第17章 勾股定理（单元测试·培优卷）-2023-2024学年人教版八年级数学下册专项突破

第17章勾股定理（单元测试・培优卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各组数中，不是勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.5,12,13C.3,4,5D.7,24,25

2.在平面直角坐标系中，点尸在第三象限，点尸到x轴的距离为3,到原点的距离为5,则点尸的坐标

为（）

A.（-3,-5）B.（—5,—3）C.（—3,-4）D.（-4,-3）

3.以AABC的顶点A为圆心，大于二分之一AC为半径画弧与AC,■分别交于两点，分别以这两点为

圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，ZC=90°,ZB=30°,AB=4,那么AD的

A指R2有「4石口5石

3333

4.如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5m,高3m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为

5.如图（1）是一把折叠椅实物图，支架A3与交于点。，OD=OB.如图（2）是椅子打开时的

侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线/平行，BD=2AC,ZCAO=60°,BD=20cm,

那么折叠后椅子比完全打开时高（）cm.

A.30B.15A/3C.15D.30-15白

6.如图,AO是AABC的中线，过点B作AO的垂线，垂足记作点E,连接CE,若AE=2,BE=3,CE=5,

则"RC的周长为（）

A.713+12B.3a+36C.713+5A/5D.5岳

7.早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理一一

勾股定理.如图，分别以Rt^ABC的各边为边在8C的上方作正方形.已知=（根为大于0的常数）,

BC=2,若图中的两个阴影三角形全等，则疗的值为（）

8.在平面直角坐标系中，已知点A（0,2）,C（3,0）,若AABC恰为等腰直角三角形，则8点坐标不可能

是（）,

A.（6,2）B.（5,3）C.D.

9.如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C处有一小

块糖粒,蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm,高为30cm,

则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm.

A.lO^nC.IOA/29

10.如图，/ABC的平分线5D与/ACS邻补角的平分线CD相交于点。，CE平分NACB于点E,

CD//BA,DE=5,CE=3,则AB的长度为（）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，AABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边上的高是

c\\\\

1111

12.如图，四边形ABC。的对角线AC,BD交于点O.若AC，BD,AB=4,8=后，则

BC2+AD2^.

A

“D

13.如图，在财BC中，AB=10,AC=13,ADSBC,垂足为。，M为A。上任一点，则MC2-Affi2等

14.如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC=25m,AC=15m,

则A,B两点间的距离是—m.

15.如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠

绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点8,如果缠绕

的圈数是“，那么用在该建筑物上的灯线最短需要米.

16.如图所示，在4x4的网格，依次连接A、B、C、。形成一个正方形，若以网格的底端所在直线

建立数轴，每个小方格的边长为单位长度1,原点距离点A一个单位长度.用圆规在点A左侧的数轴上截取

AE=AB,则点E所代表的实数是.

17.如图，"RC是等边三角形，。为的中点，点E是点。关于直线AC的对称点，连接AE,BE,

BE交AC于点、P.

（1）若AB=2,则AD=；

（2）若点K在线段AE上，连接PK,CK,则尸K+CK的最小值等于的长度.（用图中的某一

条线段表示）

18.如图，AABC是等边三角形，ACDE是等腰三角形，且CE=CD=C4=4,ZD=30°,点H为直线

ED上一点,BH=EH,将N钻C绕点C按逆时针方向旋转一周，当时，请直接写出的

长.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点.求NABC的度数.

20.（8分）如图，把一张长方形ABCD纸片沿对角线4c折叠，点B落在点E处，CE交AD于点、F,

重合部分是CD=2,点尸是对角线AC上一点，尸加_140于点“，PN1CE千点、N.

（1）求证：AE4c是等腰三角形；

（2）求PM+PN的值；

（3）若A£>=5.求AE4c的面积.

21.（10分）如图，在AABC中，ZS4C=90°,AB=AC,。为BC边上一点，CEYAD,交AD的延

长线于点E.

（1）若=

①直接写出-54。的度数；

②已知力℃=25,求线段AD的长；

（2）若点。在线段8C上移动，是否存在一个常数无，使34+82=上短＞2恒成立？若存在，请求出

常数怎若不存在，请说明理由.

22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（l,0）,3（1,1）,C（0,l）,点尸在线段。4上（不与点。，A

重合），连接PC,将沿PC折叠得到APCD,延长交A3于点E,连接CE.

（1）求证：KEB学ACED.

（2）当点尸位于不同位置时，的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周

长.

（3）设尸（办0）,£（1,«）,直接写出当点A,O的距离最小时，根+”的值.

23.（10分）已知：如图，线段A3、点尸是线段A3上方一动点，且上4_LPB,线段A3和线段AC关

于直线AP对称，过点8作与线段AP的延长线交于点D,点尸和点E关于直线3D对称，作射

线”交AC于点尸，交BD于点C.

（1）当尸8=3,AB=5时，求PD的长.

（2）请用等式表示线段跖与尸尸之间的数量关系，并证明.

（3）当线段E尸的长取最大值时，言的值为.

24.（12分）【问题提出】

（1）如图1,AABC和都是等边三角形，连接SO,AE

①求证：ABD8AAEC

②若NAED=60。，CE=2,CB=4,求BE的长.

【问题拓展】

（2）如图2,"RC和△DCE都是等边三角形，连接3DAD,AE,^ZADC=30°,AD=3,BD=5,

求ABDC的面积

图1图2

参考答案：

1.A

【分析】本题考查了勾股数的定义：满足/+62=02的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定

义是解题的关键.

根据判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方，

逐一判断即可.

解：A、0.32+0.42=0.5,但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；

B、52+122=132,是勾股数，故选项不符合题意；

C、32+42=52,是勾股数，故选项不符合题意；

D、72+2不=252,是勾股数，故选项不符合题意；

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的

绝对值是解题的关键.先根据勾股定理求出点P到y轴的距离为4,根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐

标是负数即可求解.

解：团点尸到无轴的距离为3,到原点的距离为5,

回点P到y轴的距离为，5?-3?=4，

回点尸在第三象限，

回点P的横坐标为T,纵坐标为-3,

回点P的坐标为(T,—3).

故选D.

3.C

【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可

得NC4D=30。，利用勾股定理和30。角的直角三角形的性质求出OC的长，再根据含30度角的直角三角形

的性质可得答案.

解：在RtaACB中，ZB=30°,AB=4

回AC=2,ABAC=60°

0ZC4D=-ZBAC=-x6Oo=3O°

22

团在RtaACD中，AD=2CD

0AC2+C£)2=4CD2

03CZ)2=22

0CO=—,

3

4J3

^AD=2CD=-^-；

3

故选：C.

4.A

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键.首先利

用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案.

解：根据题意，图中直角三角形一直角边为3m,斜边为5m,

根据勾股定理，可得另一直角边长为右子=4m，

则需购买红地毯的长为4+3=7m,

又因为红地毯的宽，即台阶的宽为3m,

所以共需购买红地毯3x7=Zin?.

故选：A.

5.D

【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得

DC=30cm,再根据勾股定理求得完全打开时的高度，相减即可求解.

解：如图所示，过点。作CE，/于点E,

(2)

0ZC4O=6O°,AC//BD

^ZOBD=ZCAO=60°

^\OD=OB

回/阳是等边三角形，则">=BD=20cm

国NBOD=NCDB=60。

^ZAOC=ZBOD=60°

团△AOC是等边三角形，

团BD=2AC,BD=20cm,

回CD=AC=10cm

团CD=CO+OD=30cm,

0ZCDJB=60°

[2ZDCE=30°

0D£=-CD=15cm

2

在RtZXCDE中，CE=JCD2-DZ=156cm

0DC-CE=30-1573(cm)

故选：D.

6.B

【分析】过点。作CG〃跖，交射线AD于点G.证明△EBZ运△GCD(AAS)得到

CG=3,EG=^CE2-CG1=4,ED=DG=^EG=2,再运用勾股定理计算即可.

解：过点C作。G〃郎，交射线于点G.

⑦ZBED=/CGD=90。,/BDE=/CDG,

团AZ)是△ABC的中线，

国BD=CD,

ABED=ZCGD

^<ZEDB=ZGDC,

BD=CD

回△£皮白△GCD(AAS)；

OBE=CG,ED=DG,

团BE—3,CE=5,

团CG=3,EG=^CE2-CG2=4,ED=DG=-EG=2,

2

团AE=2,

回AG=AE+EG=6,

0AC=VAG2+CG2=3A/5,BC=2BD=2CD=2yjBE2+DE2=2屈，

AB^^jBE2+AE2=A/13>

13AABC的周长为36+2旧+旧=3旧+3指，

故选B.

【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明,

灵活用勾股定理是解题的关键.

7.D

【分析】先证明V5环gVCBD(ASA),再由两个阴影三角形全等即可求出3。的长，由

DC1ABBC?BD求出的长，即可求出答案.

解：•・,四边形£BCG是正方形，

\?DBC?£90?,BE=BC,

:.ZEBF+ZABC=90°,

vZS4C=90°,

:.ZACB+ZABC=90°,

NEBF=ZACB,

\NBEFmCBD<ASA),

:.BD=EF,

两个阴影三角形全等，

:.BD=FG,

:.EF=FG,

QEG=BC=2

\BD=EF=1,

\DC=1BU+5027f+2z=5

/DC?ABBC?BD,

\小AB=2?1,

\AB=述,

5

4

\m92=9AB2=~.

5

故选：D.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.

8.A

【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可.

解：由题意得AC=+(0-2)~=>/13,

A、13AB=J(6-0『+(2-2)2=6,BC=,J(3-6)2+(0-2)2=V13=AC,

又回AC-+BC2=(V13)2+(V13)2=26wAB2=36,

团AABC为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；

B、AB=^(5-0)2+(3-2)2=726,3C=J(3-5『+(0-3『=屈=AC,

又回AC2+BC2=(V13)2+(A/13)2=26=AB2,

国AABC为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；

j回即my二耍。小-岁］畤=孚"

y^\AB2+BC2==13=AC2,

回AABC为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；

D、=-2-Op+(-1-2)2=旧=AC,BC=43+2『+(0+1『=后,

又回AC'+AB2=(A/13)2+(V13)2=26=BC1=26,

团AABC为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误.

故选A.

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题.等腰直角三

角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形.

9.B

【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可.

解：分两种情况：(其它情况与之重复)

①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1,连接AC',

CC'=30cm,

根据勾股定理得：EC=^AB2+CC'2=j302+402=50cm;

②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2,连接AC',

D\----------------/,C

//

//

/

/

A'——-i—B'

Q

图2

在RtZSABC中，BC=BB'+=30+20=50cm,AB=20cm,

根据勾股定理得：AC'=<BC。+AB。=J50。+20,=10后cm>50cm;

蚂蚁爬行的最短距离为50cm.

故选：B.

【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用一求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解

本题的关键.

10.B

【分析】延长CE交于F,过点E作琢/_L8G于H,利用角平分线的定义和角的数量关系并利用"HL

"证明&BEF/ABEH,得到3尸=3”,设所=尤，BF=y,则==EH=EF=x,在RtACE/Z和

RtZkCB尸中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出》即可得到A3的长.

解：延长CE交于尸，过点E作EHLBG于H,如图：

D

回8平分/ACG,

SZACD=ZGCD,

^CD//BA,

回NA=NACD,ZABC=ZGCD,

^ZA=ZABC,

0BC=ACf

回CE平分ZACB,

©BF=AF,ZACF=ZBCF,

回NDCF=NACF+NACD=90。，

0CF1AB,

团BD平分/ABC,

国NABD=NCBD,

^CD//BA,

⑦ZABD=ND,

团NCBD=/D,

回CD=BC,

在Rt2\EC£）中，CD=^DE2-CE2=4,

国BC=CD=4,

⑦EF上AB,EHLBC,BD平分ZABC,

国EF=EH,

©BE=BE,

回RtABEF=RtAB£W（HL）,

田BF=BH,

设石尸=%,BF=y,则3H=BF=y,EH=EF=x,

13+J+y2=42

[—『=32

OQ

解得:y=||，

0AB=2BF=—,

25

故答案为：B.

【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，

角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键.

11.6

【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算.利用等积法求解是解题关键.由图可知3c=2,且

其边上的高为3,即可求出S"BC=3.由勾股定理可求出AC=3&,设AC边上的高为心结合三角形面积

公式可列出关于X的方程，解出X的值即可.

解：由图可知BC=2,且其边上的高为3,

回=Jx2x3=3.

由图可知AC="+32=372，

设AC边上的高为x,

0S^ABC=2*3*\/2x,

El—x3\[7.x=3,

2

解得：x=42>

回AC边上的高是血.

故答案为：&.

12.21

【分析】根据勾股定理即可解答.

解：：AC人BD,AB=4,CD=45,

.,.在RtZ\AO3中，042+032=432=42=16,

.,.在Rt“w中，oc2+。》=c》=(g?=5,

又,在RtAAO£>中，OA2+OD2=AD2,

在RMBOC中，。长+心二叱，

\BC2+AD2

=^OB2+OC)+(OA2+OD2)

=(OB2+OA2)+(OC2+亦)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键.

13.69

【分析】在RtBABD及RtOADC中可分别表示出BD2及CD2,在RtSBDW及RtBCDM中分别将B»及

CD2的表示形式代入表示出8册和MC2,然后作差即可得出结果.

解：在RtElABD和RtElADC中,

BD2=AB2-AD2,

CD2=AC2-AD2,

在RtHBDM和RtECDM中，

BM2=BD-+MD2=AB2-AD2+MD2,

MC2^CD2+MD2=AC2-AD2-]-MD2,

^\MC2-MB2=CAC2-AD2+MD2)-{AB2-AD2+MD2\

=132-102,

=69.

故答案为：69.

【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出

4和

14.20

【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可.

解：QCB=25m,AC=15m,ACYAB,

\AB=VfiC2-AC2=V252-152=20(m),

即A,B两点间的距离是20

故答案为：20.

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键.

15.2J16//+9

【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可.

解：如图,

B'

6米

Ac--------A'

313

、米___米__米、_

8〃米

AA'=8〃米，A2=6米,

由勾股定理得，AB=+AB?=J4"）?+6?=2，16*+9（米）；

故答案为：2A/16〃2+9・

16.-1-或1-厢

【分析】本题考查了实数与数轴.由勾股定理求出A2的长，即可得出AE的长，然后分情况讨论：当

原点。在点A左边一个单位长度时，计算出0E的长，即可得出点E所代表的实数；当原点。在点A右边一

个单位长度时，计算出OE的长，即可得出点E所代表的实数.

解：由勾股定理得，AB=A/32+12=710-

当原点。在点A左边一个单位长度时，如图,

:.OA=1,

QAE=AB,

：.AE=M,

:.OE=AE-OA=y/lO-l,

•・•点E在原点左边，

.••点E所代表的实数是l-M；

当原点。在点A右边一个单位长度时，如图,

:.OA=\,

QAE=AB,

：.AE=M,

:.OE=AE+OA=y/10+l,

,・•点E在原点左边，

•••点E所代表的实数是-1-痴；

综上，点E所代表的实数是1-如或-l-W；

故答案为：1-JQ或-1-质.

17.6PB

【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建

线段和的最小值时点的位置是解本题的关键；

(1)利用等边三角形的性质结合勾股定理可得答案；

(2)如图，记AD与巫的交点为连接PK,CK,HK,记"K与AC的交点为由点E是点。

关于直线AC的对称点，可得当H与点K关于直线AC的对称时，此时尸K+CK最短，且PK+CK=PB.

解：(1)回AA5c是等边二角形，。为3C的中点，AB=2,

^\AD1BC,BD=CD=1

0AD=A/3,

(2)如图，记AD与班的交点为连接尸K,CK,HK,记HK与AC的交点为M,

ADIBC,BD=CD,

回BH=CH,

团点E是点D关于直线AC的对称点，

回当H与点K关于直线AC的对称时，

@PH=PK,CH=CK,

0PK+CK=PH+CH=PH+BH=PB,

此时尸K+CK最短，且PK+CK=PB,

故答案为：上,PB

18.2A/3+2/2A/3-2

【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，分两种情况讨论,

结合图形，灵活应用各性质是解题的关键.

解：①如图，过点C作CGLED交ED于点G,延长3H交AC于点

MC

4

R

0CG±£D,CE=CD=4,ZD=30°,

团CG=2,0G=2。

国BH工ED,

^\BM±AC,GH=CM

又回AABC是等边三角形，AB=AC=4,

回CM=2,

®GH=CM=2,

^\DH=DG+GH=26+2,

②如图：BHLDE,过点C作CG_L££＞交互＞于点G,

0ZDCE=120°,DG=,ZCEZ)=30°,

出BH=EH,BH±DE,

^ZBEH=45°,

⑦/DEC=/BEH-/CED=15。,

又闻BC=CE,

0ZBCE=180O-ZBEC-ZEBC=150°,

团△ABC是等边三角形，

o

0ZBC4=6Oz

0ZDCA=360°-ZBCA-ZEBC-ZDCE=30°,

^\ZDCA=ZD,

^\AC//DE,

BNLAC,

又回3C=AB=4,

0GV=2,

又国CGLDE,BHLDE,

SGH^CN=2,

0DH=DG-GH=22.

故答案为：2右+2或2百-2

19.45°

【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出AC?、BC\AB2,得到钻=BC,

222

AB+BC=AC,再结合勾股定理逆定理判断AABC为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题.

解：由题知，AB2=12+32=10,

BC2=l2+22=5,

AC2=l2+22=5,

AC=BC,AC2+BC2=AB2,

:.ZABC=NBAC,AABC为直角三角形，即NBC4=90。，

;.ZABC=90°+2=45°.

29

20.（1）证明详见分析；（2）2；（3）—.

【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到A/=CF,即可证明出AE4c是等腰三角形；

（2）连接P/L根据邑皿=凡加+£皿代数求解即可；

29

（3）设”=%,则凡）=5r,CF=x,在RQEDC中根据勾股定理求出Ab=正，然后利用三角形面

积公式求解即可.

解：（1）证明：・•・把一张长方形ABCD纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，

,\ZECA=ZBCA

又・••长方形ABC。，

/.AD//BC

.\ZFAC=ZBCA,

:.ZFAC=ZECA

.\AF=CF,

4c是等腰三角形

(2)如图所示，连接尸尸,

:.-xAFxCD=-xAFxPM+-xCFxPN

222

AF=CF,

.-.CD=PM+PN=2

(3)设AF=x,则FD=5-尤，CF=x

在RtAFDC中，由勾股定理可知：FD2+CD2=FC2

.-.(5-X)2+22=X2,

129

5白m=Q**CD=—.

【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键

是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理.

21.(1)①67.5。；②10；(2)存在，见分析

【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形性质及判定，勾股定理.

(1)①根据题意利用三角形内角和和等腰三角形性质即可得到本题答案；②过点A作Ab/BC,设

AB=x,用含x的代数式分别将CD表示出来，再利用勾股定理表示出")2,再利用面积求出炉的

值，即可求出本题答案；

(2)过点A作AF13C,根据条件求出0”,证明△的是等腰直角三角形，然后结合勾

股定理即可求解.

解：(1)①解：回/B4c=90。，AB^AC,

0ZB=ZACB=45°,

^AB=BD,

EABAD=(180°-45°)+2=67.5°；

②解：过点A作设AB=x,

0Z5AC=90°,AB=AC,AB=BD,

应

^CF=BF=—x,

2

回DF—x———x,CD-一xt

2

团在△"口中应用勾股定理：AD-=DF2+AF~=（X-

回S,DC=25,

5=C£），AF=25,

0AAnc4即：（缶一尤）•克尤工=25，整理得：/=50（2+应），

222

团AD2=(2-V2)x2=50(2-应)(2+72)=100,

0AD=1O；

（2）解：存在常数3理由如下:

过点A作A尸15C,

0AD2=DF2+AF2,

⑦DF=CF—CD=BF—CD=(BD—DF)—CD,

BD-CD

回。尸=

2

回所誓勺+年

回/区4c=90°,AB=AC,

0AABF是等腰直角三角形,

回”=竿BD+CD

2

BD2+CD?

回MR。）*"*

2

^BD2+CD2=2AD2,

回左=2,

综上所述：存在一个常数公使E52+。2="M)2恒成立.

22.(1)见分析；(2)△曲的周长不变；C«PEA=2；(3)加+〃=1

【分析】(1)根据HL证明ACEB/ACED即可；

(2)根据折叠得出ACPD2ACPO,得出。尸=尸£),根据ACEB丝ACED,得出DE=5E,根据

QAPE=AP+PD+OE+AE求出结果即可；

(3)点。在以C为圆心，以1为半径的圆上，连接AC,得出当。在AC上时，AD最小，根据等腰三

角形的判定和性质，求出m=>/^-1，n=l—yfl.1最后求出机+〃=-1+2-=1即可.

解：（1）证明：国4（1,0）,5（1,1）,C（0,l）,

SOA=AB=BC=OC=1,ZABC=ZOAB=ZOCB=ZAOC=90°,

根据折叠可知，CD=OC,ZCDP=ZCOP=90°,

0ZCDE=180°-90°=90°,

团CB=CD,

0CE=CE,

[?]RtACEB=RtACED（HL）,

即^CEB^CED.

（2）解：VARE的周长不变；

根据折叠可知，ACPD冬ACPO,

国OP=PD,

国ACEB均CED,

国DE=BE,

团CAPE=AP+PD+DE+AE

=AP+PO+BE+AE

=AO+AB

=1+1

=2.

(3)解:回CD=CO=1,

团点。在以。为圆心，以1为半径的圆上,

回连接AC,当。在AC上时，最小，

^AC=y/OC2+OA2=V12+12=^2，

0AD=V2-b

^\OA=OB,^AOC=90°,

团NQ4C=NOC4=45。，

田/CDP=90°,

0ZA£>P=9O°,

团ZAPD=90°-45°=45°,

BZAPD=ZDAP,

^PD=AD=42-1^

^AP=^AD2+PD2=42AD^

0AP=^AD=72x(V2-l)=2-V2,

^OP=OA-AP=l-(2-y/2)=yf2-l,

0m=A/2—1,

团/PAE=90。，ZAPE=45°f

回NA£P=90。一45。=45。，

^\ZAPE=ZAEP,

^AE=AP=2-y[2,

0ra=2-V2，

团m+n=y/2—1+2—V2=1-

【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图

形，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合.

23.(1)尸£)=4；(2)EF=3PF,证明见详解；(3)-

【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段

垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅

助线是解此题的关键.

(1)根据轴对称的性质可得NC4P="4P,由平行线的性质可得NC4P=从而得到

ZBAD=ZADB,由等角对等边可得=,由等腰三角形的性质可得AP=PD,由勾股定理计算出针=4,

即可得解；

(2)由轴对称的性质可得3。是线段PE的垂直平分线，从而得到PG=GE,证明AAPF/ADPG(ASA),

得出PF=PG,即可得证；

(3)当上4=尸5时，尸〃的值最大，即FP的值最大，由跖=3杯'可得此时E尸的长达到最大值，设

PA=PB=a,则筋=，必+止=5+/=缶,证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出

AF=PF=^a,从而得出所=3/^=述0,即可得出答案.

22

(1)解：•••线段AB,AC关于直线AP对称，

:.ZCAP=ZBAP,

­.­BD//AC,

.\ZCAP=ZADB,

.\ZBAD=ZADB,

AB=BD,

\-PA±PB,

:.AP=DP,

vZAPS=90°,AB=5,PB=3,

：.AP2^-BP2=AB2FBPAP=^AB2-PB2=4

.\PD=4；

(2)解：EF=3PF,

证明：•.•点。关于直线30的对称点为E,

是线段PE的垂直平分线，

:.PG=EG,

在△"尸和△。尸G中，

ZCAP=ZADB

<AP=PD,

ZAPF=ZDPG

..△APF段ADPG(ASA),

：.PF=PG=EG,

.\EF=3PF；

(3)解：•.・点尸关于直线的对称点为E,

BD是线段PE的垂直平分线，

:.BD^PE,

•：BM//AC,

:.AC-LEFf

如图，作尸于X,

・•・线段AB,AC关于直线AP对称,

:.ZCAP=ZBAP9

vACYEF,PHLAB,

：.PH=FP,

当=时，尸H的值最大，即EP的值最大，由石尸=3尸尸可得此时石方的长达到最大值,

如图，当B4=