第一章 三角形的证明 单元考点训练-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明单元考点训练

一、选择题（共35分）

1[2024河北唐山二模]如图，甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点P的正南方向匀速航行，乙船沿

点P的北偏东70。方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（）

A.北偏东10。方向B.北偏东30。方向

北

C.北偏东35。方向D.北偏东40。方向：+东

P厂

2新考向传统文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三

斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边的长分别

为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为

（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

3[2023辽宁本溪模拟]下列说法正确的个数是（）

①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题：③每个定理都有逆定理：④定理一定有逆命题;⑤命题“若

a=b,则的逆命题是假命题.

A.lB.2C.3D.4

4[2023四川达州模拟]如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是30,40,50,/ABC和/ACB的平分线交于O,

则SAABO：SABCO:SaCAO等于（）

B.1:2:3

C.2:3:4D.3:4:5

A

CI）H

（第4题图）（第5题图）

5[2023山东淄博张店区期末]如图，在RSABC中,/C=90。,点D在边BC上，点E在/C内部，且△ADE是等

边三角形,NCBE=60。若BC=5,BE=3,则△ABD的面积为（）

X.—B.3V3

2

C.4V3D.5V3

6[2023广东深圳龙岗区模拟]如图，在小ABC和4BCD中,AC=DC=3,AD是NBAC的平分线,BDLAD,E为A

C的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）

9

A.6B.-C.3D.2

2

（第6题图）（第7题图）

7如图，在等边4ABC中,D,E分别为AB,AC边上的动点,BD=2AE,连接DE以DE为边在△ABC内作等边小D

EF,连接CF,当点D从点A向点B运动（不运动到点B）时,/ECF大小的变化情况是（）

A.不变B.变小

C.变大D.先变大后变小

二、填空题（共20分）

8已知△ABC中,AB=AC,求证:NB<90。.下面给出了打乱顺序的运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①所以NA+NB+NO180。,这与三角形内角和为180。矛盾；

②因此假设不成立，所以NB<90。；

③假设在小ABC中,/BN90。；

④由AB=AC得/B=NCN90。,即/B+NCN180。.

这四个步骤正确的顺序应是__________（填序号）

9[2024四川绵阳期末]如图，在△ABC中,AB边的垂直平分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P,过点P作

PD±BC于点D,PE，AC于点E.若BC=6,AC=4,贝!]CE的长度是______.

10[2024江苏徐州调研]如图，在直角坐标系中,R3ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上,/ACB=9(TQB

〃AC,点C的坐标为(1,2),点D和点C关于直线AB成轴对称，且AD交y轴于点E,则点E的坐标为.

11[2023江西上饶模拟]如图,△ABC中,NCAB=6(F,NB=75o,AB=2,AD平分/BAC交BC于点D,E为AB上一

动点(点E不与B重合),△DBE关于直线DE对称的图形为△DFE，若点F落在△ABC的边上，则DE的长为

三、解答题(共45分)

12[2023陕西西安高新区期中]如图，点P是NMON内一点,PALOM于点A,PBJ_ON于点B,连接AB,/PA

B=ZPBA.

(1)求证:OP平分/MON;

⑵若/MON=6(r,OA=2*APAB的面积.

M

3[2023广东韶关期末]已知:如图,△ABC,ACDE都是等边三角形,AD,BE相交于点O,点M<N分别是线段AD,

BE的中点

⑴求证:AD=BE;

(2)求/DOE的度数;

(3)求证:△MNC是等边三角形.

14【问题】

如图，在△ABC中，点D为BC边上一点BD=BA,EF垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点F,连接AF,AD.当/

B=30o,NBAF=90。时，求/DAC的度数.

【探究】

若把“问题”中的条件2B=30。”去掉，其他条件不变，那么/DAC的度数会改变吗?请说明理由.

【拓展】

若把“问题”中的条件“/B=30。”去掉，再将“/BAF=90。”改为2BAF=a”,其余条件不变厕/DAC=.

1.C【解析】如图，根据题意得.PA=PB,.•.乙PBA=^PAB=^APC=35。,乙船在甲船的北偏东：35。

方向，故选C.

2.A【解析】52+122=132,.•该三角形为直角三角形，，这块沙田面积为［X5x500x12X500=

7500000（平方米）=7.5（平方千米）.故选A.

3.B

4.D【解析】如图，过O分别作OE1AB,OF1BC.OD1AC.

'：BO平分AABC,EO=FO.

VCO平分^ACB,FO=DO,

EO=DO—FO.vS^AB0=

ii

-AB-EO,SABCO=-CB-FO,

SACAO=万"。,D0,：.SMBO：S4BCO：SACAO=30:40:50=3:4:5.故选D.

5.C【解析】如图在BC的延长线上取点F,使NAFD

=60°.VAADE是等边三角形,AD=DE=AE,ZADE=60°.

ZADB=ZAFD+ZDAF=/ADE+ZEDB,/.ZD

AF=ZEDB.XZCBE=60。,；.ZAFD=ZDBE=60。,；.

△AFD^ADBE(AAS),.*.FD=BE=3,AF=BD.设CF=x，则CD=3

-x,BD=5-(3-x)=x+2.ZACB=90°,.'.ZACF=90°,.\ZCAF=90

-60°=30°,；.AF=2CF=2x,；.2x=x+2,；.x=2,；.CF=2,；.AF=BD=4,AC=2V3,.­.SABD|X4X273=4

遍，故选C.

6.B【解析】如图，延长BD,AC相交于点H.设AD交BE于点O.

：ADJ_BH,，ZADB=

ZADH=90°,.'.ZABD+

ZBAD=90°,ZH+ZHAD=90°.VAD平分NBAC,；.ZBAD=ZHAD,.\ZABD=NH,

・•・AB=AH.VAD±BH,BD=DH.VDC=CA,

・•・ZCDA=ZCAD.*.*ZCAD+NH=90°,

ZCDA+ZCDH=90°,AZCDH=ZH,.\CD=

CH二AC.又「AE=EC,BD=DH,AC=CH,

,•^^ABE=^SAABH,S^CDH=:•LOBD—

S—OE—S^ADB—S^ABE=S^ADH—S^cDH~^LACD-

：AC=CD=3,.•.当DCLAC时,△ACD的面积最大，最大面积为|x3x3=（故选B.

7.这【解析】在AC上截取CN=AE,连接FN,如图所示.

,/AABC是等边三角形，

ZA=60°,AB=AC.,?BD=

2AE,AD=EN.：ADEF是

等边三角形，；.DE=EF,ZDEF=60°.

,?ZADE=180°-ZA-ZAED=180°-60°-

ZAED=120°-ZAED,ZNEF=180°-ZDEF-

ZAED=180°-60°-ZAED=120°-ZAED,

ZADE=ZNEF.在△ADE和ANEF

AD=EN,

中｛^ADE=乙NEF,

DE=EF,

：.AADE^ANEF(SAS),AE=FN,ZFNE=ZA=60°,.\FN=CN,.\ZNCF=

ZNFC.*/ZFNE=ZNCF+ZNFC=60°,

NNCF=30°,即NECF=30°.故选A.

8.③④①②【解析】运用反证法证明这个命题的四个步骤:③假设在△ABC中,NBN90。;④由AB=A。得NB

=NCN90。,即/B+NC2180。;①所以/A+/B+NO180。,这与三角形内角和为180。矛盾；②因此假设不成立，所以/B

<90。,故答案为③④①②.

9.1【解析】连接AP,BP,如图.•；

在RtACPD和Rt△CPE中,

,/PQ是AB的垂直平分线,，AP=BP在

AD=Rp

RSAPE和R3BPD中，｛pE=PDI-RT“APE三

Rt2kBPD(HL),・'・AE二BD,「・CE二AE-AC=BD-AC=(BC-CD)-AC=BC-CE-AC,2CE=BC-AC=6-4=2,CE=1,

故答案为1.

10.黑.【解析】：OB〃AC,，/人1^=点口和点C关于直线AB成轴对称,二ZBAC=ZBAD,DB=CB,

NABE=/BAD,.^.BE=AE.^.^C(l,2),/ACB=90°,OB〃AC,.^.易知OA=l,OB=2.设OE=x,贝!]BE=AE=2-x.在RtAA

2

OE中根据勾股定理得。弟+OE=4片,即12+/=Q—切2,解得%=..点E的坐标为（0，"故答案为

11.1或/或2【解析】•.*AD平分.ABAC,^CAB=60°,.・・/,CAD=乙BAD=30°.v乙B=75°".乙ADB=

180°-乙BAD一乙B=75。=乙B,；.AD=AB=2.由对称的性质得DF=DB,而DB是定长,...点F在以点D为

圆心，DB长为半径的圆上.当点F在边AB上时，如图，此时点F在点&的位置.•••DB=。&尸声=E、B,：.D

Fi1AB..-.ADE^=90。,；.DE]=\AD=1;当点F在边AC上时，有两种情况：①当E,F在4F2的位置时，作D

乙

HXAC.VAD平分^BAC,DH=%=1.又•••DF2=DB,.RtADHF2afitADE[B(HL),：.AHDF2=EJ)B

乙

.•••DF]=DB/DBFi=75°,•••ND&B=75°,•••zFtDB=180°-4DBF1-D£B=30。-ZHDF2=NE/B=

=15°.v乙DHA=7.DEIA=90°,4EjAH=60°,二NE/H=360°-乙DHA-乙DE^A-乙EjAH=120°,即

乙乙乙、=

HDFz+^F2DE1=120。,二EIDB+FzDELF2DB=120。,；Z.F2DE2=Z.BDE2,

1c

乙乙

Z-BDE2=jzF2£>B=60°,E1DE2=4BDE2-E1DB=45。，.必。用后?是等腰直/八，

T

角三角彩・•・。揖=1,二。演=V1不F=乃②当E,F在E3岛的位置时俱与A重j〃..

合)，DE3=ZM=2;当F在边BC上时,对应的E点不在AB上，此情况不存在.综上，/

DE的长为1或/或2.故答案为1或四或2.t，Y\Y；；,n

(也J色，F.E,0

12.(1)【证明】•//PAB=/PBA,；.PA=PB.：PAJ_OM,PB_LON,；.OP平分/MO

N.

(2)【解】ZMON=60°,OP平分/MON,•••Z.AOP=30°.•••PA=PB,PO=POARtAAOP^RtABOP(HL),.,.

=不

OA=OB=2,/.AAOB是等边三角形,.；.SLA0B=四在RtAAOP中「.•0人=2,/人(^=30。,，易得AP，:.

2A/34A/3

。1八4nAI、，。、，2V3r。BV3

S〉AOP=-OA-PA=-x2x—=・•・SAPAB=2S〉AOP一SLAOB=——V3=

13.(1)【证明】••,△ABC^CDE都是等边三角形，・•.AC=BC,CD=CE/ACB=乙DCE=60。，I.ZACB+ZB

CD=ZDCE+ZBCD,.*.ZACD=ZBCE.

AC=BC,

在^ACDfflABCE中.｛乙4CD=ABCE,：.AACD^ABCE,AAD=BE.

CD=CE,

(2)【解】△ACD四△BCE,；./ADC=/BEC.：Z\DCE是等边三角形,；.NCED=/CDE=60。,，ZADE+

ZBED=ZADC+乙CDE+乙BED=AADC+60°+4BED=MED+60°=60°+60°=120°,LDOE=180°-

(乙4DE+乙BED)=60。,,即/DOE的度数是60°.

(3)【证明】AACD0△BCE,；./CAD=/CBE,AD=BE,AC=BC.

又..•点M,N分别是线段AD.BE的中点，AM=^AD,BN=AM=BN.

AC=BC,

在4ACM和4BCN中，｛/.CAM=乙CBN,

AM=BN,

：