高二年级下册第一次月考试题（常考80题16类题型专练）解析版-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第三册）

2024-2025学年高二下学期第一次月考真题精选(常考80题16类题型

专练)

【人教A版(2019)]

题型归纳

题型1变化率问题—题型2利用导数的定义解题

题型3曲线的切线问题—题型4函数的单调性问题

题型5函数的极值问题——题型6函数的最值问题

题型7导数中的函数零点问题—题型8导数中的恒成立、存在性问题

常考.题型归纳

题型9两个计数原理的应用—题型10排列数、组合数的计算

题型11涂色问题—题型12相邻、不相邻排列问题

题型13分组分配问题—题型14求二项展开式的特定项(系数)

题型15用赋值法求系数和问题—题型16三项展开式的系数问题

变化率问题(共5小题)

1.(23-24高二下•广东江门•阶段练习)已知函数"%)=2%2一%+1,则/(%)从1至IJ1+A%的平均变化率为

()

A.2A%+3B.4A%+3

C.2(Ax)2+3AxD.2(Ax)2—Ax+1

【解题思路】根据平均变化率的概念即可求解.

【解答过程】由/(%)=2%2一%+1可得：f⑴=2,/(I+Ax)=2(1+Ax)2-(1+Ax)+1=2(Ax)2+3A

x+2.

所以/(%)从1至U1+Ax的平均变化率为八1+黑一，⑴=23)2片x+2-2=2M+3.

故选：A.

2.(23-24高二下•江苏•阶段练习)如果说某物体做直线运动的时间与距离满足s(t)=2(1-1)2,则其在t=0.5

时的瞬时速度为()

A.4B.-4C.4.8D.-2

【解题思路】利用导数的定义小。）=史。上吐1即可求解.

【解答过程】根据导数的定义可得，在t=。.5时的瞬时速度为

故选：D.

3.（23-24高二下•江苏苏州•阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体

血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该

药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）

Ac(mg/mL)

甲

乙

~O,3佝

A.在"时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同

B.在最时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同

C.在［以心］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同

D.在［以心］和位2心］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同

【解题思路】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C

选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.

【解答过程】选项A,在以时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；

选项B,在匕时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的尸（以）不相等，

说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；

选项C,由平均变化率公式知，甲、乙两人在［12q］内，

血管中药物浓度的平均变化率均为切,即选项C正确；

13T2

选项D,在电,口和上内］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为

写吟和誓警2,显然不相同，即选项D不正确.

故选：AC.

4.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间f（单位：s）的关系可用

函数s（t）=t2+t+1表示，则该物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s.

【解题思路】利用平均变化率来求瞬时变化率即可得到瞬时速度.

【解答过程】该物体在时间段［1,1+At］上的平均速度为:

竺_s(l+At)—s⑴_(1+的2+(1+4t)+1-(12+1+1)_

△t—At-At―+'

当At无限趋近于0时，

3+At无限趋近于3,即该物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s.

故答案为：3.

5.(23-24高二下•上海闵行•阶段练习)遥控飞机上升后一段时间内，第ts时的高度为f(t)=5t2+45t+4,

其中上升高度f(t)的单位为m,f的单位为s；

(1)求飞机在［1,2］时间段内的平均速度；

(2)求飞机在t=2s时的瞬时速度.

【解题思路】(1)根据平均变化率计算；

(2)根据瞬时变化率计算.

[解答过程】(1)D=笔誓=5x22+45x2+4-(5x12+45x1+4)=人)

2—11

(2)第2s末的瞬时速度为lim^=lim/(2+A2-/(2)

A*-A,一nAC

5(2+At)2+45(2+At)+4-(5X22+45X2+4)

=lim

At->0At

=lim5^^65^=lim[5(At)+651=65(m/s).

△soASO

因此，第2s末的瞬时速度为65m/s.

题型2、1利用导致的定义解题(共5小题)

1.(23-24高二下•福建龙岩•阶段练习)已知函数/(尤)在x=x°处可导，且limg誓3=3,则((尤0)

=()

3

A.-3B.-2C.——D.2

【解题思路】利用导数的定义求解.

【解答过程】解：因为lim及匚等3=3,

△%T0N△久

所以一|lim八时驾-a。)=3,即一|/(3=3,

所以「(犯)=一2,

故选：B.

2.（23-24高二下•山东•阶段练习）设函数f（久）在R上可导，且尸（1）=2022,则limX嫖芈等于（）

A.12022C.2022D.0

【解题思路】根据题意结合导数的定义即得结果.

【解答过程】由导数定义可知：,（1）=lim/（1+Af-/（1）=2022,

所以2022'=痂Xhm一遍X2022=1.

故选：A.

3.（23-24高二下•天津•阶段练习）若当△%—（）,满足上若匈—-I,则下列结论正确的是（）

/（1+Ax）-/（1-Ax）

A.------△T-x------->—4

/i（1+△久）一f（l—△、）

B-mT

C.曲线y=f（x）上点（1/（1））处的切线斜率为一1

D.曲线y=/（X）上点（1/（1））处的切线斜率为—2

【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.

f(l)-f(13),2

即尸(1)=-2,

【解答过程】由“吆：叫T得:Ax

二曲线y=f（x）上点（1/（1））处的切线斜率为-2,C错误；D正确;

/1+盘）］（13）=2X"1+1工（j久；2X4,A正确;B错误.

故选：AD.

4.（23-24高二下•上海•阶段练习）设函数f（x）的导函数为r（x）,若（（配）=a,贝Wm/当42=

20n

【解题思路】利用导数的定义可求得Hm®空*过.

［解答过程】因为f'Oo）=a,则lin/g+2?-f（x。）=2iim/*3=2ro0）=2a.

/i-»0nh->0z”

故答案为：2a.

5.（23-24高二下•安徽合肥•阶段练习）已知函数p=/）在点切处可导，试求下列各极限的值.

（1）lim

（2）lim…纥?….

jo2h

【解题思路】（1）利用导数的定义即可求解.

（2）利用导数的定义即可求解.

fOo-4久）一/（%0）

【解答过程】（1）原式=lim

4%->0一（一小）

_]jm/（尢04久）―/~（久0）

（Ax-O时，一Ax一■（））

~Ax

=—/5）•

（2）原式=lim-（%o+h）—f（久o）+f（久0）一/（%。一九）

九T82八

二工hm"W）—""o）+一'（"°一①

21/IT0H20h.

=务（劭）+7（劭）]=75）.

题型33曲线的切线问题（共5小题）

1.（23-24高二下•广东梅州•阶段练习）曲线y=21nx+*2在点。1）处的切线方程为（）

A.y=x+3B.y=4x—3

C.y=2x—lD.y=%—3

【解题思路】根据导数几何意义，该点处的导数值为切线的斜率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出

所求切线方程.

2

【解答过程】由y=21nx+x2,得；/=1+2x（x>0）,

所以曲线在点（1,1）处的切线斜率为k=4,

所以所求切线方程为y—l=4（x—1）,即y=4x—3.

故选：B.

2.（23-24高二下•福建福州•阶段练习）若过点尸（-1即）可以作三条直线与曲线。>=久1相切，则小的取值

范围是（）

A-（一*+8）B.C,（0,+oo）D.

【解题思路】求出导函数，设切点为（功,处）,利用导数的几何意义求出过点尸的切线方程，代入点尸坐标,

化简为巾=（-与2—xo—1）廿。，根据这个方程有三个不等根即可求解.

【解答过程】设切点为（比,打）,过点尸的切线方程为y=（久o+1）^。（万一曲）+xoe*。，

xx

代入点P坐标可得m=（%0+l）e°（-l-%0）+xoe°,

化简为6=（-X。2fo_i）e*。，

过点P（-l,巾）可以作三条直线与曲线C:y=xe，相切，即这个方程有三个不等根.

令/(%)=(―%2—x—l)ex,求导得：/'(%)=(―%—1)(%+2)ex.

令/'(%)>0,解得：-2<%<-1,所以/(%)在(一2,-1)上递增；

令尸(%)V0,解得：第<—2或久>—1,

所以f(%)在(一8,-2)和(一1,+8)上递减.

/(x)有极小值/(—2)=V，有极大值1)=

要使方程m=(-久02_尤0-1)/。有三个不等根即可.

_Q1

只需/'(—2)<m</(—1),即菽<x<一)

故选：D.

3.(23-24高二下•河北邢台・阶段练习)过点P(a,0)作曲线y=的切线，若切线有且仅有两条，则实数a

的值可以是()

A.2B.0C.-4D.-6

【解题思路】设切点为Ooioe"。)，求得切线方程为：y—配^。=(沏+1)6，。。一曲)，将切线过点P(a,0),代

入切线方程，得到焉—ax()-a=0有两个解，结合△>(),即可求解.

【解答过程】由题意，函数y=xe*,可得旷=(%+1)/

设切点为。0，&6力)则y'|x=xo=(%0+l)eg,

xx

所以切线方程为：y-xoe°=(%0+l)e°(x-%0),

切线过点P(a,0),代入得一M6*。=g+l)exo(a-xo),即方程焉-axo-a=0有两个不同解，则有A=a2

+4a>0,解得a>0或a<—4.

故选：AD.

4.(23-24高二下•四川内江一阶段练习)己知函数/(X)=ax3+bx在点处的切线方程为丫=2x-2,

则a+b-0_.

【解题思路】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得a,b的值，即可求解.

【解答过程】由函数/(%)=a/+加,可得/(%)=3a%2+匕，可得/⑴=3a+瓦/'⑴=a+b,

因为函数/(久)=ax3+bx在点(1,/■⑴)处的切线方程为y=2x-2,

可得｛a；空渡J2,解得a=l力=一1，所以a+b=0.

故答案为：0.

5.(23-24高二下・江苏常州•阶段练习)已知函数/(%)=-x3+%+=e-2x+1.

(1)求曲线y=/(%)过点处的切线；

(2)若曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与曲线y=gQ)在x=t(teR)处的切线平行，求t的值.

【解题思路】(1)利用导数几何意义求过一点的切线方程；

(2)利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值.

【解答过程】(1)由导数公式得/(切=-3久2+1,

设切点坐标为(xo,yo),设切线方程为：y-1=fc(x-l)

yo-1—fc(%o—1)

由题意可得：jyo=-%o+xo+1,

.k=-3XQ+1

%--

(^0=1[°52

所以|=i或Jy。=g，

——2Ik=-

'4

从而切线方程为2x+y-3=0或x-4y+3=0.

(2)由⑴可得:曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y=-2x+3,

2x+12t+1

由9口)=-2e-,可得曲线y=g(x)在x=t(teR)处的切线斜率为夕(t)=-2e-,

由题意可得—2e-2t+i=-2,从而t=g,

此时切点坐标为g,l),曲线y=以功在尤=《处的切线方程为y-l=-2(x-1),

即y=-2久+2,故符合题意，所以t=9

题型4R函数的单调性问题(共5小题)

1.(23-24高二下•河北秦皇岛•阶段练习)函数/(久)=%3_》2_2久+i的单调递减区间为()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(―8,—1)和(2,+8)D.(―8,—2)和(1,+8)

【解题思路】首先求函数的导数，求解尸(x)<0的解集，即是函数的单调递减区间.

【解答过程】由题意得广(%)=x12-x-2=(%+l)(x-2),

令尸。)<0,得—l<x<2,所以/(X)的单调递减区间为(—1,2).

故选：A.

2.⑵-24高二下•四川内江•阶段练习)若函数/(%)=2/_inx在其定义域内的一个子区间(k—l,k+1)内不

是单调函数，则实数上的取值范围是()

31

A.々>万B.々<——

C.1<fc<f3D.I3

【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，然后列不等式求解即可

【解答过程】/(X)=2%2_]nx,故x〉0,

且「(X)=4"T=三J—yf

由((x)>0=>x广(%)<0=>0<x<!，

."(久)在(0,乡上单调递减，在G，+8)上单调递增.

'fc-1>0,

若/(%)在(k—L/C+1)内不是单调函数，则Ik-1<^解得

+1>|,

故选：C.

3.(23-24高二下•福建泉州•阶段练习)若奇函数/(久)在R上可导，当久>0时，满足/(W-x/(x)<0,

/(I)=0,则()

A.f(l)<0B./(4)-2/(2)>0

C.f(久)在(1,+8)上单调递增D.不等式f(x)>0的解集为(-8,-l)U(l,+8)

【解题思路】对于A,令x=l,解出即可；对于B、C、D,构造函数gQ)=号，由题意求导研究函数性

质即可.

【解答过程】对于A,令％=1,则f(l)-r(l)<0/(l)=0,所以((1)>0,

所以选项A错误；

对于B,构造函数g(x)=§2则当x>0时，呢无)=好>0,

所以g(x)在(。,+8)单调递增；所以g(4)>g(2),

所以竽>竽/(4)一2f(2)>0,所以选项B正确；

对于C,构造函数g(x)=号，由久>。时，f(x)-xf'(x)<0,

所以((%)>号=9(%)，由9(1)=平=0，

又由选项B可知g(x)在(0,+8)单调递增，所以当%>1时,g(x)>g(l)=0,

即当久>1,f'(x)>g(x)>0,所以f(x)在(1,+8)上单调递增，

所以选项C正确；

对于D,构造函数9(无)=号，当x>0时，由选项B可知g(x)在(0,+8)单调递增,

又知9(1)=芋=0，所以当X>1,g(x)>0，在0<%<1,9(无)<0；

即当久>0时，/(X)在(0,1)为负，在(L+8)为正;

由/(%)为奇函数，所以当X<O时，/⑺在(—8,1)为负，在(—1,0)为正，

所以不等式/(x)>o的解集为：(-l,0)U(l,+oo),所以选项D错误.

故选：BC.

4.(23-24高二下•上海•阶段练习)若函数/(x)=#+女2—x+*在&2)上存在严格减区间，则加的取值

范围是-国登一

【解题思路】借助函数与导数的关系，再参变分离，可得小<§-“在区间@,2)上有解，结合g(%)=§-久的

单调性计算即可得解.

【解答过程】/'(X)=%2+mx-l,

函数/(X)在G，2)上存在严格减区间，则r(x)<0在区间G，2)上有解.

即6<4万在区间G,2)上有解，

令9。)=§-X，因为g(x)在区间(；,2)上严格递减，

所以<g(£)=|，故有m<|.

故答案为：m<|.

5.(23-24高二下•辽宁•阶段练习)已知函数/(尤)=(a—l)x+e，(aeR).

(1)讨论函数y=f(x)的单调性；

(2)设函数gQ)=/(x)-sinx,若函数y=g(x)在［0,+8)上为增函数，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)对函数进行求导，参数a进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；(2)

由题可得函数y=g(x)在［0,+8)上为增函数，)(久)=a-1+ex-cosx>。在［0,+8)上恒成立，再利用导数

求函数的最值即可.

【解答过程】(1)由题意得，fXx)=a-l+ex,xER,

①当a21时，f'Qx')=a-1+ex>0,函数/'(%)在R上单调递增；

②当a<1时，令r(x)=a-1+e*>0,解得刀>In(l-a),

f'(x)=a-1+ex<0,解得x<ln(l-a),

所以函数/(x)在(ln(l-a),+8)上单调递增，在(-8,ln(l-a))上单调递减;

综上，当a21时，函数/(%)在R上单调递增；

当QV1时，函数f(%)在(-8,ln(l-a))上单调递减，

在(ln(l—a),+8)上单调递增，

(2)因为函数y=g(%)在［0,+8)上为增函数，

所以，g'O)=a-l+ex-cosx>。在［0,+8)上恒成立.

即l-Q<e*-cos%在［0,+8)上恒成立.

令九(%)=e*-cos%,当工€［0,+8)时，hz(x)=ex+sin%>0,

所以，h(%)=e'-cos%在［0,+8)上单调递增，/i(x)min=h(0)=0.

所以，1一。40,解得。之1,

所以，实数。的取值范围为口+8).

题型54函数的极值问题(共5小题)

1.(23-24高二下•贵州铜仁•阶段练习)已知函数/0)=。111%+%2-3%+1在久=1处取得极值，则f(x)的极

大值为()

A.In2+"B,-In2-1C.-1D.1

【解题思路】先求出a的值，再由导数求出单调性求解.

【解答过程】由题意知，r(x)=?+2x—3,所以r(l)=a+2-3=0,解得a=l,

所以3(x)=1+2x—3=(%>0),令r(%)=0,解得x=g或x=l,

由r(x)>0得，0<x<T，或x>l,

1

由ro)<o得，

所以了(%)在(0,［上单调递增，在(fl)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

X/(|)=ln|+(|)2-3x|+l=-ln2-i

所以f(x)的极大值为Tn2-3

故选：B.

2.(23-24高二下•湖北武汉•阶段练习)若函数nX)=xe，-ax恰有两个极值点，则实数a的取值范围是

()

1111

A.a>—rB.CL<--C.—-<a<0D.—a<0

eze2e2ez

【解题思路】求出函数fo)的导数ro),求出函数r(w有两个变号零点的口的范围即可.

【解答过程】函数/0)=疣，-3的定义域为口，求导得r(x)=(%+

由函数/(x)=xeX-ax恰有两个极值点，得函数尸(x)有两个变号零点，

即方程(x+l)ex-a=。有两个不等实根，令g(x)=(%+l)ex,因此函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个

交点，

求导得g'(x)=(x+2)ex,当久<-2时，g'(x)<0,函数g(x)在(一8,-2)上单调递减，

当x>-2时，g'(x)>0,函数g(x)在(一2,+8)上单调递增,

因此函数g(x)在％=-2处取得最小值g(-2)=_白,

而，9(-1)=。，且当％<-1时，g(x)<。恒成立，

在同一坐标系内作出直线y=a与函数y=g(x)的图象，如图：

观察图象知，当-尚<a<0时，函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个交点，

所以实数a的取值范围是—《<a<0.

故选：C.

3.(23-24高二下•云南曲靖•阶段练习)已知函数/(%)+]n%(aeR)有两个极值点玲%2，则下列说

法正确的是()

A.a的取值范围是(一8,0)u(4,+8)B.%i+%2=1

C.久62的取值范围是(0,3D./(久1)+/02)的取值范围是(—8,—3—21112)

【解题思路】函数/(%)极值点问题转化为ro)=o方程根的问题研究.A项转化为二次方程有两不等正根求

参数范围；BC项由韦达定理与参数范围可得；D项，先将所求式子整理变形，再利用韦达定理将打+冷,打

+冷整体代入消元，转化为求解函数/1(a)的范围即可.

【解答过程】A项，函数/■(%)=?久2-ax+Inx(aeR)有两个极值点久1处，

则尸(尤)=0至少有两正根.

£，r、.1ax2—ax+l、

f(x)=ax-a+-=---,%>0n,

设g(x)—ax2—ax+1,

当a=0时，g(x)=l,即r(x)=O没有实数根，不符合题意;

当aKO时，由题意知方程以久)=0有两不等正根，设两根为打,%2,

解得a>4.

则有居工JU

即a的取值范围是为(4,+8),故A错误;

BC项，因为％1,均是方程a*2-ax+1=。的两个不同的实数根,

所以Xi+%2=1，*1"2=：W(0,；)，故BC正确;

D项，/(%1)+/(x2)=曷-ax1+lnxx+^xl-ax2+lnx2

2

=9[(%1+x2)-2x1x2]-a(xi+%2)+ln*iX2=y(1-^)-a+In-

乙Z\a/ci.

=—Ina一万一1j

设h(a)=—Ina—5—l,a>4,

因为/i(a)在(4,+8)上单调递减，所以h(a)</i(4)=-3-21n2.

且当a74-故h(a)G(-8,-3-21ri2).

即f(%i)+f(%2)e(-oo-3-21n2),故D正确.

故选：BCD.

4.(23-24高二下•安徽马鞍山•阶段练习)已知函数/(久)=M0-1冲-/+》在%€点4)上有两个极值点，

则实数ni的取值范围是_(3气

【解题思路】求出函数f(x)的导数，由极值点的意义分离参数，构造函数转化成直线与函数图象在64)上有

两个交点求解.

【解答过程】函数/(%)=m(x-l)ex-%2+%,求导得广(%)=mxex-2x+1,

依题意，函数/(%)在64)上有两个变号零点，由((x)=0,得小=手，

令g(x)=7，xe(|,4),于是直线y=爪与函数y=g(x)在弓,4)上的图象有两个交点，

而0(%)=忑1二1牝二L2,由g，(x)>0,得由g(%)<0,得l<x<4,

exexz

即函数g(x)在弓1,1)上单调递增，在(L4)上单调递减，又必1)=。均⑴="1(4)7=£,

1

在同一坐标系内作出直线y=m与函数y=g(x)在(万,4)上的图象，

711

观察图象知，当不<小<々时，直线丫=血与函数丫=9。:)在(5,4)上的图象有两个交点，

即函数/Xx)在6,4)上有两个变号零点，函数f(x)在xe64)上有两个极值点，

所以实数小的取值范围是(£,?.

故答案为：(£3.

5.(23-24高二下•辽宁沈阳•阶段练习)已知函数f(x)=一炉+3久2+9久-2,求：

⑴函数y=/(x)的图象在点(01(0))处的切线方程；

(2)/(久)的单调递减区间；

⑶求/(%)的极大值和极小值.

【解题思路】(1)利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；

(2)根据导函数的正负即可确定所求的单调区间；

(3)根据(2)可求极值.

【解答过程】(1)由题意得:f'(x)=-3x2+6x+9=—3(x2—2x-3)=-3(x-3)(x+1),

.1.f(0)=9,又f(0)=-2,

y=/(x)的图象在(0/(0))处的切线方程为y+2=9(x—0),即9尤—y—2=0.

(2)由(1)知:f/{x}=-3(x-3)(x+1),

.•.当xe(―8,—1)U(3,+8)时，r(%)<0；当xe(-L3)时，r(x)>0；・•./(>)的单调递减区间为

(―8,—1),(3,+00).

(3)根据(2)可知，当％=-1为函数f(x)的极小值点，且f(-l)=一7,

当x=3为函数/(均的极大值点，且/3)=25,

所以f(x)的极大值为25,极小值为-7.

题型6卜、函数的最值问题(共5小题)

1.(23-24高二下•江西赣州•阶段练习)函数/(久)=%3_久2一3网久wo)的最大值是()

A.-9B.0C.1D.3

【解题思路】求导可得广⑺=/-2x-3,令尸(x)>0,r(x)<0可得函数f(x)的单调性，即可求解.

【解答过程】因为/(X)=#-%2-3x(xw0),所以尸(X)=%2一2%-3,

令ro)>o,得刀<一1,令ro)<o,得一1<%<0,

所以函数f(尤)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，

所以f(x)的最大值是/(-1)=|.

故选：C.

-1

2.(23-24高二下・四川内江•阶段练习)已知/(久)=/3_%在区间⑺方-/)上有最小值，则实数小的取值范

围是()

A.(-co,V5)B.(-V5,1)C.［-2,V5)D.［-2,1)

【解题思路】求得r(x)=/-i,得出函数f(x)的单调性，结合题意，得至uf7｝蓝)§：苟2,即可求解.

【解答过程】由函数/(X)=#-X,可得—(万)=尤2-1=(x+

当工<一1时，广(%)>0,/(%)单调递增；

当一IV%VI时,f'(x)<0,/(%)单调递减；

当%>1时,/(%)>0,/(%)单调递增,

要使得函数y=/(久)在区间(血方一血?)上有最小值，

则满足｛)篇:淞’即:二

-12

2

因为/3一瓶之一1可得63-37n+2Z0,BP(m—l)(m+2)>0,解得mN—2,

所以—2Wm<l,即实数ni的取值为卜2,1).

故选：D.

3.(23-24高二下•安徽安庆•阶段练习)已经知道函数/(久)=/一2久2在［_1同上，则下列说法正确的是

()

A.最大值为9B.最小值为-3

C.函数/(X)在区间［1,3］上单调递增D.久=0是它的极大值点

【解题思路】利用导数分析函数y=f(x)在区间上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断

各选项的正误.

【解答过程】•••/(工)=/一2乂2,则r(x)=3/-4x=x(3x-4).

令可得％VO或%>］；令((%)V0,可得Ov%v§.

当Xe［一1,3］时，函数y=f(x)在区间［一1,0),尊3］上均为增函数，

在区间［。,［上为减函数，C选项错误；

所以x=O是函数y=/(X)的极大值点，D选项正确；

因为f(O)=O,f(3)=27-2x9=9,/(-I)=-1-2X1=-3,

熊"祟2*竽=—||，

所以，函数y=/(x)在区间［-1,3］上的最大值为9,

最小值为-3,A、B选项正确.

故选：ABD.

4.(23-24高二下•湖北•阶段练习)若函数f(x)=2久+：+31nx在(a,2-3a)内有最小值，则实数a的取值范

围是」词—•

【解题思路】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于a的

不等式组，解得即可.

【解答过程】函数/(%)=2x+|+31n久的定义域为(0,+co),

532N+3%—5(2x+5)(x-l)

m=2—+-=：

%2=%2

令广(%)=o可得％=1或%=-|(舍)，

当ov久<1时r(%)<o,当%>i时/(%)>o,

所以/(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以/(%)在久=1处取得极小值，即最小值,

又因为函数/(%)在(a,2-3a)内有最小值，故0Wa<1<2-3a,解得OWa<(,

所以a的取值范围是卜3).

故答案为：［og).

5.(23-24高二下•江苏扬州•阶段练习)已知函数/(x)=ax+:—(a—2)lnx.

(1)当a=0时,求/(X)在性,21上的最值；(提示：In2ao.69)

(2)讨论/(x)的单调性.

【解题思路】(1)利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性求出最值即可;

(2)求出导函数的零点，再由零点的大小分类讨论即可得出答案.

【解答过程】⑴当a=0时，f(x)=：+21nx,则尸(为=等,

当时，/'(%)<0,当1<%W2时，f'(x}>0,

所以函数f(x)在L，l)上单调递减，在(1,2］上单调递增，

所以八X)min=f(D=2,

因为熊)=4-21n2/(2)=1+21n2,熊)〉f(2),

所以/'(x)max=/(1)=4—21n2,

综上:f(x)min=2,/,(X)max=4-21n2;

(2)f(x)=a-——=—；2)X-2=(—)(厂+2)(0)

J、'X2XX2X2v7

当aNO时，令尸(%)<0得0V%<1,令得％>1,

所以/(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

当a=—2时，-(%)=<o在(0,+8)上恒成立，

所以/'(X)在(。，+8)上单调递减；

当—2<aV0时，令<0得0V%V1或%>-令/(%)>0得1<%V-

所以f(x)在(0,1),(-3,+8)上单调递减，在(1,一|)上单调递增；

当a<—2时，令((%)<0得0<x<-g或久>1,令r(x)>0得—(<x<1,

所以f(x)在(0,-3,(1,+8)上单调递减，在上单调递增；

综上：当a<—2时/(>)在(0,-?，(1,+8)上单调递减，在(―上单调递增；

当a=-2时，/(%)在(0,+8)上单调递减；

当—2<a<0时，在(0,1),(―：,+8)单调递减，在(1,—3上单调递增；

当a20时，/(久)在(0,1)单调递减，在(L+8)上单调递增.

题型7卜导数中的函数零点问版彳其57函O1

1.⑵-24高二下•陕西咸阳•阶段练习)已知函数/⑺=仔3+游手f-0(若g(x)=/(*)-E有4个零

点，则实数机的取值范围为()

A.(0,9B.(-pO]uQC.{-鸿D.(一39

【解题思路】先讨论x=0是否为函数零点，然后f(x)-mx=0,两边同时除以工,分离参数，最终转化为

八(幻=9与丫=7n交点问题，求导，研究单调性画出h(x)图像，即可得到答案.

【解答过程】当x=0时，g(0)—小心=0,对于任意加恒成立，所以无=0是其中的一个零点.

当％H0时，g(%)=f(%)-血%有三个(除％=0之外)的零点，即/(%)-m%=0,与^=TH,所以y=/F，y=7n

有三个交点.

令八(久)=e={x2+3%+2,x<0,

Inx、八,

—,X>0,

x

、【/_门r/、Inx7,/、1—Inx

当%>0,/l(%)=―9h(%)=/，

当OVxVe,hf(x)>0,/i(%)单调递增.当％>e,hf(x)<0,九(%)单调递减,

所以九(X)max=〃e)=；.

当久<0,八(久)=N+3久+2,为二次函数，易知单调性，

九(x)在(—8,—|)单调递减，在(_|,o)单调递增.h(x)min=初—|)=-1.

似乃图像如下：

%(x)与y=加有三个交点，加的取值范围为一：＜小＜0或者爪=

故选：B.

2.(23-24高二下•四川眉山•阶段练习)己知函数/(久)=e%+ax有两个零点灯,久2，且卬＞久2，则下列说法

不正确的是()

A.a<-eB.x-^+x2>ln(%1%2)+2

C.xi%2>1D.f(x)有极小值点

【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0,判断A；根

据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合f(0)>0,即可判断C；根据A的判断，即可判断

D.

【解答过程】由题意,函数/O)=e，+ax,则r(x)=ex+a,

当a20时，广(乃=^+£1>0在区上恒成立，所以函数f(x)单调递增，不符合题意；

当a<0时，令尸(%)=e*+a>0,解得(>ln(—a),令/，(无)=e*+a<0,解得x<ln(-a),

所以函数/'(%)在(-oo,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增，

x

因为函数/■(%)=e+ax有两个零点xi/2且xi>x2,

对A,贝!J/Xlnl-a))=eln(：_a)+aln(-a)=-a+aln(-a)=-a(l-ln(-a))<0,且a<0,

所以1—ln(—a)<0,解得a<—e,所以A正确；

X2

对B,a<-e,且e4+axi=0,e+ax2-0,故=In(-ax。，x2=ln(-a%2)>

2

所以Xi+x2=ln(ax1x2)=21n(-a)+刊⑸冷)>2+ln(xi%2)，所以B正确；

对C,由/'(())=l>0,且由A可知，a<-e,ln(-a)>1,则0<及<1，但>1不能确定，

所以C不正确；

对D,由函数/(x)在(-8,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增，

所以函数的极小值点为工o=ln(-a),所以D正确；

故选：C.

3.(23-24高二下•山东泰安•阶段练习)已知函数/(吗=9-奴2(a为常数)，则下列结论正确的有

()

A.a=］时，/(久)N0恒成立

B.a=l时，/(久)无极值

C.若/(为有3个零点，贝la的范围为(?,+oo)

D.a=,时，/(%)有唯一零点且一1<%o<-：

【解题思路】A选项，当。=5时，二次求导得到函数单调性，结合f(-l)=H<0得到A错误；B选项，

a=l时，二次求导得到函数单调性，得到B正确；C选项，当x=0时，显然/'(0)40,久力。时，参变分离，

记F(x)=s,求导得到其单调性，结合特殊点函数值得到a的范围为(3,+8),C正确；D选项，二次求导

得到函数单调性，结合零点存在性定理可知，存在唯一的工。，满足-1<为<-今

x2/xxx

【解答过程】对于A,当a=］时，/(x)=e-fx,/()=e-ex,令g(%)=/'(%)"(%)=e-e,

令g'(%)=e*-e>0,则%>1,广(%)在(L+8)上单调递增，在(一8,1)上单调递减,

故尸(%)"(1)=0，

・•・/(X)在R上单调递增，/(-l)=|-f<0'故A错误；

对于B,当Q=1时，/(x)=ex-x2,//(x)=ex-2x,^m(x)==ex-2,

令?n，(%)=e*—2>0,则%>ln2,令nT(%)=e“-2V0,解得久Vln2,

广(%)在(ln2,+8)上单调递增，在(-8,ln2)上单调递减，

故尸(%)>f(ln2)=2-21n2>0,

・•・/(%)在R上单调递增，无极值，故B正确;

对于C,令/(%)=e'-a/=o,当汽=0时，显然

故％=0不是函数的零点，

当工。0时，则a=聂,记正(%)=%则尸'(%)=e

令-(久)=>0得％<0或%>2,令尸(%)<0得0V%<2,

故尸(工)=\在(—8,0),(2,+8)单调递增，在(0,2)单调递减，且F(2)=?,

且当%t+8和%70时，+00,

故/(%)有3个零点，贝心的范围为(?,+8),C正确，

对于D,当a=:时，/(x)=ex-1x2,1(%)=ex-x,

令h(%)=f<x),则"(久)=ex-l,

令"(%)=e^—1>0,则汽>0,令解得汽<0,

故广(%)在(o,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，故r(x)2r(o)=i,

f0)在R上单调递增，则此时/(%)至多只有一个零点&,

又/(—1)=e-1-1=芸<0/(4)=院匕！=籍>。，

1

由零点存在性定理可知，存在唯一的犯，满足-1<配<-5,选项D正确；

故选：BCD.

4.(23-24高二下•河南濮阳•阶段练习)若函数/(久)=(e，+x)[ln(-久)+时有2个不同的零点，则实数k的

取值范围是(―8.—1)U(—IQ]U

【解题思路】设9(%)=e%+%,根据单调性及零点存在定理确定零点范围，令+k%=0,得k=一

吟2设%(%)=-吟2求导，根据单调性及函数极值的取值情况确定k的范围，再根据两个零点不相同对

k的取值进行排除即可.

【解答过程】由己知函数f(x)的定义域为(-8,0),

1

设9(%)=^+%,明显g(%)单调递增，且g(-l)=l—1<0,.g