高二年级下册期中复习题（20类题型）解析版-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第三册）

2024-2025学年高二下学期期中复习真题精选（常考100题20类题型

专练）

【人教A版（2019）］

题型归纳

题型1变化率问题

题型3曲线的切线问题

题型5函数的极值、最值问题

题型7导数中的恒（能）成立问题

题型9排列数、组合数的计算

题型11相邻、不相邻排列问题

题型13求二项展开式的特定项（系数）

题型15二项式乘积、三项展开式系数问题

题型17随机变量及其分布

题型19二项分布与超几何分布

题型1'变化率问题（共5小题）

1.（23-24高二下•福建龙岩・期中）若函数/（久）=/-久，则函数f（x）从x=l到久=3的平均变化率为（）

A.6B.3C.2D.1

【解题思路】利用平均变化率的定义可得答案.

【解答过程】因为/（x）=1-X,所以/■（1_）=12-1=0,，⑶=32-3=6,

故函数/（X）从x=1到x=3的平均变化率为祟=弋二,⑴=等=3.

故选：B.

2.（23-24高二下•江西萍乡•期中）已知甲、乙两个小区在［0月这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间

t的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（）

①在代揽2］这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；

②在［以，%］这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；

③在勿时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；

④乙小区在功时刻的分出量比13时刻的分出量增长得快.

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项.

【解答过程】①在电力］这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；

②在［以，b］这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快，故②正确；

③在以时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确；

④乙小区在t2时刻比在b时刻陡，所以在12时刻的分出量比值时刻的分出量增长得快，故④正确.

故选：D.

3.（23-24高二下•四川广元•期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离九（单位：m）与时间t

（单位：s）之间的函数关系为/1«）=2/+23则下列说法正确的是（）

A.前3s内球滚下的垂直距离的增量△%=20mB.在时间［2,3］内球滚下的垂直距离的增量△%=12m

C.前3s内球在垂直方向上的平均速度为8m/sD.第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为10m/s

【解题思路】利用函数关系式计算可判定A、B,由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项.

【解答过程】前3s内，At=3s,Aft=h（3）-/i（0）=24m,

此时球在垂直方向上的平均速度为等=9=8m/s,A错误；C正确；

在时间［2,3］内，At=ls,Ah=h（3）-/i（2）=12m,B正确；

〃（t）=4t+2,"（2）=4x2+2=10,则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为lOm/s,

D正确.

故选：BCD.

4.（23-24高二下•安徽亳州•期中）已知函数/（久）=2/-％+1,贝疗（久）从1至IJ1+△%的平均变化率为

x+3._.

【解题思路】借助平均变化率定义计算即可得.

［解型过程Jf(l+△久)-f⑴_2(1+△久)2-(1+，%)+1-(2-1+1)

=2(32+3AX=2AX+3

△%

故答案为：2Ax+3.

5.(23-24高二下•河南•期中)2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞.长征五号运载

火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道.竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s,此

后其位移单位：m)与时间f(单位；s)近似满足函数关系”=100t-5t2

(1)分别求火箭在［0,2］、［2,4］这些时间段内的平均速度；

(2)求火箭在1=2时的瞬时速度；

(3)熄火后多长时间火箭上升速度为0.

【解题思路】(1)根据平均速度”弋入表达式计算；

(2)由函数H(x)=100t—5t2,可得夕(x)=100—103根据导函数几何意义可求解；

(3)根据题意即求瞬时速度为0时的/的值.

【解答过程】(1)由位移”与时间,近似满足函数关系H=100t-5t2,

则火箭在［0,2］这些时间段内的平均速度为智臀=I"'*??=gom/s；

火箭在［2,4］这些时间段内的平均速度为：嘴手2)=100X4-5X42/100X2-5X22)=7(^/5.

(2)由函数H(x)=loot-5t2,可得/(x)=100-10£,可得牙(2)=100-10x2=80m/s,

所以火箭在t=2时的瞬时速度为80m/s.

(3)由牙⑺=100—10t,令H'(x)=0,BP100-10t=0,解得t=10s,

熄火后10s火箭上升速度为0.

题型2N、利用导致的定义解题(共5小题)

1.(23-24高二下•江西萍乡•期中)设/(久)在R上的导函数为r(x),若limn上等返=2,则((3)=()

△久TO5△久

A.-2B.2C.-6D.6

【解题思路】由已知结合导数定义即可求解.

［解答过程】由于lim⑶=1Hm⑶=一牙⑶=2,则/(3)=-6.

故选：C.

2.(23-24高二下•黑龙江伊春•期中)若/(*)是可导函数，且1m"1-3父)-八1)=6,则/(1)=()

△x->0一组

2

A.2B.-C.-1D.-2

【解题思路】根据导数的定义即可求解.

【解答过程】广⑴=1皿“3黑-"1).im"-3A”⑴6=2.

故选:A.

3.(23-24高二下•安徽合肥・期中)若当△%->(),满足，⑴*'-l,则下列结论正确的是()

/(1+的一“1—△久)、

--------;--------->-4

A.Ax

“1+△尤)一f(l一△》)

B-&T

C.曲线y=f(x)上点(1)(1))处的切线斜率为一1

D.曲线y=/(%)上点(1/(1))处的切线斜率为—2

【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.

【解答过程】由,⑴会叫-1得:'⑴［尸)-2,即r(1)=—2,

曲线y=/(x)上点(1/(1))处的切线斜率为—2,C错误；D正确;

/-(1+Ax)-/(1-Ax)/(1+Ax)-/(1-A%)/W-f(l—Ar)、

-----Nc-------:2x-----------------=2x-&--------A正确;B错误.

故选：AD.

4.(23-24高二下•上海•期中)己知函数y=f(久)在x=2处的切线斜率为匕且lim小牛口=一2,则/c=

h-0”

-2.

【解题思路】根据导数的定义可得答案.

【解答过程】因为函数y=在X=2处的切线斜率为k=((2),

且Hm/产2=((2)=-2,则k=-2.

故答案为：—2.

5.(23・24高二下•上海•期中)已知/(%)在右处的导数r(%0)=匕求下列各式的值:

(2)limAx

【解题思路】(1)(2)根据导数的定义即可求解.

【解答过程】(1)=

即］imf（Xo），8Ar）==k

Av—n△久

.]jm」（久（））一）（qo-△久）=i]jm/（%0））（%o△久）=3'（Xo）=1

-2AX2AX^0△%

f（%o+A%）一/（久0—4久）

（2）:

（x0+A^）-（x0-Ax）

即3"梦匚出为函数/(x)在区间因-Ax,%0+△用上平均变化率.

/（00+△：¥）一/（第0-△；＜）

.•.当时,

Ax—O-2Ax-必趋于/(%0)=k,

/Oo+AjO-fOo.A%）

・•・lim=k,

△%T0-2Ax-

/~（K0+A<）/（%060

/.lim=2k.

△%->oAx

题型3、曲线的切线问题(共5小题)

1.(23-24高二下•湖南益阳・期中)曲线f(%)=(久+1)9在x=0处的切线方程为()

A.y=x+1B.y=x+2C.y=2%+2D.y=2%+1

【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解.

【解答过程】由函数/久)=(x+l)ex,得/(久)=(x+2)ex,

则f(0)=1,r(0)=2,

所以曲线在X=0处的切线方程为y-l=2x,即y=2久+1.

故选：D.

2.(23-24高二下•重庆九龙坡•期中)已知函数/'(%)在x=2处的切线方程为3x+y—2=0,则/(2)=

()

A.0B.-3C.-4D.-8

【解题思路】由导数的几何意义求解即可.

【解答过程】因为函数/(X)在x=2处的切线方程为3x+y-2=0,

此时直线方程3x+y-2=。的斜率为-3,

所以尸(2)=-3.

故选：B.

3.(23-24高二下•湖南•期中)过点P(2,—6)作曲线/0)=炉—3%的切线，则切线方程可能是()

A.3%+y=0

B.24%—y—54=0

C.9x—y-24=0

D.12%—y—24=0

【解题思路】先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐

标写出切线方程，再将点P的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案.

【解答过程】

3

•</=3/-3.设曲线的切点为(尤o，yo),则k=3x()2-3,y0=x0-3%0.

2

切线方程为y-(配3-3K°)=(3XO-3)(X-%O).

又切线经过点P(2,-6),贝『6-0()3-3xo)=(3x()2_3)(2-xo),解得g=。或&=3,

・•・切点为(0,0)时，切线方程为3x+y=0；切点为(3,18)时，切线方程为24x-y-54=0.

故选：AB.

4.(23-24高二下•广东惠州•期中)已知函数/(x)=ef+l,则函数/(尤)=0管+1的图像在(0,2)处的切线方

程为_式±y—2=0.

【解题思路】利用导数的几何意义，在该点的导数等于该点切线的斜率即可求解.

【解答过程】由/(x)=ef+L得(⑺=-e-r,则1(0)=-1,

所以函数f(x)=er+1的图象在(0,2)处的切线方程为y=-x+2,即x+y-2=0.

故答案为：x+y—2=0.

5.(23-24高二下•陕西汉中•期中)已知函数/(%)=-/+久+=e-2x+i.

(1)求曲线y=/(久)在％=1处的切线方程；

(2)若曲线y=/(%)在x=1处的切线与曲线y=g(x)在x=t(teR)处的切线平行，求t的值.

【解题思路】(1)根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程；

(2)根据(1)的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解.

【解答过程】Cl)f\x)=-3x2+l,/(I)=1,1⑴=一2,

所以曲线y=/'(X)在x=1处的切线方程为y-l=-2(%-l),即2%+y-3=0；

(2)由(1)可得：曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y=-2x+3,

由g'(x)=-2e-2x+i,可得曲线y=g(%)在x=t(teR)处的切线斜率为g，(t)=-2e-2t+1,

由题意可得—2e-2t+i=-2,从而t

题型4q函数的单调性问题(共5小题)OJ

1.(23-24高二下•新疆克孜勒苏•期中)函数/(x)=2x-41nx的单调递减区间是()

A.(—oo,2)B.(0,2)C.(2,+8)D.(e,+oo)

【解题思路】求出函数的导数，再解不等式r(x)<o即可得解.

【解答过程】函数/'(%)=2久—41n久的定义域为(0,+8),求导得广(刀)=2

由((%)<0,得0<x<2,

所以函数“X)=2x—41nx的单调递减区间是(0,2).

故选：B.

1

2.(23-24局二下•江苏扬州•期中)已知函数/(x)的定义域为(0,+8),且/(l)=e—于f(x)+x>ex,则不

等式2e，-2/(x)>x2的解集为()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(1,+oo)D.(0,1)U(1,+oo)

【解题思路】由题设不等式整理后构造函数g(x)=/(x)-ex+京2满足g，(x)>0,得出y=g(x)在(0,+oo)±

单调递增，整理待求不等式，利用函数y=g(x)的单调性即可求得.

【解答过程】由尸(龙)+》>廿可得/0)—廿+%>0,即e，+京2)，>o,

设。⑶=f(x)-ex+#,x£(0,+oo),则由g，(x)>0可得，y=g(x)在(0,+8)上单调递增.

111

又g(l)=/⑴-e+-=e---e+-=0,

x

由2e久一2/(%)>/可得，/(x)-e+<0,即g(%)<g(l),解得0<xVl.

故选：A.

3.(23-24高二下•福建福州•期中)下列函数在(0,+8)上单调递减的是()

A.y=x—exB.y=e~x—ex

一.—

C.y=x—sin%D.y=i—x

【解题思路】根据导数判断AC的单调性，根据基本初等函数单调性判断BD.

【解答过程】对A,y,=l-ex,当％>0时，y,<0,故函数在(0,+8)上单调递减，故A正确；

对B,丫=@),-9为区上的减函数，故B正确；

对C,y=l-cosx>0,故函数在R上单调递增，故C错误；

1

对D,y=1―1在(0,+8)上单调递减，故D正确.

故选：ABD.

4.(23-24高二下・四川泸州•期中)若函数g)=lnx-：a久2一2%在口,4］上存在单调递增区间，则实数a的取

值范围是<二春

【解题思路】求导得/f(x)=5-a久一2,转化为/T(x)>0在［1,4］上有解，最后分离参数即可.

-11

【解答过程】函数九(%)=In%-,。/一2%,贝!!"(%)=］一。%—2,

因为九(%)在［1,4］上存在单调递增区间，所以斤(第)>0在［1,4］上有解，

19

所以当xe［1,4］时，a〈哀—受有解，

令g(x)=2而当xe［1,4］时,令士=汨判，

g。)=*T即为s(t)=t2-2t=(t-i)2-i,

此时0(t)max=潟)=-看(此时X=4),所以a<一卷，

故答案为：a<—白

10

5.(23-24高二下•云南昭通•期中)已知函数/■(>:)=9-枭3-?一2£1%+1.

(1)当a=0时，求曲线y=/(*)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)若/(%)在［0,+8)上单调递增，求a的取值范围.

【解题思路】(1)根据题意，求导得广(%),再由导数的几何意义代入计算，即可得到结果；

(2)根据题意，由条件可得r(x)20在区间［0,+8)上恒成立，然后分离参数，转化为函数最值问题，即可

求解.

【解答过程】(1)当a=0时，/(%)=ex-y+l,财穴l)=e+2,

又r(x)=ex-x,所以尸(1)=e-1,

所以y=/(x)在(1/(1))处的切线方程为y-(e+g)=(e-l)(x-l)»

即2(e—l)x—2y+3=0.

(2)因为f(尤)在［0,+8)上单调递增，

所以尸(%)=ex-ax2-x-2a>0在区间［0,+8)上恒成立，

所以a<仁高)，

人"、eirnl"/、(ex-1)(x2+2)-(ex-x)-2x

令9(无)=西？则gO)=------西方------，

令h(x)=(ex—l)(x2+2)-(ex—%)-2x,则〃(x)=x2ex+2x,

当KN0时，〃(x)20,h(x)单调递增，/i(x)>/i(0)=0,

所以g'O)N0,所以g(x)单调递增，所以g(x)min=9(0)=g，所以awg,

所以a的取值范围为(-8,J

题型5飞函数的极值、最值问题(共5小题)

1.(23-24高二下•重庆九龙坡•期中)若函数/(x)=x(x+c)2在x=—1处有极大值，贝此=()

A.1或3B.3C.1D.-

【解题思路】根据在％=-1处的导数为。求得c,然后验证函数f(x)是否在％=-1处取得极大值即可.

【解答过程】因为/'(X)=(x+c)2+2x(x+c)=3x2+4cx+c2=(3x+c)(%+c)

若函数/(x)=x(x+c)2在X=-1处有极大值，

所以广(-1)=(-3+c)(-l+c)=0,解得c=3或c=1,

当c=3时，1(%)=(3x+3)(%+3),

当%>—1或％<—3时，f'(x)>0,当一3<%<—1时，f(x)<0,

则函数/■(>)在X=-1处取得极小值(舍去)；

当c=l时，r(x)=(3x+l)(x+1),

当%>一3或x<-l时，尸(x)>0,当■时，f'(x)<0,

则函数f(x)在X=—1处取得极大值，综上，c=l.

故选：C.

2

2.(23-24高二下•宁夏吴忠・期中)函数/(久)=炉+ax+3%,已知/⑴在久=一3时取得极值，则[―4,—1]

上的最大值为()

A.-9B.1C.9D.4

【解题思路】利用f'(-3)=0,求得a,代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函

数的最值.

【解答过程】因为函数f(x)=%3+ax2+3%,

所以尸(x)=3x2+2ax+3,

因为f(x)在X=-3时取得极值，

所以((一3)=3x(—3)2+2a(-3)+3=0,解得a=5,

所以/(%)=%3+5%2+3%,XG[-4,-1],

广(%)=3久2+10%+3=(3%+1)(%+3),

令广(久)=0,则(3x+l)(x+3)=0,解得乂=一3或刀=一！(舍),

当一4Wx<-3时，f(%)>0,

当—1时，尸(无)<0,

所以f(x)在[-4,-3)上单调递增，在上单调递减，

所以当x=-3时取得最大值为/(-3)=(-3)3+5x(—3)2+3x(-3)=9.

故选：C.

3.(23-24高二下•新疆克孜勒苏•期中)对于函数/(久)=暴3+2/,下列说法正确的是()

A./(x)是增函数，无极值

B./(久)是减函数，无极值

C.f(x)的单调递增区间为(—8,—4),(0+8),单调递减区间为(—4,0)

,27

D./(0)=0是极小值，f(-4)=才是极大值

【解题思路】求出广(%),求出((x)>0的区间，/(x)<0的区间，求出/'(X)的单调递增区间和单调递减区间,

判断A、B和C选项，求出/(X)的极小值和极大值，判断D选项.

【解答过程】,・"(X)定义域为R,f'(x)=X2+4x=x(x+4),

.•.当％e(—8,-4)u(o,+8)时，ro)>0,当xe(-4,0)时，尸(x)<o,

・••/(X)的单调递增区间为(—8,-4),(0,+8),单调递减区间为(—4,0),AB错误，C正确；

/0)的极小值为/(0)=0,极大值为了(-4)=予D正确.

故选：CD.

4.(23-24高二下•吉林・期中)若函数/(久)=|炉+。久2+8%+1在区间(1,3)上有极值，则。的取值范围为

(—5.—4).

【解题思路】由函数有极值通过求导，得出导函数方程(。)=2%2+2ax+8=0在区间(1,3)上有实根，继

4

续转化为函数y=-a与g(x)=尤+嚏在区间(1,3)上有交点，结合双勾函数的图象单调性即可求得

【解答过程】由/(%)+ax2+8x+1求导可得，「(%)=2/+2ax+8,

因函数/O)=/3+ax2+8x+1在区间(1,3)上有极值，

则方程r(%)=2x2+2ax+8=0在区间(1,3)上有实根，

故须使△=4层-64>0,(若△=(),得。=±4,止匕时广(无)20,函数在(1,3)上无极值)

解得a<-4或a>4

且方程—a=%+?在区间(1,3)上有实根，

也即函数丫=-a与g(x)=x+：在区间(1,3)上有交点.

417

因g(x)=x+£在(1,2)上递减，在(2,3)上递增，且g⑴=5>仪3)=号g(2)=4,

故4Wg(x)<5,即4W-a<5,解得-5<aW-4,又a<-4或a>4,

故a的取值范围为(—5,—4).

故答案为：(-5,-4).

5.(23-24高二下•江苏常州•期中)已知函数/(x)=/+a/一故+a?,在久=1时取得极小值10.

(1)求函数/(x)的解析式；

⑵求函数人比)在区间［-1,3］上的最值.

【解题思路】(1)根据函数/(*)在x=l处有极小值10,列出方程组求解即可，注意需要验证；

(2)利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值.

【解答过程】(1)由/'(x)=炉+。兀2TJ%+。2,得/(%)=3%2+2ax—b,

因为函数/'(x)=%3+ax2-bx+a2在％=1时取得极小值10,

所以｛4)(笠；2容汜\o，解得上:二1或n

当｛£l-J时，r(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2>0,不符合题意；

当｛不二［时，/(%)=3x2+8%-11=(3%+11)(%-1),

当"一节或x>i时,r(x)>o,当一节<刀<1时，r(%)<o,

所以X=1为函数的极小值点，所以符合题意，

所以/'(x)=x3+4X2-11X+16；

(2)由(1)可得当x<-?或x>l时，f'(x)>0,当时，r(x)<0,

所以f(x)在(-8,-日)上单调递增，在上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

又因为f(-1)=-1+4+11+16=30,/(I)=10,f(3)=27+36-33+16=46,

所以f(X)max=/(3)=46,f(X)=10.

题型6N导数中的函数零点问题（共5小题）。|

1.（23-24高二下•四川凉山•期中）函数y=%3—a%：存在3个零点，贝必的取值范围为（）

A.B.（一粉

c.©+8）D.$+8）

【解题思路】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得.

【解答过程】函数丫=代一ax+；,求导得y=3/-a,

当aWO时，y'>0,函数丫=X3一3+：在11上单调递增，该函数最多一个零点；

当a>0时，由3/—a>0,得x<—或x>电，由3/—a<0,得一/<x<木,

则函数丫=久3一"+:在（—8,—J|）,（J|+8）上单调递增，在（―J|（）上单调递减，

当x=—时，函数片/一3+；取得极大值菰+；>0,

当x=时，函数y=x3-ax+:取得极小值*Jj+p

函数丫=/一3+；存在3个零点，当且仅当一部+*0,解得a>*

所以a的取值范围为（*+8）.

故选：C.

2.（23-24高二下•湖南益阳•期中）已知函数/（x）={]nQ-x^x<-1<9（*）=f（%）-x+a,若g（

%）存在3个零点，则。的取值范围是（）

A.B.（1,1+1）C,[-|-1,-1]D,[-J-1--1）

【解题思路】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可

求解.

令g(%)=f(%)—x+a=0,即f(x)=x—a,

则函数g(%)的零点个数即为函数f(%)与函数y=%-。交点的个数，

做出函数/(%)与函数y=%-a的图像，如图所示，

当直线y=第一。与曲线y=e”相切时，

又当久之一1时，y=ex,则y，=e"则e"=l,则％=0,即且点为(0,1),此时。=一1,

因为g(%)存在3个零点，即函数/(%)与函数y=的图像有3个交点，

CL<-1

解得_1_三口<_1,

(-1—a七

所以a的取值范围是［一：一1,一1).

故选：D.

3.(23-24高二下•山东临沂•期中)已知函数/■(久)=xln(l+x),则()

A./(%)在(0,+8)上单调递增B./(久)有两个零点

1

C./(久)是奇函数D.曲线丫=/0)在点(1,1112)处的切线斜率为5+1112

【解题思路】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，极值，即可判断AB,根据函数的定义域，结合奇

函数的性质，即可判断C,利用导数的几何意义，即可判断D.

Y

【解答过程】A.f(x)=ln(%+1)+6>0在区间(0,+8)恒成立，所以/(%)在(0,+8)上单调递增，故A正

确；

V

B.r(x)=ln(x+1)+6=0,得x=0,当%>0时，/(尤)>0,f(x)单调递增，

当一l<x<0时，f(%)<0,f(x)单调递减，所以当x=0时，f(x)取得最小值0,

所以f(x)有1个零点，故B错误；

C.函数/'(%)的定义域是(-L+8),所以不是奇函数，故C错误；

11

Df(l)=5+ln2,所以曲线y=/(X)在点(l,ln2)处的切线斜率为5+ln2,故D正确.

故选：AD.

4.(23-24高二下•四川雅安•期中)函数/⑴=Inx—%的零点个数为一

【解题思路】利用导数判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理，即可求解.

(解答过程】广(%)=：-!=爱，”>0，

当％6(0,3),f'(x)>0,/(乃单调递增,

当xe(3,+8),r(x)<0,f(x)单调递减，

所以当X=3时，函数f(£)取得最大值73)=ln3-l>0,

••-/(1)=-1<0>所以f(x)在(1,3)上有1个零点,

又/作2)=2—0,所以/(x)在(3,e2)上有1个零点，

所以函数/(%)的零点个数为2.

故答案为：2.

5.(23-24高二下•河北邢台・期中)已知函数/(%)=ax+lnx-1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)已知函数g(x)=刀2—号有两个零点，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)对〃x)求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调性；

(2)对g(x)求导，利用导数判断函数g(x)的单调性，求出g(x)的最小值，结合零点个数即可求解a的取值

范围.

【解答过程】(1)/(x)的定义域为(0,+8),

f(x)=a+丁丁.

若a20,则广(乃二手〉。恒成立，f(x)在(0,+8)上单调递增；

若a<0,则当0<x<—9时，尸(x)>0，即f(x)在(。，一十)上单调递增；

当时，尸(x)<0,即/(x)在(—1+8)上单调递减；

综上所述，当a20时，/(%)在(0,+8)上单调递增，

当a<0时，八%)在(0,-：)上单调递增，在(一1+8)上单调递减；

(2)g(x~)=x2-^^-=x2+1^Xx—a,

则以久)=2%+等=及之咯

又因为函数h(%)=2(x3-l)+In%单调递增，且h(l)=0,

所以当%>1时，g'(%)>0,当0<久<1时，g\x)<0,

所以9(%)在(0,1)上单调递减，在［1,+8)上单调递增.

当g⑴=2—a<。,即a>2时,9(~)=+a(l+Ina)—+alna>0,

21lna2

g(a)=a+—a>a—a+1=(af2(a+i)>0,

='/aaaa

所以g(x)在&1)和(l,a)上各有一个零点.

当aW2时，g(x)的最小值为g(l),且g⑴=2-aN0,

所以g(x)在(0,+8)上至多只有一个零点.

综上，实数a的取值范围是(2,+8).

题型7导数中的恒(能)成立问题(共5小题)

1.(23-24高二下•河南安阳•期中)若对任意*6(0,1),宁(黑恒成立，则实数a的取值范围是()

A，〔VB.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[―1,+oo)

【解题思路】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按a20,a<0分类讨论，构造函数，利用导数探讨单

调性转化为恒成立的不等式求解.

【解答过程】由野<怒，得黑〈蔡，当》6(0,1)时，器<0,当a20时，惑>0,

不等式黑<黑恒成立，当a<。时，令函数求导得广(%)=9，

当x<l时，f'(x)>0,函数/'(x)在(-8,1)上单调递增，而当％6(0,1)时，Inx<0,x+2a<1,

不等式黑〈高普，即/'(Inx)<f(x+2a),于是Inx<x+2a<=>2a>Inx-x,

因此xe(0,l),2a>Inx—x恒成立，令g(x)=Inx—x,0<x<1,求导得g，(x)=：—1>0,

则函数g(x)在(0,1)上单调递增，5(x)<^(1)=-1,于是2a2-1,则一，a<0,

所以实数a的取值范围是a>

故选：D.

2.(23-24高二下•新疆•期中)己知a>-l,存在唯一的整数与，使得(久()-l)e2x。+ax()-2a<0成立，则a

的取值范围是()

C.岛DD.(后,一同

【解题思路】设/'(x)=(%-l)e2x,y=-a(x-2),依题意函数/'(x)在直线y=-a(x-2)下方的图象有且只有

一个点的横坐标为整数，利用导数说明函数的单调性，画出f(x)的图象，由丫=-。0-2)过定点4(2,0),再

数形结合即可求出参数a的取值范围.

【解答过程】设/■(%)=(%-l)e2x,y=-a(x-2),

由题意可知函数f(x)在直线y=-。0-2)下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数,

因为/'(X)=(x—l)e2",所以r(乃=(2x—l)e2,

由广。)>0,解得x>(，由尸(x)<0,解得x<(,

则久久)在G，+8)上单调递增，在(-8,9上单调递减；

又f(O)=-l,/(-l)=-2e-2,/(1)=0,即/(%)过点B(o,-1),C(-l,-2e-z),

且当为<1时/(x)<0,当x>l时f(x)>0；

如图，作出/(久)的大致图象如下所示：

因为直线y=-a(%-2)过定点4(2,0),且当x=1时y=a,

21,12

所以心c4一即备工一故一5<。<一

即a的取值范围是2].

故选：D.

3.(23-24高二下•河南洛阳•期中)已知lnx-ey=0,则使2久一2y-k>0恒成立的k值可以是()

1

A.—B.2C.4D.5

【解题思路】由已知结合常见不等式e^Nx+l,对ln%—ey=0进行不等式放缩，求解出k的范

围即可求解.

【解答过程】设/(%)=d-%-1,则((%)=心一1,

当%>0时,f(x)>0,/(%)在(0,+8)上单调递增，

当光<0时，f(x)<0,/(%)在(-8,0)上单调递减,

故/(%)>/(0)=0,即e%>%+1,

设m(X)=Inx—x+L,

则当久>1时=1-1<0,zn(%)在(1,4-8)上单调递减，

当0<x<1时，mz(x)>在(0,1)上单调递增，

故当血(%)工血(1)=0,故InxWx-l,

因为Inx-eY=0,

所以0=lnx-ey<x-l-(y+1)=%-y-2,但显然等号无法同时取得，

所以第一y>2,即2%—2y>4,

又k<2%-2y恒成立，

所以kW4.

故选：ABC.

4.(23-24高二下•四川南充・期中)4知函数/(%)=一e%,若存在%oW[1,3],使/(孙)之0,则实数6的

取值范围是一序,土区)一

【解题思路】问题等价于存在Xoe[1,3],使巾2器，令g(x)=1p求出g。)在[1,3]上的最小值即可.

【解答过程】函数/(幻=mx2-ex,若存在配e[1,3],使/(即)=mxo-ex°>0,

e'o

即存在配€[1,3],使m2商，

令9。)=%W6[1,3]，则g'(x)=e

当1W%<2,g'(x)<0；当2<xW3,g'(x)>0,

则有g(x)在口,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，g(x)min=g(2)=9,

存在久0e[1,3],使m>高，则m>—,

所以实数小的取值范围为由,+00).

故答案为：耳,+8).

5.(23-24高二下•山东临沂•期中)已知函数/(x)=ax+必一e",g(x)=ln(x+1)-击+1

(1)当a=0时，讨论f(x)的单调性；

(2)若任意久1，%2G[0,+oo),都有/'(久0+1Wg(久2)恒成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)利用二次导数判断函数的单调性；

(2)首先由单调性判断函数g(x)的最小值，转化为打打)+1W0,再利用参变分离，转化为求函数的最值,

即可求解.

【解答过程】(1)当a=0时，f(x)=x2-ex,定义域为R,

则=2x-ex,

令尸(x)=2x—e。则尸(%)=2-ex,

令尸'(x)>O解得x<ln2,

F(x)<0,解得%>ln2.

二函数网吗在(-8,ln2)上单调递增，在(ln2,+8)上单调递减,

.•.当x=ln2时，函数F(x)取得最大值，

<F(ln2)=21n2-2=2(ln2-l)<0,

."'(为<0,

・•・函数f(x)在R上单调递减.

-1

(2)易知g(%)=ln(x+1)--+1^(0,+8)上单调递增

・•・任意％2W[0,+oo),都有g(%2)N9(。)=。，

•・・任意》1，%2e[0,+oo),都有/(%i)+1<。(冷)恒成立

'.ax+x2—ex+1<0在[0,+8)上恒成立，

当％=0时，不等式可化为0W0,恒成立，

当x>0时，%e(0,+00)

•QX_v2_1

令"(%)=--->%e(o,+oo),

贝做，(%)_(e--2M)」-(e

•・,当%>0时，ex>%4-1,即e^—%—1>0,

・•・当Xe(0,1)时，”(%)<0,函数九(%)单调递减；

当％E(L+8)时,厅(%)>0,函数九(乃单调递增,

.,・当％=1时，函数%(%)取得最小值h(l)=e-2,.,.a<e-2,

综上，实数。的取值范围是(一8,e—2].

两个计数原理综合(共5小题)

1.(23-24高二下•河南洛阳•期中)用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共

有()

A.48个B.24个C.C个D.12个

【解题思路】根据题意，依次分析三位数的个位、百位、十位数字的情况，由分步计数原理计算可得答案.

【解答过程】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3,有2种情况，

百位数字不能为0,有3种情况，

十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况，

则共有2X3X3=18种情况，即有18个符合题意的三位奇数.

故选：C.

2.（23-24高二下•贵州•期中）高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中

甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（）

A.54B.12C.8D.81

【解题思路】直接由分步计数原理求解即可.

【解答过程】由甲同学不能报名足球，可得甲有2种报名方式，

乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，

可得乙有3种报名方式，丙有2种报名方式，丁只有1种报名方式，

共分步计数原理可得共有2x3x2x1=12种.

故选：B.

3.（23-24高二下•江苏宿迁•期中）下列正确的是（）

A.由数字1,2,3,4能够组成24个没有重复数字的三位数

B.由数字1,2,3,4,能够组成16个没有重复数字的三位偶数

C.由数字1,2,3,4能够组成64个三位密码

D.由数字1,2,3,4能够组成28个比320大的三位数

【解题思路】利用分步计数原理结合排列组合数进行计算即可.

【解答过程】由数字1,2,3,4能够组成没有重复数字的三位数有A：=24个，故A正确；

若三个数是偶数，则个位可以是2,4,则共有没有重复数字有=12个，故B错误；

数字1,2,3,4能够组成三位密码有4x4x4=64个，故C正确；

若三位数比320大，则百位是4时，有4x4=16个，

若百位是3,则十位可以是2,3,4时，个位可以是1,2,3,4,共有3x4=12个，则比320大的三位数

有12+16=28个，故D正确.

故选：ACD.

4.（23-24高二下•天津红桥•期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动

物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位

同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果

让三位同学选取礼物都满意，则选法有50种.

【解题思路】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解.

【解答过程】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法，

第二种情况是甲选牛或马，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有2x2x10=40

种方法，

所以共有10+40=50种方法.

故答案为：50.

5.(23-24高二下•四川眉山•期中)已知0,1,2,3,4,5这六个数字.

(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？

(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？

(3)可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数？

(4)可以组成多少个无重复数字的大于3000且小于5421的四位数？

【解题思路】(1)(2)根据分步乘法计数原理，即可分别求解百位，十位以及个数的选择相乘求解，

(3)(4)根据分类加法计数原理，结合分步乘法即可求解.

【解答过程】(1)分3步:①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法；

③个位数字有4种选法；

由分步计数原理知所求三位数共有5x5x4=100个

(2)分3步：

①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；

②再选百位数字有4种选法；

③十位数字也有4种选法；

由分步计数原理知所求三位数共有3X4X4=48个.

(3)分3类：

①一位数，共有6个；

②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5x5=25个；

③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有

5x5x4=100个；

因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个.

(4)分4类：

①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2x5x4x3=120个；

②千位数字为5,百位数字为0,1,2,3之一时，共有4x4x3=48个；

③千位数字为5,百位数字是4,十位数字为0,1之一时，共有2X3=6个；

④5420也满足条件；

故所求四位数共有