阿氏圆最值模型-2025年中考数学几何模型专练

阿氏圆最值模型

知识回顾

1.“阿氏圆”问题

我们学过将军饮马模型，知道怎么求解PA+PB的最小值，但是有时候我们还会见到下面这种，即“PB+nPA”的

最小值问题(n丹)，这是近几年考试热点也是难点，本讲内容主要来研究这个问题.

“阿氏圆”问题总结

1、特点：①两定一动.点A、B是定点，点P是动点.②动点P在圆周上运动.

2、解题步骤：

①连接动点P和圆心O.将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心连接，如图线段OP、OA

②计算出所连接的这两条线段的长度.③计算这两条线段的长度比.即^=n

④在线段上取点Q，使得器=九得到△OPQ-AOAP厕PQ=nPA

⑤连接BQ,与圆交点即为当“PB+nPA”的值最小时，点P的位置.

B

图1

3、“阿氏圆”问题本质是构造字母型相似，如图1.

构造△OPQ△04P狷OP2=0Q-。4所以PQ=n-PA

4、特殊情况：如果n值大于1,则要先提取n,再跟据思路2进行求解.

如：PA+3PB的最小值转化为求3(|?71+PB)

求2PA+3PB的最小值转化为求2PA+3PB=3+PB)

品真题精炼

1.二次函数+一次函数+阿氏圆最值——24济南模拟/23烟台+代数综合压轴+初三

如图，抛物线y=a/+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,.AB=4抛物线的对称轴％=3与

经过点A的直线y=kx—1交于点D,与x轴交于点E.

⑴求直线AD及抛物线的表达式；

⑵以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。B上一个动点，请求出PC+的最小值.

2.三角形+锐角三角函数+隐形圆邛可氏圆最值+定弦定角——24广元+填空压轴+初三如图，在AABC中，AB=5,t

an/C=2,则AC+gBC的最大值为

3.等腰直角三角形+弧+阿氏圆最值+中点一22衢州模拟/20桂林+填空压轴+初三如图在RSABC中，AB=A

C=4,点E,F分别是AB,AC的中点点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP,CP，则［BP+CP的最小值是

4.圆+切线+阿氏圆最值---22南京模拟+填空压轴+初三

如图，AB是。0的直径，CA、DB为。0的切线，P是。。上一动点，若（CA=1,AB=2,DB=3，则^-PC+PD

的最小值是______

AC

5.直角三角形+圆+阿氏圆最值——23宁波模拟+填空压轴+初三

在小ABC中,.AACB=90。,BC=&AC=6,,以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D,连接AD,BD,CD,

则加D+4D的最小值是

6.矩形+圆+阿氏圆最值一23扬州模拟+填空压轴+初三

如图，已知矩形ABCD,AB=8,BC=6,以点A为圆心、5为半径作圆，M为。A上一动点，连接CM、DM,则初M

+MD的最小值为.

7直角三角形+圆+阿氏圆最值一22温州模拟+填空压轴+初三

如图所示在△ABC中,.乙4cB=90°,BC=4,AC=3,以点C为圆心、2为半径的圆上有一动点D,连接AD,B

D,CD,贝U+的最小值是

8.圆+切线+阿氏圆最值——23盐城模拟+几何解答题+初三

已知。0半径为1,AC、BD为切线”AC=1,BD=2,,P为弧AB上一动点，试求与PC+PD的最小值.

9.特殊角度+圆+阿氏圆最值——23宿迁模拟+填空压轴+初三

在^ABC中，AB=9,BC=8/4BC=60°,,圆A的半径为6,P是圆A上的动点,连接PB、PC,则3PC+2

PB的最小值为.

10扇形+特殊角度+阿氏圆最值+中点一22眉山模拟+选择压轴+初三

如图，在扇形CAB中，CA=4,/CAB=120°„D为CA的中点，P为.^BC上一动点（不与C,B重合），则2PD

+的最小值为（）

A

X.4+2A/3B.4V7D.4A/3+4

11.二次函数+圆+阿氏圆最值一23广州模拟+填空压轴+初三

如图，抛物线y=-/+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C,OD过A,B,C三

点P是。D上一动点连接PC,PO,则/PC+逐P。的最小值为

12.圆+中点+阿氏圆最值——22绍兴模拟+填空压轴+初三

如图点A、B在圆O上,（。41OB,OA=0B=12,,点C是OA的中点点D在OB±,0D=10,点P是圆O

13.正方形+中点+圆+阿氏圆最值----23无锡模拟+填空压轴+初三如图，正方形ABCD的边长为4,E是BC

的中点，F是BE的中点，P点是以B为圆心，BE为半径的圆上任意一点，则例2+2PF的最小值为.

14.圆+直角三角形+阿氏圆最值——21淮安模拟+几何综合压轴+初三

问题提出：如图1,在］Rt△ABC中，乙ACB=90。,CB=4,G4=6,OC半径为2,P为圆上一动点，连接AP、

BP,求4P+坪P的最小值

⑴尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则

._rnrpipn-1-i-i

有吆====又：乙PCD=^BCP,PCDABCP,—=PD=-BP,：.AP+-BP=AP+PD

CPCB2BP222

请你完成余下的思考,并直接写出答案：4P+^BP的最小值为.

(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，\AP+BP的最小值为

15.几何综合+胡不归最值+阿氏圆最值——22陕西+几何综合压轴+初三

(1)【问题发现】

如图1,已知线段AC和BCAC=2,BC=5,,则线段AB的最小值为

(2)【问题探究】

如图2,在矩形ABCD中,.BC=7,AB=9.P为矩形内部一点，分别连接AP、BP、CP,且PB=3延长CP交AB

于点F,若BF=1,求\AP+PC的值.

如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中,.Z.AOB=90°,OA=12米，在矮围墙OA和OB上分别有两个

入口C和D,.AC=4米，D为OB的中点.现要在4B上找一个出口E,沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观

小路.已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元，

则在上是否存在点E,使铺设小路CE和DE的总造价最低?若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB

的距离；若不存在，请说明理由.(小路的宽度忽略不计)

16.二次函数+矩形+圆+阿氏圆最值------21连云港模拟+代数综合压轴+初三

如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4.-4),B(0,4)两点直线AC:y=-紧-6交y轴于点C.

点E是直线AB上的动点，过点E作EF1X轴交AC于点F,交抛物线于点G.

(1)求抛物线y=-产+b%+cc的表达式.

⑵连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标.

(3)解答下列各题：

①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此

时点E,H的坐标.

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为0E上一动点，求+CM的最小值.

1.如图，抛物线y=a/+法+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4抛物线的对称轴x=3与经

过点A的直线y=kx-l交于点D,与x轴交于点E.

(1)求直线AD及抛物线的表达式；

(2)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。B上一个动点，请求出PC+|PA的最小值.

【答案】Q)直线AD的解析式为y=x-l；抛物线解析式为y=x2-6x+5(2)741

【解析】⑴解:.抛物线的对称轴x=3,AB=43.A(l,0),B(5,0),将A(l,0)代入直线y=kx-1,得匕1=0廨得k=l,/.

直线AD的解析式为y=x-l；将A(l,0),B(5,0)代Ay=ax2+bx+5得与；/°，解得二26”抛物线的

解析式为y=x2-6x+5;

(2)如下图所示，在AB上取点F,使BF=1,连接CF,•••PB=2,.・.霁'u=/又•./PBF=/ABP,」.

rDZAB4ZrD/ID

△PBF—ABP,.芸=黑=小即PF="4.•・PC+^PA=PC+PF>当点C、P、F三点共线时，PC+“A的

值最小,即为线段CF的长,•.。C=5,OF=。B-l=5-l=4,.•.CF=yj0C2+0F2=回不不=WT,PC+椒的最小值

为V41.

【标注】【知识点】二次函数解析式

2.如图，在SBC中,AB=5,tanzC=2厕AC+哼BC的最大值为

5-

【答案】5V2

【解析】

【分析】

过点B作BD±AC,垂足为D,如图所示，利用三角函数定义得到AC+^BC=AC+DC,延长DC到E,使E

C=CD=x，连接BE,如图所示，从而确定

AC+yBC=AC+DCAC+CE=AE.ZE=45°,再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在。0上运动，AE

是。。的弦，求4C+的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股

定理求解即可得到答案.

【详解】

解：过点B作BD±AC,垂足为D,如图所示：

•.tanzC=2,

..在RbBCD中，设DC=x，则BD=2x,由勾股定理可得BC=V5x,

,即—BC=DC,

BCV5x55

AC+^-BC=AC+DC,

延长DC到E,使EC=CD=x,连接BE,如图所示:

AC+^BC=AC+DC=AC+CE=AE,

•.BD±DE,DE=2x=BD,

."BDE是等腰直角三角形，则NE=45°,

在3BE中,AB=5/E=45。,由辅助圆-定弦定角模型作SBE的夕杆妾圆加图所示：

二由圆周角定理可知，点E在。。上运动，AE是。。的弦，求AC+的最大值就是求弦AE的最大值，

根据圆的性质可知，当弦AE过圆心。，即AE是直径时，弦最大，如图所示：

..NABE=90°,

•••NE=45",

."ABE是等腰直角三角形，

；AB=5,

，BE=AB=5,则由勾股定理可得AE=7AB2+BE2=5短即AC+，EC的最大值为5企

故答案为：5V2

【点睛】

本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、

动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角横型的解法是解决问题的关键.

【标注】【知识点】圆心角和圆周角

【知识点】等腰三角形的性质与判定综合问题

【知识点】勾股定理

【知识点】正切的定义

3如图，在RNABC中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP,C

P,则匏P+CP的最小值是.

【答案】V17

【解析】在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.

..PA=2,AT=1,AB=4,

PA2=AT-AB,

.PA_AB

••AT-PA"

,/zPAT=zPAB/

・•.△PAT△BAP,

.PT_AP_1

''PB-AB~2

PT=-PB,

2

1

•••^PB+CP=CP+PT,

.­.△COP'-APOE,

=V2,

PEQP

・•.PE=yPC

—PC+PD=PE+PD>slantDE.

2

过点E作AB的平行线分别交CA,DB于点F,G,

贝！jGB=FA=-AC=-,FE=CF=-AC=

2222

1316

EG=FG-FE=AB-FE=2--=-,DG=DB-GB=3--=-

2222f

•••DE=yjEG2+DG2=—,

2

PC+PD的最小值是空

【标注】【知识点】阿氏圆问题

4在“\BC中/ACB=90o,BC=8,AC=6,以点。为圆心,4为半径的圆上有一动点D,连接AD,BD,CD,则\BD+

AD的最小值是

【答案】2V10

【解析】如图，在CB上取一点，使得CF=2,连接FD、AF,

在RbACT中,•.NCAT=90。，AT=1,AC=4,

CT=<AT2+AC2=V17,

PC+PT>slantTC,

•+PC>slantV17,

.•[PB+PC的最小值为V17

故答案为：V17

【标注】【知识点】阿氏圆问题

5.如图,AB是。。的直径,CA、DB为。。的切线,P是。。上一动点，若CA=1,AB=2,DB=3，则/PC+PD的

最小值是

【解析】如图，连接OGOP,取0C的中点E,连接DE,PE,

贝UCA=OA=OP=1,

0C=V2,OF=y,

・义=竺=71

OPOE

又NOOP=NPOE,

，CD=4,CF=2,CB=8,

CD2=CF-CB,

CD_CB

CF-CF'

•NFCD=NDCB,

△FCD^ADCB.

DF_CF_1

BD~CD-2’

1

DF=^BDt

,-BD+AD=DF+AF

2

DF+AD>slantAF,AF=V22+62=2

\BD+AL的最小值是22VIU.

【标注】【知识点】阿氏圆问题

6.如图，已知矩形ABCD,AB=8,BC=6,以点A为圆心、5为半径作圆，M为。A上一动点，连接CM、DM,则|CM

+MD的最小值为.

B

【答案】4

【解析】连接A0交。A于点E,取AE的中点N,连接MN,ND,

则称CM+ML的最小值为DN的长，

•.矢巨形ABCD中,AB=8,BC=6,

・•.AC=7AB2+BC2=V82+62=10,

••.AM=5,AN=2.5,

AN_2.5_1_5_AM

**AM~5-2-10-4C，

•./MAN=/CAM（公共角），

「.△MANiCAM,

tMN_AN_1

••MC~AM~2，

-i

即MN=：MC,

iCM+MD=MN+DM>DN.

2

当N、M、D三点共线时等号成立，即J"+MD的最小值就是DN的长.

作NHJ_AD,易求得N”=2.5x*=2,

=2.5x|==AD-AH=6-1.5=4,5

・•・ND=y/NH2+HD2=V22+4.52=—.

2

故答案为：牛

【标注】【知识点】阿氏圆问题

7如图所示，在AABC中/ACB=90°,BC=4,AC=3,以点C为圆心、2为半径的圆上有一动点D,连接AD,BD,CD,

则加D+an的最小值是.

【答案】V10

【解析】如图，在CB上取一点F,使得CF=1,连接FD,AF.

.-.CD=2,CF=1,CB=4,

CD2=CF-CB,

.CD_CB

••CF-CD'

.「NFCD=NDCB,

「.△FCDs^DCB,

.DF_CF_1

•・BD~CD~2’

1

・•.DF=

i

.'.-BD+AD=DF+AD,

DF+AD>slantAF,AF=Vl2+32=V10,

\BD+AD的最小值是Vio.

故答案为：Vio

【标注】【知识点】阿氏圆问题

8已知。。半径为1,AC、BD为切线AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点，试求^PC+PD的最小值.

【答案】|V2

【解析】连接0C,在线段0C取一点E,使。E=冬

•.•—=—=二且NEOP=NPOC,

OPOC2

EOP△POC.

EPV2

———,

PC2

•••日PC+PD的最小值等于EP+PD最小值.

/.(-PC+PD)=ED.

12,min

作EM^AB于M,EN，BD于N,

•••OE=—,

2，

•••EM=0M=

2

•••BN=EM=

2

DN=2--1=3-BM=EN=l+1-=3-

22f22

ED=|V2,gp?PC+PD最小值为|V2.

【标注】【知识点】阿氏圆问题

9在AABC中,AB=9,BC=8/ABC=60°,圆A的半径为6,P是圆A上的动点，连接PbPC,则3PC+2PB的最小值

为______

B

【答案】21

【解析】在AB上取Q点，连接AP、PQ,使得AQ=4.则AAQPiAPB,且相似比为2:3,则PQ=|PB,

3PC+2PB=3(PC+|PB)=3(PC+PQ)>s/cmt3CQ在^BQC中用余弦定理求得

QC=7,则所求为21.

【标注】【知识点】阿氏圆问题

10.如图，在扇形CAB中,CA=4/CAB=120°,D为CA的中点,P为BC上一动点（不与C,B重合），则2PD+PB的

最小值为（）

A.4+2^3B.4V7C.10D.4V3+4

【答案】B

【解析】方法一:如图，作NPAP=120。厕AP'=2AB=8,连接PP',BP',

APAP仁

—=—=2,

ABAD

「.△APDiPB,

.•・BP'=2PD,

•，•2PD+PB=BP+PB>slantPP,

过点P作PE±P'A交P'A的延长线于点E,

•・•NP4P'=120°,

・•.NPAE=60°.

・•.ZAPE=30°.

i

AE=-AP=2.

2

PE=y/AP2-AE2=V42-22=2A/3.

在RtWEP'中,1PE=PA+AE=8+2=10

PP'=J102+(2⑹2=7112=4V7,

A2PD+PB>4a.

」.2PD+PB的最小值为4V7

方法二:如图，延长AC到E,使得CE=AC,连接BE交。A于P1,

由unp反推出-=^=—=|，

APAbPEZ

.•.P'E=2P'D,

2PD+PB=PE+PB=BE,,求出BE即可解决问题.

故选B.

11如图，抛物线y=-x2+2尤+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C,。D过A,B,C三点

P是。D上一动点，连接PC,P0,则&PC+逐P0的最小值为.

【答案】3V5

【解析】如图所示，连接DA,DB,DC,过点D作DE±AB交AB于E,

.・抛物线y=-/+2%+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，

又；y=—%2+2x+3=—(x+1)(%—3),

故由二次函数的交点式可知A点的坐标为(-1,0),B点的坐标为(3,0).

令x=0,得y=3,则点C的坐标为(0,3),

,「。D过A,B两点

二由圆的垂径定理可知E点的横坐标为1,D点的坐标为(1,y).

5CD=BD,BD=5(1—3尸+(y—0)2,CD=7(1-0)*2+(y-3)2,

J(l—3)2+(y—0)2=J(1—0)2+(y—3)2,

即4+y2=1+(y-3)2,

X+y2=1+y2—6y+9,

，y=L

,D点的坐标为(1,1),

•••OD=V(l-0)2+(l-0)2=y[2,BD=J(l—3=+(1-0)2=Vs.

在圆上，

BD=DP=V5,

延长DO到F使得DF=手，连接PF,PO,

•.直线DF经过点D(l,l)s0(0,0),

，直线DF的解析式是y=x,

设F点坐标为(x,y),

解得％=y=_|,

.••点F的坐标为(一|一I)，

L.—S",—

DP_V5_VlODF_—_V10

DO~y/2~2，DP一遍-2，

DP_DF

DO—DP'

「.△DOPiDPF,

.PF__yio

**OP~2，

PF=叵P0,

2

立PC+V5PO=a(PC+手P。=V2(PC+PF),

•••当P、C、F三点共线时取最小值，

•••V2PC+V5PO=V2CF

=&(卜-。)2+(-13)2)

=3A/5.

故答案为：3V5

12如图，点A、B在圆0上,0A，0B,0A=0B=12,点（：是0A的中点，点D在0B上,OD=10,点P是圆0上一

动点则PC+»。的最小值为.

【答案】13

【解析】延长0A至Q,使QA=A0=12,连接QP,

CO_0P_1

OP~0Q~2’

.,.△COP-APOQ,

，PQ=2PC,

11

PC+jPD=：(PQ+2PD),

当P、Q、D三点共线时，

(PC+-PD)=-QD=-xV242+102=13.

12min22

13如图，正方形ABCD的边长为4,E是BC的中点，F是BE的中点，P点是以B为圆心，BE为半径的圆上

任意一点，则+2PF的最小值为.

【答案】V17

【解析】设圆与AB交于G点,BG中点为H,连HP、PC、BP.

易证ABHPSABPA/BFPSABPC,且相似比均为1:2.

贝[]^PA=PH,2PF=PC,^PA+2PF=PH+PC>CH=VT7为所求.

【标注】【知识点】阿氏圆问题

14.问题提出如图1,在RbABC中/ACB=9O°,CB=4,CA=6,0C半径为2,P为圆上一动点，连接AP、BP,求AP

+”P的最小值，

图1

(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP,在CB上取点D使CD=1,则有

££=££=1X-.ZPCD=ZBCP,.-.APCD-ABCPPD=-BP,.AP+-BP=AP+PD

CPCB2'BP222

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+|BP的最小值为

B

图2

(2)自主探索：在"问题提出"的条件不变的情况下:4P+BP的最小值为

【答案】⑴V37

(2)|V37

【解析】(1)如图L连接AD,

AP+-2BP=AP+PD,

..当点A,P,D在同一条直线时，AP+PD最小,

日AP+|BP的最小值为AD的长度，

在RbACD中,CD=1,AC=6,

AD=yjAC2+CD2=内，

.•.aP+^BP的最小值为V37

⑵如图2,连接CP,在CA上取点D,使CD=|,

-zPCD=zACP,

.1△PCDSAACP,

PD_1

AP-3，

1

PD=：AP,

i

r.-AP+BP=BP+PD

3t

,.同⑴的方法得出^AP+BF的最小值为BD=y/BC2+CD2=|V37.

【标注】【知识点】阿氏圆问题

15.(1)【问题发现】

如图L已知线段AC和BC,AC=2,BC=5,贝!l线段AB的最小值为

A

一

(2)【问题探究】

如图2,在矩形ABCD中,BC=7,AB=9,P为矩形内部一点，分别连接AP.BRCP,且PB-3,延长CP交AB于点F,若

BF=1,求:4P+PC的值.

(3)【问题解决】

如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中,NAOB=90O,OA=12米，在矮围墙0A和0B上分别有两个入口C

和D,AC=4米，D为OB的中点.现要在AB上找一个出口E,沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路.已知铺

设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元，则在AB上

是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低?若存在，求出最低总造价和出口E距直线0B的距离；若不存

在，请说明理由.(小路的宽度忽略不计)

【答案】⑴3

(2)5V2

(3)存在，总造价的最小值为1600VIU元出口E距直线0B的距离为二业米.

【解析】⑴当AC与BC重合时,AB最小，

ABmin=BC-AC=5-2=3.

⑵如图，在AB上截取BF=1,连接PF、CF,

.♦.AB=9,PB=3,BF=1,

PB_1_BF

AB~3~BP'

./ABP=NPBF,

.△ABP~WBF,

FP_BP_1

AP~AB~3，

PF=^AP,

1

-AP+PC=PF+PC

3

当F、P、C三点共线时.\AP+PC最小，且为CF的长，

在RfBCF中,BF=1,BC=7,

CF=y/BF2+BC2=“+49=5Vx

(-AP+PC]=5V2.

'3'min

(3)铺设小路CE和DE总造价为200CE+400DE=200(CE+2DE),如图连接0E,延长0B到点Q,使BQ=OB=1

2米，连接EQ,在AEOD与AQOE中/EOD=NQOE,

.OD_OE_1

''OE-OQ_2r

A

..△EOD-'QOE/

故:QE=2DE,

，CE+2DE=CE+QE,问题转化为求CE+QE的最小值,

连接CQ,交弧AB于点E',此时CE+QE取得最小值CQ,

在Rt^COQ中,C0=8米,OQ=24米，

CQ=8"U米，

故总造价的最小值为16004U元.

作E'H^OB,垂足为H，连接OE：

设EH=x，则QH=3x,