安徽省安庆市某中学2024-2025学年高一年级下册期中考试数学试卷（含解析）

安庆一中2024-2025学年度第二学期高一年级

数学学科期中考试试题

命题：余晓燕审题：刘贵红

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.在复平面内，复数z满足二,""=则复数】对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.

【详解】由二•（l-i）=2i可得二==-1+i,

'11I1-1H1+H

故复数z对应的点为（1JI,位于第二象限.

故选：B

2.已知向量a=（1,2）,向量b=（x,-2）,且a_L（ab\,则实数x等于

A.9B.4C.0D.-A

【答案】A

【解析】

【分析】算出d-6的坐标利用♦-5）=0可得》的值.

【详解】a-h=（\-x,4],又＜；|“-勺=0,故17+2x4=0,所以L”,故选A.

【点睛】向量数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；计算角，

cos=熊.特别地，两个非零向量”垂直的充要条件是鹏=o.

3.圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（）

A.1B.6C.GD.2

【答案】C

【解析】

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【分析】根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高.

【详解】由圆锥的底面半径为1,得侧面展开图半圆弧长为2兀，因此该半圆半径为2,

即圆锥的母线长为2,所以圆锥的高为,2,-r=瓜.

故选：C

4.如图，。是.48上靠近8的四等分点，£是.4C上靠近A的四等分点，尸是的中点，设几二

Zc=£,则7F=（）

A

【答案】c

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可.

【详解】因为。是/<8上靠近B的四等分点，£是』C上靠近A的四等分点，”是0E的中点，

一1—1—13——1I—3—1—3ab

所以/尸=—AD+—AE=—x—AB+—x—AC=-AB+-AC=—+一.

2224248888

故选：C

5.在正四棱柱48CD-4用GA中，45=4,44=5,E.F.G分别为侧棱B4.C。,。叫上一点，则

AE+£F+FG+（讯的最小值为（）

A.7281B.7283C.x/HTD.14

【答案】A

【解析】

【分析】将正四棱柱，488-A4cl。的侧面展开，由直线段最短求解.

【详解】如图所示:

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将正四棱柱（图i）的侧面展开，得到展开图（图2）,

当4E，F，G,4五点共线时，“4£1+£77+66+6.4取得最小值，

且最小值为J（4x4）=5：=JUT.

故选：A

6.如图所示，已知正方形0'」‘8'L的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其

原图形的周长为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据斜二测画法还原图形，结合图形求解.

【详解】根据斜二测画法还原得下图：

因为四边形0/8是边长为的正方形，贝打，‘£'=JTo,r=JF,所以，08=2",

又因为。4=1,0/108,则.48=+08,=+8=3，

同理可得8c=1,0C=3,

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因此，原图形的周长为0.4+•8C-0C=I•3+1+3=8.

故选：B.

7.若月8c的内角A、8、C所对的边分别为a、6、c,。二二5.1="厂，则8的解的个数是()

D.不确定

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理可算得$inB=(>；,所以8可能为大于A的锐角，也可能为钝角，即8有两解.

ab.„hsinA5sin3O°5

【详解】由正弦定理可知一7=—^,所以sm8=--=--

sinAsinBa48

又因为在三角形中大边对大角，即因为b>。，所以8>d,30°<B<I5OC

所以8可能为大于A的锐角，也可能为钝角，即8有两解.

故选：A.

8.已知平面向量：，A,满足同=1,V；=(1,11=I,=I,则/>+/的最小值为()

A.1B.6C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】在平面直角坐标系xOy中，不妨设.=11.01,A=(x„y1),£=由己知可得

n必-1=0,由向量的加法和模的坐标运算结合基本不等式求解即可.

【详解】平面直角坐标系xOy中，不妨设"=IL0I,b=(xl,yl),c=(x2.yj,

贝ija，E=X=1,ac=x2=9he=XjX2+V|y,=y,y2-1=0,

所以W+Z卜++=IM+=咒+川+「22卜3-7=2,

当且仅当M=±l时等号成立,

因此，W+的最小值为2.

故选：C.

二、多选题(每小题6分，共18分)

9.已知向量。=(x,3],/>=|5,2i,则下列结论正确的是(

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-.6

A.若uH6,则工=一~-B.若。一％,则N=-《

C.若同=5,则x=4D.若x=3,则：j=2l

【答案】BD

【解析】

【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的

坐标公式计算可分别判断C项、D项.

--15

【详解】对于A项，若。〃b,则2*-15=0,得*=彳，故A项不正确.

..,A6

对于B项，若“_卜，贝U5A+6=0,得1=-彳，故B项正确.

对于C项，若，小5,则6+9=5,得*=±4,故C项不正确.

对于D项，若x=3,则」、=3>：5♦5>:：1,故D项正确

故选：BD.

10.对于ABC,有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若cos.4=cos8,则.48C为等腰三角形

B.若,4>8,贝ij、inA>sinB

C.若6=8,c=10,8=60。，则符合条件的有两个

D.若sin：」+sin：8<sin：C,则ABC是钝角三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,利用函数1=C°S'单调性判断；对于B,由正弦定理判断；对于C,求出sinC判断即可;

对于D,由正弦定理得。：+卜<「，再利用余弦定理判断.

【详解】对于A,若cos/=cos8,因为函数丫=co$\在（0,兀।上为单调函数，所以」B；

所以X8C为等腰三角形，所以A正确；

ah…

对于B,若.4>B,可得a>〃，由正弦定理一~-=——=2R,

sinAsinB

可得2Rsin』>2Rsin8,可得sin』>sin8,所以B正确；

n

对于C,因为sinC=巴10=沙>I,所以符合条件的有。个，所以c不正确；

b8

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对于D,若$血:4-sin2<sin;C，由正弦定理得口：+b：<”，

则cosCJr'-，-<0,因为Ce（0,兀j,所以CeJn,

labU）

所以.48。是钝角三角形，所以D正确.

故选：ABD.

11.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛

有。升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）,则（）

A,若往容器内再注入。升水，则容器恰好能装满

B.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

C.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点产

D.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点尸

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，设图1中水的高度为力：，几何体的高为1，底面正方形的边长为人，利用水的体积,

得出力与力：的关系，从而结合选项即可逐一判断.

【详解】设图1中水的高度力：，几何体的高为自，底面正方形的边长为八；

25

则图2中水的体积为6%即：/久=〃（九-h:）,解得九=-h2,

所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误.

225

对于A,往容器内再注入a升水，水面将升高1h:,则用+即/>,,容器恰好能装满，A正确；

对于C,当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，

所以水面也恰好经过P点，C正确；

对于D,任意摆放该容器，当水面静止时，P点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都

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恰好经过点P,D正确.

对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,

因为四棱锥的高为小，几何体的高度为人，设正四棱柱的底面边长为方，

1AuAFAM-AB1

可得4M=!生，由可得生巴=刍2,可得4人=।=%,

3AMABAM6

所以B81£-CC।F的体积为fg=_x_bxAxb=_x—hx—h,xb=—h'hy,

26263-36

25,25,25

可得水的体积为匕=；6生，此时；bf?>；h'h,矛盾，所以D不正确.

363632

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.已知A,B,C是表面积为36x的球。的球面上的三个点，且“二48二8c:3,则球心。到平面

ABC的距离为.

【答案】近

【解析】

【分析】根据题意可得球的半径为A和.48C的外接圆半径，结合球的性质运算求解即可.

【详解】设球的半径为R,

则4nR=36x，解得R=3,

,=工=币

由题意可知：H8C是边长为3的等边三角形，其外接圆半径isin兀，

3

所以球心。到平面48C的距离为"=1R，-6=R.

故答案为：瓜.

13.已知复数二满足|二」+2i|=3,则匕+22i的最大值为.

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【答案】8

【解析】

【分析】根据复数的几何意义再由向量的三角不等式可得结果.

【详解】因为：k2-2i=:-1•233Ji,所以

|z+2-2i|=|z-1+2i+3-4i|<|z-1+2i|+13-4i|=3+3+（-4日=8，

所以匕+2-2i|最大值为8.

故答案为：8

14.在正方体/BCD-4与GA中，已知<4=7,点0在棱；14上，且.40=4,则正方体表面上到点0

距离为的点的轨迹的总长度为.

17兀

【答案】—

2

【解析】

【分析】确定点P为球心，半径为的球在正方体每个面上的截面图形，求出轨迹的长度即可.

【详解】依题意，因为0」=4,AA、=AB=A\B[=7,

故在工844上必存在点E.F满足0E=OF=5,如图所示.

AE=>JOE:-OA:=3=O,i>同理可得1/=4=,

所以44EO9AJ.OF,所以ZAEO=qOF,

又因为/4EO+N.4OE=1,所以/.4。/+乙40£=三，

所以N£OF=n-[ZAtOFZAOE\=:,即0£，0F.

2

在平面〃淖18内满足条件的点的轨迹为加，

该轨迹是以为半径的」个圆周，所以长度为2兀x5x1=回；

442

同理，在平面』；D[）内满足条件的点轨迹长度为包；

2

在平面』BCD内满足条件的点的轨迹为以4为圆心，LF为半径的圆弧，长度为2兀x4xl=2;r；

4

同理，在平面.48CZ）内满足条件的点的轨迹为以、为圆心，花为半径的圆弧，长度为2jrx3x5=蓑.

故轨迹的总长度为—+—+2«+—=—.

7???

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故答案为：—^―

四、解答题（第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分）

15.已知48C的内角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,满足4§M8二，记8§/1.

（1）求角A；

（2）若“=J7,6=2,求边c及.48。的面积；

,兀

【答案】（1）4=5

,、3G

（2）3；二一

2

【解析】

【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；

（2）利用余弦定理可得c=3,结合面积公式运算求解.

【小问1详解】

因为“sin8=j5/>cos/,由正弦定理得、in』、in8=TTsin8CirI，

且8e(0,兀|,则sin8w0,

可得sin4=J5cos/!,则tan,4「JJ,

又因为4e(0,ji),所以，=：.

【小问2详解】

2

由余弦定理得。：=V+J-2brco",Bp7=4+c-2x2xCxl

整理可得c：-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去)，

所以ABC的面积=-6csin/<=-x2x3x^l=b/I.

jm)-i、I

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16.已知同=4,W=3,(25-36卜(27+同=61.

（1）求向量；与公的夹角6；

⑵若心心传_巾,

且§二=（I.求及

iJT

【答案】（1）0=三

（2）/=2；同=46

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出8；

（2）根据向量数量积运算律求得/=2,再平方计算即可.

【小问1详解】

由（2］哪2％61,可得7-疗=61，因为同=4,同=3,

12K

所以4x4--4x4x3cos0-3x}*=61，解得cos0=--,0<fl<x，所以。二—；

23

小问2详解】

所以E.C=/a•石+(竽Tb=/x4x3[-yj+^-y--zjx3：=0,

因为。=fa+件中

整理得-15/+30=0,解得/=2,所以Z=2£+±B,

3

所以5=(2a+：q=4o*+^-a-b+^-b

!Ax3:=64-32+16=48,

=4x4:+—x4x3x+

39

所以口=46.

17.如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向8行驶，在A处测得山顶P处的仰角/P.40=30,，该车以

45kmh的速度匀速行驶4分钟后，到达8处，此时测得仰角/尸80=45。，且cosN/O8=-'目.

3

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(1)求此山的高OP的值；

(2)求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值.

【答案】(1)手

(2)石

【解析】

【分析】(1)设OPuUm,由锐角三角函数表示出X。、B0,再在.4OB中利用余弦定理计算可得；

(2)设C是线段,48上一动点，连接OC.PC,即可得到点C处观测p点的仰角为/PC。，且

tanZPCO=—,求出0C的最小值，即可得解.

2OC

【小问1详解】

设OP=xkm,在AP4O中，因为tan/P/。=—,所以.40=—--=JT.t,

AOtan30°

x

同理，在中，BO=------=x,

tan45°

在.4。8中，由余弦定理得，8：=」0：-80：-2」0,8Ocos上.108=6广，

由48=45x±=3,所以9=6/，解得(负值已舍去)，所以此山的高0户为诬km；

6022

【小问2详解】

由(1)得8。="3。=3五，.48=3,设C是线段X8上一动点，连接OCJC,

22

则在点。处观测p点的仰角为/PCO,且1211/户。。="=正，

OC2OC

因为COSN/O8=-3,Q</.AOB<7i,所以sinN/08=Jl-cos'N4OB=诬,

33

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当"CL.48时，最短，记最小值为d,由s_“2=；/O-BOsinN4O8=；/B-d,

0n1瓜36瓜1,.々刀,曰.>J1.tanZPC0=——4——/=-=y/i

即一x——=—x3(/?斛佝d——，所以2OCyj2

2223222x—

所以该车从A到B行驶过程中观测P点仰角正切值的最大值为75.

18.己知在锐角.48(?中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，2ucos5=2(h.

(1)求角A；

(2)若c=2,D为BC中点，AD=/j,求6；

(3)若。=2,求力+c的取值范围.

【答案】(1)4=60

(2)。=4

(3)12^,41

【解析】

【分析】(1)由正弦定理可得2sinJcosfi=2sinCsinB,根据三角形内角和定理和两角和的三角函数

即可求解;

⑵由己知可得而=；前+；(,两边完全平方即可求解;

(3)由正弦定理可得〃=芈$访8,。=士叵sinC,借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解

【小问1详解】

因为2。cosB=2c-/),

根据正弦定理，得2sinAcosB=2sinC-sinS,

所以2sin.4cos8=2sin|/+8lsinB,

所以?sin」co§8二2§in』co$8*2co$.4sin8・§in8,

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即2cosAsinS=sinB,

因为sin8h0,所以cos4=-1,

又4e(0,Ji),所以，=60；

【小问2详解】

因为。为8c中点，所以无5=工4月+：大，

22

喇珂=珂+阿+2"可，

所以7=1(4+/+2x2-ftcos60),

4

所以:(I,解得心4或/>=-6(舍去)，

故八二4；

【小问3详解】

由正弦定理：，一=一一=」一=」一=拽,

sinBsinCsinAsin603

所以b=@^sin8,c=^^-sinC，

33

因为」二60，所以8+C=120,所以C=120-B,

所以b+c=(sin5+sinC|=^^[sinB+sin(120-8|]

呻sin8+4SB

sin8+—cos8

3122i22

=4sin(8+30),