高二暑假作业1：空间向量与立体几何

高二暑假作业1:空间向量与立体几何

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2024•湖南省岳阳市・单元测试）给出下列命题

①空间中所有的单位向量都相等；

②方向相反的两个向量是相反向量；

③若口B满足I1|>|,且商，方同向,则方〉B；

④零向量的方向是任意的；

⑤对于任意向量。,必有|。+/?|”|4|+|5|.

其中正确命题的序号为（）

A.①②③B.⑤C.④⑤D.①⑤

2.（2024•四川省成都市・月考试卷）在下列条件中，使〃与A,B,C一定共面的是（其中。为坐标原点）（）

A.OM=OA-OB-OCB.OM=^OA+^OB+^OC

c.OM+OA+OB+OC=6D.MA+MB+MC=6

3.（2024.江苏省・联考题）如图，在四面体0ABe中，OA=a>OB=b>OC=c>CQ=2QB,P为线

段的中点，则迎等于（）

112112

A.——rbH—EB.—a——br——

233233

1_1r2_121

C.—aH—bH—cD.——a+—rb+—c

233233

4.（2024.湖南省常德市•月考试卷）定义万广-济5,若向量1=（1,—2,2）,向量分为单位向量，则

的取值范围是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6)D.(-1,5)

5.（2024•甘肃・期中考试）已知空间中三点A（O,L。），6（2,2,0）,C（-l,3,l）,贝！J（）

A.初与恁是共线向量

B.与向量四方向相同的单位向量是2个

\55）

C.荏与祝夹角的余弦值是且

11

D.平面ABC的一个法向量是（1,-2,5）

6.（2024・重庆市・月考试卷）已知。，b为异面直线，Aea,Bea,Cwb,Deb,ACYb,

BD±b,AB^2,CD=1,则a,b所成的角6为（）

7.（2024.河北省・单元测试）如图，在三棱锥A—J3CD中，平面ABC,平面BCD,^BAC与ABCD均为

等腰直角三角形，且N54C=ZBCD=90°,3C=2,点尸是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q,

使得异面直线P。与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）

3

8.（2024.浙江省.模拟题）如图所示，在正三棱台ABC-A4G中，AB=3AAl=-AlBl=3,记侧面

ABB^与底面ABC,侧面ABB^与侧面BCQB,,以及侧面ABB^与截面\BC所成的锐二面角的平

面角分别为〃，7,贝1k）

A.y</3=aB.p=a<yC./3<a<yD.a</3<y

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2024.甘肃省武威市•期中考试）已知向量G=（1,2,x）,B=（2,y,l）,若|G|=3,方_]_方，则》+、=（）

A.-2B.1C.-1D.0

10.（2024.山西省•月考试卷）下列命题中正确的是（）

A.已知q和22是两个互相垂直的单位向量，a=2ex+3e2,b=ke[-4e^,且〃J_B，则实数比=6

B.已知正四面体O48C的棱长为1,贝1（西+砺）・（□?+国）=1

C.已知41,1,0）,3（0,3,0）,C（2,2,3）,则向量/在池上的投影向量的模长是哈

D.已知4=q-2%+1,b=-e1+3e^+2e3,=-3q+7e2（｛q,e2，e3｝为空间向量的一个基底），则向量

a,b,不可能共面

11.（2024•河北省.入学测验）在棱长为1的正方体ABCD-A4CQ中，点区厂分别满足题=2荏，

丽=〃沅，其中彳=[。,1],AG[0,l],贝心）

A.当〃=1时，三棱锥A—4EE的体积为定值

B.当彳=!时，点A,8到平面用ER的距离相等

2

C.当〃=；时，存在X使得3。，平面

D.当时，\F±QE

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2024•浙江省杭州市•月考试卷）在空间直角坐标系。孙z中，丽=（1,1,2）,AC=（2,1,1）,则点B到直

线AC的距离为

13.（2024.江苏省・单元测试）已知单位向量。，b,中，aLb[a,c）==60°,贝“G-5+2^=

14.（2024.辽宁省沈阳市•联考题）如图，正方体ABC。-A4G2的棱长为

2,尸是过顶点8,D,0,四的圆上的一点，。为CG的中点.当直线

P。与平面ABC。所成的角最大时，点尸的坐标为；直线PQ

与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（2024.江苏省•单元测试）（本小题13分）

已知"=（1,2,-1），5=（-2,4,2）；

（1）若方〃"且同=2逐，求5的坐标；

⑵若伽+5）乂6-25）,求实数大的值.

16.（2024辽宁省沈阳市•联考题）（本小题15分）

如图，M,N分别是四面体OA8C的棱OA,8c的中点，P,。是的三等分点（点P靠近点N）,若

AO=a,AB=b,AC=c.

⑴以他，友可为基底表示丽；

(2)若|初=出|=1,|可=2,NQ4B=NOAC=：,NC4B=g,求|而|的值.

17.（2024・天津市・真题）（本小题15分）

已知四棱柱ABCO-A2IG2中，底面ABC。为梯形，AB//CD,4A,平面A8CD,AD±AB,其

中AB=AA=2,A£>=OC=LN是4a的中点，M是3,的中点.

⑴求证。N//平面CAM；

（2）求平面CB.M与平面BBg的夹角余弦值;

⑶求点B到平面CB}M的距离.

18.（2024•安徽省.模拟题）（本小题17分）

如图所示的圆锥中，P为顶点，在底面圆周上取A、B、C三点，使得AC=4,BC=2,在母线PA上取

一点，过D作一个平行于底面的平面，分别交尸2、PC于点E、F,且石尸=1,DE=6

p

⑴求证：平面平面ABC;

⑵己知三棱锥F-BCD的体积为2,求平面EBD与平面BDF夹角的正切值.

19.（2024•湖北省武汉市•模拟题）（本小题17分）

如图，正方形的中心为。，四边形。2所为矩形，平面OBEF_L平面ABC。，点G为的中

点，AB=BE=2.

（2）求二面角O-EF-C的正弦值；

2

⑶设X为线段AP上的点，且AH=—HF,求直线班/和平面C跖所成角的正弦值.

3

答案和解析

I.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查空间向量的基本知识，命题的真假的判断，属于基础题.

利用空间向量的定义判断①；相反向量的定义判断②；向量的性质判断③；零向量的定义判断④；向量

的三角形法则判断⑤.

【解答】

解：对于①，单位向量仅是模长为1的向量，方向不一定相同，故不是所有的单位向量都相等，①错

误；

对于②，方向相反的两个向量，并且模长相等时，是相反向量；所以②错误；

对于③，向量之间不能比较大小，故③错误；

对于④，零向量的方向是任意的，故④正确；

对于⑤，对于任意向量扇5,必有|4+石I,,I万1+1方I,满足向量运算的三角形法则，故⑤正确；

故答案选：C.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查几何与代数，涉及空间向量共面定理，属于基础题.

根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.

【解答】

解:空间向量共面定理：OM=xOA+yOB+zOC,若A,3,C不共线，且A氏共面，其充要条件

是x+y+z=l.

对A,因为1—1—1力1,所以A,民CM四点不共面；

对B,因为g+g+g=|^wl，所以A3,CM四点不共面；

对C,由丽+两+砺+元=6可得加=-由一丽一反，

因为—1—1—1=—3/1,所以A氏CM四点不共面；

对。，由加+加+西=0可得苗一荻+55—丽+宓一两=6,

——.1—.1—.1—.ill

即OM=—OA+—05+—OC,因为一+—+—=1,所以A,3,C,M四点共面.

333333

故选：D

3.【答案】D

【解析】【分析】

由向量的线性运算求解即可.

本题主要考查空间向量及其线性运算，考查运算求解能力，属于基础题.

【解答】

解:由题意可得用=诙-丽

=OB+BQ-^OA

—.1—.1—.

=OB+-BC——OA

32

1一一.1—--.

=--OA+OB+-(OC-OB)

1--2--1―.

=——OA+-OB+-OC

233

12-1

=——a+—b+—c.

233

故选：D

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间向量数量积运算和模的坐标表示，属于基础题.

根据百区5=1菊2一无5,利用空间向量的数量积和模的公式求解.

【解答】

解:由题意知|7|=3,|5|=1,

设1与B的夹角为

贝！I日③B=|万『-万.6=|万『一|.|5|-cose=9-3cos6,

又6v[0,幻,

cos6e[-1,1],

:.a®b[6,12].

故选B.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查空间向量共线的判断，考查单位向量和向量的数量积运算，考查平面的法向量的求解，属

于中档题.

可根据向量的相关概念和数量积运算、以及求法向量的方法逐一验证即可.

【解答】

解：AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),AB^AAC,所以羽与衣不共线，所以A错误;

\AB\=y/5,与向量低方向相同的单位向量为,0)，所以B错误;

配=(-3,1,1),所以&瓯而,瑞嘉一/所以C错误;

设平面ABC的法向量是万=(x,y,z),

AB-n=02x+y=0

则一,即

AC-n=0-x+2y+z=0'

令X=l,可得y=—2,z=5,所以平面ABC的一个法向量是(1,—2,5),所以。正确.

故选D

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查空间向量数量积运算，空间向量线性运算，属于基础题.

由南=AC+CI5+DB,利用向量法求解.

【解答】

解：如图所示:

贝U羽=衣+丽+丽，

AB-CD=(AC+CD+DB)-CD,

=AC-CD+|CD|2+DB-CD,

=0+1+0=1,又1=2,\CD1=1,

所以8S*且里=工

\AB\-\CD\2

因为。€(0,一],

2

所以异面直线。与6所成的角是|.

故选：D

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

以。为原点，为x轴，为y轴，过C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出线段厚长的取值范围.

【解答】

解：以C为原点，C。为x轴，C8为y轴，过C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(O,1,1),B(0,2,0),C(0,0,0),

设Q(d。,。)(喷。2),AP=AAB=(0,A,-2)(0g!k1),

贝“尸(0,2+1,1—2),

则返=电-西

=(d0,0)—(0,4+1,1—2)—(q,—1—A,A,—1),

v异面直线PQ与AC成30°的角，

I而屈|=2=亚=#

ICAI-IP2I-万扬+(1+犷+(")2-&2+2尤+2-1

.-.^2+222+2=|,:.q2=1-222s[0,4],

又喷。2,源必1,

2,

2讥.0

6

则；,解得保收

[-4丁

.•.|丽=岳6［0,当，

，线段PA长的取值范围是［0,坐］.

故选：B.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，二面角的计算，考查空间想象能力和逻辑推理

能力，属于中档题.

建立空间直角坐标系，依次求出各角即可求解

【解答】

解:如图，取8C中点E,用G中点。，连接4。，AE,

设AABC的中心为。，△4月。］的中心为a，

则根据正三角形的中心与重心重合得a分别为AE,4。的三等分点，且须=2砺，丽=22万，

3

由于在正三棱台ABC-A4G中，AB=3M=-A5I=3,

所以AQ=|AO=¥>QO=；AO=*AO=,AE=®OE=；AE=与,

由正三棱台的性质得。。11平面ABC,0a1平面4片£,

过。点作D尸，AE于R

根据几何关系易知。石=走，EF=叵,DF区,OO、=叵,

2633

故以。点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

所以A（0,-g,0）,B,C,

Jo一组"1"i走逅1

7

易知西=卜,0，¥］是平面ABC的法向量，

设平面AM/的法向量为阳=（和％e），平面5CG用的法向量为为=（%,%,Z2），平面45c的法

向量为S=（W，%，Z3）,

(334'

由于通=

\2^-°7

m-AB=0

所以<

比•A4t=0

所以cos<所,00]>=——今=J.

3x^—3

3

所以侧面AB44与底面ABC所成锐二面角余弦值为g,即cosa=g,

、

1屈

由于阮=（一3,0,0）BBX=，--，

J26-V7

同理可得平面BCCXBX的法向量为为=（0,2应,1b平面A3C的法向量为”他,2后,7卜

-311A/57

所以cos<m,n>=---=——,cos<m,s>=---；==

3x333x757

所以侧面A34A与侧面BCG区所成锐二面角余弦值为:即cos/?=L,

33

侧面ABB.A,与截面\BC所成锐二面角余弦值为察，即cos/=等，

由于B,7,均为锐角，cosa=cosP=~^>cos/=f

所以e=

9.【答案】AD

【解析】【分析】

此题考查空间向量垂直的坐标表示和向量的模，属于基础题.

根据向量万的模为3求得无，再根据向量垂直的坐标表示得到》进而得到结果.

【解答】

解：•.tlai=A/12+22+x1=3,.,.x=+2,

又:.a-b=2+2y+x^0,

当x=-2时，y=0,则x+y=—2,

当x=2时，y--2,贝I］尤+y=0.

故选AD.

10.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查空间向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于较综合的中档题.

利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论.

【解答】解：A.因为西=2,+302,5=左《-4e2,且MJ_B，

所以限5=(2^+3e2)•-4e2)

=2k(AY+(3k-8)1•心12④2=2)-12=0,

解得左=6,所以A正确.

B.(OA+OB)(CA+CB)

=OACA+OACB+OBCA+OBCB

=lxlxcos600+lxlxcos90°+lxlxcos900+lxlxcos60°=l,所以B正确.

C.AC=(1,1,3),AB=(-1,2,0),

向量M在Am上的投影向量的模长是

,AC-AB,,1X(-1)+1X2+3X0,后

I—=:-1-I/-1-,所以C正确.

IAB\7(-1)+2+°25

。假设向量扇及3共面，贝I商=x5+W，

以q—2e,+^=x(—q+3e?+2e§)+y(­3q+7e?),

即q-2e2+e3=(-x-3y鸠+(3x+7y)e2+2xe3，

i=-x-3y,x=—,

所以-2=3x+7y,解得j2

1=2%,>=一天

所以向量。反工共面，所以。不正确.

故选ABC.

11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查了空间垂直、平行关系，点、线、面间的距离计算、用空间向量的应用，属于中档题.

对于A,当〃=1时，三棱锥A-用石E的体积等于匕^画c，因为〃面4片。，所以E到面A与c的

距离为定值，可得三棱锥4-的体积为定值；对于2,当时，E为线段48的中点，即可判

断；对于C,当〃=；时，利用不可能有3。，男尸即可判断；对于。、以。为原点，DA、DC、DDX

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，只需证明质•取=0,可得

【解答】

解：对于A,当〃=1时，三棱锥4一片石尸的体积等于匕.°，因为〃面4片。，所以E到面

44c的距离为定值，可得三棱锥4-用石尸的体积为定值，故A正确；

对于B,当彳=!■时，E为线段AB的中点，易得三棱锥%.AFE=%-ME,

利用等体积得知匕.GFE=%-CFE，则点48到平面耳EE的距离相等，故8正确；

对于C,当〃=；时，不可能有3。，用尸，则不存在彳使得32，平面耳环，故C错；

对于D,以D为原点，DA,DC、DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(l,0,l)、Q(0,1,1),设AE=m,则E(l,a,O),F(l-m,l,0),

从而衣=(—根』,—1),QE=(l,m-l,-l),.-.A^F-QE=-m+m-l+l=Q,：.A,FLCXE,故。

正确.

故选：ABD.

12.【答案】汇

6

【解析】【分析】

本题考查点线距离的向量求法.

根据空间向量点到直线的距离公式求解即可.

【解答】

AC_(2,1,1)_ZA/6«R、

解：取4=径=(1,1,2),u=芮亍石‘不)

则小"逅+逅+诿=逐，

3636

所以点B到直线AC的距离为击2_(落到=卜一之=华.

V66

故答案为：叵.

6

13.【答案】娓

【解析】【分析】

本题考查下来的数量积运算，属于基础题.

根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.

【解答】

解：因为aVb>(a,c)=(b,c^=60°,>a,b,c为单位向量,

贝I|々-5+2刈=\j(a—b+2c)2

=-J|a|2+|^|2+4|c|2-2a-b+4a-c-4b-c

=Jl+l+4-0+4xlxlx；-4xlxlxg=y/6.

故答案为：屈

14.【答案】(1,1,±6+1)

【解析】【分析】

本题考查直线与平面所成角的求法，属于较难题.

结合图形可得出，过点。作石尸，平面ABC。，交B］D［于点E,BD于点F，当点尸在点E或点下的位

置时，直线P。与平面A8CD所成的角最大，再利用空间向量求解，即可得直线P。与平面A8C。所成角

的正弦值的取值范围.

【解答】

解：过点。作所，平面ABC。，交BQ］于点E,BD于点、F，

易得OE=OF=>/3，Q(。,2,1),£(1,1,A/3+1),/^(l,1,—A/3+1),

所以班=(1,-1,岔)，QF=(l,-l,-y/3\

由图可知当点尸在点E或点尸的位置时，直线尸。与平面A8C。所成的角最大.

由题可得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).

设直线与平面ABC。所成的角为6,

贝Usin0=|cos<QE,n>|=|拓|=/"—『=,

\QE\-\n\Jl+1+3xJT5

即直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为理，

当尸！2〃平面ABCD时，直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值最小为0,

所以直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是［0,?］.

故答案为：(1,1,±若+1)；［。，芈］•

15.【答案】解:已知4=（1,2,-1）,*=（-2,4,2）；

（1）因为同=e，同=2遥，a//c,

所以d=或^=—2万，所以1=（2,4,-2）或^=（一2,-4,2）;

（2）因为初+B=（左,2£-%）+（-2,4,2）=（Z-2,2左+4,2-％）,

a—2b=（1,2,—1）—（—4,8,4）=（5,-6,—5）,

由（依+B）_L（M-25）得（妨+8）•（乙一25）二0,

即5（左一2）—6（2左+4）—5（2—左）=0,解得k——22.

【解析】本题考查空间向量垂直的坐标表示，空间向量的坐标运算，属于中档题.

（1）由题意可得忑=22或1=—25,进而可得结果；

（2）分别求出（ka+b\（a-2b］的坐标，根据数量积为0可解出k.

16.【答案】解：（1）M,N分别是四面体。4BC的棱。4,BC的中点，P,。是的三等分点（点尸靠

近点N）,若无AB=b>^.所以=g加，整理得加一。必=:函-1加，故

,1.2___►.1.1.1,1,1.21fl

OQ=-ON+-OM,由于ON=—OB+—OC,所以OQ=—06+—OC+—OA=——a+-b+-c;

3322663366

__2ii__.21i__.2

（2）由（1）得：OQ=--a+-b+-c,所以|OQ|=|—彳4+二5+:日，故|。。『=|一；4+

3663663

—b+—c|2=—a2+—b2+—c2-—a-b-—a-c+—c-b=—,故|OQ|=—.

6693636991842

【解析】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模和夹角运算，主要考查学生

的理解能力和计算能力，属于中档题.

⑴直接利用向量的线性运算求出结果；

（2）利用向量的数量积和夹角运算求出结果.

17.【答案】⑴证明：取。用中点P,连接NP,MP,

由N是用G的中点，故NP//CC，且NP=；CG，

由M是。2的中点，故。M=g£>，=；CG，且RM//CC-

则有2M//7VP、RM=NP,

故四边形RMPN是平行四边形，故D\NHMP,

又MPu平面CBXM,D\NU平面CBXM,

故。N//平面C4M；

(2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,

有A(OQO)、5(2,0,0)、与(2,0,2)、M(0,1,1),。(1,1,0)、^(1,1,2),

则有函=(1,—1,2)、CM=(-1,0,1),瓯=(0,0,2),

设平面。耳"与平面的法向量分别为初二(公如4)、n=(x2,y2,z2),

m-CB=x—y+2z=0n-CB=x—y+2z=0

则有《X1llX222

m-CM=-xv+Z]=0n-BB、=2Z2=0

分别取玉=%2=1，则有M=3、Z]=1、y2=1,z2=0f

即成=(1,3,1)、n=(1,1,0),

m-n1+32

则cos{m,万)

\m\­\n\71+9+1・Jl+111

故平面CBM与平面BB«G的夹角余弦值为拽2；

11

⑶解：由瓯=(0,0,2),平面C隼W的法向量为求=(1,3,1),

\BB,-m2A/1T

则有2

I词71+9+111

即点B到平面CBtM的距离为2叵

11

【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成交的向量求法，点面距离的向量求法，属于中

档题.

⑴取C4中点P,连接NP,MP,借助中位线的性质与平行四边形性质可得2N//MP,结合线面平行判

定定理即可得证；

(2)建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解;

⑶借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.

18.【答案】⑴由题意可知P—ABC为一个三棱锥，且PA=PB=PC,

因为BC=2,EF=1,所以。、E、尸分别为PA、PB、PC的中点，且AB=2DE=2非.

取的中点连接PM、CM,贝UPM±AB.

因为AC—4,BC=2,AB=2-^5，

所以AC2+BC2=AB2,所以C4±CB.

AM=CM=亚，则APAM=APCM,故ZPMA=ZPMC=9§,

即PMVMC.

因为,AB,MCu平面ABC,

所以PM，平面ABC.

又EWu平面AB。，故平面ABD，平面ABC.

V=V=V2V8

⑵因为VF-BCD=~D-BCP~A-BCP~P-ABC=-所以P-ABC=-

而S4ABe=5*4x2=4,

所以VP-ABC=^S^ABCxPM=^x4xPM,解得PM=6.

以C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为无轴，y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，

则4(4,0,0),*2,1,6),5(0,2,0),时别,心别.

设1=(尤,y,z)为平面的一个法向量，

=(-4,2,0)%-AB=-4x+2y=0

因为＜,所以

市=(-2,1,6)4-AP=—2x+y+6z=0

不妨设x=l,则平面£8。的一个法向量第=(1,2,0).

同理设a=(a,b,c)为平面BDF的一个法向量,

3――.3

BD=(3,--,3)%•BD=3a—b+3c=0

因为'，所以：一2

而=

(-2,0,0)n2•DF=-2a=0

不妨设b=2,可求得平面3£)方的一个法向量几2=(。，2,1).

々•马0+4+043

所以cos(4，%

一^?一丁一5

3

所以平面班。与平面3。尸夹角的正切值为一.

【解析】本题主要考查面面垂直的判定、二面角，属于中档题.

⑴根据面面垂直判定定理证明即得；

(2)根据体积求得边长，再应用空间向量法求面面角余弦，根据同角三角函数关系最后求正切即可.

19.【答案】⑴证明：取的中点