福建省宁德市部分学校2024-2025学年高二年级下册4月期中质量监测数学试题（含详解）

福建省宁德市部分学校2024-2025学年高二下学期4月期

中质量监测数学试题

一、单选题(本大题共8小题)

1.下列关于空间向量的说法正确的是()

A.任意两个空间向量不一定共面B.模相等的两个向量是相等向量

C.平行于同一个平面的向量叫做共面向量D.空间中任意三个向量都可以

构成空间的一个基底

2.设向量q,02,63不共面，已知48=q+e2+ej,8C=q+2e2+e3，CD=6q+9e2+6e?,

若ac,。三点共线，则彳=()

A.1B.2C.3D.4

3.若函数/(x)=asinx+l满足八0)=兀，则”=()

71

A.1B.-1C.-D.兀

2

4.如图，在直三棱柱4SC-44G中，点E在棱4cl上，且4石=；4£.设比1=»,

BB}=bM=c,贝4屉=()

幺...—

—Cl+bH—C一ClH----b+C

33

aH—bH—c—ci+bH—c

3333

5.函数/(x)='(xT)的部分图象大致是

2x-l

c.D.

~o\\

1y

6.函数=图象上一点尸到直线y的最短距离为（）

A历R6cV5V5（2-21n2）

A•，2LJ.---V/•----U•-----------------

255

7.如图，在四棱台中，底面/BCD是菱形，44J平面

1兀

ABCD,AA,==^B=l,ZABC=y,直线NC与直线所成角的余弦值为（

A.—B.—C.—D.—

4225

8.记/'（x）是〃x）的导函数，/（X）是/''（X）的导函数，若曲线y=〃x）在点

&,〃％））处的曲率4=„.1+[/，（%）于『，则曲线/（X）=x3在点处的曲

率为（）

.16口27C.河125

A•药B.正D.----

125108

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知定义在（国,%）上的函数/（x）的导函数为/（x）,/'（x）的图象如图所示，贝|（

A./（x）在（%,%）上单调递增B./（x）在（％，尤4）上单调递减

C./(X)有1个极大值点D./(x)有1个极小值点

10.已知函数/'(x)=x3一3/一IO》，下列说法正确的是()

A.“X)有3个零点

B./(x)的图象关于点(1,-24)对称

C.“X)既有极大值又有极小值

D.经过点(-2,0)且与/(x)的图象相切的直线有2条

11.在四棱锥尸一4BCL•中，AB±PB,AB=PB=BC=2>/2,四边形/BCD是平行四

边形，E〃分别为棱的中点，CE=EH,点C在平面PN8的射影恰好是棱

尸/的中点，则()

A

A.4尸〃平面PS

B.线段斯的长为巫

2

C.三棱锥的外接球的表面积为32兀

D.平面4ER与平面尸48夹角的余弦值为叵

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知空间中的三点41,2,3),5(1,2,5),C(3,0,l),则点C到直线的距离为—

13.若函数〃x)=lnx+F在(1,+s)上单调递增，则加的取值范围是.

14.若将一块体积为4兀的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知函数/(x)=2x3+3x2.

⑴求“X)在X=g处的切线方程;

⑵求过点;,且与曲线y=/(x)相切的直线方程.

16.如图，在正四棱柱NBC。-48coi中，44]=及"8=2及,Af为棱的中点.

(1)求三棱锥。-4。的体积.

(2)证明：平面4al.

(3)求直线8。与平面4co所成角的正弦值.

17.已知函数/'(x)=-x2+(/+a)lnx+(l-a)x.

⑴若“=1,求”X)的极值；

⑵若02-；，讨论〃x)的单调性.

18.在矩形/BCD中，E*为CD上两个不同的三等分点，如图1.将△/FD和

V8EC分别沿向上翻折，使得点C,。重合，记重合后的点为尸，如图2.已

知48=6,四棱锥尸-A8EF的体积为述.

P

⑵求平面口月与平面心E所成角的正弦值.

19.已知函数〃x)=aln(x+l)+!-1.

(1)若/(x)在其定义域内单调递增，求。的取值范围；

2

⑵若a=0,证明：Vxe(O,+a)),/(x)+-^<0；

⑶若/(x)在，上有两个极值点，求”的取值范围.

参考答案

1.【答案】c

【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误.

方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误.

平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确.

空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误.

故选C.

2.【答案】B

【详解】IC=2^+(l+2)^+2^,因为4C,。三点共线，所以k=“无，即

69

-=,解得丸=2.

21+A

故选B.

3.【答案】D

【详解】由/(x)=asinx+l,

得fXx)=acosx,/(0)=a=K.

故选D.

4.【答案】A

【详解】,BE=BBl+B^E=BB[+-B^Al+-B[Cl=-a+b+-c.

故选A.

【详解】根据题意，函数的定义域为{x|xwg},

当时，x-l<0,2x-l(0,ex)0,所以/(x)>0.排除BC.

所以/(X)在［,+"］上单调递增，排除D.

故选A.

6.【答案】C

【详解】设与直线>=楙平行且与曲线/(x)=，nx相切的直线的切点坐标为

Xo，｝叫)).

/、111/X

因为/'(%)=丁，所以3—=不，解得％0=1，则切点坐标为(1,0).

2%N/，

最短距离为点(1,0)到直线>=］的距离，即

故选C.

7.【答案】A

【详解】取8c的中点F，连接/足则由题意可得且

BF=I,AF=6

以A为坐标原点，4厂M244所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标

系，

则40,0,0),3(>/3,-1,0),^乎，-;,1,C(V3,l,0),

I22)

一.f731一►r

所以84=一、-；/，/C=(6,l,0),

所以Ms函,万卜V2

4

所以直线/C与直线所成角的余弦值为正.

4

故选A.

8.【答案】C

【详解】由题意得了'(x)=3/j"(x)=6x,则/［雪=:/］|)=4,

3

2822

则曲线〃X)=X3在点4

5处的曲率为K=4x1+—,故C正确.

327125

故选C.

9.【答案】AD

【详解】由图可得，当时/'(x)<0,所以函数在(再,声)上单调递减，

当无€(马,匕)时/'(x”0,当且仅当/'(X4)=O,所以函数在值,z)上单调递增.

综上/(X)在(士多)上单调递减，在(马,天)上单调递增，故A正确，B错误；

〃x)有1个极小值点，无极大值点，故C错误，D正确.

故选AD.

10.【答案】ACD

【详解】对A：由-3/_10》=0nx(x+2)(x-5)=0nx=O或无=-2或x=5.所以

函数/(x)有3个零点.故A正确；

对B：因为/(l+x)+/(1-x)=(1+X)3-3(1+X)2-10(1+X)+(1-X)3-3(1-X)2-10(1-X)

=-24,

所以/(x)的图象关于点(1,-12)对称，故B错误；

对C：因为函数〃尤)有3个零点，结合三次函数的性质，可得函数草图如下：

所以函数/(x)既有极大值又有极小值.故C正确；

对D：设函数图象上任意一点«了一3/-10。，

因为/'(%)=3/-6x-10,

所以函数在该点处的切线方程为：

y~(t^~3t2-10。=(3/-6/-10)(x-%),

因为切线过点(-2,0),所以0-(J-3?2-10?)=(3?-6/-10)(-2-/),

整理得：2尸+3/-⑵-20=0,

因式分解得：(/+2)2(2/-5)=0=1=-2或1=1.

故过点（-2,0）与函数〃x）的图象相切的直线有两条.

故D正确.

故选ACD.

11.【答案】ABD

【详解】对于A,取线段CP的中点连接FN,MH,

因尸为棱的中点，则又/为△PCD的中位线，则必7/CD,S.MF=^-CD,

2

因H为棱N8的中点，且四边形ABCD是平行四边形，则/H//CZ）且

则“？7/4H■且A/F=,则四边形AffiWF是平行四边形，AFHMH,

又”（z平面PC”，MHu平面尸C〃，贝UN尸〃平面尸C”,故A正确；

对于B,取分别取线段3〃、/尸的中点K、N,连接尸N、NK、EK,

由于展为丫助的中位线，则EK//BC,且EK=：8C,

由于冲为VPD4的中位线，则句V〃4D,且EN=g4D,

又因为四边形N3C。是平行四边形，则4D//BC,且4D=3C,

则EK//FN,且EK=FN,则四边形月区£是平行四边形，则EF=NK,

因ABLPB,AB=PB=2g,飒NH=叵，KH,

2

则NK=}⑸+'=乎’即跖=乎，故B正确；

对于C,因点。在平面尸48的射影恰好是棱尸/的中点，则以N为原点，

分别以平行于/B、3P的直线为x轴、V轴，以CN所在直线为z轴，建立空间直角

坐标系如图，

在RtVGVS中，CN=⑪。—BN2=]（2⑶一,x2&=不（2可一2?=2,

则/f（V2,V2,0）,S（-V2,V2,0）,C（0,0,2）,P（-V2,-V2,0）,^。，亨,，，

则丽=第=（2后,0,0）,莎=（2行,2行,0）,

则可2也,0,2）,尸1#,一¥，1],

I22）

设三棱锥的外接球的球心O（x,%z）,半径为R,

PO2=(x+V2)2+(y+V2)2+z2=R2

角牟得x=0,y=0,z=0,R=2,

302=(x+&/+(y_^『+z2"

CO2=x2+/+(z-2)2=J?2

则外接球的表面积为47tA2=16兀，故C错误;

_(石、_(石

对于D,由C选项可知，AE=—V2,——,1,EF=V2,0

设平面NE尸的法向量为而=（X],%,Z]）,

AE•机=一^\/2%)—M+Z|=0

则令％=26,贝|得比=（2行,0,5）,

EF-m=^x]-42yi=0

容易知平面融3的法向量为元=（0,0,1）,

则平面/£厂与平面PAB夹角的余弦值为叵，故D正确.

7

故选ABD.

12.【答案】2立

【详解】因为空间中的三点”（1,2,3）,8(1,2,5),C(3,0,l),所以就=(2,-2,-2),

AB=(0,0,2),

dr*i、l/人人~7rt\A.C,A.B5/3.----►---►-cos2(AC,AB)二'

所以cos(AC,AB)=_._g-=--—,sin{AC,AB)=

点C到直线AB的距离为I就|sin〈就,4§〉=2Gx，=2Vi.

13.【答案】（/J

【详解】由f（x）=lnx+%,得津解户工一彳,

XXX

又函数〃x）在（1,+8）上单调递增，

所以/'（x）=，-：20在（1,+8）上恒成立，即所以加W1.

XX

25

14.【答案】6x2^兀（或3x2、）

4

【详解】设圆柱底面圆的半径为r,高为力，则犷2%=4兀，即〃=下.

r

由圆柱的表面积公式得圆柱的表面积为2兀泌+2%/=2%「+产），

令函数/（厂）=2%「+/，，贝I]f⑺=2%（一。+2,）=4无.，2，

当/＞蚯时，/（r）＞0,/⑺单调递增，当0〈1蚯时，/'（r）＜OJ⑺单调递减,

则/⑺在（0,码上单调递减，在（次,+可上单调递增，

22

得到=6X2^TT,故圆柱表面积的最小值为6x23?r

15.【答案】（l）18x-4y-5=0

（2）y=l或18x-4y-5=0

【详解】（1）r（x）=6x2+6x.

仁“」

/（X）在X=；处的切线方程为了一l=即18x_4y_5=0.

（2）设所求直线与曲线y=〃x）相切于点P（x0,2■+3尺），

则曲线尸〃x）在点尸处的切线斜率为/'（%）=6君+6%,

所以切线方程为V-2工；-3^o=（6xj+6%）（%-%0）.

因为切线过点所以1-2耳-3焉=（6/+6%）（；-/],

解得%=-1或%=；,则尸（T1）或尸

故所求直线方程为V=1或18x-4y-5=0.

16.【答案】（1）生旦

3

（2）证明见解析

（3）坐.

3

【详解】（1）易知三棱锥2-4。。即三棱锥4-c。。，

其体积为LL2*2A/2x2=生2

323

（2）以A为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

则A(0,0,0),Af(0,2,V2),4(0,0,2^2),C(2,2,0),D(0,2,0),5(2,0,0),Q(0,2,2及).

而=(0,2,&)，砺=(0,2,-2&),CD=(-2,0,0),西=(-2,2,2夜)

因为而•而=0,万乙丽=0,所以NMLNQ./MLCA.

因为A{D,CDu平面4CD,&DcCD=D,所以/M_L平面4co

（3）由（2）得而是平面4a＞的一个法向量

设直线82与平面4co所成的角为，,

4

AM-BDXl+4|^6

贝ijsin9=|cosAM,BD\=

西西j4+2xJ4+4+8

故直线与平面4co所成角的正弦值为YS.

3

17.【答案】(1)极大值-1,无极小值；

(2)答案见解析.

【详解】(1)当°=1时，f(x)=-x2+2\nx,定义域为(0,+8),

则/(x)=-2x+-=―'----L-

XX

当x«0,l)时，/'(x)>oj(x)单调递增；当X£(l,+8)时，/'(x)<0J(x)单调递减.

故当X=1时，“X)取得极大值-1,无极小值.

(2)由/(x)=-x2+(6+〃)lnx+(l-〃)x,x>0,

/曰rt(\Q2+a—212+(1—a)%+Q2+Q—+—Q—1)

JIXJ——2xHF1—Cl——.

XXX

令(X+Q)(2X—Q-1)=0,得％=一〃或、=.

若a20,则一440,土也>0,

2

当xw［o,笠时，/'(x)>oj(x)单调递增；当时，/(x)<OJ(x)单

调递减.

若一g<a<0,则a；>-a>0,

当xe(O,-a)和］—■,+(»)时，/'(x)<OJ(x)单调递减；当，号口时，

/(x)>OJ(x)单调递增.

若a=-g,则—■=-。=(/。心0在口(0,+8)上恒成立，/(X)单调递减.

综上所述，当时，〃x)的单调递增区间为［。,等］,单调递减区间为

当-；<”0时，"X)的单调递增区间为卜/,等

单调递减区间为(0,-。)和

当。=-;时，"X)的单调递减区间为(0,+8),无单调递增区间.

18.【答案】⑴3=4

⑵

8

【详解】(1)取/民E尸的中点分别为G,〃，连接PH,HG,PG,

过点尸作尸垂足为M,

设AD-a,则HG=a,

!PE尸为等边三角形，EH=；EF=T,PH=6,

在VPA8中，PA=PB=a,PG=』a2-9，

*AO^J+JPH2+HG2-PG22A/3._Va2-12

在LXPGH中,cos/PHG=----------------=----,sm//PDHG=--------，

2PHHGaa

PM=PH-sin/PHG="'"一.

a

弘

又梯形/8£产的面积S=^(-E-F--+--A-B1Y--H--G=4。，

2

所以四棱锥尸斯的体积为。SPM=L4a=48-〃2一12二座

33a33

角牟得a=4(。=一4舍去)，即4。=4；

(2)由(1)可得HG=AD=4,PM=叶,HM=3,GM=—.

222

以M为坐标原点，所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系,

则/35,一3,01,8、5,3,01《一3|,1,0),尸]一。3一1,0),尸0,0巧,

2222

、7

5

所以善=(-4,2,0),第=(-4,-2,0),万=(5"

I--2，3,--2-,BP=2—2)

7

n-AF=一4玉+2y1=0,

设平面尸N厂的法向量为万=(再，W4)，贝U一另_5,V3_n

n,A.P=—X]+3%H---Z]—0,

、22

取西=5得万=(6,2后-7)

m-BE=-4X2-2y2=0,

设平面P8E的法向量为成=(%，为，z?),贝卜

m-BP=-^x2-3y2+^-z2=0,

取/=小，得加=(后一2后-7)

m-n3-12+495.一一A/39

所以cos伍力sin<m,n>=----，

\m\\n\~V3+12+49xJ3+12+49.8，8

所以平面取厂与平面尸BE所成角的正弦值为叵.