An3=A能推出AaB,反之，由A=B能推出A「B=A,

所以“403=4”是“418”的充要条件，故C正确；

对于D,A3是两个数集，若AC3H0,即集合A、B存在相同的元素，则3xcA,xeB,故D正确，

故选：ACD.

8.已知。是『的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是，•的必要条件，q是$的必要条件.现有下

列命题：①s是4的充要条件；②P是q的充分条件而不是必要条件；③厂是4的必要条件而不是充分条件;

④力是「s的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【分析】根据题设有。nrosoq,但「分p,即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.

【详解】由题意，onrosoq,但故①②正确，③错误；

所以，根据等价关系知：且力a，故④正确.

故选：ABD

9.命题“引姿3,/一好0”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>9B.a>llC.«>10D.a<\0

【答案】BC

【分析】由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.

【详解】由1WXW3得1W/V9,因为命题为真，所以。29,记为A={a|a39},因为要求命题为真的充分

不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.

故选：BC

三、填空题

10.已知命题p：为假命题，则实数〃的取值范围是—.

【答案】a>-\

4

【分析】根据命题P为假命题，则它的否定「p是真命题，利用判别式AK)求出实数。的取值范围.

【详解】解：因为命题夕：YxGR,N+%-〃>o为假命题，

所以它的否定「夕/+%_坯0为真命题，

所以△=□-4x(-〃)K),解得一

4

故答案为：a>-1

4

11.已知命题p：VxG[1,2],x2+1>«,命题q：3xG[—1,1],使得2无+a-1>0成立,若p是真命题，q是假

命题，则实数〃的取值范围为.

【答案】(-8,T]

【分析】根据〃是真命题可得。w1+1、，再分析当4是真命题时。>(1-2x)1nm=1-2=-1,进而求得q

是假命题时。的取值范围即可

【详解】命题p：Vxe[l,2],d+lNa恒成立，若p是真命题，

则：a<(Y+1).—2,

\/min

命题q：3XG[—1,1],使得2x+a-1>0成立,

若命题4为真命题，

则a>0—ZxL—n-l.

所以命题q是假命题时，a<—\,

综上，参数。的取值范围为：a<-\,

即ae(-«,-]]

故答案为：(分,-1]

12.已知集合4="|彳<-1,或x>2},B^[x\2a<x<a+3},若“xeA”是“xeB”的必要条件，则实数a

的取值范围是.

【答案】(fT)U(l,”)

【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与8的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a

的范围.

【详解】•.“”€人"是》€8”的必要条件，；.314,

当3=0时，2a>a+3,贝!]a>3；

当3W0时，根据题意作出如图所示的数轴，

2aa+3-12x-122aa+3x

_[a+3>2a[a+3>2a

由图可知<c,或｛cc,解得"-4或l<a?3,

[。+3<-1[2a>2

综上可得，实数。的取值范围为(F,T)U。,—).

四、解答题

13.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：

(1)0：对任意的xGR,尤2+x+iwo都成立；

(2)q：使炉+3工+5<0.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可.

(1)

由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题，

又因为“任意的”的否定为“存在一个”，

所以其否定是：存在一个xdR,使/+%+1=0成立，

即0CR,使炉+彳+1=0”,

因为△=—3<0,所以方程f+x+lnO无实数解，

此命题为假命题.

(2)

由于TxdR”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”，

因此，该命题是存在量词命题.

又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，

所以其否定是：对任意一个实数x,都有d+3x+5>0成立.

即“VxCR,有/+3彳+5>0”，

因为A=—ll<0,所以对VxGR,_?+3了+5>0总成立，

此命题是真命题.

14.一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“玉eR,

/+2工+7〃40”是假命题，求机的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小---道题：若“WxeR,

£+2工+加>0”是真命题，求相的取值范围.你认为，两位同学题中相的取值范围是否一致？并说明理由.

【答案】两位同学题中相的取值范围是一致的，理由见解析

【分析】由全称、特称命题及其否定的真假关系加以判断.

【详解】两位同学题中m的取值范围是一致的.

理由：必+2无+加<0"的否定是"VxeR,x2+2x+m>0，，>而“HxeR,x?+2x+m40”是假命

题，则其否定“VxeR,尤2+2彳+m>0”是真命题，

两位同学题中m的取值范围是一致的.

15.设全集U=R,集合A={x[—l<x<4},非空集合2={x|34尤<1+力，其中aeR.

(1)当。=4时，求ACC^B;

(2)若命题“HreB,是真命题，求实数。的取值范围.

【答案】⑴AcC*=[」，3)

⑵[3,+s)

⑴解：•••A=[T,4)

当a=4时，集合3=[3,5],

"3=(YO,3)55,KO),

/.An^B=[-l,3).

(2)

解：由(1)知，A=(^»,-1)u[4,+00),

•.•命题xe金A”是真命题，

：.B^RA^0,

：.l+a>4,解得：a>3.

.♦•实数a的取值范围是［3,+«>).

16.已知集合A={x卜2cx<3},B=1x|x2-2mjc+m2-l<0^,C={x卜一向<2}.

⑴若〃?=2,求集合4口8;

(2)在B,C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，P：尤eA,q：xe,求使p是q的必要不

充分条件的小的取值范围.

【答案】⑴卜口。<3}

(2)答案见解析

【分析】(1)将“=2代入集合B,求得8={尤|1<尤<3},利用集合的运算法则即可；

(2)若选集合8：先计算出8=3帆-1(尤<〃2+1},根据条件得出集合B是集合A的真子集，利用包含关

系列出不等式组即可求得答案。

若选集合C：先计算出C={x|2<x<m+2},根据条件得出集合C