高二《直线和圆的方程》易错培优竞赛试题-2024-2025学年高二数学竞赛能力培优练解析版

2025新高考高二直线和圆的方程易错培优竞赛试题

【专题目录】

专题一：名校直线和圆的方程易错题精选

专题二：名校直线和圆的方程培优题精选

专题三：直线和圆的方程全国高中数学联赛强基计划精选试题

【精选练习】

专题一：名校直线和圆的方程易错题精选

1.己知尸点坐标为（2cos6,sin。）,直线/:（m+2）*+（〃7+1万-后〃-2百=0与圆加：x2+y2-2A/3X+2=0交

于A,8两点，则P4P8的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[-4,4]C.[6-4石,6+4括]D.17-46,7+46]

【答案】C

【分析】由直线/的方程可以判断直线/过定点（道,。），恰好为圆心所以跖4+M8=0,且

|M4|=|MB|=r=l,从而得尸4尸2=|尸叫2-1,由|尸加『=3cos20-4后cosd+4,换元即可得到取值范围，

进而得到的取值范围.

【详解】由丁+/一2屿^+2=0得（x-6『+y2=l,所以圆心/（6,0）,半径厂=1

由（7〃+2）x+（〃2+l）y—后加—2括=0得〃?（尤+y—石）+2x+y—2有=0,

由1+丫-610得卜=6,所以直线/过定点（括,0）,即为圆心M,

2x+y-2y/3=0[y=0''

所以A,3是圆M的直径的两端点，所以MA+M2=0,且|M4|=|M@=r=l,

PA-PB=（PM+MA）（^PM+MB）=^PM+M^PM-MA^=\PM^-\MA^=\PM^

因为尸（2cosd,sind）,M（若,0）,所以PM=（石-2cos，,-sin@,

\2

1PM2=（指-2cos6）+sin2^=3-4^cos0+4cos2+sin2^=3cos26,-4^cos0+4

令cose=y-l,l],贝11PM2=3〃-4"+4=3t--,

I3）

所以当f=l时，|取得最小值7-4有；当f=-l时，|PM『取得最大值7+4石，

所以PA.尸8=|尸M『一le[6-4石,6+4相],

故选：C.

2.过直线y=f+l上任一点尸向圆好+。+1）2=1作两条切线，切点为A,8.则的最小值为（）

A.当B.当C.72D.73

【答案】C

【分析】设点P（x04-x0），求出设点尸小,1-X。），由点到直线的距离求出圆心C（O,-1）到直线AB的距离d,

再由|AB|=277r才结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】设点尸（5,1一飞），则直线的方程为尤ox+（2r0）（y+l）=l,

（注：由圆尤2+>2=户外一点石（的为）向该圆引两条切线，切点分别为凡G,则直线FG的方程是

2

xox+yoy=r）,

化简可得：%x+（2-x（））y+l—飞=0,

1

所以圆心C（0,-l）到直线AB的距离为：d=

所以|4同=2,产-相=寸一屋F

21寸马.后不

当毛=1时，|AB|的最小值为血.

故选：C.

3.已知圆O：Y+y2=i,过点4（2,0）的直线与圆。交于8、C两点，且就=诧，则|BC|等于（）

A.也B.-C.妪D.如

2222

【答案】D

【分析】根据题意，设3（4%）,力）,由向量关系可得々=2为-2,%=2M,代入圆的方程即可得到占,％,

再由两点间距离公式代入计算，即可得到结果.

【详解】设3（再,％）,C（9,%），且4（2,0）,

UUUUUUZ\/\

由AB=BC可得（玉一2,另）=（%一%,%-%）,即％=2再-2,%=2%,

尤；+犬=1

将B,C代入圆。方程可得

尤;+货=1'

即（2玉一2）2+（2yj2=1,化简可得4x；-凯+4+4y：=1,

故选：D

PA1

4.（多选题）已知A（—2,0）1（6,0）,0（2,2）,点p满足方3=不设点尸的轨迹为曲线C,。为坐标原点,

rDJ

则下列说法正确的是（）

A.过点8作曲线C的切线，切线长为60

B.当A民尸三点不共线时，ZAPO=ZBPO

C.在C上存在点使得|MO|=2|MA|

D.|尸国+31Poi的最小值为2遍

【答案】AB

PA1

【分析】设动点坐标，根据函=§可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B

选项可知PO是△向内角—APB的角平分线，即可得出结论；C选项，可以求得动点M的轨迹，判断两

曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.

PA1+2）+y-1

【详解】设P点坐标为（苍＞）,由转=w，则》,•=多化简得

PB3耳_6『+/3

X2+/+6X=0,所以动点轨迹是以C（-3,0）为圆心，r=3为半径的圆.

A选项，过点B作曲线C的切线，切线长为标耳=60,A选项正确.

B选项，当46尸三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，PO是“PB内角—4PB的角平分线，所

以ZAPO=/BPO.故B选项正确.

I22

C选项，因为阳。|=2|八划，设M（x,y）,则2=2,化简得轨迹为（x+|）2+y2=g,所以动点M

的轨迹为圆心G（-*80），半径为马=]4的圆，圆心距

|CC2|=|<|r-^|-所以两圆位置关系为内含，所以在C上不存在点M，使得|MO|=2|M4],故C错误.

D选项,因为需=；,所以俨3|+3|叫=3|斜+3户0=3（|酬+|尸刈”3|4£>|=3，（一2-21+（0-2）2=66,

故D错误.

故选：AB.

5.（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线

被后人称为三角形的“欧拉线”.若V4JC的三个顶点坐标分别为A（3,4）,B（-l,2）,C（l,0）,其“欧拉线”为/,

圆”:（无一0）2+丁=1,贝IJ（）

A.过A作圆M的切线，切点为P,则恒尸|的最小值为4

B.若直线/被圆M截得的弦长为2,则。=-1

C.若圆M上有且只有两个点到/的距离都为1,贝U-1-2应+2应

D.存在。，使圆河上有三个点到/的距离都为1

【答案】BC

【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出|AP|的最小值；B项，求出直线/的解析式，得

出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆M上有且只有两个点到/的距离，得出圆心河（。,0）到直线/的

距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论.

【详解】由题意,

VABC的三个顶点坐标分别为A（3,4）,B（-l,2）,C（l,0）,

在圆（尤-°）2+y2=l中，M（a,O）,半径尺=尸弁=1

\AM\=J（3-a）2+（4-0）2=｛（3-a）2+16,

A项，

过A作圆M的切线，切点为尸，如图所示，

在RtZVLPM中，由勾股定理得，AP=y/AM2-PM2

2

|AP卜^AM"-PM-3-4+16]-I=^(a-3)2+15

...当a=3时，|AP|取最小值，|APL=JI?,故A错误;

B项,

3-1+14+2+0J即G(l,2),

重心坐标G

33

4-2

A3所在直线4：丁-4=(x-3),BPy=+|

3-(-1)

线段AB的中点。（1,3）,

AB的垂直平分线为：y=-2x+5,

同理可得，AC的垂直平分线为：y=x+3,

4

y=-2x+5x=—

3

1，解得：,

y=——x+37

2y=—

3

47

夕卜心石

§'4

由几何知识得，垂心与外心重合,

.../过G（l,2）和l-.y~2=^—（x-1）,即y=x+l,

直线/被圆M截得的弦长为2,恰好为圆的直径，

C项，圆M上有且只有两个点到/的距离都为1,

圆心M（a,O）到直线l:y=x+l^x-y+l=O的距离小于直径.

±Z£±1

<2解得：-2>/2-l<a<272-1,故C正确；

D项，由几何知识得，

圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误；

故选：BC.

6.（多选题）已知点A,8为圆O:d+y2=i4上两动点，且|科|=46，点尸为直线/：x+y+12=。上动点,

则（）

A.圆心。到直线A3的距离为四

B.以AB为直径的圆与直线/相离

C.NAP3的最大值为g

D.PA.尸3的最小值为38

【答案】ABD

【分析】对于A,根据条件，利用弦长公式，即可求解；对于B,利用选项A可得点C在以。为圆心，立

为半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解；对于C,根据条件找到最

大角，进而得最大角小于三，即可求解；对于D,根据条件得到24.依=2。2-12,再求出『「L，即可求

解.

【详解】对于选项A,设A3的中点为C,如图1,连接OC,AO.

则OC_LAB,|AC|=|BC|=||AB|=2A/3,

所以|oc|=J|AC『_|AC「=J14-12=0,故选项A正确；

对于选项B,由A知，点C在以。为圆心，0为半径的圆上，又原点。到，：x+y+12=0的距离为

d=*6日

所以点C到直线/的距离的最小值为60-0=50，

因为5页＞2石，故以A3为直径的圆与直线/相离，所以选项B正确；

对于选项C,如图2,当直线A3与直线/平行，且0,C,P共线时，尸为等腰三角形,

此时|CP|最小，最小值为50,又忸C|=2有，故此时最大，且/APB=2/CPB,

BC2J3J6J3TT

则所以NCP3<则44尸5＜；,故选项C错误;

C-i5,233

1

对于选项D,PA-PB=(PC+CA^\PC+CB^=PC+PC\CA+CB^+CACB=PC-^AB"=PC-12,

当OP，/,0,C,P共线，且C在0,P之间时取等号，|CP1mhi=50，

所以尸APB的最小值为38,所以选项D正确,

故选：ABD.

7.(多选题)已知圆。：/+：/=4,尸是直线/：x+y-6=0上一动点，过点尸作直线出，P8分别与圆。

相切于点A，B,则()

A.圆。与直线/相离B.|PA|存在最小值

C.|AB|存在最大值D.存在点尸使得ABO为直角三角形

【答案】AB

【分析】求出圆心。到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B：利用四边形面积求得

|AB|=41-—,借助1Poi的范围求解判断C；根据为直角三角形求得|尸。|=2及，根据圆心到直

线的最小距离即可判断D.

【详解】圆O：，+y2=4的圆心0(0,0),半径牛=2,

对于A,点。到直线/的距离d=\=3后>2=r,故圆。与直线/相离，正确;

对于B,\PA\=^|PO|2-|AO|2=JiPOF—户>&2一/=5,

当且仅当尸时取等号，正确;

对于C,由PO垂直平分48得，SPAOB=^\PO\\AB\=2SPAO=\PA\\AO\,

2\PA\\AO\_4\PA\4出

则4>|AB]=

|尸。|"\PO\当且仅当尸时取等号,

所以不存在最大值，错误;

对于D,由A可知，忸。12d=3&，若ABO为直角三角形，则ZAOP=45,

从而|尸。|=&|4。|=2&,又2&<3&，所以不存在点尸使得AABO为直角三角形，错误.

故选：AB

8.(多选题)在直角坐标系中，M(-l,-1),N(l,3),P(3,-3),2(2,5),则以下判断正确的是()

A.儿。。为直角三角形B.M,N,P,。依次连起来是一个四边形

C.cosZMP2=^pD.SAPQN~5

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断.

【详解】对于A,直线MP的斜率直线的斜率3。===2,

=即MPQ为直角三角形，A正确；

对于B,直线的斜率七N===2,点M，N,Q共线，B错误；

对于C,在RtAMPQ中，|MP|="W=2君，|PQ|=Vl2+82=>/65.

cosZMPQ=,C正确；

\PQ\13

对于D,\NQ\=^¥=5S^PQN=^\NQ\-\MP\=5,D正确.

故选：ACD

9.（多选题）已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A（0,-2）,圆”被无轴所截得的弦长为2,则下列结论

正确的是（）

A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M的面积的最大值为50兀

C.圆M的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M的半径之积为8

【答案】AB

【分析】由直线与圆的相切，可判断A正确；结合弦长可求得圆心的坐标，进而可判断B正确，C、D错

误.

【详解】由圆M与直线x+y+2=0相切于A（0,-2）,

所以直线40与直线x+y+2=。垂直，

所以直线AM的斜率为1,则点M在直线y=x-2,即x-y-2=0上，故A正确;

设“(4,0-2),则圆”的半径/•石4团二后江尸=血同，

又圆〃被X轴截得的弦长为2,

所以2,以-(a-Z)。=lyja1+4«—4=2，解得a=_5或a=].

当a=-5时，圆A1的面积最大，为兀，=50兀，故B正确；

当a=l时，圆M的半径最小，为血,故C错误；

满足条件的所有圆”的半径之积为50x0=10,故D错误.

故选：AB.

10.(多选题)经过4(1,0),3(0,1)两点的曲线。:加+勿2_网=1如图所示，关于曲线c,下列说法正确

B,曲线C经过的整数点个数为4个

c.苍丫的取值范围均为

D.若点尸在曲线C上，则以。尸为半径的圆的面积的最大值为2兀

【答案】ACD

【分析】对于A,将已知点代入方程，可得正误；对于B,利用赋值法，由一元二次方程，可得正误；对于

C,由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D,由基本不等式，结合圆的面积，可得正误.

ja—]

【详解】对于A,将4(1,0)与8(0,1)代入方程加+加2—|孙|=1,可得6=1，故A正确；

对于B,由A可知曲线。:炉+/-|孙|=1,当x=0时，/=1,解得y=±l；

当x=l时，l+y2-|y|=l,解得产-1或0或1：同理可得当x=T时，y=T或0或1；

当兀=机，时，trT+y2—\my\=1,即y?±〃少+/_]=0,

由△=7?z2-4（/n2-l）=4-3m2<0,则方程无解,

综上可得曲线C经过的整数点有(0,1),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),(-1,-1),

(-1,0),(-1,1),共8个，故B错误；

对于C,将曲线C的方程等价转化为关于y的一元二次方程y2±xy+x2-l=0,

则公=/一4(尤2-1)=4一3/20,解得一半,，

同理可得一2叵4y叵，故C正确；

3■3

22

对于D,/+,2=1+附4匕2+1,当且仅当国=忖时，等号成立，

22

由尤2+>24与上+1,则/+,242,即OP的最大值为近，所以圆的面积最大值为2兀，故D正确.

故选：ACD.

11.(多选题)已知直线/：%+4>-3=0与圆C：f+y2_8x+6y+16=0,则下列说法正确的是()

A.当a=2时，直线/与圆C相交

4

B.若直线/与圆C相切，则。=§

C.圆C上一点尸到直线/的最大距离为标+3

D.若圆C上恰好有三个点到直线/的距离为2,则。=1

4

【答案】AC

【分析】易知圆心C(4,-3),半径r=3,由选项，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和

两点之间的距离公式依次计算即可求解.

【详解】A：当a=2时，直线/:x+2y-3=0,圆C的方程可化为(x—)?+(y+3)?=9,

所以圆心C(4,一3),半径r=3,则圆心C到直线/的距离1=

所以直线/与圆C相交，故A正确;

|4-3«-3|4

B：因为直线/与圆C相切，所以圆心C到直线/的距离〃=L"=3,解得。=-二，故B错误;

C：因为直线/恒过定点（3,0）,所以圆心C到直线/的最大距离,3-4）2+（0+3）2=用,

则圆C上一点尸到直线/的最大距离为+r=W+3,故C正确；

D：因为圆C上恰好有三个点到直线/的距离为2,

所以圆心C到直线/的距离d'/」=1,解得。=0或a==,故D错误.

Vl+a24

故选：AC.

12.已知圆C:（x-l）2+（y-2）=1,点A（7,6）,B为圆C上的动点，。为无轴上的动点，则|例+|。目的最

小值为•

【答案】9

【分析】作出点A关于x轴的对称点为A（7,-6）,由圆的几何性质可得出\Q^+\QB\=\QA'\+\QB\>\CA'\-r,

即可得解.

【详解】如下图所示：

%4

点A关于x轴的对称点为A（7,-6）,圆C的圆心为C（l,2）,半径为厂=1,

由于。为x轴上的动点，由对称性知|Q4|=|0A'|,

所以|QA|+|Q3|=|QA|+|2B|>|C4,|-r=J（7-l）2+（-6-2）2-1=9,

当且仅当8、。分别为线段AC与圆C、x轴的交点时，等号成立，

因此，|Q4|+|Q目的最小值为9.

故答案为：9.

13.已知直线/经过点C（4,2）,且与x轴、丫轴分别交于点A、点B,当卜4取最小值时，直线/的方

程为.

【答案】>=尤-2或y=-x+6,

【分析】表达出>-2=MX-4）,得至uic4i=217i,|以|=4"7记，由基本不等式得到的最小

值，得到后=±1,即可得到直线方程.

【详解】因为直线/与尤轴、y轴分别交于点A、点8,

所以直线/的斜率存在，可设直线/的方程为y-2=以尤-4）,

所以A,一：,。），8（0,2-4左），所以|G4|=小匕+4=20+1,|CB|=416+16。=441+1，

所以|04|-|0?|=8，，+1）（1+/）=8小/+,+2216,

当且仅当公=5时取等号，此时改=±1,

止匕时直线的方程为y=尤一2或y=-x+6,

故答案为：y=x-2或y=-x+6,

14.已知点M（0,3）,直线尤-母-2=0被圆尤2+/=8所截得弦的中点为N,则|MN|的最大值是.

【答案】V10+1

【分析】先确定点N的轨迹为圆，再根据圆外一点到圆上的点的距离的最值的求法确定的最大值.

【详解】如图：

因为直线X-母-2=0过点C（2,0）,

设直线与圆/+，=8相交于A,B两点，N为中点，则ONLAB.

当点N,C重合时，在RrONC中，。（1,0）为OC中点，所以|DV|==1

所以弦A3的中点N在以。（1,0）为圆心，1为半径的圆上，易知点C也在该圆上.

所以1MMWMD|+pN|=斤牙+1=加+1.

故答案为：Vio+i

15.已知直线/：y=Mx-2）与圆C:（尤-3）?+/=4交于A,2两点，过A2分别作圆C的切线，则这两条切

线夹角的取值范围是.

【答案】0,鼻

【分析】根据直线是否过圆心进行分类讨论，结合直线与圆的相关性质即可求解.

【详解】当直线/过圆心C时，两条切线平行，所以夹角为0,

当直线/不过圆心C时，如图，设两条切线交于点。，则"=7t-/ACB,

设点C到直线/的距离为d,因为直线/：y=M尤-2）过点（2,0）,所以0<d《l

当d=l时，直线/斜率不存在，不符合题意，

所以0<d<l,则cosNZ）=cos（兀—ZACB）=-cosZACB=1—2cos2^^^=1-2（弓）,

综上，两条切线夹角的取值范围是0,1^.

DA

故答案为：0]]

16.定义：min（P,C）表示点尸到曲线C上任意一点的距离的最小值.已知P是圆（尤-仔+尸=9上的动点,

圆C:/+y2=i,则min（P,C）的取值范围为.

【答案】[1,3]

【分析】记。为坐标原点，作出图形，求出|。尸|的取值范围，即可得出min（C,P）=|OP|-l的取值范围.

【详解】记。为坐标原点，圆C的圆心为原点，圆C的半径为1,

由圆的几何性质可知，min（C,P）=|OP|-l,

^.\AP\-\O^<\OP\<\AP\+\O^,BP3-1<|（9P|<3+1,BP2<|OP|<4,

当且仅当点P（-2,0）时，|O耳取最小值，当且仅当点尸（4,0）时，|OP|取最大值，

故min（C,尸）=|0日-141,3].

故答案为：[1,3].

17.在平面直角坐标系中，圆C的方程为。-2）2+y=1,若直线>=日+1上至少存在一点，使得以该点为

圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数%的取值范围是.

【答案】（一双；

【分析】根据圆和圆的位置关系列式结合两点间距离及点到直线距离计算求参.

【详解】由题意得圆心C的坐标为（2,0）,半径为1,

设直线>=区+1上的点尸（机〃）满足条件，

则以点尸（〃4〃）为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，

y=kx+l

<x-2)2+/=l

所以04JO-2)2+/42,

所以点P（m,n）到点（2,0）的距离小于等于2,

即点（2,0）到直线y=kx+l的距离小于等于2,

\2k+l\3

所以1/T42,解得左

所以实数上的取值范围是1-咫：,

故答案为：1i003-

18.已知尸为圆C:（x-3）2+（y-4）2=l上一点，A（-l,0）,5（1,0）,则1pli②+|必「的最小值为.

【答案】34

【分析】设出P（x,y）,利用两点间距离公式表示|丛『+\PB|2，结合点与圆的位置关系得到10H>\OC\-r=4,

进而求出最值即可.

【详解】如图，设点尸为坐标原点，圆心为C（3,4）,半径为r=1,

贝|]IPA「+陷2=（X+1）2+y2+（X_]）2+y2=212+,2）+2=21PO「+2,

因为（0-3）2+（0-4）2>1,所以原点。在圆C外，且因=打+不=5,

则尸以0。—〃=5-1=4,当且仅当点尸为线段OC与圆C的交点时，等号成立.

^|PA|2+|PB|2=2|PO|2+2>2X42+2=34.

故答案为：34

19.已知。为常数，圆（工-。）2+0+。-2）2=户。>0）与圆尤2+）;2=1有公共点，当厂取到最小值时，。的值

为.

【答案】1

【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，利用两圆有公共点的条件建立不等式求解.

【详解】圆(x-a)2+(y+a-2)2=，(r>0)的圆心,半径r,圆x?+y2=1的圆心(0,0),半径为1,

由两圆有公共点，得|一1区J(q-0)2+(2-a-0jWr+1,

d=7(a-0)2+(2-a-0)2=^2(0-1)~+2>72,当且仅当。=1时取等号，

当4=1时，/取得最小值血,「取得最小值后-1，此时两圆外切，满足两圆有公共点，

所以当「取到最小值时，。的值为1.

故答案为：1

20.如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点尸(x,y)是阴影部分(包括

边界)的动点，则小的最小值为____.

%—4

【答案】二

【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值.

【详解】依题意，二二表示点P(x,y)与定点4(4,0)确定直线叱的斜率，

令W~^=k,得直线AP：kx-y-4k=0,

无一4

观察图形知，当叱与半圆尤2+(y-l)2=1(x20)相切于第一象限时，女最小,

I—1—4%|Y8V8

此时左<0,因此J[+]=1,解得％=-卷，所以长的最小值为q.

故答案为：■-白

专题二：名校直线和圆的方程培优压轴试题精选

1.今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形

象看作圆C:尤2+（，-3）2=1,当动点M（x,y）在圆C上运动时，则?的取值范围是（）

A,12尤,4右）B.卜40,-20）

C.[-20,2行]D.卜s,-20卜[28,+句

【答案】D

【分析】设k=」，则丫=后，则直线y=后与圆d+（y_3）2=l有交点，所以圆心（0,3）到直线y=后的距

X

3

离解不等式即可.

【详解】设左=2,则丫=依，因点河（x,y）在圆元2+（y-3『=i上运动，且在直线＞="上,

则直线y="与圆/+（厂3）2=1有交点,

3_

则圆心（0,3）到直线y=kx的距离而j＜1,解得心_2后或发22夜,

故?的取值范围是卜8,-2后卜[2夜,+8）.

故选：D.

2.若曲线三上存在两点到直线/"-百y-机=。（机＞。）的距离为3,则优的取值范围为（）

A.[7,9）B.（6,7]C.（5,6）D.（5,9）

【答案】B

【分析】由。：〉=，一£+以一3表示圆（工一2）2+尸=1的上半部分,数形结合确定直线/到X一6y=o的距离

大于3,到x-gy-1=0的距离小于等于3,再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围.

【详解】由C:y=J-Y+4尤-3表示圆（了一2）2+;/=1的上半部分,如下图，

|2-0-加|

当圆心C（2,0）到直线I的距离d=---------=1可得根=0或m=4,

Vl+32

若根=0时，I:x-^3y=0,若根=4时，I:x-y/3y-4=0,

I祖

当直线/过点（1,。）时，有耳一71=°，可得利=1，此时/:x-/y-l=0,

结合图知，要使曲线存在两个点与直线/的距离为3,且加>0,即直线/必在x-石y=0的右下方,

所以直线/到x-Gy=0的距离大于3,至Ux-百y-1=0的距离小于等于3,

l:x-6y-m=0（m>0）~^x-6y=0的星巨离多>3,贝!]机>6,

/:x-\Z3y-m=O（7M>O）^x->/3y-l=O的距离43,则0<〃zW7,

所以6〈机W7.

故选：B

3.已知点A（X],yJ在圆/+丁=9上，点3（々,%）在圆_?+；/=12上，且西9+M%=%T。为坐标原

点.对于以下两个命题，判断正确的是（）

①在坐标平面内存在点P,使得AP_LBP恒成立；

②三角形OAB面积的最小值为卮.

A.①是真命题，②是真命题B.①是假命题，②是真命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是假命题

【答案】A

【分析】对于①，注意到占X2+%%=X1+X2T=>（占一1）（々-1）+必为=°，

则可想到当尸（1,0）时满足题意；对于②，设A（3cos6>,3sind）,2（26cos/,2gsin@，

则SAOB=3\/3|sin（6>-/?）|,后由占％+%%=%+x?T可得6j5cos（6—6）=3cosd+2於cos£-l，利用三角函

数知识可得卜ina上受,

据此可判断命题正误.

113V3

【详解】=%+九2-10x\xi一%一巧+1+M%=0n

(石一1)包-1)+%％=°，则当尸(1,0)时，AP=(l-&f),BP=(l-x2,-y2),

AP-BP=(l-A1)(l-%2)+j1y2=0,

即当尸(1,0)时，AP,3P恒成立，则①是真命题；

设A(3cos43sin8)，5(2百cos12百sin尸)，

则OA=(3cos0,3sin6),OB=(2如cos0,2Gsin@，

..__OAOB6^3cos0cosB+6^3sin0sinB„

VcosZAOB=।————।=---------------------产---------------=cosz\0-p)

乂国•n网3.273l八

则SAOB-1|OA|\OB\sinZAOB=373|sin(6>->9)|.

因XjX2+x%=%+%-1,

贝！J6A/3cos^cosP+6百sinOsin(3-3cos6+2百cos尸一1,

则6A/3COS(^-=3cos0+2^/3COS/3-1,令6-B=a,

贝!J6gcosa=3cos6+2gcos(e-a)-l,

BP6^cosa=3cos9+2若cos6cosi+2若sinOsina-l,

贝！]6gcos。+l=(3+2也COS。)cos0+2指sinasin0

『十倒』sinajcos(<9—7),其中tany=

6A/3COSa+1

7171,贝i]cos("7)=

ye(倒退2，

252J3+2/cosa)+sina)

6^cos6z+1

因cos(〜闫-15，则加+2限。sa”(2氐ina)

2

(66coscr+1

)2<(3+2^cosa『2+(2Ain"2,

Te[0,1]^(673cosa+1

(3+2石cosa)+(2石sina)

.2\cc.222I.IJ22

贝！HO8cos2a<20nl08(l-sina)W20=>sincif>-=>|sina\>—六,

2一7一3V3

则SAOB=3冏sin(e-£)|=3用sina|z夜，故②是真命题.

故选：A.

【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到％*2-%-9+1=(石-1)(%-1)；

对于命题②，难点在于确定卜布(。-6)|的范围，为此首先将。-尸看作整体，随后将，一夕从相关等式中分离

出来，最后利用三角函数的值域确定范围.

4.函数-8x+25(05xW4)的最小值为()

A.4B.垣C.2^D.5

32

【答案】C

【分析】当。〈尤W4时，将函数转化为直线y=3上点尸到直线x-y+3=0的距离与到点4(4,0)的距离之和，

作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可.

【详解】解：因为〃"=*+/1)2+(3-0)2,

当尤=0时，"0)=5：

当0＜工《4时，如图所示:

设尸a，3）,C（0,3）,A（4,0）,/PCB=45,PB上CB于B,

则/(x)=|pc|sin^PCB+1/M|=IPB|+1PA|,

由图可知，|即+|尸山的最小值为点A到直线BC的距离d.

因为直线BC的方程为'=x+3,

即x—y+3=0,

所以d=；=述＜5,

V22

故外力的最小值为差.

【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为直线直线＞=3上点尸到直线x-y+3=0的距离与到点A（4,0）的距

离之和.

5.已知直线/:xcosJ+ysinJ+l=0（0eR）,圆C:（x-3）?+（＞-4）?=4,过/上一点尸作C的两条切线，切点

分别为M,N,使四边形RWCV的面积为8近的点P有且仅有一个，则此时直线的方程为（）

A.3x+4y—20=0B.9x+12y-65=0

C.ll%+17y-81=0D.19%+23y—129=0

【答案】B

【分析】根据题意，可得|PC|=6,且CP，/,由点到直线的距离公式求得cose=|,sine=],进而求得直线

/的方程，再求出直线PC的方程，求得点尸的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，易知直线跖V是圆C与

以PC为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解.

【详解】如图，SPMCN=2x^x2x\PM\=Sy/2,解得1PM=40,

所以|PC|=^|PM|2+|CM|2=J32+4=6,

因这样的点尸有且仅有一个，由图知此时CP，/,

则圆心。（3,4）到直线/:无cos8+ysing+l=。的距离为6,

13cose+4sin6+l|,...34

即6=-^ze2T,化简得|5sin（9+夕）+1]=6,其中sine=g,cose=,

「.sin（夕+0）=1,贝!J6+0=]+2配（左EZ）,

（71^3,（7114

/.cos8=cos----cp=—,sinc/=sincp=—,

344

所以尤+]y+l=O,即3x+4y+5=0,则直线CP的斜率为

4

所以直线CP：y-4=§(x-3),即4x-3y=。,

3

4%—3y=0

联立3­二。,解得

因PC的中点坐标为(|,|),且|「。=6,

则以PC为直径的圆的方程为(X一|J+1>一|：=9,

整理得5/+5y2-12x-16y-25=0,

易知直线是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线,

将两圆的方程相减得9x+12y-65=0,

故直线MN的方程为9x+12y-65=0.

故选：B.

6.数学中有许多形状优美的曲线.例如曲线：卜1"+»1'=1(〃>0),当〃=2时，是我们熟知的圆；当

22

时，曲线£：|x户+|y|3=l是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计.则下列关于曲

线E说法错误的是()

A.曲线E关于X轴对称

B.曲线E上的点到X轴，y轴的距离之积不超过!

O

C.曲线E与|x|+|y|=l有8个交点

D.曲线E所围成图形的面积小于2

【答案】C

22

【分析】对A,在方程|xp+|yp=i中，以羽-y替代x，y方程不变，可判断；对B,由基本不等式求解判断；

对C,易得曲线E在W+|y|=l的内部，作出图象判断交点个数；对D,易求|x|+3=l围成的正方形面积为

2,又曲线E在|x|+|y|=l的内部，得解.

22

【详解】对于A,在方程邱+|苏=1中，以羽-V替代x，y方程不变，所以曲线E关于X轴对称，

同理，以一%八-羽-y替代方程均不变，所以曲线E关于y轴，坐标原点对称，如图，故A正确；

对于B,曲线E上点（％y）到x轴的距离为国，到y轴的距离为国，

由国：+|y|l=l>2荷.|$=2/（国而，当且仅当国=3时取等号，

.小心归：，故B正确；

O

2222

对于C,在弟一■象限内，+田3=%3+y3=]<x+y,所以曲线E在直线尤+y=1的下方,

所以两者有4个交点，分别为（-1,0）,（1,0）,（0,1）,（0,-1）,故C错误；

对于D,如图，W+N=l围成的正方形面积为应*&=2，

所以曲线E围成图形的面积小于2,故D正确.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程分析曲线E在第一象限的性质.

7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：己知平面内两个定点A,2及动点尸，若=X（4>0且4*1）,

则点尸的轨迹是圆.后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆.在平面直角坐标系中，。(0,0),

。(0,啦)，直线(：依-y+k+3=0,直线4：x+0+3左+1=0,尸为4，4的交点，则31Poi+IPQI的最小

值为()

A.屈B.6-3忘C.9-3夜D.瓜

【答案】D

【分析】由己知可得乙，4，分别求出44所过的定点色歹，则点尸的轨迹是以所为直径的圆，除去点产，

得到尸的轨迹方程，由阿氏圆性质找到点。，将转化为31尸O|=|9|,问题转化为求解到两定点距离之和

最小即可.

【详解】当左=0时，4：y=3,Z2：X=-1,此时/1J./?，交点为尸(-L3),

当人声。时，直线《的斜率为七直线4的斜率为-；，所以/J4，

K

综4,

4M(x+1)-y+3=0,所以直线“亘过点E(-1,3),

%：x+1++3)=0,所以直线/恒过点尸(T一3),

由P为4，，2的交点，则尸，

设尸(x,y),连接EF,

则点尸的轨迹是以£尸为直径的圆(除去/点)，圆心为线段EF的中点C(T,。)，

半径为r=写=3,故P的轨迹方程为(x+iy+/