第四章 数列 单元综合测试卷（解析版）

第四章数列单元综合测试卷

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.数列-2,4,-6,8,K的通项公式可能为()

+1

A.a„=(-l)"2/iB.an=(-1)"2n

C.a,=(-l严2"D.=(-!)"2"

【答案】B

【解析】根据题意数列-2,4,-6,8,K其中q=(-l)xlx2,a2=lx2x2,a3=(-l)x3x2,

%=1x4x2,则其通项公式可以为%

故选:B.

2.数列｛4｝满足4=1,att=-^-(n>2),则%的值为()

〃“一1十1

【答案】c

【解析】由题意可得出==-，“4==—，%==一

%+12出+13%+14为+15

故选：C.

3.已知｛%｝是等差数列，且2〃8=。9+3,则%=

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为d，由2/=〃9+3得，2(4+7d)=%+8d+3,

则％+6d=3=%.

故选：B.

4.若数歹的前"项和S"=2/+l,则下列结论正确的是()

A.Q〃=4〃+2B.。〃=4〃-2

3,〃=13,n=l

4n+2,M>14n-2,n>1

【答案】D

［解析］当力=1时，q=E=2x『+l=3,

22

当〃>1时，an=Sn=2n+l-2（n-l）-l=4/i-2,

f3,n=1

经检验，可得4=,c

［4〃-2,〃>1

故选：D.

5.某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分

裂成10个并死去1个L按照此规律，12小时后细胞存活个数（）

A.2048B.2049C.4096D.4097

【答案】D

【解析】依题意，1小时后的细胞个数为3=21+1,2小时后的细胞个数为5=22+1,

3小时后的细胞个数为9=23+1,…，贝U〃（〃eN*）小时后的细胞个数为2"+1，

所以12小时后细胞存活个数是2“+1=4097.

故选：D

6.已知“为正偶数，用数学归纳法证：+：+…+—^_工=2（—^+―+…时，若已假设〃=左

（左>2且左为偶数）时等式成立，则还需要再证（）

A.〃=左+1时等式成立B.”=左+2时等式成立

C.〃=2左+2时等式成立D.〃=2（4+2）时等式成立

【答案】B

【解析】若已假设〃=左（左>2,左为偶数）时命题为真，

因为w只能取偶数，

所以还需要证明〃=左+2成立.

故选：B.

s

7.设等差数列｛4｝满足q=1,a”>O（〃eN*）,其前“项和为S",若数列｛邓；｝也为等差数列，则」*的

an

最大值是（）

A.310B.212C.180D.121

【答案】D

【解析】：等差数列｛q｝满足弓=1,q,>O(〃eN*),设公差为d,则%=1+(〃—l)d,

其前〃项和为S」11+1+（"T'],

"2

:.我=^I+（；T）"],£=1,厄=V^,S=j3+3d,

••.数歹叫底｝也为等差数列，

/.2j2+d=l+j3+3d,

解得d=2.

2

•••5„+10=(n+10),寸=(2〃-1)2,

说\2n-l)(24n—2J

由于为单调递减数列,

(24/2-2)

<?q

.•.—44=112=121,

«；%

故选：D.

8.对于数列｛/｝,若存在正整数以％22),使得ak<ak+1,则称4是数歹£4｝的“谷值”，左是数

9

列也｝的“谷值点”.在数列｛q｝中，若。〃=几+1-8,则数列｛“的“谷值点”为()

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

9

【解析】因为。，=n-\---8,

n

3_76129

所以4=2,&=:一,%—2,ci.=",etc-二二，"6=5,「，“8=77，

2458

999

当neN,n-\---8>0,所以n-\---8=n-\---8,

nnn

因为函数丁=兀+^-8在[7,+oo)上单调递增，

9

所以时，数歹U〃〃=〃+——8为单调递增数歹I」,

所以〃2V%，%</，％<%，％<〃8，

所以数列｛%｝的“谷值点”为2,7.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知等差数列｛综｝：11、8、5、L,则（）

A.公差d=-3B.该数列的通项公式为%=-3〃+16

C.数列的前10项和为-25D.T9是该数列的第21项

【答案】ACD

【解析】对于A选项，等差数列｛见｝的公差为d=8-11=-3,A对；

对于B选项，该数列的通项公式为4=11-3（〃-1）=-3"+14,B错；

对于C选项，数列｛4｝的前10项和为10X11-1上0x9笠x3=-25,C对；

对于D选项，由4=一3〃+14=-49,解得力=21,D对.

故选：ACD.

10.在公比q为整数的等比数列｛%｝中，S“是数列｛%｝的前〃项和，若出生=32,%+%=12,则下列说

法正确的是（）

A.q=2B.数列⑸｝是等比数列

C.£O=510D.数列｛3%｝是公差为2的等差数列

【答案】AC

【解析】•••在公比q为整数的等比数列｛%｝中，S“是数列｛q｝的前〃项和，4%=32,%+%=12,

解得。2=4,q=2,或者%=8,〃3=4,q=不符合题意，舍去，故A正确,

«1=—=y=21则S=2（1-2）+1

Q2n1-2

oo〃+2°

于=广才常数，

二数列电｝不是等比数列，故B不正确;

空二巧=51(),故C正确；

81-2

\'an=2",/.lga„=/zlg2,21g2-lg2=lg2,

数列｛lgq｝不是公差为2的等差数列，故D错误，

故选：AC

11.己知数列｛%｝的前w项和为S“，则下列说法正确的是()

A.若S.=2/-3,则｛〃,｝是等差数列

B.若｛%｝是等差数列，且%=5,a2+al0=2,则数列｛4｝的前”项和5”有最大值

C.若等差数列｛4｝的前10项和为170,前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8,则公差为2

D.若｛为｝是等差数列，则三点［10,强J、［30,卷］共线

【答案】BCD

【解析】A项，〃=1时，〃1=，=一1,

时，=5〃一=4〃-2

〃=1时，％=所以，｛%｝不是等差数列；

B项，由已知可得，%=1，又％=5

所以，d=-<0,卬=亍>0.所以，3有最大值；

C项，由已知可得，偶数项和为90,奇数项和为80,两者作差为5d=10,所以d=2；

D项，设三点分别为A,B,C,-=«［+——d,则-^=4+彳"，---=ci)+—</,—=<2］+—d.

n2102202302

uuuUUULUUULILIU

则AB=(10,5d),BC=(10,5rf),AB=BC，所以三点共线.

故选：BCD.

12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把

数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3,6,10,…称为三角形数，第二行图形中黑色小

点个数：1,4,9,16,…称为正方形数，记三角形数构成数列｛为｝,正方形数构成数列也“｝,则下列说法

正确的是()

.A

B.1225既是三角形数，又是正方形数

D.总存在p,qeN*,使得勿=%,+%成立

【答案】BCD

【解析】三角形数构成数列{%}：1,3,6,10,....则有

021al=2,ai-a1=3,---,an-an_l=n(n>2),利用累加法,

/口(n-1)(2+ri)/=…n(n+l)八一

得a“_%=---------,得到an=--—；n=l成"

正方形数构成数歹£2}：1，4,9,16,…，则有

&一%=3也一4=5,---,bll-bn_1=-1(/7>2),利用累加法,

(2〃+2)(〃-1)

得切-a=-----------得到勿=w，n=l成立

1=^-=2(1—L1111“1、2〃

对于A,利用裂项求和法：一+—+—+…+—=2(1--------)=-故A错

ann(n+1)n〃+1axa2a3ann+1n+1

误;

2

对于B,令a=巴」±=1225,解得〃=49；令年="=1225,解得〃=35；故B正确;

2

114〜11、

对于C,2

bnn4犷-12n-l2«+1人)

11,1115111111

22

瓦b22bn43n457792n-l2n+l

11115JI1、33133

整理得，T+F+F+,"+F<7+2(-7-TTr-)=;?n-TT7<on'故c正确;

bxb2b3bn452n+l202n+120

对于D,^m=p=q,且wN*,则令加2=吗±2+*二且，则有鬣=册+册」故V^eN*,mN2,总

存在p,qeN*,使得0=%+%成立，故D正确；

故选：BCD

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若等差数列｛%｝满足%+%+%>。，%+%o<。，则当〃=时，｛4｝的前"项和最大.

【答案】8

【解析】由等差数列的性质可得%+。8+%=3%>。，

:・网>°，又%+%0=。8+。9<0，*,•%<0,

二等差数列｛q｝的前8项为正数，从第9项开始为负数，

...等差数列｛%｝的前8项和最大，

故答案为：8.

14.若数列｛%｝的通项公式%=(-!)"•2",前〃项和为S“，贝1]&=.

【答案】-16

【解析】因为4=(-1)",所以。[=-2,%=4,%=-6,%=8,L,

所以S[5=%+。2H---1-015

=(—2)+4+(-6)+8+(—10)+…+(-30)

=[(-2)+4]+[(-6)+8]+[(-10)+12]+…+[(-26)+28]+(-30)

=2+2+2+---+2+(-30)=2x7-30=-16.

故答案为：-16

/、，、7〃一34

15.已知两个等差数列｛%｝和也｝的前，项和分别为S“和且寸=HF，则,=-

【答案】6

Ori_1Ovj_1

【解析】由已知得，%1=亍(％+%1)=(2〃一1)%,%==值+b2a

令n=5,贝I」S9=9%,T9=9b5,

as_^9_7x9-3_6

所以

，b「T「9+1

故答案为：6.

16.已知数列｛凡｝满足:,+工+」+…+”=2-(«+2)!，〃eN*,则数列｛a“+log2%“｝的前"项和S"为

〃2〃3乙

【答案】2"血+储+〃-2

,123n_/_1、丫*

【解析】因为t*+1+J-,+Z=2-("+2x5”',

1cJ八11

所以当〃=1时，-=2-(l+2)x-=-,故％=2；

123几。-1123〃-1「/八1

当心2时，*+£+丁-・+乙=2-(〃+25,则*+『％+…+/=2-(〃+1)F，

nn+2n+1一〃-2+2〃+2n

两式相减得:1=--王一+万丁=故。"=2",

经检验：％=2满足氏=2",

所以当〃eN*时，。“=2”,

所以4+log2a2n=T+log22森=2"+2n,

232+12

=(2+2+2+---2")+(2+4+6+---2/2)=^~^)+^(2+2n)=2"+w+rt-2.

故答案为：2"+'+772+〃—2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

若数列｛可｝满足：％=1,点(%q+凡+J在函数y=^+i的图象上，其中％为常数，且看片0.

⑴若1,的,%成等比数列，求上的值；

(2)当左=3时，求数列｛%｝的前21项和打.

【解析】(1)根据题意可得4用+风=如+1,又4=1,故可得的=匕/=左+1?%=k,

又知。2,。4成等比数列，故为。4=。；，即2左=/，解得％=0(舍)或％=2,故％=2.

(2)当上=3时，an+i+an=3n+l,则%+2+%+]=3("+1)+1,

两式作差可得：an+2-an=3,故该数列的奇数项是首项为1,公差为3的等差数列，则。?1=%+10x3=31,

故^21=(q+/)+(%+04)^+°20)+丹1

=(3xl+l)+(3x3+l)+---+(3x19+1)+31

=3x(l+3+5+---+19)+10+31

10(1+19)

=3x—------^+41

2

=341.

故数列｛%｝的前21项和%=341.

18.(12分)

已知数列｛%｝的前n项和公式为S.=n2-Wn.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

C

(2)若数列2=',求数列｛bn｝的前n项和T,的最小值.

n

【解析】(1)当〃=1时，。1=，=一9；

22

当时，an=Sn-Sn_t=(«-10«)-[(n-1)-10(«-1)]=2«-11,

%=-9满足%=2”-11,故对任意的"eN*,an=2n-ll.

(2)b=—=n-10,令勿=〃一10W0,解得〃<10,

nn

且%—2=5—9)—5—10)=1,所以,数列也｝为等差数列，

所以，T”的最小值为7；=(_9+?xl0=_45.

19.(12分)

一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口8,将自然数列｛"｝(">1)中的各数依次输入A口，从8

口得到输出的数列｛%｝,结果表明：①从A口输入)=1时，从8口得4=；;②当”22时，从A口输入“，

从B口得到的结果％是将前一结果%先乘以自然数列｛科中的第〃-1个奇数，再除以自然数列｛〃｝中的第

〃+1个奇数.试问：

(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？

(2)从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由.

1

a,=-

【解析】(1)当〃二1时，3；

Z=|M—2时，=%X1X—=;

当n=3时，％=%、3*；=上；

=1111_1

,JCL-=---期=~

(2)31x3,1535577

故猜想%=~~~"TT；

(2n-l)(2n+l)

理由：显然力二1时，猜想成立，

假设〃=左口寸，猜想成立，即4=。71、，

(2%一1)(2%+1)

_21_]___________1__________

则"=*+1时，刑+1-2二+34-(2/+1)(2左+3)-[2伏+1)—1][2伏+1)+1]

・,•当〃=左+1时，猜想成立,

1

a""(2/i-l)(2zi+l)

1__1

故从口输入时，从口得的数为

A100B299?39999~

20.(12分)

记S”为数列｛%｝的前"项和，己知S,=2an-2.

(D求｛”0｝的通项公式;

⑵若么=(-l)"xlog2%+i，求数列｛a｝的前”项和人

【解析】(1)当"=1时,%=2；

当“22时,an=Sn-Sn^=2an-2-(2^-2),则〃=2%；

又•.•q工(),则｛〃“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

an=2".

⑵因为勿=(一1>1限出用=(T『(2〃+1)

当〃为偶数时，£=3+3+(4+=)+…+(如+2)=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(2n-l)+(2n+l)]

fl

=2+2+2+・一+2=2・一=n；

当"为奇数时，Z,=4+色+4)+(々+&)+…+(也1+%)

—I

=-3+(-2)+(-2)+---+(-2)=-3+(-2)-^-=-n-2；

数列间的前〃项和为T“二C数

综上所述:

21.（12分）

,<、33凡

已知数列｛%｝的首项且满足凡+1=丁二

（1）求证：数列］为等比数列；

--3,〃为偶数时，

⑵设数列也｝满足2=，%求最小的实数"Z,使得4+%+…+如〈机对一切正整数左

〃为奇数时，

,nn+2

均成立.

121

【解析】（1）由已知得,--------二—।-----------，

、%33%

所以」--1二?1

-1

%37

112c

因为=

所以数列,上1-1］是首项为1,公比为g的等比数列.

12

(2)证明：(2)由(1