安徽省蚌埠市2024-2025学年高二年级上册期末学业水平监测数学试题（含解析）

安徽省蚌埠市2024-2025学年高二上学期期末学业水平监测数学试题

第I卷(选择题)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.斜率为-1的直线的倾斜角为()

A.—当B.C-7D.半

2.已知向量五〃丸其中五=(1,1,2),5=(2,%,4),则%=()

A.2B.1C.-6D.-10

3.过点4(1,-2)且方向向量为万=(3,1)的直线的方程为()

A.x—3y-7=0B.3x—y-5=0C.3x+y-1=0D.x+3y+5=0

21

4.已知双曲线Y,-y2=i(a>0)的渐近线方程为、=久，则。=()

A.1B.2C.4D.7

24

5.已知正项等比数列｛即｝的前几项和为治,若52=I，则｛即｝公比为()

11

A.1B.|C.2D.3

6.已知圆心在久轴上移动的圆经过M(-4,0),且与式轴、y轴分别交于4B两个动点，过4B分别作K轴、y轴

的垂线，两条垂线的交点记为P,则点P的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

7.已知数列｛5｝满足：%_=2,a=斯一；(neN*),则=()

nan+l-1

98109

A-§B9C.豆D.-

8.已知双曲线E。—*>0,6>0)的左、右焦点分别为6,F2,左、右顶点分别为4，点8的坐

标为(0,6),P在双曲线E上，P4是42^的中垂线，若△PBFi的周长与△P&F2的周长之差为1+C，则双

曲线E的方程为()

A.y-y2=1B.x2-^=1C-j1-T=1D-y-ll=1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知圆C：O—l)2+(y+l)2=2,下列说法正确的是()

A.圆心C的坐标为(一1,1)B.半径r=/2

C.圆C被直线y=x—1截得弦长为传D.直线3x+4y-3=。与圆C相切

10.在平行六面体ABC。-中，乙41aB=/.A±AD=4BAD=60°,AB=AD=AA1=1,下列结论

正确的是（）

A.ACr=y/~6

B.BDi1ArC

C.｛芯,灰豆,河｝可以作为空间的一个基底

D.J41c——2ABi+——AD-^

11.已知数列｛4｝满足：&=F2=1，4+2=Fn+1+&O£N*）,下列说法正确的是（）

A.Pn+i2%B.4+Fn+2>2Fn+1

C.F2025—F2000>25F1999D.F1013+^1014>F2+6023

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点B是点（-3,4,-5）在坐标平面。孙内的射影，则点B的坐标为.

13.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称

轴的截口B4C是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点后上，片门位于另一个焦点F2上•由椭圆一个焦点后

发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点/2•已知BC经过点&,且8C1g,BC=3,=1,

则椭圆离心率为.

反14.已知实数a,b满足等式（a—l）2+（b—爪）2=5,若存在

射

镜实数a,b满足不等式a?+w26-4a+15,则实数m的取

面

值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明,

透明窗，

证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知△ABC的三个顶点是力（4,0）,B（2,4）,C（0,3）.

（1）求边4B上的中线所在直线的方程；

（2）过点B作直线AC的垂线求垂足。的坐标.

16.（本小题15分）

已知抛物线C：y2=2p;c（p〉0）焦点为F,点在C上，且|MF|=3.

(1)求抛物线C的焦准距；

(2)若力，B在抛物线C上，直线。力经过点E(-l,-1),直线BE平行于久轴，证明：直线经过焦点工

17.(本小题15分)

2

已知等差数列｛&J和正项等比数列｛%｝,｛斯｝的前n项和为Sn,且％,+a5=8,b4-b2=a5,S2n=2Sn+n,

b2n=2bn\neN*).

(1)求数列｛即｝和｛bn｝的通项公式;

.号乎求数列&｝的前2n项和.

(3)若＜:„=

口九①为偶数、'

18.(本小题17分)

如图，在直棱柱力BCD-a/iCDi中，底面力BCD是边长为4的菱形,E,F分别是棱力B,BC的中点，DE1DrC.

(1)求证：CD1DE;

(2)若直线EF与平面/EC所成角的正弦值为余.

(i)求名到平面DiEC的距离；

(ii)求平面/EC与平面DLEF夹角的余弦值.

19.(本小题17分)

2

已知椭圆E：3+y2=1，A,B分别是E的左、右顶点，点T是E上一点(T与4,8不重合)，过原点。的直线

4

12,满足匕〃兀4,l2//TB,其中匕交E于M,N两点，%交E于P，Q两点,其中P，M在%轴上方，直线TA,TB的

斜率分别为七，k2.

(1)求证：卜1•七为定值；

(2)判断|MN『+|PQ『是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由；

(3)如图，将椭圆沿48所在直线翻折，使得平面P力B，平面Q4B.判断|MN『+|PQ『是否为定值，如果是,

求出该定值，如果不是，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】•••直线的斜率k=—1,且倾斜角a在［0,兀)内，

•••tana=—1,

•••直线的倾斜角为多.

故选。.

2.【答案】A

【解析】因为力/比a=(1,1,2),K=(2,%,4),

所以有之=工另，解得x=2,

2x4

故选：A

3.【答案】X

【解析】•••过点(1,—2)且方向向量为(3,1),

•・・直线的斜率k=

1

•,•其方程为y+2=-(%—1),

整理，得久一3y—7=0.

故选：A.

4.【答案】B

2-1

【解析】由双曲线r,一*=1((1>0),得其渐近线方程为y=士;久,

又双曲线的渐近线为y=±如得泻,则a=2.

故选：B.

5.【答案】C

【解析】由题意可知，数列｛/J的公比qK1,

贝琛=三%=1+Q2=5,q2=4,

因为q>0,所以q=2,

故选C

6.【答案】D

【解析】设圆心坐标为(a,0),则圆的方程为(x-a)2+y2=(a+4)2,

令y=0,得x=-4或x=2a+4,则2(2a+4,0),

令％=0,得必=8a+16,则B(0,±V8a+16),

所以P(2a+4,±78a+16),所以yz=4x,

所以点P的轨迹为抛物线，

故选：D.

7.【答案】A

【解析】由厮=’叱】■得即+1=2-1，ai=2,

a_1a

n+ln

11141151

贝t2226

n做--

一

=-=一----

u--3-3-445

«3敢---

«12«33451

212172121819

--7为-

------?6_--一-----

6^77J88

«6%--

«5-567

故选A.

8.【答案】B

【解析】因为P4是的中垂线，所以IBA/=小加，阿|=小，

若^PBa的周长与21PA2尸2的周长之差为1+/7,

则IBF/+\BP\+IPFJ-\PF2\-\PA2\-\A2F2\=1+77,

即2a+Vc2+Z?2—(c—a)=1+V-7，①

易知田人|=阂41，所以c=2a,②

且c2=/+a2,③

解①②③组成的方程组可得《二行

则双曲线E的方程为/—[=1.

故选：B.

9.【答案】BC

【解析】圆C:(%—l)2+(y+l)2=2,圆心为(1,一1),半径为厂=，！，故A错误，5正确;

对于C,圆心到直线y=x—l的距离为卓^=苧，

所以圆C被直线y=%—1截得弦长为2J(72)2-(苧?=，石，故c正确;

对于D,圆心到直线3久+4y-3=0的距离为譬34

^32+425

所以直线3x+4y-3=0与圆C相交，故。错误.

故选BC.

10.【答案】ABD

【解析】由题意得，AB2=AD2=矶2=1,

--->--->--->>>>1

AB-AD=AB-AAr=AD-AAr=1x1xcos60°=-,

对于选项A,AC^=AB+AD+AA^,

.-->2--->2--->2---->2--->--->--->----»---->--->

贝！Me=AB+AD+AA-,+2AB-AD+2AB-AAr+2AA1-AD

111

2-2-2-所以ACI=，5,故A正确;

对于选项B,B01=ADr-AB=AD+AAr-AB,

i41c—AC—AA-y—AD+AB—AA^,

则西•A^C=(AD+京-AB)•(AD+AB-巩)

--->2---->2--->2---->--->1

=AD一力4-AB+2AAr-AB=l-l-l+2x1=0,

故BDil&C,故选项8正确；

对于选项C,因为芯=砧+庠=丽+4万，所以前，硕，砧是共面向量,

所以｛元，硬，河｝不可以作为空间的一个基底，故C错误；

对于选项。，A^C=AC-AA1=AD+AB-AA^,

1__.3一1―.

—+2^。-2

———+AB^+—(^AB+XD)——(^AD+ZZj——AA^+AB+AD,

故A］。=—5AC—,故选项Z)正确.

故选：ABD.

DiC,

11.【答案】ABC

【解析】对于a,由题意可得％+1—4=4-1（几》2）,所以4+1》%，故A正确；

对于B,由于居2+2=Fn+1+Fn,

当?222时，Fn+Fn+2-2Fn+1=Fn+Fn+1+Fn-2Fn+1=2%—Fn+1=2Fn-Fn-Fn_r=Fn-Fn_r,

由4可知，当ri》2时，Fn>Fn_r,所以当2时，Fn+Fn+2>2Fn+1,

当n=1时，F1+F3-2F2=l+2-2=l>0,

所以现+Fn+2N2Fn+「故B正确；

对于C,因为nN2时，Fn+1>Fn,

所以F2025—/*2000>&999+尸1999+…+0999=25fli999，故C正确；

对于。，由七+2=Fn+1+&可得尸2023=尸2022+^2021=尸2021+^2020+尸2021=^^2021+尸2020=不断

展开，

又因为Fl。1？+&014=0015，

同样尸2+/2023—1+「2023，

我们知道&是递增数列，且F1015<尸2023+1（因为尸2023是由很多项递推得到，远远大于&015），

所以「1013+F1014<尸2+&023，故。错误.

故选ABC.

12.【答案】（一3,4,0）

【解析】点（-3,4,-5）在坐标平面。町内的射影点B的横纵坐标保持不变，竖坐标为0,即B（-3,4,0）.

13.【答案】1

【解析】根据题意，出。|=w-=3,|/Fi|=a—c=l,

又a2=h2+c2,解得a=2,c=1,

所以离心率e=£=9.

a2

14.【答案】一5W7

【解析】(a-1产+(b-m)2=5表示点(见6)在以6(1,爪)为圆心，q=Y亏为半径的圆上,

不等式a2+b2<2b-4a+15可化为(a+2)2+(b—I)2<20,

表示点(a,b)在以。2(-2,1)为圆心，半径为上=2，亏的圆上及其内部.

由于存在实数a,b满足不等式，则两圆不能相离，

两圆圆心距离为d=J(1+2产+(m—1尸=J(m-1)2+9,

所以dWq+上，

即J(m—1)2+9<AA5+2<5,

解不等式得到一5<m<7.

15.【解析】⑴AB中点为(3,2),

故边4B上的中线所在直线方程为=若，

即久+3y—9=0.

(2)由题意知,k4c=旨=一右

则垂线BD的斜率册。=一乙=号

故直线4C的方程为3x+4y-12=0,

直线BD的方程为4久-3y+4=0,

联立yiC和BD方程,管+黑；匕“，解得垂足呜芥).

1tt1人—DyT看一\J,。。

16.【解析】⑴由|MF|=如+%2+%3,得p=2,

即抛物线C的焦准距为2.

(2)由(1)知C:y2=4%,直线。4方程为y=x,

由"(V==4xx,,得力(4,4)，

在y2=4%中令y=-1,得

所以直线AB方程为4x-3y—4=0,焦点9(1,0)在直线4B上，即直线48经过焦点F.

17.【解析】⑴设｛%J的公差为d,｛%｝的公比为q，

述笺1+'得｛屋£即…+1，

由｛It比6'又孰>0,得战匚2、即匕=2f

（2）易知£=器，

*=:+*+…+券，①

2,3,4n+1

—I—7H—7+•••d-----,

222232n

①一②得力=j+[+蠢+…+/「箸

1n+lcn+3

=2+1—————=3------

2n-I2n2n

故及=6-累;

】+

(3)q+c3H-----Fc2n-i=aa3H------Fa2n_1

.n(n-l)2I

=Q2nH----------2=n+n,

2

c

Q++—1"2n=b2+b4A-------Fb2n

_2(l-4n)_22n+1—2

==,

1-43

oo2tl+l

故数列｛%｝的前2n项和为"+n--+—^―.

18.【解析】(1)因为直棱柱4BCD—必位好心,

所以叫1平面ABC。，

又因为DEu平面48m

所以1DE,

因为。E1DCDDr1DE,DDiCD]C=%,叫u平面CDD1c「u平面(:叫的,

所以DE1平面CDDiG，

又CDu平面CDDiQ,

所以CD1DE.

（2）①以D为坐标原点，DE,DC,DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

如图建立坐标系D-xyz.

设DDi=h,

由题意知，。式0,0,〃)，£(273,0,0),C(0,4,0),F(<3,3,0)>B1(2<3,2,4),

则前=(一门,3,0)，庠=(20,0,-0,EC=(-2AA3,4,0),l\Bl=(273,2,0).

设平面DiEC法向量％=（比i，yi，Zi）,

-D]E=2A/3久i—hz、=0

由不妨令瓦=(2A<3A473)-

,n7,EC=-2V~3