第5章 三角函数 章末重难点归纳总结（解析版）

第5章三角函数章末重难点归纳总结

“角的分类一

任意角与瓠度制口［」扇步的瓠昧与面积

］三角函数在直角三角和单位圆的双|

三角函数值的正负判断

L三角函数的定义

」弦的齐次

同角三角函数［|弦的加减我

三

角

函

数

重点一扇形的弧长与面积

重点二三角函数的定义

重点三三角的数值的正负判断

三角函数

重难点四同角三角函数

重难点五诱导公式及恒等变化

重难点六三角函数的性质

j-------------------------------------------------------

重点一扇形的弧长与面积

【例1-1](2021•江苏•高一专题练习)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm"则该扇形圆心角的弧度数为

()

A.—B.—C.}D.；或8

4422

【答案】C

【解析】设扇形的弧长为/,半径为小则2尸+/=10,

•••S扇形=:〃=4,则g(l。-2r)r=4,解得：〃=4或r=l,

21

当丁=4时，1=2,a=—=—,

42

当厂=1时，1=8,a=8>2»,故舍去，

扇形的圆心角的弧度数是3.故选:C.

【例1-2](2023•全国•专题练习)已知扇形的圆心角是a,半径是,，弧长为/.

(1)若戊=100。/=2,求扇形的面积;

(2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.

■人人-〉.1OTT

【答案]⑴,

⑵最大值为25；a=2

a=100°=100x—=—S=-/r=-ar2=-x—x4=—

【解析】⑴因为1809,所以扇形的面积为22299.

(2)由题意可知：，+2厂=20,即/=20-2厂，

119

所以扇形的面积为5=/〃=5（20-24厂=-（一5）一+25,

当r=5时，扇形面积的最大值为25,

此时/=20-2x5=10,«=-=—=2

r5

【一隅三反】

1.（2022•四川）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，初纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子,

如图1.其平面图如图2的扇形AOB,其中ZAOB=120。，OA=3OC=3,则扇面（曲边四边形A3DC）的

面积是______

图1图2

【答案】y

17TT

【解析】由题意可得，扇形A08的面积是:XTX32=3TI,

扇形COD的面积是/X万~xE=§兀.

则扇面（曲边四边形A5DC）的面积是3兀-：兀=?.

故答案为：

2.（2022.安徽•亳州二中高一期末）屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型

优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m,内环弧长为1.2m,径长（外环半径与内环半径之差）为

1.2m,则该扇环形屏风的面积为m2.

【答案】2.88

【解析】设扇形的圆心角为。，内环半径为nn,外环半径为Em,则R-r=L2m,

由题意可知a，r=1.2m,crR=3.6m,所以a（R+r）=4.8m,

所以该扇环形屏风的面积为：

S=|ar（7?2-r2）=1a（7?+r）（7?-r）=1x4.8xl.2=2.88m2.

故答案为：2.88.

3.（2021.陕西榆林）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对

弦所围成）面积的计算公式：弧田面积=；（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的

最高点到弦的距离.如图，弧田是由圆弧AB和其所对弦A2围成的图形，若弧田的弧AB长为与，弧所在

的圆的半径为4,则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为.

O

【答案】8^/3+2——

【解析】设圆弧A8所对圆心角的弧度为a，由题可知ax4=?,解得a=g.

故扇形的面积为[x"义4=鸟，三角形A03的面积为《xsin=x42=4G故弧田实际的面积为

23323

作ODLA5分别交AB,A8于点。，C,则AB=4>/LOD=2,

所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为:x（4括x2+2]=4/+2,

贝|]所求差值为（46+2）_]^|^_4\/§]=86+2-^^.

故答案为：8A+2——.

4.(2022•全国•高一课时练习)已知一扇形的圆心角为。(a>0),周长为C,面积为S,所在圆的半径为a.

(1)若。=90。，r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若C=6cm,S=2cm2,求。的值.

【答案】(1)5%(cm),257r—50(cm2)；(2)a=4或a=l.

【解析】(1)设弧长为/,弓形面积为M，

7T

贝*=90。=—,r=10,

2

=gxl0=5%(cm)

S.=S-S=-x5^-xlO--xlOxlO=25^--5O(cm2

1A221

'2r+l=6

(2)由已知得1,0,解得

—lr-2

[2

a=4或cr=1

重点二三角函数的定义

【例2-1](2022•全国•高三专题练习)如果角a的终边过点P(2sin60。,-2cos60。)，贝|cosa=()

A.--B.1C.D.B

2222

【答案】D

【解析】由题可得P(相,-1),因为r=7^1=2所以cosa=2=g.故选：D

r2

【例2-2](2022•江西省铜鼓中学)已知角。的终边经过点服(加,3-m)，且tan9=；,贝心力=()

A.2B.1C.2D.-

22

【答案】C

【解析】由题意tan6=^-=-,解得〃?=2.故选：C.

m2

【一隅三反】

1.(2022•全国•高一课时练习)已知尸(-2,y)是角。终边上一点，且sin。=当，则V的值是()

A20n20「4取n4取

A.-----------D.--------C.-------------U.----------

551717

【答案】D

【解析】因为尸(-2»)是角。终边上一点，sin6=¥>0,故点尸(-2,y)位于第二象限，

y272

所以y〉osin6=

J(-2)2+J"I"

整理得：17y、32,因为y>0,所以丫=差1.故选：D.

3

2（2022・重庆）角。的终边经过点4）,且cosa=-5，则tana的值为.

4

【答案】

3

【解析】由题意角。的终边经过点尸（九4）,且cosa=-y,可知初<0,

m34.4

则cosa=—==一£,解得小=—3,所以tana=17,故答案为：一；

｛信+16533

3.（2023•全国・专题练习）已知角a的终边经过点尸（-%,-6）,且cosa=_R,贝L+—1—

13sincrtana

【答案】42

5

【解析】因为角a的终边经过点P（-x,-6）,且cosa=-\,所以8sa=

13，

解得户沁=一,

因为点尸的纵坐标为-6,且cosa=-1<0,所以角a的终边落在第三象限，所以尤=g,即尸［-［，-6

匚匚7.12y12匚口、［1113s92

所以sina=——,tana=—=—,所以—---1-----------.故答案为:

13x5sin<7tana3

重点三三角函数值的正负

【例3-1］（2022.全国•高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角。的顶点在原点，始边在光轴的非负半轴

上，终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（）

71

A.sinI+-|-B.cosOCH----C.tan(7i+a)D.cos(兀+a)

2

【答案】D

【解析】由已知得a是第二象限角，所以c+g是第三象限角，兀+。是第四象限角，

2

所以sin（a+5）<0,cos^（z+^<0,tan（7i+cz）<0,COS（TT+C）>0,故选:D.

【例3-2】（2023•全国・专题练习）已知角0在第二象限，且sinmu-sinD，则角|■在（）

A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

（2左TTH,2k7l+7T）,左WZ—G（左TTH,k兀H）

【解析】•••角。是第二象限角，."e2,242,丘Z,

00000

...角彳在第一或第三象限，：sin=u-sin展，，sin彳<0,.•.角彳在第三象限.故选：C.

22222

【一隅三反】

1.（2022・全国•高一课时练习）已知a为第二象限角，则（）

A.sina<0B.tana>0C.cos<z<0D.sintzcostz>0

【答案】C

【解析】因为a为第二象限角，所以$也£>0,<：0$£<。,1311£<0,故ABD错误，C正确.故选：C

2.（2022・全国•高一课时练习）已知sin6<0且tan6<0,贝UO是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

【答案】D

【解析】sin6<0,则。是第三、四象限的角tan，<0,则。是第二、四象限的角

.••8是第四象限的角故选：D.

3.（2022・全国•高一课时练习）（多选）已知点尸（sind-cosatan。）在第一象限，则在［0,2词内。的取值范围

【答案】AB

【解析】因为点跳山夕-出0侬门⑶在第一象限,

|sin^-cos^>0

所以tan"。,即。位于第一象限或者第三象限且，且满足皿心凡

所以，当。位于第一象限时，。《李口时，sin6>cos。；

当6位于第三象限时，。©（巩今］时，sin6>cos，.故选：AB

重难点四同角三角函数

【例4T】（2022•成都）已知cosa=g,且a为第四象限角，则sine=（）

A一述B.+逑

33

C.土克D.受

33

【答案】A

【解析】Q。为第四象限，sina<0，sina=-Jl-cos2a=一2后,故选：A

3

【例4-2］（2022•辽宁实验中学）已知tana=3,则Zsi/a+sinacosa-3cos2a的值为（）

917

A.-B.18C.—D.15

510

【答案】A

了々力士匚x.2.c22sin2<z+sin6zcos<z-3cos2a2tan2<z+tancr-3

1用牛析】2sina+acosa-3cosa=-------------------------》-----------=----------5------------

sina+cosatana+1

9

代入tana=3可算得原式的值为:故选：A

【例4-3]（2023•云南）已知。£（。,兀），且sina+cosa=g,给出下列结论：

①、<。<兀；（2）sincifcostz=~~~;③cosa=g；④cosa—sin。=一：.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②④B.②③④

C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】V«G（0,7I）,sina+cosa=',等式两边平方得（sina+cos。）？=l+2sinacosa=*,

12

解得sinacosa=—石，故②正确；

1271

V6zG（0,7t）,sincrcos6Z=-----<0,.\—<a<7icosa<0,故①正确，③错误；

252f

兀1249

由一<。<兀可知，costr-sincr<0，且（coso-sin。）？=1-2sinacosa=1—2x（-----）=一,

7

解得cos。—sin。=—不，故④正确，故选：A

【一隅三反】

1.（2023・广东）己知coscr-3sina=0,则双区二吧区的值为（）

cos。+sin。

545

A.—B.—C.-D.

454

【答案】C

■AR..「1~一2cosa—sin。2—tan。35….

【解析】因cos。一3sma=。，贝!jtana=7，所以--------:---=--------=---f=：.故选：C

3cosa+sma1+tancr]+，4

3

2.（2022・辽宁•沈阳二十中一模）（多选）己知6«0,兀），sind+cos，=g,贝ij（）

A呜T3

-8B.cos0=——

5

37

C.tan3=—D.sin^-cos^=—

45

【答案】ABD

ii

【解析】因为sine+cos6=—①，所以（sing+cos夕）9=sin2^+2sin^cos^+cos20=—,所以

525

2sin<9cos<9=-!|.又。£（0,兀），所以sin6〉0,所以cos8<0,即。小m，兀，故A正

/X?49743

确.（sinS-cos。）=l-2sin^cos^=一，所以sin6-cose=—②，故D正确.由①②，得sind=-,cos6=——,

v725555

故B正确.tane="sin：0=-三4，故C错误.

cost/3

故选：ABD.

3.（2022•安徽）已知a£[0,27r）,cosa+3sina=\^U,则tana=.

【答案】3

【解析】因为（cosa+3sina）2=10,所以cos2a+6sinacosc+9sin26z=10,

h石cos2a+6sinacosa+9sin2l+6tancr+9tan2cr

因22=,m见lZ=]U,

cosa+sinal+tana

所以tana=3.故答案为:3

4.（2020・河南信阳•高一期中）如果sinx+cosx=g,且OVXVTI,那么tan尤的值是

【答案】.4

【解析】由sinx+cosx=[,得cosx=（-sinx

代入sin?%+cos?x=l整理得：25sin2x-5sinx-l2=0

43

（5sinx-4）（5sin%+3）=0,?.sinx=—^sinx=--

55

4

X0<x<TU,.\sinx>0,/.sinx=—,

I3flsinx44

/.cosx=——sinx=一一,贝|tanx=------=——.故答案为：——.

55cosx33

重难点五诱导公式及恒等变化

【例5”】（2022.湖北黄冈）（多选）下列各式中，值为6的是（）

l+tan15°

1-tan15°

C.cosl5。—Gsinl5。D.16sin10°cos20°cos30°cos40°

【答案】ABD

(n15]、1

221+cos—1+cos——

【解析】对于A,2fcos^|-cos1j冗5%

=2______6______6_=cos----cos——

2266

7

=+=y/3，故A正确;

22

1+tan15°_tan45°+tan15°

对于B,=tan(45。+15。)=tan600=y/3故B正确;

1-tan15°1-tan45°tan15°

1/o

对于Ccos150-石sin15°=2—cosl5°------sinl5°

(22)

=2sin30°cos15°—cos30°sin15°)=2sin(30°—15°)=2sinl5°=2sin(45°—30°)

=2(sin45°cos30°-cos450sin300)=2^^-当44\=鼻旦,故C错误；

)

对于D,16sin10°cos200cos30°cos400

二16x；卜in30°+sin(-10°)Jcos30°cos40°

=8sin30°cos30°cos40°-8sin10°cos30°cos40°

=8x^-cos400-8x^sin40。+sin(-20。)]cos40。

=2A/3COS40°-4sin400cos40°+4sin20°cos400=2百cos40。—2sin80。+4x；卜in60°+sin(-20°)J

=2V3cos40°-2sin800+A/3-2sin20°=273cos40°-4sin50°cos30°+有

二2百(cos40。一sin50。)+百=2百(cos40。一cos40。)+百=百，故D正确；

故选：ABD.

【例5-2](2022•广东深圳•高三阶段练习)已知。为第一象限角，cos(c+l(r)=：,则tan(17(T-a)=()

A.-2V2B.2A/2C.-72D.72

【答案】A

【解析】由a为第一象限角，cos(«+10j=1,得sin(a+l(T)=Jl-cos2(a+l(T)=¥，故

tan(a+10°)=—^-------1=20,故tan(170。-a)=tan[180°-(cr+10。)]=-tan(c+10°)=-2A/2.

故选：A.

【例5-3](2022.吉林)已知sin|a+f=%贝ijsin(2a+g1=()

15

BCD.

-t-I16

【答案】D

更

【解析】因为sin

8

所以sin(2a+^J=sin(2a+S+'15

16

故选：D

1.(2022.辽宁实验中学)(多选)下列等式成立的是()

A.—sin40°+^-cos40°=sin70°B."0"——1=1

22sin20°

C.sinl00sin50ocos20o=1D.tan67.5°-tan22.5°=2

o

【答案】BCD

【解析】对于A：1sin40°+cos40c=sin(400+60°)=sin1000=sin80°sin700,故A错误;

对于氏2sin?55。一1=­si10。=0s(90。+20。)=1,故R正确；

sin20°sin20°sin20°sin20°

对于C：sinl00sin500cos20°=sinl00cos40°cos20°

sinl00cos10°cos40°cos20

cos10°

—sin20°cos40°cos20°

2

cos10°

—sin40°cos40°

4

cos10°

—sin80°—cos10°.

故正确;

=8=8」C

cos10°cos10°8

因为tan67.5°-tan22.5°=tan(45°+22.5°)-tan(45°-22.5°)

tan450+tan22.5°tan45°-tan22.5°

1-tan45°-tan22.5°1+tan45tan22.5

1+tan22.5°1-tan22.5°

1-tan22.5°1+tan22.5°

=(1+tan225)一(「tan225)=4tan22.5。=2tan45。=2，故D正确;

1-tan222.5°1-tan222.5°

故选：BCD

2.（贵州省2023届高三上学期联合考试数学（文）试题）若cos卜+?）

【答案】-g

故答案为：

3.(2022•重庆)已知sin［(z+弓］=不，IJIlJsin=

【答案】1

【解析］cos(2a+^)=l-2sin2fa+^=l-2x^=--^

JkJ乙D4J

jrTTjr9717

而sin(2a+—)=-cos(2a+-+—)=-cos(2ad----)=—.

662325

故答案为：（

重难点六三角函数性质

【例6】（2022•陕西）己知函数/（x）=；sinx+石cos?、-#.则关于/⑶说法错误的是（）

冗

A./（X）的图象向右平移5邛个单位长度后所得的函数为y=-cosx

6

B.f（x）的图象与g（x）=sin（x+g）的图象关于y轴对称

jr7TT

C./⑴的单调递减区间为2k7t+-,2k7t+—伏eZ）

60

D.，（九）在[0,旬上有3个零点，则实数。的取值范围是"，坐

【答案】D

【解析】/(%)=gsinx+geos?x61.

---------=—sinx+cosx=sinx+工

2222I3

对于选项A,将f（x）的图象向右平移亍个单位长度后得到函数

6

y=/1x_K]=sin[x_V+]]=sin[x_]]=_c0sx的图象，选项A正确;

对于选项B,/(-x)=sin+j=s^n

^-xg(x)，

・・・〃%)与gQ)图象关于y轴对称，，选项B正确;

TTTT3冗7T771

对于C,由2E+,W尤+,W2痴+2(左GZ)2kji+—<x<2fai+—(kZ),

jr7兀

即/(尤)的单调递减区间为2kji+—,2kn+――(%wZ),.,•选项C正确；

_66

对于D,如图为y=sin/的图象，

由图可知，/（X）在［0㈤上有3个零点，则371«。+4<4兀，解得早117T

选项D错误.

故选：D.

【一隅三反】

1.（2022•成都）已知函数/（x）=J^cos2x-sin2x,下列说法正确的是()

A./（力的最小正周期是2兀

B.“X）的图像关于直线工=联对称

C.〃尤）在区间（。，"上单调递增

D.〃x）的图像可由"2cos2x的图像向左平移己个单位得到

【答案】D

【解析1/（x）=6cos2x-sin2x=-2sin（2x-：J,

得7=三27r=兀，故A选项错误；

令2%一三=T+伍（左£Z）nx=普+（%£Z）,

二直线X=3不为其对称轴，故B选项错误；

当xe［。噂12"一与。|一时，，=2sin〔2x-1^单调递增，

函数/（x）=-2sin（2x-T单调递减，故C选项错误；

7T

将於）=2cos2%的图像向左移三个单位得

12

/（x）=2cos12'+专1）=2cos12x+胃=2sin1一0^+仁）］

=2sin（g-2尤）=-2sin（2x-gj.故D选项正确.

故选：D.

2.（2022・陕西师大附中高一期中）aa/（x）=-2sin2x+sin2%+1,给出下列四个命题：

①在区间4，孚］上是减函数；②直线x=?是函数图像的一条对称轴；

OOO

③函数/（X）的图像可由函数y=0sin2尤的图像向左平移:个单位得到；

④若彳€［0,3，则/⑺的值域是［0,占］

其中，正确的命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/（x）=-2sin2x+sin2x+l=cos2x+sin2x=A/2sin（2x+—）,

4

7TTT37rTTSir

求函数的单调减区间：由一+2EW2x+—«—+2kn（ksZ）,得—+E<%<—+kit（keZ）,

24288

笈=0时，有F（X）在区间哈，个］上是减函数，①正确；

OO

求函数的对称轴：由2x+：=g+EMeZ）,得尤=二+!ECeZ）,

4282

IT

左=0时，尤=三是函数"X）图像的一条对称轴，②正确；

O

由y=VIsin2x向左平移2个单位后得到y=0sin（2x+；）,③不正确；

当xe［0,/时，2喈呜苧，有sin（2x+：）e［-冬1］,所以/⑴的值域为［T,拘，④不正确.

故正确的是①②，正确的命题个数是2个.

故选:B

3（2022•江苏省如皋中学）（多选）函数y=Asin（（y尤+0）（4>0,。>0,0<0<无）在一个周期内的图象如图

所示，则（）.

A.该函数的解析式为y=2sin[gx+|^

B.该函数图象的对称中心为kwZ

C.该函数的单